高二数学选修2-1教案(§1.2.1充分条件与必要条件)
高中数学选修2-1精品教案8：1.2.1 充分条件与必要条件-1.2.2 充要条件教学设计
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件教学目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．教学重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．教学过程一、充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【答案】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p q，且q p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【答案】p⇔q.1．充分条件与必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.例1.(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但q p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D(2)A规律方法判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>b ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b ，即ab ＝1，∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6.故是充要条件，④正确． 【答案】①③④例2.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)． (1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解:(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，由此可得p ⇒q ， 则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}． 法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.例3.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.证明：充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论． 变式训练求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. (1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．练习1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？【答案】1．A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q 的必要不充分条件．3．x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
高中数学选修2-1 第二节《1. 2 充分条件和必要条件》全套教案
1. 2 充分条件和必要条件单元课时分配:1.第一课充分条件和必要条件1个课时2.第二课充要条件1个课时1.2 .1 充分条件和必要条件【教学目标】一、知识目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；二、能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三、情感目标1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
【教学重难点】重点：充分条件、必要条件的概念；难点：充分条件、必要条件的判断；【学前准备】：多媒体，预习例题{x|x>0} 同位角相四边形对等四边形是平行四边解：因为在问题）中。
所以，）的必要条）和问。
）和不是3的充分条件．用“充分条件”或“必要条件”）四边形的对角线相等是四边形为为相当于Q P ⊆，即 或即：要使Q x ∈成立，只要P x ∈就足够了——有它就行。
（2）p q ⇒，相当于Q P ⊇，即 或即：为使Q x ∈成立，必须要使P x ∈——缺它不行。
1.2．2充要条件【教学目标】掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系。
【教学重难点】充要条件关系的判定。
【学前准备】：多媒体，预习例题例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件 （1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：,∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>,所以，sin sin A B A B >⇔>即p 是q 的充要条件。
高中数学 专题1.2.1 充分条件与必要条件教案 新人教A版选修21
充分条件与必要条件【教学目标】1、知识与技能（1）、正确理解充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义．（2）、会判断命题的充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.（3）、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．2、过程与方法（1）、通过对充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．（2）、在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）、通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．【教法指导】教学重点（1）、正确区分充分条件、必要条件、充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件的概念.（2）、正确运用“条件”的定义解题.教学难点如何正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.【教学过程】 ☆情境引入☆1.命题的常用形式．（学生回答）2.写出命题“若1x =，则21x =”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断这四种命题的真假． 学生回答：原命题：若1x =，则21x =； 真命题．逆命题：若21x =，则1x =； 假命题．否命题：若1x ≠，则21x ≠； 假命题．逆否命题：若21x ≠，则1x ≠；真命题． ☆探索新知☆在该问题中，原命题为真我们就称“1x =”能推出“21x =”．也就是说：只要有条件“1x =”就能充分保证结论“21x =”成立．提出问题：1.你能举出一个“若p ，则q ”是真命题的例子吗？并说出条件和结论的联系．以上命题中条件和结论之间的这种推出关系，反映了两者之间的一种“充分的”联系．在数学中我们对这种联系可用一种新的定义—充分条件来描述，从而过渡到第2个问题．2.由刚才的分析你能否尝试着归纳出充分条件的概念？ 形成概念（教师板书）：一般地，“若p ，则q ”是真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作“q p ⇒”，并且说p 是q 的充分条件（sufficient conditi on ）；q 是p 的必要条件（necessary condition ）．