2017-2018学年高一数学高分特训专题必修2人教A版 第2章直线、平面垂直的判定及其性质(一) Word版含答案
高一数学人教A版必修2课后训练：233直线与平面垂直的性质含答案.doc
2. 3.3直线与平面垂直的性质练习1./\ABC所在的平面为a,直线!L4B, /丄AC,直线加丄BC,加丄AC,则直线/,加的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.不确定2.在正方体/BCDY/iCiD屮，直线/丄平面A t C lt则有（）A. B、B丄IB. B\B//l C・与/异面D. 3/与/相交3.直线/垂直于梯形ABCD的两腰MB和CD,直线加垂直于AD和PC,贝打与加的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.不确定4.下面给出三个命题：①直线/与平面G内两条直线都垂直，贝畀丄处②经过直线a有且仅有一个平血垂直于直线b；③直线/同时垂直于平面a, B，则幺〃几其中正确的命题个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 05・在长方体4BCD・A、B\C\D\中，£丘平面/C, FW平面A}C]f且EF丄平面/C,则力川与EF的位置关系是___________________ .6.________________________________________________________ 如图所示，在三棱锥P-ABC中，丹丄平面加C, Q是侧面PBC上的一点，过D作平面的垂线DE,其中D^PC,则DE与平面丹C的位置关系是____________________________________________ .7._________________________ 如图所示，已知丄a于3, CQ丄a于D,且C位于平面a 的同侧，AB = CD, 若AB = 3, BD=4,则AD= .8.在四棱锥PMBCD中,丹丄平面ABCD,且四边形ABCD是矩形，丄PD于E, I 丄平面PCD.求证：/〃/£*.9.如图所示，直升机上一点P在地面a上的正射影是力（即刊丄a）,从P看地平面上-物体〃（不同于力），直线垂直于飞机玻璃窗所在的平面“，求证：平面”必与平面a相P参考答案1.答案：C2.答案：B3.答案：D4.答案:C5.答案：平行6.答案：平行7.答案:58.答案：证明:\PA丄平面4BCD, CDU平面4BCD,・・・刊丄CD.又四边形ABCD是矩形，:.CD丄MD.又9：PAr\AD=A f E4U平面E4D, ADU平面丹D, :.CD丄平面E4D. 又AEU平面PAD, :.AE丄DC.9：AE丄PD, PDCCD=D, PDU平面PCD, CDU平面PCD,:.AE丄平面PCD.又・.・/丄平面PCD, ：.l//AE.9.答案：证明：假设平面a与平面0平行.•••丹丄平面a,・・・丹丄平面0.又・.・"丄平面0,由线面垂直的性质定理，可得PA//PB,与已知R40PB=P矛盾，・・.平面0必与平面a相交.。
2018学年高一数学人教A版必修2课时 2.3.3 直线与平面
绝密★启用前2.3.3直线与平面垂直的性质 一、选择题1.【题文】已知长方体1111ABCD A BC D -中，在平面AB 1上任取一点M ，作ME ⊥AB 于E ，则( ) A.ME ⊥平面AC B.ME ⊂平面AC C.ME ∥平面AC D.以上都有可能2.【题文】如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面P AC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉两个点3.【题文】设有直线m ，n 和平面α，β.下列四个命题中，正确的是( ) A .若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B .若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C .若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β D .若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4.【题文】在三棱锥P ABC -中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠PCA=90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC=4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为()A.B.C.D.5．【题文】已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( ) A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，必存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直6．【题文】如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在平面，那么()A ．PA ＝PB ＞PC B ．PA ＝PB ＜PC C ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PA ≠PC7．【题文】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是()A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段8.【题文】已知在矩形ABCD中，AB =BC=a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上存在点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的最小值是( )A.1B.C.D.二、填空题9.【题文】如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB =2，AC =BC=边三角形ADB 以AB 为轴运动，当平面ADB ⊥平面ABC 时，CD =.10.【题文】如图，在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，∠BAD=90°，且AB=AD ，则AD 与平面BCD 所成的角是.11.【题文】如图所示，在三棱锥P ABC -中，P A ⊥平面ABC ，D 是侧面PBC 上的一点，过D 作平面ABC 的垂线DE ，其中D ∉PC ，则DE 与平面P AC 的位置关系是.三、解答题12．【题文】如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.13．【题文】如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ；(2)若PA ＝AD ，求证：MN ⊥平面PCD.14.【题文】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠DAB=60°，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ?证明你的结论.2.3.3直线与平面垂直的性质参考答案及解析1.【答案】A【解析】由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC=AB，ME⊥AB，ME⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.故选A.考点：线面垂直.