高中数学专题：圆锥曲线的方程与性质

设椭圆的标准方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，由椭圆的定义，可得|AF1|
＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|∴|AB|＝32|AF2|
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，
b a
x的距离|PF2|＝
bac－0 1＋ba2
＝b，而
|OF2|＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得|OP|＝ c2－b2 ＝a，所以|PF1|＝ 6
|OP|＝ 6a.且cos ∠PF2O＝||OPFF22||＝bc， 又在△F1F2P中，
cos ∠PF2F1＝|PF2|22＋|P|FF21|F·|F2|21－F2||PF1|2＝b2＋24bc·22－c 6a2，
＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原
点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|则C的离心率为
()
A. 2
B. 3
C．2
D. 5
第6页
栏目导航
解析：选A 设双曲线C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点F的
坐标为(c,0)，则c＝ a2＋b2.
如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以
第23页
栏目导航
|对点训练|
1．(2019·沈阳模拟)已知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为
2 .若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
() A.x42－y42＝1 C.x42－y82＝1
B.x82－y82＝1 D.x82－y42＝1
＝0，得ba＝2.因为双曲线的焦距为4 5，所以c＝2 5.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝ 4，所以双曲线的方程为x42－1y62 ＝1.
第20页
栏目导航
(3)设直线AB的方程为x＝my＋
p 2
，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，将直线AB的
方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，设抛物线 的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，
OF为直径的圆的另一条直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接
OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝
c 2
，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得
c 2
2＋
c 2
2＝a2，故
c a
＝
2，即离心率e＝ 2.故选A.
第7页
栏目导航
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥
[答案] (1)D (2)A (3)4
第21页
栏目导航
|规 律 方 法 | 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)． [注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2 A. 2
B. 2
32 C. 2
D．3 2
第40页
栏目导航
解析：选 C 如图所示，不妨设点 N 在第二象限，连接
第27页
栏目导航
考点二 圆锥曲线的几何性质
|析典例|
【例】
(1)(2019·南宁模拟)设F1，F2是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、
右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝ 6|OP|则C 的离心率为( )
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
第30页
栏目导航
所以bc＝b2＋44cb2c－6a2⇒3b2＝4c2－6a2， 则有 3(c2－a2)＝4c2－6a2，解得ac＝ 3(负值舍去)，即 e＝ 3.故选 C.
第31页
栏目导航
(2)当 0＜m＜3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图(1)，A(－ 3，0)，B( 3，0)．
当点 M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°. 则|MO|≤1，即 0＜m≤1；
第33页
栏目导航
|规 律 方 法 | 1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的 等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求ac的值．
第34页
栏目导航
2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得ba或ab的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
3 2
B．2－ 3
3－1 C. 2
D. 3－1
第8页
栏目导航
解析：选 D 不妨设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
第9页
栏目导航
在Rt△F1PF2中，因为∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c， 所以|PF2|＝c，|PF1|＝ 3c. 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即 3c＋c＝2a， 所以椭圆的离心率e＝ac＝ 32＋1＝ 3－1.故选D.
第22页
栏目导航
2．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方 程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定 时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1(m＞ 0，n＞0，且m≠n)，双曲线方程常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
第24页
栏目导航
解析：选B 由离心率为 2可知a＝b，c＝ 2a，所以F(－ 2a，0)，由题意可知
kPF＝
4－0 0－－
2a
＝
42a＝1，所以
2a＝4，解得a＝2
2
，所以双曲线的方程为
x2 8
－
y2 8
＝1，故选B.
第25页
栏目导航
2．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动
第28页
来自百度文库
栏目导航
(2)设A，B是椭圆C：
x2 3
＋
y2 m
＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝
120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0， 3]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0， 3]∪[4，＋∞)
第29页
栏目导航
[解析]
(1)如图所示，点F2(c,0)到渐近线y＝
[解析] (1)如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的 中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝ba2＝53，|PF1|＝2a
－|PF2|＝133，所以||PPFF21||＝153.
