数学分析选讲作业

《数学分析选讲》 第一次作业一、判断下列命题的正误1. 设S 为非空数集。

若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数.3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数.4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛.5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛.6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛.7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散.8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续.二、选择题1．设2,1()3,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩, 则 [(0)]=f f ( )A 1 ；B 2 ；C 3 ；D 02．设函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 ， 则1)=f （ ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 123．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ）A 必不存在 ；B 至多只有有限多个；C 必定有无穷多个 ；D 可以有有限个，也可以有无限多个4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．A 收敛；B 发散；C 是无穷大；D 可能收敛也可能发散5．设lim ||2n n x →∞=，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞=； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞=-； 6．已知 2lim()01x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D 1,1-=-=b a三、计算题1．求极限 8020100(31)(25)lim (51)→+∞+--x x x x . 2．求极限0x →3．求极限21n n →∞++ .4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f xx xx n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <. 数学分析选讲》第一次作业答案一、判断题1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（正确 ） 4．（ 正确 ） 5．（错误） 6. （正确 ）7．（错误） 8．（ 正 确 ） 9．（错误）二、 选择题 1、A 2、C 3、B 4、B 5、C 6、B三、计算题解 1、8020802080201001001001532(31)(25)32lim lim (51)515→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⋅⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-⎪⎝⎭x x x x x x x x 2、0x x →→=0sin 2lim 2x xx →==.3、解：因21n≤++≤+ 1nn==， 故 211n n →∞++=+.4、 当0x <时，有221()lim lim 11x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩.显然0是f 的间断点，由于0lim ()1,x f x +→=0lim ()1x f x -→=-，所以0是f 的第一类跳跃间断点. 四、证明题证 由b a <，有bb a a <+<2. 因为2lim b a a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

又因为2lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2.单选题（10.0 分）1. 设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的A) A ：递增函数B) B ：递减函数C) C ：严格递增函数D) D ：严格递减函数 （10.0 分）2. 设f,g 在（-a,a)上都是奇函数，则g(f(x))与f(g(x))A) A ：都是奇函数B) B ：都是偶函数C) C ：一是奇函数，一是偶函数D) D ：都是非奇、非偶函数 （10.0 分）3. 设f 在[a,b]上无界，且f(x)不等于0,则1/f(x)在[a,b]上A) A ：无界B) B ：有界C) C ：有上界或有下界D) D ：可能有界，也可能无界（10.0 分）4. 设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn}A) A ：收敛B) B：发散C) C：是无穷大D) D：可能收敛也可能发散（10.0 分）5. 设函数f(x)在（a-c,a+c）上单调，则f(x)在a处的左、右极限A) A：都存在且相等B) B：都存在，但不一定相等C) C：至少有一个存在D) D：都不存在（10.0 分）6. 若函数f在(a,b)的任一闭区间上连续，则fA) A：在[a,b]上连续B) B：在（a,b）上连续C) C：在（a,b）上不连续D) D：在（a,b）上可能连续，也可能不连续（10.0 分）7. 定义域为[a,b],值域为（-1，1）的连续函数A) A：在一定的条件下存在B) B：不存在C) C：存在且唯一D) D：存在但不唯一（10.0 分）8. 一个数列{An}的任一子列都收敛是数列{An}收敛的A) A：充分条件，但不是必要条件B) B：必要条件，但不是充分条件C) C：充分必要条件D) D：既不是充分条件，也不是必要条件（10.0 分）9. y=f(x)在c处可导是y=f(x)在点(c，f(c))处存在切线的A) A：充分条件B) B：必要条件C) C：充要条件D) D：既不是充分条件，也不是必要条件（10.0 分）10.函数f在c处存在左、右导数，则f在c点A) A：可导B) B：连续C) C：不可导D) D：不连续判断题（10.0 分）11.闭区间上的连续函数是一致连续的正确错误（10.0 分）12.若函数在某点可导，则在该点连续正确错误（10.0 分）13.两个收敛数列的和不一定收敛正确错误（10.0 分）14.两个收敛数列的商不一定收敛正确错误（10.0 分）15.两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量正确错误（10.0 分）16.两个无穷小量的商一定是无穷小量正确错误（10.0 分）17.区间上的连续函数必有最大值正确错误 （10.0 分）18.最大值若存在必是上确界正确错误 （10.0 分）19.狄利克雷函数D(x)是有最小正周期的周期函数正确错误（10.0 分）20.若f,g 在区间I 上一致连续，则fg 在I 上也一致连续。

