2014年秋浙教版九年级数学上3.5圆周角(1)课件
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3.5.2 圆周角定理的推论2 课件(共18张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
都等于
∠AOB
E
∠C=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等.
反之，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是否
也相等？
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
做一做
如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.
C
找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
D
1
2
∠1=∠ABD
.O
3
∠2=∠CAB
∠2=∠CBD
A
B
例1 已知：如图，△ABC内接于圆O，∠ACB=2∠ABC，点D平
Ⴃ
分.求证：AC=BD.
D
【提示】
B
先构造等弧所对的圆周角，再利用
圆周角定理的推论是解题关键.
A
C
证明：连结CD.
Ⴃ
Ⴃ
∵ = ，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆中，
例3 如图，在世界杯足球比赛中，甲运动员带球向对方球门PQ
进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，有两种
射门方式，第一种是甲直接射门，第二种是甲将球传给乙，
由乙射门，仅从射门角度考虑，应选择第____种射门方式．
二
例4
求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
解：已知：AB，CD是⊙O的两条弦，且
以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑，船与暗礁区
的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，
由圆周角定理知，∠AEB=∠ACB=50°，
∵∠AEB是△SEB的一个外角，
3.5 圆周角九年级上册数学浙教版
敲黑板如图所示， ； ； ； ； .以上5个信息，知道其中任意1个，都可以推出其余的4个.
典例2 （2023·湖州南浔区期中）如图，已知 是 的直径， ， 平分 ，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图，连结 .
是直径， . 和 是 所对的圆周角， ， .
弧的度数是其所对的圆周角度数的2倍
示例2
同弧所对的圆周角与圆心角的关系
2.圆周角定理的证明：证明圆周角定理时，需根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况进行讨论，具体证明过程如下表：
分三种情况
证明过程
圆心 在圆周角的一边上
, .又 是 的外角, , .
分三种情况
证明过程
圆心 在圆周角的内部
A
A. B. C. D.
图 2
[解析] 如图2，连结 ， ， ， ， ．
知识点3 圆周角定理的推论 重点
圆周角定理的推论
文字语言
图示
数学语言
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径.
是 的直径（ 是半圆所对的圆周角）， .
是半圆所对的圆周角， ， 是 的直径.
圆周角定理的推论
文字语言
图示
数学语言
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
， .
， .
续表
推导过程：连结 ， ， ， ， ， ， ，
注意 同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角不一定相等，因为一条弦所对的圆周角有两种情况（在弦的同侧或异侧）.如图所示， <m></m> ，但 <m&的结果，得 , , ,即 .
续表
分三种情况
典例2 （2023·湖州南浔区期中）如图，已知 是 的直径， ， 平分 ，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图，连结 .
是直径， . 和 是 所对的圆周角， ， .
弧的度数是其所对的圆周角度数的2倍
示例2
同弧所对的圆周角与圆心角的关系
2.圆周角定理的证明：证明圆周角定理时，需根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况进行讨论，具体证明过程如下表：
分三种情况
证明过程
圆心 在圆周角的一边上
, .又 是 的外角, , .
分三种情况
证明过程
圆心 在圆周角的内部
A
A. B. C. D.
图 2
[解析] 如图2，连结 ， ， ， ， ．
知识点3 圆周角定理的推论 重点
圆周角定理的推论
文字语言
图示
数学语言
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径.
是 的直径（ 是半圆所对的圆周角）， .
是半圆所对的圆周角， ， 是 的直径.
圆周角定理的推论
文字语言
图示
数学语言
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
， .
， .
续表
推导过程：连结 ， ， ， ， ， ， ，
注意 同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角不一定相等，因为一条弦所对的圆周角有两种情况（在弦的同侧或异侧）.如图所示， <m></m> ，但 <m&的结果，得 , , ,即 .
续表
分三种情况
浙教版初中数学九年级上册 圆周角 课件 优秀课件资料
5、下列命题中是真命题的是（D ）
OB
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 C
（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 O
（D）120º的弧所对的圆周角是60º
B AC
问题讨论
如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什 么?