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】D【解析】∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.考点：空间动点轨迹.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】D【解析】选项A中，m∥α，n∥α，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；选项B中，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，α与β可能平行，可能相交；选项C中，α⊥β，m⊂α，m与β可能垂直，可能斜交，也可能平行.故选D.考点：空间线面位置关系.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】B【解析】连接CM，由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有4CM==PM的最小值为考点：线面垂直关系. 【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】C【解析】因为平面α与平面β相交，所以平面α与平面β必有一条交线，因为直线m⊥α，所以m l⊥，平面α与平面β如果垂直，β内必存在直线与m平行，否则不成立.考点：空间线面位置关系.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】C【解析】因为M为AB的中点，PM垂直于平面ABC，所以PM AB⊥，则PA PB=.取BC 中点N，连接PN，MN，易知MB MC=，则MN BC⊥，可以证明BC⊥平面PMN，所以PN BC⊥，所以PB PC=，所以PA＝PB＝PC.考点：空间线面关系.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】A【解析】∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C.又∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.又AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB1C.又P∈平面BB1C1C，∴P点轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.考点：线面垂直关系.【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】D【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD .又PQ ⊥QD ，所以QD ⊥平面APQ ，则QD ⊥AQ ，即∠AQD=90°，易得△ABQ ∽△QCD .如图，连接AQ ，设BQ=x ，所以有()8x a x -=，即280x ax -+=，当2320a ∆=-≥时，方程有解.因此，当a ≥存在符合条件的点Q ，所以a的最小值是故选D.考点：线面垂直. 【题型】选择题 【难度】一般 9. 【答案】2【解析】取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB .当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB ， 所以DE ⊥平面ABC .可知DE ⊥CE.由已知可得DEEC =1， 在Rt△DEC 中，CD2=.考点：线面垂直. 【题型】填空题 【难度】一般 10. 【答案】45°【解析】过A 作AO ⊥BD 于点O ，∵平面ABD ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥平面BCD ，则∠ADO 即为AD 与平面BCD 所成的角.∵∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ADO=45°.考点：线面垂直. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】平行【解析】∵DE ⊥平面ABC ，PA ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA . 又DE ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴DE ∥平面PAC . 考点：线面垂直. 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】见解析【解析】证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，所以GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB . 则四边形GFAB 为平行四边形，于是AF ∥BG .∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD . ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .考点：线面垂直的性质与判定. 【题型】解答题 【难度】一般 13. 【答案】见解析【解析】证明：(1)取CD 的中点E ，连接EM 、EN ， 则CD ⊥EM ，且EN ∥PD .∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又AD ⊥DC ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，从而CD ⊥EN . 又EM ∩EN ＝E ，∴CD ⊥平面MNE .因此，MN ⊥CD ，又CD ∥AB ，所以MN ⊥AB.(2)在Rt△PAD 中有PA ＝AD ，取PD 的中点K ，连接AK ，KN ， 则KN =12DC =AM ，且KN ∥DC ∥AM ，AK ⊥PD . ∴四边形AMNK 为平行四边形，从而MN ∥AK .因此MN ⊥PD .由(1)知MN ⊥DC ，又PD ∩DC ＝D ，∴MN ⊥平面PCD . 考点：线面垂直的性质与判定. 【题型】解答题 【难度】一般 14. 【答案】见解析【解析】(1)证明：设G 为AD 的中点，连接PG ，BG ，如图.∵△PAD 为正三角 形，∴PG ⊥AD.在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD .又BG ∩PG=G ，∴AD ⊥平面PGB .∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB.(2)当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD . 设F 为PC 的中点，连接GC 交DE 于H ，连接FH . 易证H 为GC 中点，又E 为BC 中点，∴FH ∥PG .由(1)知PG ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∵FH ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ⊥平面ABCD . 考点：线面垂直的性质与判定. 【题型】解答题 【难度】较难。
高一数学人教版A版必修二：2.3.3~2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； 2.能运用性质定理解决一些简单问题； 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相 互联系.
