信息论与编码第2章习题

9. 设有一个二进制一阶马尔可夫信源，其信源符号为 X∈(0,1)，条件概率为
p(0/0)=0.25 p(0/1)= p(1/1)=0.5 p(1/0)=0.75 画出状态图并求出各符号稳态概率。
2019/5/15
10
习题10
10. 设有一信源，它在开始时以p(a)=0.6，
p(b)=0.3， p(c)=0.1的概率发出X1。如果X1 为a时则X2为a、b、c的概率为1/3；如果X1 为b时则X2为a、b、c的概率为1/3；如果X1 为c时则X2为a、b的概率为1/2，而为c的概 率是0。而且后面发出Xi的概率只与Xi－1有 关。又p(Xi/ Xi-1)= p(X2/ X1),i≥3。试利用马尔 可夫信源的图示法画出状态转移图，并求出
③ H0,H1,H2和它们所 对应的冗余度。
j 123
i 1 1/2 1/4 1/4 2 2/3 0 1/3 3 2/3 1/3 0
2019/5/15
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12题的答案
1.H(X1X2X3)=H(x1)+H(x2/x1)+H(x3/x2) H(x1)=-0.5log0.5-2*0.25log0.25=1.5bit/符号 P(aiaj)=P(ai)*p(aj/ai)得到图二，同理得图三； H(X2/X1)= P(aiaj)*log(paj/ai)相加；同理，得H(X3/X2); 2.根据图一画香农线图，的平稳概率，求极限熵； 3.H0=1-H
习题1
1. 同时掷两个正常的骰子，即各面呈现的概率都是 1/6。求：
① “3和5同时出现”这一事件的自信息量。 ② “两个1同时出现”这一事件的自信息量。 ③ 两个点数的各种组合（无序对）的熵。 ④ 两个点数之和（即2,3，…，12构成的子集）的熵。 ⑤ 两个点数中至少有一个是1的自信息。 ⑥ 两个点数是3的信息量。 ⑦ 两个点数是7的信息量。
X2X3
1 2 3
1
2
3
7/24 7/48 7/48 5/36 0 5/72 5/36 5/72 0
15
习题13
13. 一阶马尔可夫信源的状态图如图所示，信源 X的符号集为{0,1,2}。
① 求信源平稳后的概率分布p(0)， p(1)和p(2)。 ② 求此信源的熵。
③ 近似认为此信源为无记忆时，符号的概率分布
转移概率矩阵和信源熵H∞。
2019/5/15
11
习题11
11. 一个马尔可夫过程的基本符号0,1,2，这三 个符号以等概率出现，具有相同的转移概 率，并且没有固定约束。
① 画出一阶马尔可夫过程的状态图，并求稳定状 态下的马尔可夫信源熵H1。
② 画出二阶马尔可夫过程的状态图，并求稳定状 态下二阶马尔可夫信源熵H2。
求：这个一阶马尔可夫信源的信源熵，并画出该信 源的香农线图。
2019/5/15
3
习题3
3. 有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A和 B分别以等概率落入任一方格内，但A、B 不能落入同一方格内。求：
① 若仅有质点A，求A落入任一个格的平均信息量 ② 若已知A已落入，求B落入的平均信息量 ③ 若A、B是可分辨的，求A、B都落入的平均信
息量
2019/5/15
4
习题4
4. 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的 发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你 问一位男士：“你是否色盲？”他的回答 可能是“是”，可能是“否”，问这两个 回答中各含有多少信息量，平均每个回答 中含有多少信息量？如果问一位女士，则 答案中含有的平均自信息量是多少？
2019/5/15
2
习题2
2. 黑白传真机的消息元只有黑色和白色两种， 即X＝{黑，白}。一般气象图上，黑色出现 的概率为p(黑)＝0.3，白色出现的概率为 p(白)＝0.7。求：
① 假设黑白消息视为前后无关，求信源熵H(X)， 并画出该信源的香农线图。
② 实际上各元素之间有关联，其转移概率为：
p(白/白)＝0.9143 p(黑/黑)＝0.8
2019/5/15
1
习题1
