几类分块矩阵的行列式
分块矩阵的行列式的计算公式
分块矩阵的行列式的计算公式分块矩阵这玩意儿，在数学的世界里可有着独特的地位。
咱今天就来聊聊分块矩阵的行列式的计算公式。
先给您说说啥是分块矩阵。
比如说，有一个大矩阵，咱把它分成几块小矩阵，这就成了分块矩阵。
就像一个大蛋糕，切成几块，每一块都有它自己的特点。
那分块矩阵的行列式咋算呢？这可有点讲究。
假设我们有一个分块矩阵，形如：\[\begin{pmatrix}A &B \\C & D\end{pmatrix}\]其中 A 是一个 k×k 的矩阵，D 是一个 (n - k)×(n - k) 的矩阵。
如果 A 可逆，那么这个分块矩阵的行列式就等于 |A|×|D - CA⁻¹B|。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这咋就得出这个公式了呢？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”我拿起粉笔，在黑板上一步一步地推导。
“你看啊，咱们先把这个分块矩阵变个形。
”我一边说一边写，“通过一系列的初等变换，把它变成一个上三角矩阵。
”学生们眼睛紧紧地盯着黑板，生怕错过一个步骤。
推导完了，我问那个提问的学生：“这回明白了不？”他挠挠头说：“好像有点明白了，老师您再给我讲讲实际应用呗。
”那咱就说实际应用。
比如说，在解决一些线性方程组的时候，分块矩阵的行列式计算公式就能派上大用场。
假设我们有一个线性方程组，通过一系列的变换，把它的系数矩阵变成了一个分块矩阵的形式。
然后利用这个公式计算行列式，如果行列式不为零，那就说明这个方程组有唯一解。
再比如，在研究矩阵的特征值和特征向量的时候，也可能会用到分块矩阵的行列式计算公式。
这能帮助我们更深入地理解矩阵的性质。
总之，分块矩阵的行列式计算公式虽然看起来有点复杂，但只要您多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现它其实挺有用的。
希望您通过我的讲解，对分块矩阵的行列式计算公式能有更清楚的认识，加油去探索数学的奇妙世界吧！。
分块矩阵的行列式公式
分块矩阵的行列式公式
分块矩阵的行列式公式指的是处理具有分块结构的矩阵的行列式求值方式，是现代数学中被广泛使用的数学方法之一。
分块矩阵是指将矩阵分成多个同大小的小矩阵，也称为分块结构，即是将原来的矩阵按一定原则划分为不同的子矩阵块。
分块矩阵的行列式公式可以用来求解处理具有分块结构的矩阵的行列式值，公式如下所示：|A|=|A11 A12|=|A11| |A21 A22| |A21|，其中A为总矩阵，A11和A21分别为其分块的子矩阵。
由于分块矩阵行列式公式提供了一种简洁明了的数学方法，因此在多学科领域中得到了广泛应用。
在平面几何、博弈论、数值计算以及统计学等领域经常使用此公式。
另外，此公式还广泛用于日常生活。
比如，它可以用来分析及预测市场趋势、预测股票行情、估算宏观经济指标和进行其他类似分析，从而指导宏观经济发展，为社会提供有效的决策支持。
总的来说，分块矩阵的行列式公式以其易用性、高效性和可靠性占据着重要的地位，广泛应用于多学科以及日常生活中，为学术界和社会发展提供了强力支撑。
分块矩阵的行列式
分块矩阵的行列式1. 介绍分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，由多个矩阵组合而成。
它的主要特点是将大的矩阵分解为较小的子矩阵，通过对这些子矩阵的运算来推导整个矩阵的性质。
在线性代数中，行列式是矩阵的一个重要概念，可以用来判断矩阵是否可逆，计算矩阵的特征值等。
本文将重点介绍如何计算分块矩阵的行列式。
2. 分块矩阵的定义分块矩阵可以看作是由多个子矩阵组合而成的一个大矩阵，其中每个子矩阵可以是一个矩阵或者是一个标量。
分块矩阵通常可以表示为以下形式：$$ A = \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ A_{21} & A_{22} &A_{23} \\\\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \\\\ \\end{pmatrix} $$上述矩阵中的A ij可表示为子矩阵或者标量，每个子矩阵的形状可以不同。
根据子矩阵的位置和性质，分块矩阵可以分为多种类型，如对角分块矩阵、上三角分块矩阵、下三角分块矩阵等。
3. 分块矩阵的行列式计算方法对于分块矩阵，行列式的计算可以通过逐个计算子矩阵的行列式得到。
