基态简并度
氢原子能级简并度计算公式
氢原子能级简并度计算公式氢原子能级简并度的计算公式，对于很多同学来说，可能是个让人头疼的家伙。
但别怕，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是氢原子能级简并度。
想象一下氢原子就像一个神秘的小宇宙，里面的电子在不同的轨道上运行，而每个轨道对应的能量状态就是能级。
简并度呢，就是指同一个能级所对应的可能状态的数目。
那氢原子能级简并度的计算公式到底是啥呢？它是这样的：对于氢原子的某个能级 n ，其简并度为 n^2 。
就拿最简单的例子来说，当 n = 1 时，也就是氢原子的基态，简并度就是 1 ，这意味着电子只有一种可能的状态。
当 n = 2 时，简并度就变成了 4 ，电子就有 4 种可能的状态啦。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“这就好比你有一把钥匙，这个公式就是帮你找到能打开氢原子能量秘密大门的那把正确钥匙的线索。
”那孩子似懂非懂地点点头。
在学习这个公式的过程中，大家可别死记硬背，得理解它背后的物理意义。
你想想，氢原子里的电子就像个调皮的小精灵，在不同的能级上跳来跳去，而这个公式就是在告诉我们这些小精灵有多少种玩法。
而且，这个公式在解决一些实际问题的时候可厉害啦。
比如说，在研究氢原子的光谱时，我们就得靠它来搞清楚不同谱线对应的能级和状态。
其实啊，物理世界里的很多公式就像是一个个神奇的密码，只要我们掌握了，就能解开大自然隐藏的秘密。
氢原子能级简并度计算公式就是其中的一把关键钥匙。
希望大家在学习这个公式的时候，多思考，多练习，把它变成自己的秘密武器，去探索更多物理的奥秘！。
简并度与能级的关系
简并度与能级的关系简并度是指物质中原子两两结合的形式，而能级指的是原子的能量状态。
二者之间存在着相互关联性，也就是说简并度越高，能级越低，反之则相反。
首先，简并度影响着原子结构的稳定性。
原子结合时，会产生能量，所产生的能量越大，该原子结构的稳定性则越高，它们就会形成更简单的结构，进而产生较高的简并度。
反之，当原子结合时，若能量产生量较小，则结构稳定性较低，就会形成较复杂的结构，进而产生较低的简并度。
因此，简并度与能级之间是有关联的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
其次，当原子结合时，它们会相互吸引，而产生强烈的拉力作用。
拉力越大，该原子结构的稳定性越高，就会形成更简单的结构，进而产生较高的简并度。
同理，当拉力较小时，结构的稳定性也会降低，就会形成较复杂的结构，进而产生较低的简并度。
因此，也可以说简并度与能级之间是相关的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
再次，建立在原子内部的轨道能级也会影响简并度。
基态原子的轨道能级越高，则原子之间自由能越大，结合能量产生量也越大，从而会形成更简单的结构，进而产生较高的简并度；反之，基态原子的轨道能级越低，则原子之间的自由能越小，结合能量产生量也越小，就会形成较复杂的结构，进而产生较低的简并度。
因此，简并度与能级之间也是有关联的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
最后，不同原子间的相互作用也会影响简并度。
原子之间的距离越近，它们就会相互吸引，拉力越大，结构稳定性越高，从而产生较高的简并度。
反之，当原子间距离较远时，它们就不会相互吸引，拉力较小，结构稳定性较低，从而产生较低的简并度。
因此，同样可以说简并度与能级之间也是相关的，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
综上所述，简并度与能级之间存在着密切的联系，即简并度越高，能级越低，反之则相反。
在研究物质的结构时，必须充分考虑它们之间的相互关系，否则很难得到准确到位的结果。
因此，要正确理解简并度与能级之间的关系，还需要深入进一步的研究。
统计热力学
= NkT ⎜⎛ ∂ ln q' ⎟⎞ ⎝ ∂V ⎠T ,N
(5)H = NkT 2⎜⎛ ∂ ln q ⎟⎞ + NkTV ⎜⎛ ∂ ln q ⎟⎞
⎝ ∂T ⎠V ,N
⎝ ∂V ⎠T ,N
=
NkT 2 ⎜⎛ ⎝
∂ ln q' ⎟⎞ ∂T ⎠V ,N
+
NkTV ⎜⎛ ⎝
∂ ln q' ⎟⎞ ∂V ⎠T ,N
可见θr只取决于分子本身的结构特征，一般分子的氏只有几度或十几度。
11.