∠B = ∠D= ∠E
3.5圆周角 (2)
课前测验
1、100º的弧所对的圆心角等于__1_0_0_º__，所对的圆周角等于 ___5_0_º__。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，
则这弦所对的圆周角度数为_3_6_º_或__1__4_4_º______。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=_6_4_º_____。 4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=1_0__0_º__。 A
2.已知:四边形ABCD的顶点都在⊙O上,BD 平分∠ABC,且AB∥CD.求证:CB=CD.
D C
A
B
提高拓展:
已知△ABC内接于半径为7的⊙O中， AB=AC，圆心O到BC的距离为3， 求腰AB的长
16.只有毅力才会使我们成功，而毅力的来源又在于毫不动摇，坚决采取为达到成功所需要的手段。 26、我们的事业就是学习再学习，努力积累更多的知识，因为有了知识，社会就会有长足的进步，人类的未来幸福就在于此。 10、含泪播种的人一定能含笑收获。 4.人生不易，生活很难，家家都有难念的经，人人都有辛酸的泪，没人知道，痛苦会在哪个时段出现，也没人清楚，烦恼会在哪个地方出现。 我们能做的，就是做好自己，珍惜拥有。
D
B E
●O
A
C
图1
圆周角课件浙教版初三九年级]
![圆周角课件浙教版初三九年级]](https://img.taocdn.com/s3/m/4688cade2af90242a995e57f.png)
才能保证不进入
O
暗礁区?
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大 于“危险角”时，船位于哪个区域？ 为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小 于“危险角”时，船位于哪个区域？ 为什么？
P
E
C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一 座桥,已知桥AB长100m.测得圆周 角∠C=45°求这C 个人工湖的直径.
图2
图1
图3
问题解 用于找 1同、圆圆或周等角圆定中理答，的同推弧论或1等：相弧角等所的对的圆
周角相等；
2同、圆圆或周等角圆定中理，的相推等论的2：圆周角所对的
弧也相等。
用于
半圆（或直径）所对的圆周角找是相
等的
直角；
用于判弧断
90°的圆周角所对的弦是直某径个圆。周
用角于是判否断是
某条直线角是
否过圆心
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一 座桥,已知桥AB长100m.测得圆周 角∠C=45°求这C 个人工湖的直径.
D
A
B
1.说出命题’圆的两条平行弦所 夹的弧相等”的逆命题.原命题 和逆命题都是真命题吗?请说明 理2.已由知. :四边形ABCD内接于 圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求 证:AD=CB. D
C
A
B
如图:AB是⊙O的直径,弦 C一D点⊥A,延ACB长于A点G,E与,GD是C的⌒延上长任线意
相交于点F,连接AD,GD,CG,找 出图中所有和∠ADC相等的角, 并说明理由F.
G C
O
E B
A
D
1如图,⊙O中,AB是直径,半径 CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB, 求证:弧EC=弧2EA.
浙教版数学九上3.5《圆周角》ppt课件2
Ａ ＤE
Ｏ Ｂ
Ｃ
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
C
O
C
D
O
O
ADB
⑴
A
B
⑵
A
B
⑶
练一练： 1、如图，已知点C是⊙O上一点，∠AOB=100°,则∠ACB的度数为__________
1300
P
O A
B C
练一练： 2、如图,∠A是⊙O的圆周角。 (1)若∠A=400,则∠BOC的度数为_______ (2)若∠B=200,∠C=250,则∠BOC的度数为_____
做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
① ②
③
④
顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。来自 做一做：找出图中的所有圆周角.
D
A
B C
画一画
请画出AB所对的圆心角以及圆周角
O
A
B
画一画
命题：(圆周角定理)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半。 C
在⊙⊙O上O上，，求∠证A：＝∠10B0+°∠，D=点18E0在0 BC的延长线上
求∠DCE的度数。
Ｄ
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｃ E
例题欣赏
变式3：如图,在⊙O中，∠AOC=12⌒00，∠ACB=250,求∠BAC的度数。 变式2：如图, B是AC上的一点，∠AOC＝n°，求∠ABC的度数 。
Ｄ
Ａ
Ｏ
Ｂ Ｃ
想一想
如图,在△ABC中,以BC边为直径画圆,分别交AB,AC于点D,E,连结BE,CD.已知BE=CD，求 证:△ABC是等腰三角形.