问题导学
题型探究
解析答案
1.垂直关系之间的相互转化
规律与方法
2.平行关系与垂直关系之间的相互转化
3.判定线面垂直的方法主要有以下五种 ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理； ④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同 一平面， aa∥ ⊥bα⇒b⊥α； ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一 个平面，那么它也垂直于另一个平面， αa⊥∥αβ⇒a⊥β.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平 面PBC.求证：BC⊥AB. 证明 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
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人教A版高一数学热点专题高分特训必修2：第2章直线、平面垂直的判定及其性质(一)_Word版有答案
人教A版高一数学热点专题高分特训必修2第2章直线、平面垂直的判定及其性质(一)一、单选题(共10道，每道10分)1.若直线a与b垂直，b⊥α，则a与α的位置关系是( )A. B.∥C. D.或∥答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系2.在空间中，下列命题：①如果直线a，b都与直线平行，那么a∥b；②如果直线a与平面β内的直线b平行，那么a∥β；③如果直线a与平面β内的直线b，c都垂直，那么a⊥β；④如果平面β内的直线a垂直于平面α，那么α⊥β．其中正确的是( )A.①③B.①④C.②④D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系3.给出下列关于互不相同的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：①若，，点，则与m不共面；②若m，是异面直线，∥α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥α；③若∥α，m∥β，α∥β，则∥m；④若，，，∥β，m∥β，则α∥β．其中假命题是( )A.①B.②C.③D.④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系4.如图，在正方体中，P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角6.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角7.如图，在三棱锥中，已知平面，，，则二面角的正切值是( )A. B.C. D.答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法8.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积9.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，则直线PC与平面ABCD 所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角10.（上接试题9）异面直线PB与CD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角。
2018学年高一人教A版数学必修二：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 复习 练习 含答案
第2章 点、直线、平面之间的位置关系一、平面 知识要点： 1．点A 在直线上，记作A a ∈；点A 在平面α内，记作A α∈；直线a 在平面α内，记作a α⊂．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．例1空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点．证明：∵P ∈EF ，EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC ．同理P ∈面ADC ．∵P 在面ABC 与面ADC 的交线上，又∵面ABC ∩面ADC =AC ，∴P ∈AC ，即EF 、HG 、AC 三线共点．例2求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内． 已知：直线AB ，BC ，CA 两两相交，交点分别为A ，B ，C ，求证：直线AB ，BC ，CA 共面． 证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α．因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α．所以AB ，BC ，CA 三直线共面． 例3在正方体1111ABCD A B C D -中，（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点1B C D ，，是否在同一平面内？ （3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线．解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ，∴由公理2的推论可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ，∴1AA 与1CC 在同一平面内．（2）∵点1B C D ，，不共线，由公理3可知，点1B C D ，，可确定平面1BC D ，∴ 点1BC D ，，在同一平面内．（3）∵AC BD O =，∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ，又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ，∴平面1AC 平面1BC D 1OC =．二、 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点：1．空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．已知两条异面直线a b ，，经过空间任一点O 作直线////a a b b ''，，把a b ''，所成的锐角（或直角）叫异面直线a b ，所成的角（或夹角）．a b ''，所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(090]︒，，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥．求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算．例1已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（ ）． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案：B解析：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°．记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成30°的直线．过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B ．例2如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点．（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线． 证明：（1）∵正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D ．又∵111B D C 中，E 、F 为中点，∴EF //1112B D ，∴ //EF BD ，即D 、B 、F 、E 四点共面．（2）∵1Q AC ∈平面，Q BE ∈平面，1P AC ∈平面，P BE ∈平面， ∴1AC BE PQ =平面平面．又1AC BE R =平面，∴1R AC ∈平面，R BE ∈平面， ∴R PQ ∈．即P 、Q 、R 三点共线．例3已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面．证明：因为a //b ，由公理2的推论，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂． 又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂． 