具体地，对于上述示例中的矩阵A，它的行列式可以计算为：$$ |A| = |A_{11}| \\cdot |A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}| \\cdot |A_{33} -A_{31}A_{11}^{-1}A_{13} - A_{32}A_{22}^{-1}A_{21} + A_{31}A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}| $$上述公式中，|A11|表示A11的行列式，A22−A21A11−1A12表示Schur补。
通过逐个计算子矩阵的行列式并按照公式相乘的方式，可以得到整个分块矩阵的行列式。
4. 适用性和优势分块矩阵的行列式计算方法适用于具有特殊结构的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等。
分块矩阵公式总结
分块矩阵公式总结对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。
将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例如将矩阵分成子块的分法很多，下面举出三种分块形式：分法（i）可记为其中即为的子块，而形式上成为以这些子块为元的分块矩阵。
证明公式时出现的矩阵正是分块矩阵，在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵，这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（i）设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中与的行数相同、列数相同，那么（ii）设为数，那么（iii）设为矩阵，为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中分块矩阵的乘法也不是很好理解的，看着和矩阵乘法很相似，但是初始做题时，还是有很多顾虑的。
要解决这些顾虑其实不难，我们可以举例说明一下。
和书上的例子一样，不过我们把过程拆开，并且多分析一下。
例设求首先按书上所说的，先把给分成4块我们把的列分成了的形式，这时候的应该怎么分块呢，我们只需要将的行分成的形式（这是因为这样可以使分块后的分块矩阵的列数也等于被乘分块矩阵的行数，从而符合矩阵的乘法），列分成多少段是无所谓的，即列的分法共有种可能。
我们找第1，3，5，8种来计算一下：第1种：则计算出结果得第3种：计算出结果得第5种：计算出结果得第8种：计算出结果得其实上面的过程也没有什么新鲜的东西，随着对分块矩阵越来越熟悉，很多都已经不是问题，只是简单总结出来：的列怎么分决定了的行怎么分；的行的分块决定了结果得行的分块，的列的分块决定了结果列的分块。
（iv）分块矩阵的转置和分块矩阵的乘法其实都是一样的，它们的运算都是整块分块矩阵的运算，其实和普通的矩阵的操作是一样的。
数学不在于第一眼是否能够想象出来，是否能看明白，很多问题光靠脑子是不够的，还得真正的拿起笔来，一步步的算，找规律。
求一些特殊类型分块矩阵的行列式
2020.32科学技术创新矩阵在数学的很多学科上例如线性代数、线性规划、组合数学等有着重要的使用价值，此外，在实际生活中的很多问题也可以抽象成矩阵进行表述和运算，因此矩阵的运算以及矩阵的应用，都值得我们去深入研究。
当矩阵的行的个数和列的个数都比较多时，这时研究矩阵的计算过程会有些复杂，为了让我们更清楚阶数更高的矩阵的结构，为了简化其运算，我们可以通过把高阶矩阵采用分块的形式来达到我们的目的，从而使有关矩阵的理论问题和实际问题都变得更加容易，这时就体现出了分块矩阵的重要性。
矩阵分块，就是把一个行数列数较多的矩阵看做是由一些小的矩阵组成。
就如矩阵的元素（数）一样，特别是在运算中，可以把这些小矩阵算作数一样处理。
把矩阵分块后再进行相应的运算会更加方便，因为利用矩阵的分块可以更加清楚矩阵间的某些联系，使得计算非常方便，方法容易总结，是处理级数较高的矩阵时常采用的方法。
定理1如果n 阶方阵p 可以分块为p=A BC D()，其中A ，D是均为方阵，且R （A ）=r ，R （D ）=n-r ，B 是r ×（n-r ）矩阵，（n-r ）×r 是矩阵。
则有如下结论：（1）当矩阵A 可逆时，有：（2）当矩阵D 可逆时，有：定理2设是M=A BC D()一个2n 级分块矩阵，其中A ，B ，C ，D都是n 阶方阵，则有结论如下：当矩阵A 可逆时AC=CA ，|M|=|AD-CB|当矩阵D 可逆时AB=BA ，|M|=|DA-CB|证明：设M=A BC D()是一个2n 级分块矩阵，其中A ，B ，C ，D都是n 阶方阵，当矩阵A 可逆时AC=CA ，|M|=|AD-CB|证明：因为矩阵A 可逆，所以A -1存在又因为AC=CA由于且得，即例1计算矩阵P 的行列式，分析：观察该行列式发现除对角元素外，其余元素都相同，所以可以用加边法升阶后对行列式进行化简，对化简后的矩阵再进行分块计算出行列式结果。
