高考数学经典常考题型第86专题 事件的关系与概率运算

第86专题训练 事件的关系与概率运算一、基础知识 1、事件的分类与概率:(1)必然事件:一定会发生的事件,用Ω表示,必然事件发生的概率为100% (2)不可能事件:一定不会发生的事件,用∅表示,不可能事件发生的概率为0% (3)随机事件:可能发生也可能不发生的事件,用字母,,A B C 进行表示,随机事件的概率[]0,1P ∈2、事件的交并运算:(1)交事件:若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 同时发生,则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件,记为AB ,简记为AB多个事件的交事件:12n A A A :事件12,,,n A A A 同时发生(2)并事件:若事件C 发生当且仅当事件A 与事件B 中至少一个发生(即A 发生或B 发生),则称事件C 为事件A 与事件B 的并事件,记为A B多个事件的并事件:12n A A A :事件12,,,n A A A 中至少一个发生3、互斥事件与概率的加法公式:(1)互斥事件:若事件A 与事件B 的交事件AB 为不可能事件,则称,A B 互斥,即事件A 与事件B 不可能同时发生。

例如:投掷一枚均匀的骰子,设事件“出现1点”为事件A ,“出现3点”为事件B ,则两者不可能同时发生,所以A 与B 互斥 (2)若一项试验有n 个基本事件:12,,,n A A A ,则每做一次实验只能产生其中一个基本事件,所以12,,,n A A A 之间均不可能同时发生,从而12,,,n A A A 两两互斥(3)概率的加法公式(用于计算并事件):若,A B 互斥,则有()()()P A B P A P B =+例如在上面的例子中,事件AB 为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得()()16P A P B ==,所以根据加法公式可得:()()()13P A B P A P B =+=(4)对立事件:若事件A 与事件B 的交事件A B 为不可能事件,并事件AB 为必然事件,则称事件B 为事件A 的对立事件,记为B A =,也是我们常说的事件的“对立面”,对立事件概率公式:()()1P A P A =-,关于对立事件有几点说明: ① 公式的证明:因为,A A 对立,所以AA =∅,即,A A 互斥,而A A =Ω,所以()()()()P P AA P A P A Ω==+,因为()1P Ω=,从而()()1P A P A =-② 此公式也提供了求概率的一种思路:即如果直接求事件A 的概率所讨论的情况较多时,可以考虑先求其对立事件的概率,再利用公式求解③ 对立事件的相互性:事件B 为事件A 的对立事件,同时事件A 也为事件B 的对立事件 ④ 对立与互斥的关系:对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。

由对立事件的定义可知:,A B 对立,则,A B 一定互斥；反过来,如果,A B 互斥,则不一定,A B 对立(因为可能A B不是必然事件)4、独立事件与概率的乘法公式:(1)独立事件:如果事件A (或B )发生与否不影响事件B (或A )发生的概率,则称事件A 与事件B 相互独立。

例如投掷两枚骰子,设“第一个骰子的点数是1”为事件A ,“第二个骰子的点数是2”为事件B ,因为两个骰子的点数不会相互影响,所以,A B 独立 (2)若,A B 独立,则A 与B ,B 与A ,A 与B 也相互独立(3)概率的乘法公式:若事件,A B 独立,则,A B 同时发生的概率()()()P AB P A P B =⋅ ,比如在上面那个例子中,()()11,66P A P B ==,设“第一个骰子点数为1,且第二个骰子点数为2”为事件C ,则()()()()136P C P AB P A P B ==⋅=。

(4)独立重复试验:一项试验,只有两个结果。

设其中一个结果为事件A (则另一个结果为A ),已知事件A 发生的概率为p ,将该试验重复进行n 次(每次试验结果互不影响),则在n 次中事件A 恰好发生k 次的概率为()1n kk kn P C p p -=-① 公式的说明:以“连续投掷3次硬币,每次正面向上的概率为13”为例,设i A 为“第i 次正面向上”,由均匀的硬币可知()12i P A =,设B 为“恰好2次正面向上”,则有:()()()()123123123P B P A A A P A A A P A A A =++而()()()21231231231122P A A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223223111132222P B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭② kn C 的意义:是指在n 次试验中事件A 在哪k 次发生的情况总数,例如在上面的例子中“3次投掷硬币,两次正面向上”,其中23C 代表了符合条件的不同情况总数共3种5、条件概率及其乘法公式: (1)条件概率:(2)乘法公式:设事件,A B ,则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ (3)计算条件概率的两种方法:(以计算()|P B A 为例)① 计算出事件A 发生的概率()P A 和,A B 同时发生的概率()P AB ,再利用()()()|P AB P B A P A =即可计算② 按照条件概率的意义:即B 在A 条件下的概率为事件A 发生后,事件B 发生的概率。