理解新知提出问题：对于p 是q 的充分条件容易理解，那么，如何理解q 是p 的必要条件呢？ 解释：我们可从原命题与其逆否命题真假相同的角度来理解．在刚才问题中，命题“若1x =，则21x =”的逆否命题“若21x ≠，则1x ≠”为真命题．是说“如果21x =不成立，那么1x =也不成立”．这就是说，要使1x =成立，就必须有21x =成立．因此，“21x =”是“1x =”成立的必要条件．五、运用新知例1.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若3x >，则2x >；(2)若1x =，则2430x x -+=；(3)若x 为无理数，则2x 为无理数．分析：判断p q ⇒是否成立即判断命题是否为真．例2.下列“若p ，则q ”的命题中(若不是，请改为这种形式)，哪些命题中的q 是p 的必要条件？(1)若x y =，则22x y =；(2)全等三角形面积相等；(3)若a b >，则ac bc >．例3.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些p 是q 的充分条件？(1)22:,:2p x a b q x ab >+>；(2):5,:10p x q x >>；(3):0,:0p ab q a ≠≠．答案：命题(1) (3)中的p 是q 的充分条件．例4.判断下列命题的真假：(1)()()0x a x b x a --==是的必要条件；(2)sin sin αβαβ==是的充分条件；(3)四边形对角线相等是四边形是平行四边形的必要条件． 答案：(1)正确，(2) (3)错误．提炼方法：提出问题，组织学生讨论：如何判断充分条件和必要条件？(1)分清谁是条件p ，谁是结论q ；(2)进行两次推理或判断，即判断p q ⇒是否成立，q p ⇒是否成立；(3)根据(2)写出结论．深化概念：集合{}|3P x x =>,集合{}|2Q x x =>．问集合P 与集合Q 是什么关系？探究问题： 如果p 表示某元素x 属于集合P ，q 表示该元素属于集合Q ，如何用集合间的关系理解“p q ⇒”的含义？ 分析：“P Q ⊆” 用图形可以表示为：是指：某元素x 属于集合P ，那么该元素必属于集合Q ，也就是说Q x P x ∈⇒∈，即：“p q ⇒”所以x P ∈是x Q ∈的______条件，x Q ∈是x P ∈的______条件.结论：若P Q ⊆，则x P ∈是x Q ∈的充分条件，x Q ∈是x P ∈的必要条件. ☆课堂提高☆1.在下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件（用充分条件和必要条件）： 如图(1)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件；如图(2)所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的 条件．2.能力提升（开放性题目）填空（写出一个满足题意的即可）(1)“0ab =”的一个充分条件是________；(2)“3x <”的一个必要条件是________.答案：1.(1)充分；(2)必要．2.(1)可填：0,0,00a b a b ====且，这三种中的任何一种；(2)可填：4x < (形如x a <，其中3a ≥的答案都是对的).☆课堂小结☆(1)充分条件与必要条件的概念； (2)如何判断充分条件和必要条件？(3)判断充分条件、必要条件时我们用到了哪些方法？(定义法、等价法（逆否命题）、集合法)(4)数学思想：等价转化.教师总结(一首诗帮助学生记忆)：充分必要逻辑深，核心关键判假真．分清条件和结论，等价命题可判真． ☆课后作业☆1.必做题：课本第12页A 组1、2；2.选做题： B 组1。
《充分条件与必要条件》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第1.2.1课时)
• “x>2ab”是“x>a²+b² ”的必要条件.
新知探究
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q
的充分条件？
（1）若x 1，则x 2 4 x 3 0; （2）若f ( x) x，则 f ( x)为增函数;
（3） 若x为 无 理 数, 则x 2为 无 理 数.
例如 例1中的命题（3）是假命题，那么，x为无理数
课前导入
通过这个小小的例子，同学们是否对充分条件和必要条件有了大概的理解呢？ 接下来，让我们深入学习“充分条件”和“必要条件”这两个概念.
新知探究
1、一般地：若p则q为真，记作： p q 或 q p 若p则q为假，记作： p q
例如
（1）如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
两个三形全等
例例如如
两个三形全等
两三角形面积相等。
“两个三形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件
“两三角形面积相等”是“两个三形全等 ”的必要条件
新知探究
因此：上面的命题
（1）若x＞a²+b²，则x＞2ab. 是真命题，即x>a²+b²
x>2ab.
所以，
• “x>a²+b² ”是“x>2ab”的充分条件；
课堂练习
“
6
”是“
cos 2 1
2
”的（ A ）
A． 充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C． 充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
课堂练习
指出下列各组命题中，p是q 的什么条件，q是p的什么条件？
（1） p : a Q q : a R
（2） p : a R q : a Q
1.2.1 充分条件与必要条件 教案(人教A版选修2-1)
第一课时 1.2.1充分条件与必要条件教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）③练习：P12页 第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）⑤练习：P12页 第3题⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.（学生自练→个别回答→学生点评）3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页 第1、2题。
高中数学苏教版选修2-1《1.1.2充分条件和必要条件》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版选修2-1第1章《1.1.2充分条件和必要条件》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
一、知识目标:
1.使学生理解充分条件、必要条件的概念;
2.能正确判断是否是充分条件或必要条件;
二、能力目标:
1.通过对充分条件和必要条件的研究,使学生掌握有关的逻辑知识,以保证推理的合理性和论证的严密性;
2.通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力;
三、情感目标:
1.通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体验获取知识的感受;
2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯;
2学情分析
这节内容是学生在学习了“四种命题”、会判断一个命题的真假的基础上,主要根据“p q”给出了充分条件、必要条件及充要条件.虽然从实例引入,但是学生对充分条件、必要条件的理解,特别是对必要条件的理解有一定困难.对于本节内容的学习,首先要分清谁是条件,谁是结论,其次要进行两次推理或判断.