假设c α⊄，则c C α=，在平面α内过点C 作//c b '，因为b //c ，则//c c '，此与c c C '=矛盾．故直线c α⊂． 综上所述，a 、b 、c 、d 四线共面．例4如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点．（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小． 解：（1）如图，连结DC 1，∵DC 1∥AB 1，∴DC 1和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角． ∵∠CC 1D =45°，∴AB 1和CC 1所成的角是45°．（2）如图，连结DA 1、A 1C 1， ∵EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角．∵△A 1DC 1是等边三角形， ∴∠A 1DC 1=60º，即直线AB 1和EF 所成的角是60º．三、直线与平面、平面与平面位置关系 知识要点：1．直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）； （2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线与平面平行（没有公共点）． 分别记作：l α⊂；l P α=；//l α． 2．两平面的位置关系：平行（没有公共点），相交（有一条公共直线）．分别记作//αβ；l αβ=．例1已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和CD 所成的角的大小．解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N 连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角（如图所示），连结MN 、DN ，设AB =2，∴PM =PN =1，而AN =DN MN⊥AD ，AM=1，得MNE 1A 1C A A BCDE FG H∴MN 2=MP 2+NP 2，∴∠MPN =90°．∴异面直线AB 、CD 成90°角．例2已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==．求证：E 、F 、G 、H 四点共面． 证明：在△ABD 和△CBD 中，∵E 、H 分别是AB 和AD 的中点，∴EH 12BD ．又∵23CF CG CB CD ==，∴FG //23BD ．∴EH ∥FG ．所以，E 、F 、G 、H 四点共面．四、直线与平面平行的判定 知识要点：1．直线与平面平行的定义：直线与平面无任何公共点．2．判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． （只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；a a ab b αβαβ⊂⇒=⎫⎪⎬⎪⎭④平行线的传递性：,a b c b a c ⇒⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭⑥垂直于同一平面的两直线平行 a a b b αα⊥⇒⊥⎫⎬⎭例1已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC ．证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ，∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF =12CD ．∵AB ∥CD ，AB =CD ，E 为AB 中点，∴AE ∥CD 且AE =12CD ．∴GF ∥AE ，GF =AE ，四边形AEGF 为平行四边形．ABC DE FGM O∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． 例2在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点， 求证：EF ∥平面BB 1D 1D ．证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ，OE =12DC ．∵DC ∥D 1C 1，DC =D 1C 1，F 为D 1C 1的中点，∴OE ∥D 1F ，OE =D 1F ，∴四边形D 1FEO 为平行四边形，∴EF ∥D 1O ． 又∵EF ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D ．例3如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG ． 证明：如右图，连结DM ，交GF 于O 点，连结OE ，在BCD ∆中，G 、F 分别是BD 、CD 中点，∴GF ∥BC ，∵G 为BD 中点，∴O 为MD 中点，在AM D ∆中，∵E 、O 为AD 、MD 中点，∴EO ∥AM ， 又∵AM ⊄平面EFG ，EO ⊂平面EFG ，∴AM ∥平面EFG ．点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了， 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．例4如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：MN //平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA =PA 与MN 所成的角的大小．解：（1）取PD 的中点H ，连接AH ，由N 是PC 的中点，∴NH //=12DC ．由M 是AB 的中点，∴ NH //=AM ，即AMNH 为平行四边形．∴//MN AH ． 由MN PAD AH PAD ⊄⊂平面，平面，∴//MN PAD 平面．（2）连接A C 并取其中点为O ，连接OM 、ON ，∴OM //=12BC ，ON //=12PA ，所以ONM ∠就是异面直线PA 与MN 所成的角．由4MN BC ==，PA =OM =2，ON =．∵222MN MO NO =+，∴MO ⊥NO ，o 30ONM ∠=，即异面直线PA 与MN 成30°的角．点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行， 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得．五、平面与平面平行的判定 知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：//////a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭，，，例1正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：（1）由B 1B //=DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．（2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE //=B 1G ． 从而得B 1E ∥AG ，同理GF //=AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ． A1∴DF ∥平面EB 1D 1．又∵BD DF =D ，∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．例2已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上， 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD ． 求证：平面MNQ ∥平面PBC ． 证明：∵PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD ，∴MQ //AD ，NQ //BP ， 而BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，∴NQ //平面PBC ， 又∵ABCD 为平行四边形，BC //AD ，∴MQ //BC ，而BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，∴ MQ //平面PBC ． 由MQ NQ =Q ，根据平面与平面平行的判定定理， ∴平面MNQ ∥平面PBC ． 点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平行”问题最终转化为证线与线的平行．六、直线与平面平行的性质 知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭． 