所以以事件A 发生后的事实为基础,直接计算事件B 发生的概率例:已知6张彩票中只有一张有奖,甲,乙先后抽取彩票且不放回,求在已知甲未中奖的情况下,乙中奖的概率。

解:方法一:按照公式计算。

设事件A 为“甲未中奖”,事件B 为“乙中奖”,所以可得:()56P A =,事件AB 为“甲未中奖且乙中奖”,则()11512616C C P AB A ⋅==。

所以()()()1|5P AB P B A P A == 方法二:按照条件概率实际意义:考虑甲在抽取彩票后没有中奖,则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的,所以乙中奖的概率为15P = 6、两种乘法公式的联系:独立事件的交事件概率:()()()P AB P A P B =⋅ 含条件概率的交事件概率:()()()|P AB P A P B A =⋅通过公式不难看出,交事件的概率计算与乘法相关,且事件,A B 通常存在顺承的关系,即一个事件发生在另一事件之后。

所以通过公式可得出这样的结论:交事件概率可通过乘法进行计算,如果两个事件相互独立,则直接作概率的乘法,如果两个事件相互影响,则根据题意分出事件发生的先后,用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率(即条件概率)二、典型例题:例1:从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。

上述事件中,是对立事件的是( )A.①B. ②④C.③D. ①③ 思路:任取两数的所有可能为{两个奇数；一个奇数一个偶数；两个偶数} ,若是对立事件,则首先应该是互斥事件,分别判断每种情况:①两个事件不是互斥事件,② “至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况,所以不互斥,③ “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立,④ “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况,所以不互斥。

综上所述,只有③正确 答案:C例2:5个射击选手击中目标的概率都是23,若这5个选手同时射同一个目标,射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是( )A. 35113⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B. 53113⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C.352113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 532113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦思路:所求中有“至少一次”,且若正面考虑问题所涉及的情况较多。

所以考虑从问题的对立面入手,设所求事件为事件A ,则A 为“射击三次没有一次五人均命中目标”,考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为5213⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()35213P A ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,从而可得()()3521113P A P A ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦答案:C例3:甲,乙,丙三人独立的去译一个密码,分别译出的概率为111,,534,则此密码能译出概率是( ) A.160 B.15 C.35 D.5960思路:若要译出密码,则至少一个人译出即可。

设事件A 为“密码译出”,正面分析问题情况较多,所以考虑利用对立面,A 为“没有人译出密码”,则()11121115435P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,从而()()315P A P A =-=答案:C例4:某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮,假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________思路:因为选手回答4个问题就晋级下一轮,所以说明后两个回答结果正确,且第二次回答错误(否则第二次与第三次连续正确,就直接晋级了),第一次回答正确错误均可。

所以2141655125P ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭ 答案:16125例5:掷3颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率思路:首先判断出所求的为条件概率,即在3个数都不一样的前提下,含有1点的概率,设事件A 表示“含有1点的概率”,事件B 为“掷出三个点数都不一样”,事件AB 为“三个点数都不一样且有一个点数为1”,则有()123535618C A P AB ==,()363569A PB ==,所以由条件概率公式可得:()()()1|2P AB P A B P B == 答案:12例6:甲乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结束,甲胜出；若乙赢两局,比赛结束,乙胜出。

已知每一局甲,乙两人获胜的概率分别为23,55,则甲胜出的概率为( ) A.1625 B.1825 C.1925 D.2125思路:考虑甲胜出的情况包含两种情况,一种是甲第一局获胜,一种是甲第一局输了,第二局获胜,设事件i A 为“甲在第i 局获胜”,事件B 为“甲胜出”,则()()()112P B P A P A A =+,依题意可得:()125P A =,两场比赛相互独立,所以()()()12123265525P A A P A P A =⋅=⋅= 从而()1625P B = 答案:A例7:如图,元件()1,2,3,4i A i =通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在,M N 之间通过的概率是( )A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891思路:先分析各元件的作用,若要在,M N 之间通过电流,则4A 必须通过,且12,A A 这一组与3A 两条路至少通过一条。