人教版高一数学必修四第一章 弧度制

1．1.2弧度制

考点学习目标核心素养

弧度制了解弧度制的概念

数学抽象角度制与弧度制的换算能进行角度与弧度之间的互化数学运算

扇形的弧长与面积公式理解弧度制下弧长与面积公式数学运算

问题导学

预习教材P6－P9，并思考下列问题：

1．1弧度的角是如何定义的？

2．如何进行弧度与角度的换算？

3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？

1．度量角的两种制度

角度制

定义用度作为单位来度量角的单位制

1度

的角

周角的

1

360为1度角，记作1°

弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制

1弧度

的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1

弧度记作1 rad(rad可省略不写)

(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.

(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．

2．弧度数的计算与互化

(1)弧度数的计算

(2)弧度与角度的互化

3．弧度制下的弧长与扇形面积公式

公式

度量制

弧长公式扇形面积公式角度制l＝

nπr

180S＝

nπr2

360弧度制

l＝|α|·r

(0＜|α|＜2π)

S＝

1

2lr＝

1

2|

α|r2

(0＜|α|＜2π)

(1)在应用扇形面积公式S＝

1

2|

α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．

(2)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1弧度指的是1度的角．()

(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()

(3)不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．()

(4)1°的角是圆周的

1

360，1 rad的角是周角的

1

2π

.()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

8π

5

弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°

答案：C

半径为2，圆心角为π

3的扇形的面积是( )

A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3

答案：C

(1)18°＝________rad ；(2)3

10π＝________．

答案：(1)π

10

(2)54°

角度制与弧度制的互化

将下列角度与弧度进行互化： (1)37°30′；(2)－216°；(3)7π12；(4)－11π

5.

【解】 (1)37°30′＝37.5°＝⎝⎛⎭⎫752°＝752×π180＝5π

24. (2)－216°＝－216×π180＝－6π5.

(3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫7

12×180°＝105°. (4)－11

5

π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 角度制与弧度制的互化原则

(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝

π

180

rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π

180

rad.

1．把下列角度化为弧度．

(1)－1 500°＝________． (2)67°30′＝________．

解析：(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－253π.

(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π

8.

答案：(1)－25π3 (2)3π

8

2．把下列弧度化为角度． (1)23π

6＝________．

(2)－

13π

6

＝________． 解析：(1)23π6＝⎝⎛⎭⎫

23π6×180π°＝690°. (2)－

13π

6

＝－⎝⎛⎭⎫13π6×180π°＝－390°. 答案：(1)690° (2)－390°

用弧度制表示终边相同的角

把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π

9是第

四象限角，

所以－1 480°是第四象限角．

[变设问]若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合． 解：与α终边相同的角为2k π＋16

9π(k ∈Z )．

由－4π≤2k π＋16

9

π<4π知

k ＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－20

9

π，－29π，169π，349π.

用弧度制表示终边相同角的两个关注点

(1)用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数