123456 1 12,1 13,2 14,3 15,4 16,5 17,6 2 23,1 24,2 25,3 26,4 27,5 28,6 3 34,1 35,2 36,3 37,4 38,5 39,6 4 45,1 46,2 47,3 48,4 49,5 41,06 5 56,1 57,2 58,3 59,4 51,05 51,16 6 67,1 68,2 69,3 61,04 61,15 61,26
① 平稳后的信源的概 率分布。
② 信源熵H∞ ③ 当p=0或p=1时信源
的熵，并说明其理 由。
2019/5/15
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2019/5/15
5
习题5
5. 在一个袋中放有5个黑球，10个白球，以摸 一个球为一个实验，摸出的球不再放进去。 求：
① 一次实验包含的不确定度。
② 第一次实验X摸出的是黑球，第二次实验Y给出 的不确定度。
③ 第一次实验X找出的是白球，第二次实验Y给出 的不确定度。
④ 第二次实验Y包含的不确定度。
2019/5/15
7
习题7
7. 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概 率如右表所示，并定义另一随机变量Z＝XY （一般乘积）。试计算：
① H(X)，H(Y)，H(Z)，H(XZ)，H(YZ)和H(XYZ) ② H(X/Y)， H(Y/X)， H(X/Z)， H(Z/X)， H(Y/Z)，
H(Z/Y)， H(X/YZ)， H(Y/XZ)和H(Z/XY) ③ I(X;Y)， I(X;Z)， I(Y;Z)， I(X;Y/Z)， I(Y;Z/X)
2019/5/15
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习题12
j 123
i 1 1/2 1/4 1/4 2 2/3 0 1/3 3 2/3 1/3 0
p1=1/2, p2=p3=1/4
p(X21)=7/12
p(X22)=5/24 p(X23)= 5/24
X1X2
1
1 1/4 2 1/6 3 1/6
2019/5/15
2
3
1/8 1/8 0 1/12 1/12 0
和I(X;Z/Y)
2019/5/15
8
习题7
YX 0
1
0
1/8
3/8
1
3/8
1/8
Z
0
1
p
7/8
1/8
ZX 0
1
ZY 0
1
0
1/2
3/8
0
1/2
3/8
1
0
1/8
1
0
1/8
2019/5/15
9
习题8、9
8. 某无记忆信源的符号集为{0,1}，已知p0=1/4， p1=3/4。 求： ① 求符号的平均熵。 ② 由100个符号构成的序列，求某特定序列（m个“0” 和100-m个“1”）的自信息量的表达式。 ③ 计算②中序列的熵。
等于平稳分布。求近似信源的熵H(X)并与H∞进 行比较。
④ 对一阶马尔可夫信源，p取何值时H∞取最大值， 又当p=0或p=1时结果如何？
2019/5/15
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13题的答案
2019/5/15
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习题13
2019/5/15
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习题14
14. 一阶马尔可夫信源 的状态图如图所示。 信源X的符号集为 {0,1,2}。
2019/5/15
6
习题6
6. 有一个可旋转的圆盘，盘面上被均匀地分成 38份，用1,2，…，38数字标示，其中有2份 涂绿色，18份涂黑色，18份涂红色。圆盘停 转后，盘面上指针指向某一数字和颜色。求：
① 若仅对颜色感兴趣，计算平均不确定度。 ② 若对颜色和数字都感兴趣，计算平均不确定度。 ③ 如果颜色已知时，计算条件熵。
2019/5/15
12
习题12有点难度，重点看看
12. 有一个一阶马尔可夫链X1, X2,…, Xr,…,各Xr取 值于集A={a1, a2, a3}。已知起始概率p(ai)为： p1=1/2, p2=p3=1/4，转移概率如下表所示。求：
① X1X2X3的联合熵和 平均符号熵。
② 这个链的极限平均 符号熵。