例1经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B ． 证明：∵11111111//AA BB AA BEE B BB BEE B ⊄⊂，平面，平面， ∴111//AA BEE B 平面．又11111111AA ADD A ADD A BEE B EE ⊂=平面，平面平面，∴11//AA EE ． 则111111//////AA BB BB EE AA EE ⎫⇒⎬⎭．例2如图，//AB α，//AC BD ，C α∈，D α∈，求证：AC BD =． 证明：连结CD ， ∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面，记为β， ∵C D α∈，，C D β∈，，∴CD αβ=，∵//AB α，AB β⊂，CD αβ=，∴//AB CD ， 又∵//AC BD ，∴四边形ACDB 为平行四边形，∴AC BD =．七、平面与平面平行的性质 知识要点： 1．面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．2．其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等．例1如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β．求证：MN ∥α．证明：连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ，则ME ∥AC ，∴ME ∥α，又NE ∥BD ，∴NE ∥β，∵α∥β，∴NE ∥α， 又ME ∩NE =E ，∴平面MEN ∥α，∵MN ⊂平面MEN ，∴MN ∥α．八、直线与平面垂直的判定 知识要点：1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥， l 即平面α的垂线，α即直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足．（线线垂直→线面垂直） 2．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直．符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α． 3．斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和斜线在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”．通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键． 4．证明两直线垂直和主要方法：①利用勾股定理证明两相交直线垂直；②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）； ④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）；⑤利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论． 例1四面体A B C D 中，A C B D E F =，，分别为A DB C ，的中点，且EF =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD ．证明：取CD 的中点G ，连结EG FG ，，∵E F ，分别为AD BC ，的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =． 又AC BD =，∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==，∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =，∴BD ⊥平面ACD ． 例2已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D于O ，连AO ．由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求，在Rt EOA △中，11122EO EF A D ===AE =，sin EO EAO AE ∠== 所以直线AE 与平面11ABC D ． 例3三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ， 求证：O 为底面△ABC 的垂心，,PO OA PA a PA a a OAααα⊥⇒⇒⊥⊂⊥⇒⎫⎬⎭如图：是在平面上的射影又直线且即：线影垂直线斜垂直，反之也成立证明：连接OA 、OB 、OC ，∵PO ⊥平面ABC ，∴,PO BC PO AC ⊥⊥． 又∵PA BC PB AC ⊥⊥，， ∴BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，， ∴O 为底面△ABC 的垂心．点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ⊥⊥，，求证PC AB ⊥”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ⊥后进行证明．三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出．九、平面与平面垂直的判定 知识要点：1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．记作二面角AB αβ－－（简记P AB Q －－）．2．二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角．范围：0180θ︒<<︒． 3．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．记作αβ⊥．4．判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．（线面垂直→面面垂直） 例1已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、FA 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P ． （1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF ． 证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ， ∴P A ⊥平面PEF ．∵EF ⊂平面PEF ，∴P A ⊥EF ． （2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF ． 又PE ⊂平面APE ，∴平面APE ⊥平面APF ．例2如图，在空间四边形ABCD 中，，，AB BC CD DA ==，，E F G 分别是CD DA AC ，，的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD ． 证明：，AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ⊥．同理可证AC DG ⊥，∴ AC ⊥面BGD ． 又易知EF //AC ，则EF ⊥面BGD ．又因为EF ⊂面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BGD ．十、线面、面面垂直的性质 知识要点：1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．（线面垂直→线线平行） 2．面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α⊂，a l ⊥，则a β⊥．（面面垂直→线面垂直） 例1把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？解：注：若BC 与a 垂直，同理可得AB 与a 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直→线面垂直→线线垂直”． 例2如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；⇒⎭⎬⎫⊂⊥ααa AC ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥A AB AC AB a ACa BC a ABC BC ABC a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）平面P AC⊥平面ABCD；平面P AC⊥平面PBC；平面P AD⊥平面PBD；平面P AB⊥平面ABCD；平面P AD⊥平面ABCD．本章总结。
