1990考研数学三真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)

极限n →∞

=_________.

(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数

()sin ,0,(),0f x a x

x F x x

A x +⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩

在0x =处连续,则常数A =___________.

(3) 曲线2

y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.

(4) 若线性方程组121232

343414

,

,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.

(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80

81

,则该射手的命

中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan x

f x x x e

=⋅⋅,则()f x 是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常

数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s αααL 线性无关的充分条件是 ( )

(A) 12,,,s αααL 均不为零向量

(B) 12,,,s αααL 中任意两个向量的分量不成比例

(C) 12,,,s αααL 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示

(D) 12,,,s αααL 中有一部分向量线性无关

(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )

(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =

(C) ()

()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为

则下列式子正确的是 ( ) (A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}1

2

P X Y ==

(D) {}1P X Y ==

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2

ln ()21

x

e

t I x dt t t =-+⎰

在区间2

[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分

2

y

D

xe dxdy -⎰⎰

,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.

(3) 求级数2

1

(3)n

n x n ∞

=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )x

y y x x e

-'+=的通解.

四、(本题满分9分)

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入

R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:

22

1212121514328210.R x x x x x x =++---

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；

(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b

、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

1234512345

234512345,3230,226,54332,

x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨

+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0k

A =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵).

八、(本题满分6分)

设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量.

九、(本题满分4分)

从0,1,2,,9L 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.

十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:

0.50.50.5(),0,0,

(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩

1-若其他.

(1) 问X 和Y 是否独立?

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.