分块对角矩阵的行列式
分块对角矩阵的行列式分块对角矩阵的行列式计算是线性代数中经常遇到的问题，它在矩阵分析、图像处理、信号处理等领域中有着广泛的应用。
下面将介绍分块对角矩阵及其行列式的计算方法。
分块对角矩阵的定义分块对角矩阵是一个具有如下形式的矩阵：$A=\begin{pmatrix}A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_k\end{pmatrix}$其中$A_1,A_2,\cdots,A_k$都是方阵。
在分块对角矩阵中，每一个分块$A_i$都对角化了。
这种矩阵有许多性质，其中最重要的一条是它的行列式可以简单地计算出来。
分块对角矩阵的行列式计算方法由于分块对角矩阵是一个对角矩阵，所以它的行列式就是各个对角元素的乘积。
即：$|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_k|$这个式子并不复杂，但是我们可以将它进一步简化。
假设$A_i$的维数为$n_i$，则$A$的维数为：$n=\sum_{i=1}^{k}n_i$因此，我们可以用一个$1\times n$的行向量$r$和一个$n\times 1$的列向量$c$来表示矩阵$A$：$r=\begin{pmatrix}r_1 & r_2 & \cdots & r_n\end{pmatrix}$$c=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}$其中$r_i$和$c_i$分别是矩阵$A$中第$i$行和第$i$列的元素。
现在，我们来看一下如何用$r$和$c$来表示$A$的行列式。
根据行列式的定义，我们可以将矩阵$A$的行列式写成：$|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$其中$S_n$是$n$个元素的置换群，$a_{i\sigma(i)}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$\sigma(i)$列的元素，$\sigma$的符号$(-1)^{\sigma}$表明$\sigma$是奇置换还是偶置换。
分块行列式的计算公式四个块
分块行列式的计算公式四个块
比较简单的行列式可以通过三角法快速求解，但当行列式的阶数
增大时，计算过程会变得非常繁琐。
分块行列式的概念装置了行列式
计算中的困难。
它可以将大阶行列式分割为若干个小阶子行列式，然
后利用子行列式的计算公式来求解原行列式。
当分块时，每个子块的行数和列数可以不相等，通常用大写字母A、B、C和D表示四个块，该行列式可以化简成以下计算公式：
|A B|
|C D|=det(A)*det(D)-det(B)*det(C)
其中det(A)、det(B)、det(C)以及det(D)分别表示子块A，B，C 和D的行列式值。
类似的，当分块行列式是 9 阶时，可以将其分为三块，用大写字母A、B和C表示，此时计算公式如下；
|A B|
|C D|=det(A)*det(D-CA^(-1)B)-det(B)*det(C-DA^(-1)A)
在分块行列式的计算方法中，A 子块是关键。
A 子块计算时可以
使用 LU 分解、菲薄分解、QR 分解或最小二乘的方法，也可以使用特
定的逆矩阵计算方法，只要A子块可逆。
若该矩阵不可逆，将会严重
影响求解过程，出现矩阵无法解，甚至是奇异矩阵。
因此，在求解过
程中，事先检查矩阵的可逆性是非常必要的。
分块行列式在实际的计算问题中有着极强的实用性，尤其当行列
式的阶数很大时，使用该方法大大提高了计算的效率。
与传统的三角
分解相比，分块行列式的计算公式可以用来避免计算量大的矩阵计算。
因此，它可以有效解决计算困难的矩阵问题，使得求解大型行列式变
得容易。
矩阵分块法求行列式
矩阵分块法求行列式引言在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来刻画矩阵的性质和描述线性方程组的解的情况。
矩阵分块法是一种常用的求解行列式的方法之一，它将矩阵按照一定规则进行分块，从而简化计算过程和分析问题。
矩阵的分块表示矩阵的分块表示是指将一个大矩阵按照行或列进行分割，形成数个子矩阵，并按照一定规则排列组合起来表示原矩阵。
根据分块的方法不同，可以分为水平分块和垂直分块两种。
水平分块水平分块是指将矩阵按照行进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
假设有矩阵A，可以表示为以下形式：A=[A11A12 A21A22]其中，A11、A12、A21、A22都是子矩阵。
