线性代数与计算机的关系

线性代数与计算机的关系

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

浅谈线性代数与计算机的关系

线性代数是计算机专业的一门重要基础课程,同时又作为各高等院校和工科类专业的数学基础课程，它具有很强大的应用性和实用性。线性代数是数学的一个分支，它主要处理线性关系问题，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；用过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已经被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

自计算机产生以来，随着计算机的不断发展和进步，计算机语言也在进步，但是很多软件或编程的编写都离不开计算机算法，这时一种好的计算方法就会成为一个软件或编程的亮点。以前，在计算机的计算算法中，对于一些复杂的计算总是要花很多步骤来完成，既麻烦又容易出错，并很浪费时间（比如在计算机上用算法求鸡兔同笼的问题，如果是用一般算法来求的话，我们会发现很吃力，但是引用的线性代数的矩阵理论就简单的多了），所以在计算效率方面提不上去的话，就会限制计算机的发展和进步。而线性代数的引入就改变了这个问题，使得计算机的发展更加迅猛，到了今天计算机得到广泛应用的时候，计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等技术无不是以线性代数为理论

基础并组成其计算机算法中极其重要的一部分。线性代数在计算机领域的应用与计算机的计算性能是成正比例的，同时，这一性能会随着计算机硬件的不断创新和发展而得到极大的提升。

线性代数的计算机应用在全球有很多的应用，例如Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述,而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程。.经过几个月的编程,并利用当时的计算机运行了56个小时才求出其解。又如，1992年至1997年,美国国家科学基金会资助的ATLAST(Augment the Teaching of Linear Algbra using Software Tools)计划重点强调在线性代数教学中应该利用新的计算方法技术。

线性代数在计算机方面的应用，促进了计算机的算法计算的发展，同时，计算机的算法进步也为解决线性代数的问题提供了很大的便利（体现为计算机在线性代数中的应用），可以说，在计算机广泛应用的今天，线性代数的计算离不开计算机，运用计算机解决线性代数问题可以让我们充分掌握线性代数的实际应用。

在引用计算机计算有关线性代数问题之前，要求解一个线性微分方程组是非常困难的事情，通常要通过找出各个原函数从而把一些相关的积分求出来，但是，在实际情况中，原函数并不是总是存在的，因此总需要数值解来求得结果，而在运用计算机求解之前，数值解要通过人工计算的，这种方法既浪费精力，又会耗费大量的时间。

在运用计算机求解线性微分方程组之后，这种耗时费力的情况就得到了很大的改观，计算机能在极短的时间内就可以完成成千上万个

算法的计算，因此，计算机在线性代数中的应用，主要是运用计算机程序来求解线性微分方程组。然而，在运用计算机中的程序求解线性微分方程组的时候，实际上是将线性微分方程组化成了许多变元的线性方程。

那么，计算机在线性代数中的应用中是怎么样求解线性微分方程组的呢，我们用一个例子来说明：

设有一个线性方程：

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+1003131002121x x x x

首先是保存，在计算机上保存好这个方程组，也就是保存这个方程组中每个变元的系数以及等号右边的常数，也就是要保存这个阵列：1 1 100

3 1/3 100

要通过程序来计算求解这个方程组，就要对上面保存的这个阵列进行必要的处理。我们可以用一个字母B 来表示这个阵列，即是表示成一个矩阵形式：

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=10031310011B 矩阵是线性代数中的一种术语，在线性代数中，我们都可以用一个字母来表示许多数，特别是当这个“数”的组成很复杂时，就应用的更加广泛了。那么接下来问题就变成了解这个矩阵了，上面的矩阵B 被称作是线性方程组的增广矩阵，所以，给定了一个增广矩阵，也

就是给定了一个线性方程组。而计算机求解这个矩阵是运用加减法来进行的。 对于矩阵B, 将第一行的每个数都乘上-3以后加到第二行, 也就相当于将第一个方程乘上-3后左右分别加到第二个方程的两边, 这样得到的第二行的第一个数就变成0了, 这样矩阵B 就变成

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--20038010011 第二行现在对应方程2003

82-=-x , 那么对此方程两边乘上-3/8, 就可得x 2=75, 那么对于计算机的操作来讲, 也就是将第二行的所有

数都乘上-3/8, 这样阵列就变成

⎥⎦⎤⎢⎣⎡751010011 这对应于线性方程组

⎩

⎨⎧==+75100221x x x 那么, 再将上面的方程组中第一个方程减去第二个方程, 就得x 1=25, 这对应于将上面的矩阵的第一行的各个元素减去第二行的各

个元素, 这样得到矩阵

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡75102501 这样, 计算机只要通过将某一行乘某一个数, 或者某一行乘上某一个数加到另一行的这种办法, 经过处理直到右边的两列成为对角线上是1, 其它地方是0, 那么最右边一列就是方程组的解。

上面这个例子就是计算机在线性代数中的一个很普遍的计算应用，从而可以知道在一些更为复杂的线性代数计算中，应用计算机程序来求解时，就更加简单了，这样既可以省时又可以省精力。

总得来说，线性代数和计算机的关系，是：第一，通过在计算机中应用线性代数的理论等来完成一些复杂的计算，从而应用到各个需要的领域中去；第二，通过计算机的程序来求解线性代数方程组。

姓名：钟永亮

学号：12551102026

班别：B班