【同步课件】2017-2018学年高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定
(2)AE⊥平面 PBC； (3)PC⊥平面 AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 思路分析 ]
本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关
系 ， 看 是 否 可 利 用 ． 如 看 到 PA⊥ 平 面 ABC ， 可 想 到 PA⊥AB 、 PA⊥BC 、 PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知， 问题得证． [解析] (1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
与此平面垂直
图形语言
数 学 必 修 ② · 人 教 A 版
符号语言 作用
a∩b＝P ⇒l⊥α l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，__________
判断直线与平面垂直
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[归纳总结]
直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直
来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为 “ 线线垂直，则线面垂直 ”． 因 此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线 和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
新课标导学
数 学
必修② ·人教A版
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1 2 3
自主预习学案
互动探究学案
课时作业学案
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
自主预习学案
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
直或直线 l 在平面 α 内都有可能．故选 D．
人教A版数学必修二第二章专题教案之直线与平面垂直的性质Word版含答案
课题：§2.3.3直线与平面垂直的性质 总第 个教案 课型： 新授课 执行时间： 年 月 日 教 学 目 标1.学问与技能（1）使同学把握直线与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简洁问题；（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互联系。
2.过程与方法让同学在观看物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的生疏3.情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培育同学空间概念、空间想象力量以及规律推理力量.教学重点 直线与平面垂直的性质定理及应用。
教学难点 直线与平面垂直的性质定理及应用。
教学方法 借助实例，通过观看、思考、沟通、争辩等 教学过程：批注活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：大家回忆一下，前一节课学习过的直线与平面垂直判定定理？平面与平面垂直的判定定理？问题2：说说直线与平面所成的角的定义、表示、范围？二面角的定义、表示、范围？问题3：（1）：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？ （2）：若两条直线与同一个平面垂直呢？让同学自由发言，老师不急于下结论，而是连续引导同学：欲知结论怎样，让我们一起来观看、研探。
（自然进入课题内容）点题：今日学习空间中直线与平面的垂直的性质（板书课题） 活动二：师生沟通、进入新知，（20分钟） 问题4：思考题：教材第70页，1、操作确认观看长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图 2.3—4，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间是有什么位置关系？（明显相互平行）然后进一步迁移活动：已知直线a ⊥α 、b ⊥α、那么直线a 、b 肯定平行吗？（肯定）我们能否证明这一事实的正确性呢？图2.3-4 图2.3-52、推理证明：引导同学分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程 ，最终归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。
高一数学 人教版A版必修二课件：2.3.1 直线与平面垂直的判定
2.3.1 直线与平面垂直的判定
学习目标
1.理解直线与平面垂直的定义； 2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用； 3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线与平面垂直的定义
思考1 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着 时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影 子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？ 答案 不变，90°.
A.SG⊥平面EFG
B.SD⊥平面EFG
C.GF⊥平面SEF
D.GD⊥平面SEF
解析 在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F， 因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF， 又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.
解析答案
1 23 45
4.如图，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4， ∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析答案
类型二 线面垂直的判定 例2 在平面α内有直角∠BCD，AB⊥平面α，求证CD⊥平面ABC. 解 如图所示.
ACBD⊥⊂αα⇒AB⊥CD
∠BCD＝90°⇒BC⊥CD
⇒CD⊥平面ABC.
AB∩BC＝B
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点， 且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； 证明 因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
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直线、平面垂直的判定及其性质（一）（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若直线a与b垂直，b⊥α，则a与α的位置关系是( )
A. B.∥
C. D.或∥
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系
2.在空间中，下列命题：
①如果直线a，b都与直线平行，那么a∥b；
②如果直线a与平面β内的直线b平行，那么a∥β；
③如果直线a与平面β内的直线b，c都垂直，那么a⊥β；
④如果平面β内的直线a垂直于平面α，那么α⊥β．
其中正确的是( )
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系
3.给出下列关于互不相同的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：
①若，，点，则与m不共面；
②若m，是异面直线，∥α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥α；
③若∥α，m∥β，α∥β，则∥m；
④若，，，∥β，m∥β，则α∥β．
其中假命题是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系
4.如图，在正方体中，P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角
6.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案：D 解题思路：。