矩阵的分块表示可以简化为：A=[A11A12][A21A22]垂直分块垂直分块是指将矩阵按照列进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
与水平分块类似，矩阵A的垂直分块表示为：A=[A11A21][A12A22]矩阵的行列式性质在矩阵的分块表示基础上，可以推导出矩阵的行列式性质，进一步简化行列式的计算过程。
行列式的性质1：行列式的分块设矩阵A能够按照水平分块的方法表示，即A=[A11A12A21A22]，则有：|A|=|A11|⋅|A22−A21A12−1A11|其中，A12−1表示A12的逆矩阵。
行列式的性质2：上（下）三角矩阵的行列式若矩阵A是上（下）三角矩阵，则A的行列式是其对角元素的乘积。
行列式的性质3：特殊矩阵的行列式对于一些特殊的矩阵，可以直接利用其定义特点求出行列式的值。
•对角矩阵：对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积。
•置换矩阵：置换矩阵的行列式等于1或-1，具体取决于该置换矩阵是奇数个偶置换还是偶数个置换。
•元素全为0的矩阵：行列式为0。
•元素全为1的矩阵：行列式为0。
（推论：如果矩阵的某一行（列）的元素全为0，则行列式为0。
）矩阵分块法求行列式的步骤根据矩阵的分块表示和行列式的性质，可以得出矩阵分块法求行列式的步骤。
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命题 8 设 A 、 B 为 n 阶方阵 , 则 AB 与 B A 有相 同的特征多项式 , 即 λE - AB = λE - B A . 证明 当λ = 0 时 , 等式成立 . 而当λ ≠0 时 , 因 λE A - A ×( 2) + ( 1) λE - AB 0
B E A E
- A
所以
r ( C) ≤ r ( E) + min{ r ( A ) , r ( B ) } ,
所以
A
2
= E Ζ r ( A + E) + r ( A - E) = n.
r ( G) = r
A + B B
命题 2 设 A 为 n 阶方阵 , 则 2 A = A Ζ r ( A ) + r ( A - E) = n. A - E 0 E ×( 2) + ( 1) 证明 0 A
收稿日期 :2008 - 02 - 28 . 基金项目 :苏州科技大学重点学科基金资助 . 作者简介 :乔占科 ( 1960 - ) , 男 , 甘肃白银人 , 副教授 , 主要从事半群代 数理论及矩阵论的教学与研究 , E _ mail :qzhke @163. com .
0 0
A + E
A - A
0
.
0
A - E
E ×( 2) + ( 1)
所以
2 r ( A - E) + r ( A ) = r ( E) + r ( A - A ) = 2 n + r( A - A ) ,
A + E
A - E A - E
- E ×( 1) + ( 2)
A - E
0
2
- 2E A - E - 2E
0
,
证明
A 0 B B A
A 0
0 B
E ×( 2) + ( 1)
E ×( 2) + ( 1)
A +B B
B B
从而
r ( A + E) + r ( A - E) =
2 r ( 2 E) + r ( A - E) = 2 n - r ( A - E) .
,
记G =
0
B
0
, 则同时有 : r ( G) = r ( A ) + r ( B ) ,
r ( B ) + r ( AB C) ≥ r ( B C) + r ( AB ) .
= =
A - D A
-1
-1
-1
CA
-1
D
-1
-1
, .
T2
-1
- AB D D
-1
0
能用分快方法证明的命题还有许多 , 限于篇幅 , 其余不再列举 . 总之 , 在学习高等代数时 , 许多问题都 可尝试用分块方法解决 .
r ( C) = r ( AB ) + r ( E) = r
0
B
- A E
≤
由此即得
E + AB 可逆 Ζ E + B A 可逆 .
r ( B , E) + r ( A ) = r ( E) + r ( A ) .
另外 ,
r
0
B
- A E
≤r
- A E
+ r( B) = r( E) + r( B) .
B ×( 2) + ( 1)
90
AB B AB
高等数学研究 2010 年 1 月
0
E
- A ×( 2) + ( 1)
0BLeabharlann - 1 E, E A
| E + BA | = - B E = E A
E + BA A
0
E
=
记C =
0
E
0
,则
0
E + AB
= | E + BA | ,
B
E
,
因此 ,
r ( AB ) ≤ min{ r ( A ) , r ( B ) } .