3重点难点
教学重点:充要条件的概念和判断方法。
教学难点:理解充要条件的概念。
4教学过程
4.1第一学时。
高中数学选修2-1精品教案1：1.2.1 充分条件与必要条件教学设计
1.2.1分条件与必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入命题的概念及命题的真假性二.思考、分析写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．四.抽象概括充分条件与必要条件1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D ，当a >b >0时，有a >b ，而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论 p ⇒q ，但q ⇒/ pp 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ qp 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。
人教A版高中数学选修2-1课件《1.2.1充分条件与必要条件》
(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
(2)P:x>0,y>0,q:xy>0;
p q.
(3)P:a>b,q:a+c>b+c.z`xx··k
解：在(1)(3)中，pq ,所以(1)(3)中的p是q的充 要条件。在(2)中，qp，所以(2)中p的不是q的
充要条件。
归纳
、定义1：如果已知pq，则说p是q的充分条件。
既不充分也不必要
练习、判断下列命题的真假：
z··x`````x··k
（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件；
（3）sin=sin是=的充分 条件；
（4）ab0是a0的= 充分条=件。
答：命题（1）为真命题：
命题（2）为真命题； 命题（3）为假命题； 命题（4）为真命题。
充分非必要条件
必要非充分条件 既不充分也不必要条件 充分且必要条件
推理的本质: 强推弱,小推大
1)
B
A
2)
A
B
3）若AB且BA，则甲是乙的 4）若A=B，则甲是乙的
既不充分也不必要条件 充分且必要条件
A
B
A=B
3)
4)
小结充分必要条件的判断方法：
定义法、集合法、等价法（逆否命题）
例4．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B充亮分的不条必件要； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B必亮要的不条充件分； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充条要 件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；
高中数学选修2-1精品教案5：1.2.1 充要条件与必要条件教学设计
1.2.1 充分条件与必要条件教学目标：1.理解推断符号“⇒”的含义2.理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用3.培养学生的逻辑推理能力教学重点：充分条件、必要条件的判断教学难点：理解充分条件、必要条件的判断方法教具准备：多媒体教案教学过程：一、复习回顾1、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q2、四种命题及相互关系：本节将在判断“若 p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件还是必要条件问题二、新课§1.8.1 充分条件与必要条件1.推断符号“⇒”的含义：例如命题（2）、（3）、（4）为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q 一定成立，此时可记作“p⇒q”又例如命题（1）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq”请同学用推断符号“⇒”写出上述命题答：（1）a>b⇒ac>bc； (2)a>b⇒a+c>b+c；(3)x≥0⇒x2≥0；（4）两三角形全等⇒两三角形面积相等2.充分条件与必要条件下面给出充分条件与必要条件的定义一般地，如果已知p ⇒q ，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件由上述定义中，“p ⇒q ”即如果具备了条件p ，就足以保证q 成立，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解。
但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？请同学们讨论（不很理解的较多，特别是q 是结论，怎么又变为条件呢？）应注意条件和结论是相对而言的．由“p ⇒q ”等价命题是“┐q ⇒┐p ”，即若q 不成立，则p 就不成立，故q 就是p 成立的必要条件了．但还必须注意，q 成立时，p 可能成立，也可能不成立，即q 成立不保证p 一定成立回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件（3）中：“x ≥0”是“x 2≥0”的充分条件；“x 2≥0”是“x ≥0”的必要条件（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件3.从集合角度理解：①p ⇒q ，相当于Q P ⊆，即 P Q 或P 、Q即：要使x ∈Q 成立，只要x ∈P 就足够了——有它就行②q ⇒p ，相当于Q P ⊇，即Q P 或P 、Q即：为使x ∈Q 成立，必须要使x ∈P ——缺它不行q ⇒p 等价于q p ⌝⇒⌝。
人教课标版高中数学选修2-1《充分条件与必要条件(第2课时)》教学设计