qV
= =
exp(−θV / 2T )
1e−xepx(−p(h−νθV/
/T) 2kT )
1− exp(− hν / kT )
或
q'V
=
1−
1
exp(−θV
/T
)
=
1−
1
exp(− hν
/
kT
)
式中qv为双原子分子振动配分函数，q’V为将振动零点能值指定为 0 时的振动配分函数；θV为分 子的振动特征温度，其定义为
⎤ ⎥ ⎦
3.3 思 考 题
1．Stirling 公式 的适用条件是什么?
N!≈ ⎜⎛ N ⎟⎞N ⎝e⎠
2．对于由少数(例如 20 个)离域子构成的系统，我们能否用公式
∑∏ Ω =
g ni i
i ni!
计算其微观状态数?若不能用此式计算，请说应如何计算Ω。
3．什么是最可几分布?最可几分布的各能级分布数如何计算?
⎝ ∂T ⎠V ,N
⎝ ∂V ⎠T ,N
=
NkT 2 ⎜⎛ ⎝
∂ ln q' ⎟⎞ ∂T ⎠V ,N
能级简并度
讨论：1、能级的简并度对能级2022na e E n -=，n 为主量子数。
及波函数),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中1--=r n n l 。
由于 ,2,01=r n ，所以1,,2,1,0-=n l 相应的有0,,2,11 --=--=n n l n n r而对于给定的角动量l ，磁量子数m 可有2l +1个取值，即l l l m ----=,,2,1,0,,1,即对于给定的n （能级一定）1,,2,1,0-=n l ， 而对于给定的l ，l l l m ----=,,2,1,0,,1, 因此属于n E 能级的所有简并量子态nlm ψ数目为2121)12(1)32()12()12(n n n n n l n l =⋅+-=++-+-=+∑-= (等差数列) 能级E n 的简并度为21)12(nl n l =+∑-=比起一般中心力场的简并度2l +1要高。
一般中心力场粒子的能级l n r E 依赖于量子数r n 和l 但库仑场中，E n 粒只依赖于n ，但是n =n r +l +1故 能级E n 除了对m 简并，对l 也是简并的。
所以库仑场具有更高的对称性。
（对称元素越多，对称性越高，简并度越大） 从径向方程的求解过程可以看出，这是rr V 1)(∝导致的。
2、径向位置几率分布态),,(ϕθψr nlm 中，在dr r r +→球壳内找到电子的几率为r r r r r R r r nl nl nlmd )]([d )]([d d ||22222χψ==Ω⎰rd r两个等号分别对应：角向部分积分掉，rr r R nl nl )()(χ=)(r nl χ的节点数（不包括0=r 和∞=r ）为1--=l n n r其中n r =0称为圆轨道----无节点。
可以证明，此时21,|)(|r n n -χ的极值点所在位置为a n r n 2=， ,3,2,1=nn r 称为最可几半径。
统计热力学习题1
统计热力学习题一 . 选择题1. 玻尔兹曼熵定理一般不适用于： ( )(A) 独立子体系 (B) 理想气体 (C) 量子气体 (D) 单个粒子2.下列各体系中属于独立粒子体系的是： ( )(A) 绝对零度的晶体 (B) 理想液体混合物(C) 纯气体 (D) 理想气体的混合物3. 玻尔兹曼分布 _______ 。
(A) 是最概然分布，但不是平衡分布。
(B) 是平衡分布，但不是最概然分布。
(C) 即是最概然分布，又是平衡分布。
(D) 不是最概然分布，也不是平衡分布。