λE
B
λE
λ ×( 1) + ( 2)
0
E BA ,
命题 5 设 A = ( aij ) s×n , B = ( bij ) n×m , 则 r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) - n. 证明
命题 7 设 A 、 B 为 n 阶方阵 , 若 E + AB 可逆 , 则 E + B A 也 可逆 . 证明 因为 E - B B ×( 2) + ( 1) E + BA 0
A E A E - B E
B ×( 1) + ( 2)
A E A
E
,
0
E + AB
,
所以
在线性代数的学习中 , 很多读者对于涉及矩阵或 行列式的相关命题的证明感到困难 . 事实上 , 利用矩 阵分块方法可使这些命题的证明大大简化 . 本文将利 用矩阵的分块方法给出若干命题的证明 , 从而说明矩 阵分块方法对解决线性代数相关问题的重要性 . 命题 1 设 A 为 n 阶方阵 , 证明
A
A = B C.
r ( C) ≥ r ( A ) + r ( B ) ,
而
r ( C) = r ( AB ) + n.
所以
n + r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) ,
命题 10 设
T1 = A , B , D 可逆 , 则 T1
-1
A C
0
D
因此
r ( AB ) ≥ r ( A ) + r ( B ) - n.
E A E E
B
λ
所以
|λ E - AB | =
0
AB
- A ×( 1) + ( 2)
λE
B
A E
=| λ E - BA | ,
0 0
AB
E
- B ×( 1) + ( 2)
- B
A
0
,
记C =
0
AB
0
,则
命题得证 . 可进而证明 , 当 A 、 B 分别为 m ×n 和 n ×m 阵时 , m- n4 λ | E m - AB | = λ |λ En - BA | . 用分块方法可更简洁地证明下述命题 : 命题 9 设 A 是秩为 r 的 m ×n 矩阵 , 则存在秩 为 r 的 m ×r 矩阵 B 和秩为 r 的 r ×n 矩阵 C , 使
B B
≥ r( A + B) ,
所以
r( A + B) ≤ r( A) + r( B) .
命题 4 设 A 为 s × m 阵 ,B 为 m × n 阵 , 且 E = Em , 则
r ( AB ) ≤ min{ r ( A ) , r ( B ) } . AB 0
证明
0 E
2
A - E
A A E A E
- E( 1) + ( 2) - A ×( 1) + ( 2)
0
A - E
0
A - E A - A
2
= E Ζ r ( A + E) + r ( A - E) = n. A + E
0 0
( E - A) ×( 2) + ( 1)
E
2
其中 E 为 n 阶单位矩阵 . 证明
, T2 =
A
B D
0 0
,
命题 6 设 A 、 B、 C 均为同阶方阵 , 则 r ( AB ) + r ( B C) ≤ r ( B ) + r ( AB C) . B 0 A ×( 1) + ( 2) 证明 0 AB C B 0 B - BC , AB A B C - C ×( 1) + ( 2) AB 0 所以
参考文献
[ 1 ] 王萼芳 . 高等 代 数 教 程 [ M ]. 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社 , 1996 :111. [ 2 ] 谢邦杰 . 线 性代 数 [ M ] . 北京 : 人民教 育 出 版 社 ,1978 : 47 - 87. [ 3 ] 屠伯埙 . 线性代数方法导引 [ M ] . 上海 : 复旦大学出版社 , 1986 :98 - 104. [ 4 ] 屠伯埙 . 高等代数 [ M ] . 上海 : 上海科学技术出版社 , 1986 :220 - 232.
2
×( 1) + ( 2)
因此
A
2
= A Ζ r ( A ) + r ( A - E) = n.
A + E A - E
命题 3 两个矩阵的和的秩不超过这两个矩阵 的秩的和 . 即
A + E
2
2
0 0
A - E
2
×( 2) + ( 1)
r( A + B) ≤ r( A) + r( B) .
- 2E
2
Vol. 13 ,No . 1 高等数学研究 J an. , 2010 STUDIES IN COLL E GE MA T H EMA TICS
89
矩阵分块方法的应用
乔占科
( 苏州科技大学数学系 , 江苏苏州 , 215009)
摘 要 矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法 , 选择合适的分块方法可使一些证明变得简单明了 . 利用 矩阵的分块方法给出关于矩阵的秩 、 特征多项式 、 行列式的若干等式 、 不等式及相关命题的简洁证明 , 有利于初学 者理解和掌握 . 关键词 矩阵分块 ; 矩阵的秩 ; 行列式 . 中图分类号 O151 . 21