1.2充分条件与必要条件（第2课时）一、教学目标（一）学习目标1．正确理解充要条件的定义，了解充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；2．能正确判断充要条件，充分不必要，必要不充分条件，既不充分也不必要条件的定义；3．能认识对条件的判定其实就是判断命题的真假．（二）学习重点1．充分性和必要性的判断；2．运用充分性和必要性解题．（三）学习难点充分性和必要性的判断．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）如果p q q p ⇒⇒且，则p 叫做q 的_________条件；（2）如果p q q p ⇒⇒/且，则p 叫做q 的_________条件；（3）如果p q q p ⇒⇒/且，则p 叫做q 的_________条件；（4）如果p q q p ⇒⇒//且，则p 叫做q 的_________条件．【答案】充要；充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要预习自测1．,A B 是ABC ∆的两个内角，:sin sin cos cos p A B A B <；:q ABC ∆是钝角三角形．则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件，三角函数．【解题过程】因为sin sin cos cos A B A B <，所以cos()0A B +>．即cos 0C <，所以角C 为钝角，充分性成立；而ABC ∆为钝角三角形，角C 不一定为钝角，必要性不成立．【思路点拨】三角形ABC ∆中，cos()cosC A B +=-．【答案】A2．命题:2p a =，命题:q 直线310ax y +-=与直线6430x y +-=垂直．则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件，直线垂直的判断．【解题过程】2a =时，直线为2310x y +-=，可以计算26+34120⨯⨯=≠,所以两直线不平行，充分性不成立；由两直线平行可得6+340a ⨯=,即2a =-，所以必要性不成立．【思路点拨】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B ⋅+⋅=．【答案】D3．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数,那么0b =“”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件，函数奇偶性．【解题过程】0b =时，()f x x =，显然为奇函数，充分性成立；当()cos f x x b x=+为奇函数时，由其定义域为R 可知(0)0f =,即0cos 00b +=解得0b =，必要性成立．【思路点拨】 奇函数中若定义域可取0，则定有(0)0f =成立．【答案】C4．“sin cos αα=”是“2,4k k Z παπ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件，三角函数．【解题过程】当sin cos αα=时，即tan =1α，所以4k k Z παπ=+∈，充分性不成立；当24k k Z παπ=+∈，时tan =1α，即sin cos αα=，必要性成立． 【思路点拨】 三角函数求值．【答案】B(二)课堂设计1.知识回顾（1）充分条件和必要条件的定义；（2）充分条件和必要条件的判定．2．问题探究探究一 结合实例理解充分必要条件●活动① 回顾旧知，引入概念已知命题p ：整数=41()a k k Z ±∈；命题q ：整数a 是奇数．请问：p 是q 的充分条件吗？p 是q 的必要条件吗？（抢答）提示：要判断p 是否是q 的充分条件，就要看p 是否能推出q ，要判断p 是否是q 的必要条件，就要看q 是否能推出p ．显然p ⇒q ，p 是q 的充分条件，q ⇒p ，p 是q 的必要条件．此时我们就说p 是q 的充分必要条件．【设计意图】通过学生熟悉的例子，自然过渡到充分必要条件的概念，容易理解和接受．●活动② 结合实例，提取概念一般地，如果p ⇒q 且q ⇒p ，就记作p q ⇔．此时，就说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然如果p 是q 的充分必要条件，则q 也是p 的充分必要条件．说明：在讨论p 是q 的什么条件时，一般指的是以下四种情况之一：（1）如果p q q p ⇒⇒且，则p 叫做q 的充要条件；（2）如果p q q p ⇒⇒/且，则p 叫做q 的充分不必要条件；（3）如果p q q p ⇒⇒/且，则p 叫做q 的必要不充分条件；（4）如果p q q p ⇒⇒//且，则p 叫做q 的既不充分也不必要条件．【设计意图】通过类比，得到其余三种形式的条件．●活动③ 运用反馈，巩固概念例 1 “m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】 (m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0. ∴m ＝－2，或m ＝12.故为充分不必要条件．【思路点拨】根据垂直计算出参数的值再判断．【答案】B ．同类训练 “a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ，但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/“a >b 且c >d ”，由不等式的性质可知，a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ， ∴ 为必要不充分条件．【思路点拨】不等式的性质．【答案】A ．【设计意图】通过训练，熟悉充分必要条件的判断．探究二 从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件●活动① 运用概念 探求新知请同学们快速判断下列各题中，p 是q 的什么条件？你能发现什么？（1）:2:1;p x q x >> （2）:2:1;p x q x <<（3）:2:2;p x q x >> （4）:2:1;p x q x ><【设计意图】促使学生学会用集合的包含观点理解充分条件和必要条件． ●活动② 知识点归纳从集合的角度理解充分条件与必要条件： 设集合{}|()|P x p x =，{}=|()Q x q x ．（1）p q ⇒，相当于P Q ⊆，即 或即：要使x Q ∈成立，只要x P ∈就足够了．（2）q p ⇒，相当于Q P ⊆，即 或即：为使x Q ∈成立，必须要使x P ∈．可以归纳为以下六点：（1） 若P Q ⊆，则p 是q 的充分条件．（2） 若Q P ⊆，则p 是q 的必要条件．（3） 若=P Q ，则p 是q 的充要条件．（4） 若P Q ⊂，则p 是q 的充分不必要条件．（5） 若Q P ⊂，则p 是q 的必要不充分条件．（6） 若P Q ⊆/且Q P ⊆/，则p 是q 的既不充分也不必要条件．●活动③ 运用反馈，巩固概念例2 若p 是r 的充分不必要条件，r 是q 的必要条件，r 是s 的充要条件，q 是s 的必要条件，则：（1）s 是p 的什么条件？ （2）r 是q 的什么条件？【知识点】充分条件、必要条件．【数学思想】【解题过程】画出集合图像分析．【思路点拨】运用集合的包含关系．【答案】（1）必要不充分条件；（2）充要条件．同类训练 已知命题p ：|x －8|≤2，q ：x －1x ＋1>0，r ：x 2－3ax ＋2a 2<0(a >0)．若命题r 是命题p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，试求a 的取值范围．