4. 在 N 个 NO 分子组成的晶体中，每个分子都有两种可能的排列方式，即 NO 和 ON，也可将晶体视为 NO 和 ON 的混合物，在 0K 时该体系的熵值(A) S O = 0 (B) S O = kln2 (C) S O = Nkln2 (D) S O = 2klnN5. 在分子运动的各配分函数中与压力有关的是： ( )(A)电子运动的配分函数 (B)平均配分函数 (C)转动配分函数 (D)振动配分函数6. 已知 CO 的转动惯量 I = 1.45×10-26 kg.m2，则 CO 的转动特征温度为：(A) 0.36 K (B) 2.78 K (C) 2.78×107 K (D) 5.56 K7. 关于配分函数，下面哪一点是不正确的 ( )(A) 粒子的配分函数是一个粒子所有可能状态的玻尔兹曼因子之和；(B) 并不是所有配分函数都无量纲；(C) 粒子的配分函数只有在独立粒子体系中才有意义；(D) 只有平动配分函数才与体系的压力有关。
8. 热力学函数与分子配分函数的关系式对于定域粒子体系和离域粒子体系都相同的是 ( ) (A) G,F,S (B) U,H,S (C) U,H,C V (D) H,G,C V9. 粒子的配分函数 q 是 ( )(A) 一个粒子的 (B) 对一个粒子的玻尔兹曼因子取和；(C) 粒子的简并度和玻尔兹曼因子的乘积取和；(D) 对一个粒子的所有可能状态的玻尔兹曼因子取和。
0607量子力学试卷解答(b)
200
学院
学号_______________姓名_____________
题号
一
二
三
四五总分来自得分阅卷人一．完成下列填空题（共50分）：
1．（6分）设一粒子在球面上运动，它处于状态 。则在 区间中测得粒子的概率 ；在（ ）区间中测得粒子的概率为 。
2.（5分）一维x势，写出x=0处波函数及其导数的连接条件： ， 。
解：自旋为 时，为反对称态，有3个：
， ，
自旋为 时，反对称态，有6个：
(1)(2),(1)(2),(1)(2)；
，
空间部分态为反对称态时，自旋为对称三重态：
故简并度=4。
三．（10分）证明:Hermite(厄米)算符的本征值为实数。
证明：设 为厄米算符F的属于不同本征值 的本征函数，于是：
，取共轭：
于是： （1）
另一方面，注意F是厄米算符：
（2）
比较，即得： //
四．（分）证明： ，式中x为描写电子自旋的泡利矩阵。
3．（5分）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，可以解释此现象的量子效应是势垒穿透效应。
4.（5分）费米黄金规则（Gold rule）公式为 ；其中各项意义解释为Wtot为总跃迁率， 为从初态|i>到末态|f>的微扰矩阵元，i为初态附近的能量密度。
5．（9分）一维谐振子 ，能量、动量和宇称三个量中，守恒的是：能量和宇称，理由是 ， ；不守恒的是动量，理由是 ；能量和动量是否能同时测得确定值？不能（因为 ）。
6.（20分）自由粒子t=0处于状态 ，写出t时刻粒子的状态 = ， 粒子不是（填：是/否）处于定态；动量测值/概率分别为： ，动量平均值0；能量测值/概率分别为： ，能量平均值 。
《物理化学》模拟题及参考答案
CO和 N 2 的摩尔熵的大小关系为
（）
a. Sm (CO) Sm (N 2 ) b. Sm (CO) Sm (N 2 )
c. Sm (CO) Sm (N 2 ) d. 不确定
二、简答题（20 分，4 分/个） 1．简述什么是链反应及其一般特征，直链反应速率方程的建立一般采用什么近 似方法？
2．试将反应 H2 ( p ) 2AgCl(s) 2Ag(s) 2HCl(m) 设计成原电池，说明
6.84 1010 mol dm3 s1
若反应掉
A 的量： cA
0.5mol 5dm3
0.1.mol dm3
则所需时间为：
t
0.1 6.84 1010
sec
1.46
108
s
e
c
4.解：
Tf Tf Tf 4K
kf bB 1.86.K mol1 kg bB
解之： bB 2.15mol kg 1 1000 /18
a. G b. U
c. F d. S
3．某化学反应恒温恒压下在可逆电池中完成时从环境吸热，则
（）
a. G 0 b. U 0 c. H 0 d. S 0
4．化学反应
Ag(s)
1 2
O2
(g)
Ag
2O(s) 的平衡体系中，可能平衡共存的相数最
多有
（）
a. 2 相
b. 3 相
c. 4 相 d. 5 相
() ()
a.
