云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学上册《4.6 多边形的内角和》教学设计 北师大版

多边形的内角和
一、内容及其分析
1、主要内容：多边形内角和定理。

2、内容分析：
本节课要学的内容是多边形内角和定理，指的是经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，其核心是多边形内角和定理的探究，理解它关键就是要经历质疑、猜想、归纳等活动了解内角和的形成。

学生已经学过三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，本节课的内容多边形内角和定理就是在此基础上的发展。

由于它还与四边形有必然的联系，所以在本学科有重要的地位，并有辅助掌握四边形性质的作用，是本学科的一般内容。

教学的重点是多边形内角和定理的探索和应用，解决重点的关键是通过练习将定理融入其中。

二、目标及其解析
1、目标定位：（1）了解掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想；
（2）能够应用公式解决问题；
2、目标解析：
本节课是《义务教育课程标准实验教科书》北师大版八年级上册第四章第六节《探索多边形内角和与外角和》的第一课时．本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教材中设计了现实情境，“想一想”，“议一议”等内容，体现了课改的精神．在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．
三、问题诊断与分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是多边形的内角和的证明，产生这一问题的原因是理解不了多边形的内角的和的问题。

要解决这一问题，就要从四边形的内角和推导，其中关键是多边形内角和公式的推导过程。

四、教学支持条件分析
五、教学过程设计：
问题1创设现实情境，提出问题，引入新课
1．多媒体展示蜂窝，教师结合图片让学生发现生活中无处不在的多边形．
2．工人师傅锯桌面：一个四边形的桌面，用锯子锯掉一个角，还剩几个角？
设计意图：
1．通过现实情境的展示，调动学生的情绪，激发起进一步学习的兴趣
2．把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫
问题2
1．借助多媒体显示一多边形，学生类比三角形的有关知识对多边形定义、并表示出相应的元素．2．教师再给出严格规范的定义，特别借助学具说明“在平面内”的必要性．此外，说明正多边形的定义以及多边形可分为凸多边形和凹多边形．
设计意图：
1．对于边角这些能在图形中识别而又不要求学生掌握的描述性定义，采取学生类比三角形的表示方法来归纳，渗透类比的数学思想．
2．借助于自制的直观教具，说明多边形定义中“在平面内”这一条件，易于学生理解，化解了难点．问题3
三角形的内角和为180°，那么多边形的内角和是多少度呢？从四边形开始研究．
设计意图：
在探究过程中，有学生是把五边形分割成四边形和一个三角形来解决问题的．四边形内角和为
360°加上三角形内角和180°，就求出五边形内角和为540°，教师在肯定其做法的同时，要指出这种方法的局限性，即“必须在知道比其少一条边的多边形内角和的基础上才能求出该多边形的内角和”．
师生活动：
1、利用四边形探索四边形内角和要求：先独立思考再小组合作交流完成．）
（师巡视，了解学生探索进程并适当点拨．）（生思考后交流，把不同的方案在纸上完成．） ……（组间交流，教师课件展示几种方法）
2、在刚才的探索活动中，大家有不同的方法求四边形的内角和，这些看似不同的方法有没有相似之处？
3、我们是把四边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180°，求出四边形内角和为360°，从而使问题得到解决！进一步提出新的探索活动。

4、活动二：探索五边形内角和（要求：独立思考，自主完成．）
5、 探索n 边形内角和，并试着说明理由
（结合课件出示的图表从代数角度猜测公式，并从几何意义加以解读）
n 边形的内角和=（n —2）•180°
正n 边形的一个内角=()n n ︒⋅-1802 =n
︒-︒360180 变式练习
1．正八边形的内角和为_______.
2．已知多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数
为_______.
3．一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是_______.
4．如图所示的模板,按规定,AB ,CD 的延长线相交成80°的角,因交点不在板上,不便测量，质检员测得∠BAE =122°，∠DCF =155°.如果你是质检员,如何知道模板是否合格?为什么?
5．小明有一个设想：2008年奥运会在北京召开，要是能设计一个内角和是2008°的多边形花坛该多有意义啊！小明的这个想法能实现吗？
问题4：清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。

（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，
身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5
的结果吗？你是怎样得到的？
设计意图：利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极
性，同时给学生一定的思考空间。

师生活动：
对于上述的问题，如果学生能给出一些合理的解释和解答
（例如利用内角和），可以按照学生的思路走下去。

然后再给出“小亮的做法”或以“小亮做法”为提示，鼓励学生思考。

如果学生对于这个问题无法突破，教师可以给出“小亮的做法”，或引导学生按“小亮的做法”这样的思路去思考，以便解决这个问题。

小亮是这样思考的：如图所示，过平
面内一点O 分别作与五边形ABCDE 各
边平行的射线OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，
OE ′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，
∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，
∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．
样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°
变式练习
1．如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？
2．如果广场的形状是八边形呢？
多边形的外角与外角和
1．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

2．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

探究多边形的外角和，提出一般性的问题：一个任意的凸n边形，它的外角和是多少？
鼓励学生用多种方法解决这个问题，可以参考第二环节解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题。

方法Ⅰ：类似探究多边形的内角和的方法，由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究；
方法Ⅱ：由n边形的内角和等于（n-2）·180°出发，探究问题。

结论：多边形的外角和等于360°
（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
随堂练习
1．一个多边形的外角都等于60°，这个多边形
是几边形?
2．右图是三个不完全相同的正多边形拼成的无
缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几
边形？为什么？
变式练习：
1．在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
2．在n边形的n个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？
挑战自我的2个问题，对于新授课上的学生而言，难度是比较大的。

因为之前不管是多边形的内角和还是外角和，基本上都是利用等式，从“正向”解决的。

而这里要解决的问题，在解决的过程中，需要用到简单的不等式知识和“反证”的思想，对于初次接触这些的学生而言，难度是比较大的。

教师要注意讲解的方式方法。

多边形的外角及外角和的定义；
多边形的外角和等于360°；
在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法，并且运用了类比、转化等数学思想.
第六环节课时小结：
教师和学生一起对本节课内容和同学们的表现做一小结，然后每位学生利用活动评价表进行自我量化考核，并于课下反馈给老师本节课的设计突出对多边形的外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比前一节课的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程。

相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求。

另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识。

优美清晰、图象规范、色彩艳丽的幻灯片，不能代替规范的板书，它从静态体现知识之间的联系，有利于知识的系统化．故而设计板书如下重点突出对自主探索与合作交流的过程及效果的评价，如：关注学生能否尝试从不同角度分析和解决问题，能否体会与他人合作解决问题的重要性，能否尝试用不同方式清楚表达解决问题的过程，能否对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的经验．。