【知识点】充分条件、必要条件．【数学思想】【解题过程】命题p 即：6≤x ≤10；命题q 即：x >1；命题r 即：a <x <2a .若记以上3个命题中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，所以有A C B ⊆⊆，结合数轴应有16210a a ≤<⎧⎨>⎩，即5<a <6．【思路点拨】运用集合的包含关系．【答案】a 的取值范围是5<a <6．3. 课堂总结知识梳理1.充分条件、必要条件、充要条件的定义；2.充分、必要条件判断的几种方法：定义法、等价法、集合间的包含关系． 重难点归纳1. 判断充分、必要条件时要分清楚条件和结论，然后尝试从条件推结论，若成立，则充分性具备，再从结论推条件判断必要性是否成立，一定要注意分类讨论；2. 判断充分、必要条件几种方法的灵活运用．（三）课后作业基础型 自主突破1．“x ＞0”是“0x ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定．【解题过程】x ＞0，则0x ≠；反之，0x ≠，不一定x ＞0．【思路点拨】不等式的性质．【答案】A2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定．【解题过程】显然，充分性不成立．若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”．所以选B ．【思路点拨】不等式的性质．【答案】B3．已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab > ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定．【解题过程】“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab > ”，反之也成立的，故是充分必要条件．【思路点拨】不等式的性质．【答案】C4．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定．【解题过程】α＝π6＋2k π(k ∈Z ) ⇒cos2α＝12；cos2α＝12⇒α＝2k π±π6 (k ∈Z )【思路点拨】已知角求三角函数值和已知三角函数值求角，注意周期性．【答案】A5．“x ＞0”是“0>”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件【知识点】充要条件的判定．【解题过程】x ＞0显然能推出32x >0；0>⇔0x >⇔0x ≠，不能推出x ＞0．故为充分不必要条件，故选A ．【思路点拨】本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分正反两个方向进行．【答案】A6．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则（ ）A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件，也不是“x ∈A ”的必要条件【知识点】充分条件、必要条件．【解题过程】∵非空集合A 、B 、C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集 由x ∈A ⇒x ∈A ∪B ⇒x ∈C由x ∈C ⇒x ∈A ∪B ⇒x ∈A 或x ∈BB A ⊆/ ∴不一定有x ∈A∴选B【思路点拨】运用集合的包含关系．【答案】B能力型 师生共研7．条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；条件q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判定．【解题过程】注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．【思路点拨】涉及直线在两轴上截距成倍数关系的题目，不要漏掉过原点的情形．【答案】B8．下列命题中的真命题有（ ）①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件；③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】命题真假的判定．【解题过程】①两直线平行不一定有斜率，所以①假；②由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，所以②假；③显然为真；④由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ，∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0．∴角C 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ，∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．【思路点拨】充要条件的判定．【答案】B探究型 多维突破9．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线l ，mB ．α内有三个不共线的点到β的距离相等C ．l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【知识点】平面平行的判定．【解题过程】A 中，当a m l a ////,=⋂βα时不能推出βα//；C 中，当m l //时不能推出βα//.B 中三点位于两平面交线的两侧时，如图：AB ∥l ，α∩β＝l ，A 与C 到l 的距离相等时，A 、B 、C 到β的距离相等．【思路点拨】每个选项分别判断，找出特殊情况进行排除．【答案】D10．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．【知识点】充要条件．【解题过程】①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5；③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10．【思路点拨】当有直线平行或三直线交于一点时，不能构成三角形．【答案】{}5,5,10--自助餐1．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的________条件．【知识点】充分、必要条件的判断．【解题过程】若a 与b 夹角θ为钝角，则cos 0θ<，所以a ·b =cos a b θ<0；反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．【思路点拨】a ·b =cos a b θ．