K
p
b.
K
c
c. K y
d.
K
f
19．1mol 理想气体 A，已知 298K 时其分子的配分函数为 1.6,假定基态能量ε 0 0,
物化总结
第九章统计热力学初步主要公式及其适用条件1. 分子能级为各种独立运动能级之和2. 粒子各运动形式的能级及能级的简并度（1）三维平动子简并度：当a = b = c时有简并,()相等的能级为简并的。
（2）刚性转子（双原子分子）：其中。
简并度为：g r,J = 2J +1。
（3）一维谐振子其中分子振动基频为，k为力常数，μ为分子折合质量。
简并度为1，即g v,ν= 1。
（4）电子及原子核全部粒子的电子运动及核运动均处于基态。
电子运动及核运动基态的简并度为常数。
3.能级分布微态数定域子系统：离域子系统：温度不太低时（即时）：一般情况下：系统总微态数：4. 等概率定理在N，V，U确定的情况下，系统各微态出现的概率相等。
5. 玻尔兹曼分布（即平衡分布，也即最概然分布）Stirling公式：粒子的配分函数：玻尔兹曼分布：能级i的有效容量：6. 配分函数的析因子性质7. 能量零点的选择对配分函数的影响若基态能级能量值为，以基态为能量零点时，能量值常温下，平动及转动配分函数与能量零点选择几乎无关，但振动配分函数与能量零点选择有关。
即：电子运动与核运动的配分函数，与能量零点选择也有关。
无关有关与能量零点U，H，A，G与定域或离域U，H S，A，G8.配分函数的计算平动:转动（对线性刚性转子）：其中若设，则当T >> Q r时，，其中σ为绕通过质心，垂直于分子的轴旋转一周出现的不可分辨的几何位置的次数，即分子对称数。
对线性刚性转子转动自由度为2。
振动:若设，当T<<Q v时（常温）,振动运动量子化效应突出，不能用积分代替加和：电子运动: 因为电子运动全部处于基态，电子运动能级完全没有开放，求和项中自第二项起均可被忽略。
所以：核运动:9. 热力学能与配分函数的关系此处U i可代表：（1）总热力学能；（2）零点为e0时的热力学能（U0 = U - Nε0）；（3）平动能；q i表示相应的配分函数。
简并度怎么计算
简并度怎么计算简并度计算方法：当能量确定后，能够找到N个独立的运动状态，则这个能级就称为N重简并，或者说简并度为N。
例如对一维宽度为a的无限深方势阱，其能量表达式为：En=(n²π²h²)/(2ma²)..(1)(其中h应该带靶，表示h/2π）。
相应的波函数是Ψn(x)=Asin(nπx/a)——(2)。
其中A是归一化常数。
表面上看，对于一个确定的能级En（与n²有关），可以有±n两个值，但是，当你把±n代入（2）后发现，两个波函数是线性相关的，不满足互相独立的要求，因此没有简并。
（或者称为简并度为1）。
另一个类似的例子是平面转子，能级为En=(m²h ²)/(2I)——(1)(其中h应该带靶，表示h/2π，I是转动惯量）。
对应的波函数是Asinmx及Bcosmx。
当m≠0时，一个能级与两个状态对应。
故是2度简并。
例如空间转子，系统的哈密吨量是H=L²/2I....(1)，（I是转动惯量）。
解S，方程后得到系统的能量。
El=l(l+1)h²，...(l=0，1，2，3，...)...(2)。
相应的波函数是Ψ(θ，φ)=Ylm(θ，φ)——(3)。
m=0，±1±2，...，±l——(4)（注意l是L的小写）l及m都应该是下标。
当l=0（基态）波函数只能取Yoo没有简并。
当l=1，m可以取-1，0，1三个值，此时对应的三个波函数。
Y1-1，Y10，Y11线性无关，因此，l=1这个能级有三度简并。
当l=2时m可取-1，-1，0，1，25个数值，且对应的波函数线性无关，故l=2这个能级有5度简并。
能级的简并度