正确错误《数学分析选讲》 第二次作业一、判断下列命题的正误1. 若函数在某点无定义，则函数在该点的极限一定不存在.2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一定有最大值．3. 若)(x f 在(,)a b 上连续，则)(x f 在(,)a b 上一定有最小值．4. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ=．5. 初等函数在其定义区间上连续.6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身.7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根.二、选择题1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞→lim 的定义等价（ ） A )1,0(∈∀ε，0>∃N ，N n ≥∀，ε≤-||A a n ；B 对无穷多个0>ε，0>∃N ，N n >∀，ε<-||A a n ；C 0>∀ε，0>∃N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ；D 0>∀ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当x X >时，M x f -<)(，则（ ）A lim ()x f x →+∞=-∞；B -∞=∞→)(lim x f x ；C ∞=-∞→)(lim x f x ；D ∞=+∞→)(lim x f x 3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当>x X 时，()f x a ε-<，则（ ）.A lim ()→-∞=x f x a ；B lim ()→+∞=x f x a ；C lim ()x f x a →∞=；D lim ()x f x →∞=∞ 4．极限=-→xx x 10)21(lim （ ） A 2e ； B 2e - ； C 1e - ； D 15．21sin(1)lim 1x x x →-=-（ ） A 1 ； B 2 ； C21 ； D 0 6．设sin ()x f x x=，则0=x 是f 的（ ）． A 连续点 ； B 可去间断点 ； C 跳跃间断点 ； D 第二类间断点7．设 =)(x f 1(13), 0 , 0x x x k x ⎧⎪-≠⎨⎪=⎩ 在0=x 处连续， 则=k （ ）A 1 ；B 0 ；C e ；D 3`1e8．方程410x x --=至少有一个根的区间是（ ） A 1(0,)2； B 1(,1)2； C (2,3) ； D (1,2) 三、计算题1．求极限 n n n 313131212121lim 22++++++∞→ 2．求极限 )111)(110()110()13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x 3． 求极限 1lim()2x x x x →∞+- 四、证明题设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),()<>f a a f b b ，试证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得ξξ=)(f .《数学分析选讲》第二次作业答案一、判断题1．（错误） 2．（正确） 3．（错误）4．（正确）5．（正确） 6. （正确）7. （正确）二、选择题1、A2、A3、B4、B5、C6、B7、D8、D三、计算题解 1、23113113121121121lim313131212121lim22=--⋅--⋅=++++++∞→∞→nnnnnn.2、2222(1)(21)(31)(101)lim(101)(111)xx x x xx x→∞++++++++--22222221111(1)(2)(3)(10)lim11(10)(11)12101011217.1011610112xx x x xx x→∞++++++++=--+++⋅⋅===⋅⋅⋅3、1lim()2xxxx→∞+=-11lim21xxxx→∞⎛⎫+⎪=⎪⎪-⎝⎭(2)21(1)lim2[(1)]xxxxx→∞--+-32eee-==.四、证明题证令xxfxF-=)()(,则)(xF在[,]a b上连续，且()0,()0)F a F b<>由根的存在定理知，(,),a bξ∃∈使得0)(=ξF，即ξξ=)(f.判断题（10.0 分）1. 闭区间上的可积函数是有界的正确错误（10.0 分）2. 若函数在某点可导，则在该点的左右导数都存在正确错误（10.0 分）3. 若函数在某点的左右导数都存在，则在该点可导正确错误（10.0 分）4. 可导的偶函数,其导函数必是奇函数正确错误（10.0 分）5. 可导的周期函数,其导函数必是周期函数正确错误（10.0 分）6. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点正确错误（10.0 分）7. 若函数f在区间I上单调,则f在I上的任一间断点必是第一类间断点正确错误（10.0 分）8. 不存在仅在一点可导，而在该点的任一空心邻域内皆无连续点的函数。