【答案】必要不充分2．函数f (x )的定义域为I ，p ：“对任意x ∈I ，都有f (x )≤M ”；q ：“M 为函数f (x )的最大值”，则p 是q 的________条件．【知识点】充分、必要条件的判断．【解题过程】只有当①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ，②存在x 0∈I ，使f (x 0)＝M ，同时成立时，M 才是f (x )的最大值，故p ⇒/ q ，q ⇒p∴p 是q 的必要不充分条件．【思路点拨】函数最值．【答案】必要不充分3．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的____________条件．【知识点】充分、必要条件的判断．【解题过程】∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于)0,45(--k b ，由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎨⎧ b －5<05－b k －4>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ b <5k >4 【思路点拨】一次函数图象问题．【答案】充分必要条件 4．设x 、y 为实数，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充分且必要条件是0xy ≥．【知识点】充分、必要条件的证明．【数学思想】【解题过程】充分性：当0xy ≥时，若x ＝0或y ＝0，|x ＋y |＝|x |＋|y |显然成立．若xy >0，则x 、y 同号．当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y∴|x ＋y |＝|x |＋|y |若x <0，y <0时，|x ＋y |＝－x －y ，|x |＋|y |＝－x －y∴|x ＋y |＝|x |＋|y |∴综上所述，知xy ≥0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |必要性：∵|x ＋y |＝|x |＋|y |，两边平方得：x 2＋y 2＋2xy ＝x 2＋y 2＋2|xy |∴xy ＝|xy |，∴xy ≥0∴|x ＋y |＝|x |＋|y |⇒xy ≥0∴xy ≥0是|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．【思路点拨】证明不等式．【答案】见解题过程5．方程y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)所确定的曲线有两个交点的充要条件是什么？【知识点】充分、必要条件．【解题过程】解法一：依题意有⎩⎨⎧y ＝a |x |y ＝x ＋a，即a |x |＝x ＋a ，当x >0时，x ＝a a －1>0，解得a >1或a <0(舍)；当x <0时，x ＝－a a ＋1<0，解得a >0或a <－1(舍)． ∴两曲线y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)有两个交点的充要条件是a >1．解法二：如图所示，数形结合可知a >1成立．【思路点拨】数形结合．【答案】a>16．设α、β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？【知识点】充分、必要条件的判断．【解题过程】根据韦达定理得a ＝α＋β，b ＝αβ，判定的条件是p ：⎩⎨⎧ a >2b >1，结论是q ：⎩⎨⎧ α>1，β>1.(还要注意条件中需要满足大前提Δ＝a 2－4b ≥0) (1)由⎩⎨⎧α>1β>1，得a ＝α＋β>2，b ＝αβ>1，∴q ⇒p .(2)为了说明p ⇒/q ，可以举出反例：取α＝4，β＝12，它满足a ＝α＋β＝4＋12>2，b ＝α·β＝4×12＝2>1，且满足Δ>0，但q 不成立．由上述讨论可知：a >2且b >1是α>1，β>1的必要但不充分条件．【思路点拨】把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p 与结论q 分别指什么，然后再验证p ⇒q 还是q ⇒p ，还是p ⇔q ．【答案】必要不充分条件。
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高二数学选修2-1教案
§1．2．1充分条件与必要条件
（一）教学目标
1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归
纳的逻辑思维能力．
３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思
维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（二）教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（三）教学过程
学生探究过程：
1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
２．给出定义
命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p 是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p⇒q．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ⇒ q,那么我们就说p是q的充分条件；q
是p必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
x ＞ a2 + b2 ⇒x ＞ 2ab，
所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．
3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．
例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．
４、巩固巩固：P12 练习第1、2、3、4题
５．教学反思：
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若p⇒q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．
６．作业 P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；
② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；
④ p是q的既不充分也不必要条件．。