(2)易知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y
第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个保分专题 师生共研
第1页
栏目导航
专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质
第2页
栏目导航
栏 目 导 航
第3页
栏目导航
感悟真题 考点突破 课时跟踪检测
第4页
栏目导航
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆
x2 3p
＋
y2 p
∴点(4,0)到C的渐近线的距离为 |42| ＝2 2.
第37页
栏目导航
2．(2019·大连模拟)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，
A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
6 A. 3
3 B. 3
2
1
C. 3
D.3
第10页
栏目导航
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于
A，B两点．若|AF2|＝2|F2B||AB|＝|BF1|则C的方程为( )
A.x22＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x42＋y32＝1
D.x52＋y42＝1
第11页
栏目导航
解析：选B
第12页
栏目导航
∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设 A(0，b)， 又 F2(1,0)，A→F2＝2F→2B，∴B32，－b2. 将 B 点坐标代入椭圆方程ax22＋by22＝1，得49a2＋4bb22＝1， ∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.故选 B.
第13页
第15页
栏目导航
析考情
1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常 出现在第5～12题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中 等．
2．圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位 置，一般难度较大．
第16页
栏目导航
第17页
栏目导航
5 ，渐近线方程为2x±y＝0，则
双曲线的方程为( )
A.x42－1y62 ＝1
B.1x62 －y42＝1
C.1x62 －6y42 ＝1
D.6x42 －1y62 ＝1
(3)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝
6，则p＝________.
第19页
栏目导航
点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A．3
B．4
C．5
D. 2＋1
第26页
栏目导航
解析：选 A 由抛物线方程 y2＝4x，可得抛物线的焦点 F(1,0)，又 N(1,0)，所以 N 与 F 重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的圆心 M 作抛物线准线的垂线 MH，交圆于 Q， 交抛物线于 P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.
栏目导航
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－
y2 3
＝1的右焦点，P是C上一点，且PF
与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.2
第14页
栏目导航
解析：选 D 易知 F(2,0)，不妨取 P 点在 x 轴上方，如图．
∵PF⊥x 轴， ∴P(2,3)，∴|PF|＝3，又 A(1,3)， ∴|AP|＝1，AP⊥PF， ∴S△APF＝12×3×1＝32.故选 D.
第32页
栏目导航
当 m＞3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴上，如图(2)，A(0， m)，B(0，－ m)．
当点 M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°，则|OA|≥3， 即 m≥3，则 m≥9.
综上，m∈(0,1]∪[9，＋∞)，故选 A. [答案] (1)C (2)A
第35页
栏目导航
|对点训练|
1．(2019·德州模拟)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为
2 ，则点
(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A. 2
B．2
C.3 2 2
D．2 2
第36页
栏目导航
解析：选D ∵e＝ac＝
1＋ba2＝ 2，且a＞0，b＞0，
∴ba＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，
第38页
栏目导航
解析：选A 由题意可得a＝|b·0b－2＋a·0－＋a2a2b|，
故a2＝3b2，
又b2＝a2－c2，所以a2＝3(a2－c2)，所以ac22＝23，所以e＝ac＝
6 3.
第39页
栏目导航
3．(2019·长沙模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一
点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为( )
根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋
p 2
＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋
p 2
＝3，所以x1－x2＝
3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝4
my1＋p2
my2＋p2
＝4m2y1y2＋
pm 2
(y1＋y2)＋p42＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.
＝1的一个焦点，
则p＝( )
A．2
B.3
C．4 解析：选D
D．8
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为
p2，0
，椭圆
x2 3p
＋
y2 p
＝1的焦点坐
标为± 2p，0.由题意得p2＝ 2p，解得 p＝0(舍去)或p＝8.故选D.
第5页
栏目导航
2．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
|析典例|
【例】
(1)设F1，F2为椭圆
x2 9
＋
y2 5
＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的
中点在y轴上，则||PPFF21||的值为( 5
A.14
) 5
B.9
4
5
C.9
D.13
第18页
栏目导航
(2)已知双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4