Hˆ 1 2
pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2
1 2 (x2 y2 z2 )
2
Schrödinger方程为
1
2
pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2
1 2
2
(x2
y2
z2 )
(x,
y,
z)
E (x, y, z)
用分离变量法，哈密顿算符可写为
其中
Hˆ Hˆ x Hˆ y Hˆ z
Ylml
(
,
)
2
d
| eim |2 1 | Plm(cos )|2 d
显然，几率沿z轴旋转对称。
因为Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平
面的曲线描述几率分布随θ角的变化。如
z y
z
y
z
y
|
Y00
|2
1 4π
|
Y10
|2
3 4π
cos2
|
Y11
|2
3 8π
sin
2
s电子
p电子
4、电流分布与磁矩
1
R0l
3
2
2l 2
(2l 1)!!
2
(r)l
1
e2
2r2
1
R1l
3
2
2l 3 (2l
3)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
2l
3
2r
2
2
1
R2l
3
2
2l 3 (2l
5)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
(2l 3)(2l 5) (2l 5) 2r 2 4r 4
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简并度取决于粒子有几个自由度，那么一维单粒子基态是非简并的。
..
所谓的基态原子是对于激发态而言的，说的是：核外电子处于能量最低的轨道上，不会出现改变轨道而放出光子的状态。
这里说的轨道也是在微观物理里面的定义，和宏观轨道无关。
大部分的情况下使用来波尔理论对于氢原子核外电子运动是的波现象。
波尔理论也是第一次运用宏观的“轨道”理论揭示微观现象的。
当激发态向基态转换的时候会出现光子的现象，其中光子的能量和轨道的转换状态有关，能量为普朗克常数乘以光子频率。
而同时轨道是固有不变的，所以能量也是“一份一份”的。
1 原子基态：原子的能量最低状态。
处于基态的原子最为稳定。
不受外界作用时，原子可无限长时间处于基态，因此原子基态能级的宽度为零。
通常在没有外加激发条件下，由于热运动，并非全部原子都处于基态。
热平衡时，原子在各能态上的分布遵从玻耳兹曼分布律。
在常温下，绝大多数原子处于基态。
在外加激发条件下，原子吸收能量跃迁到较高的原子激发态。
2.简并度：在物理学中，简并是指被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细物理状态。
例如在量子力学中，原子中的电子，由其能量确定的同一能级状态，可以有两种不同自旋量子数的状态，该能级状态是两种不同的自旋状态的简并态。
具有相同能量的粒子可以处在不同的量子态（即不同的波函数），即每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线常常由好几条非常接近的精细谱线所组成。
量子力学中把能级可能有的微观状态称为该能级的简并度，用符号g表示。
简并度亦被称为退化度或统计权重。
在统计物理学中，宏观上由压强、体积、温度确定的同一宏观热力学状态，在微观上可以对应大量不同的微观状态，该热力学状态是这些微观状态的简并态。
3.氦原子基态简并度1
n=1 l=0 m=0
电子填充第一层s亚层中的轨道，s亚层只有1个轨道，没有其它简并轨道。