【最新】浙教版九年级数学上册公开课课件：3.5.1圆周角(2)
3.5 圆周角 (2)
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且 两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
E C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
A
B
1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:AD=CB.
D A B
●
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
O C
E
B
O 图2
C
B
●
O
C
A
图1
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2：
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且 两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
E C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
O
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 C 湖的直径.
A
B
1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等” 的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请 说明理由. 2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分 ∠ABC,且AB∥CD.求证:AD=CB.
D A B
●
问题 1 、如图 1, 在⊙ O 中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关 系?为什么? ∠B = ∠D= ∠E
O C
E
B
O 图2
C
B
●
O
C
A
图1
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2、圆周角定理的推论2：
即
A C
●
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
A C B
第2课时圆周角定理的推论2---同步课件浙教版数学九年级上册
第3章圆的基本性质
3.5 第2课时 圆周角定理的推论2
知识回顾
1. 圆心角与所对的弧的关系 圆心角的度数等于所对弧的度数 2.圆周角的特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
3.圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.圆周角定理的一个推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
利用推论2可以证 明线段相等
∴A⌒C=B⌒D（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴AC=BD.
例2 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角 ∠C=50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
分析 由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样躲开 暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角（∠ASB)去 考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与 ∠ACB的大小关系来确定.请你自己写出求解过程.
在不添加任何辅助线的情况下，请在图中找出 一对相等的角：∠_D_A_B_=_∠__D_C_B__
4.如图，在△ ABE 中，AB＝AE，以 AB 为直径
的半圆 O 与 AE，BE 分别交于点 C，D.求证： BDCD.
证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
即 AD⊥BE. 又∵AB＝AE， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴ BD CD .
学习目标
1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过 程. 2.掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相 等的圆周角所对的弧也相等. 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单 几何问题.
获取新知
圆周角定理的另一个推论
A2
A1
A
3
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
3.5 第2课时 圆周角定理的推论2
知识回顾
1. 圆心角与所对的弧的关系 圆心角的度数等于所对弧的度数 2.圆周角的特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
3.圆周角定理 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
4.圆周角定理的一个推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
利用推论2可以证 明线段相等
∴A⌒C=B⌒D（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），
∴AC=BD.
例2 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角 ∠C=50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?
分析 由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样躲开 暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角（∠ASB)去 考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与 ∠ACB的大小关系来确定.请你自己写出求解过程.
在不添加任何辅助线的情况下，请在图中找出 一对相等的角：∠_D_A_B_=_∠__D_C_B__
4.如图，在△ ABE 中，AB＝AE，以 AB 为直径
的半圆 O 与 AE，BE 分别交于点 C，D.求证： BDCD.
证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
即 AD⊥BE. 又∵AB＝AE， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴ BD CD .
学习目标
1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过 程. 2.掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相 等的圆周角所对的弧也相等. 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单 几何问题.
获取新知
圆周角定理的另一个推论
A2
A1
A
3
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
浙教版九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.5 圆周角 课件(共22张PPT)
P
O
A
B
C
2. 已知Rt △ABC中，∠ABC＝90°，D是AC 中点，⊙O经过A、D、B三点，CB延长线交 ⊙O于E，求证：CE=AE
3.如图,在△ABC中,以BC边为直径画圆,分别交
AB,AC于点D,E,连结BE,CD.已知BE=CD，
求证:△ABC是等腰三角形.
Ａ ＤE
Ｏ Ｂ
Ｃ
试一试
只给你一把三角尺，你能找出一个 圆（如图）的圆心吗？
DA
∠D
∠DAC
B
∠DAB
C ∠BAC
∠B
画一画
请画出AB所对的圆心角以及圆周角.
O
A
B
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
画一画
C
O
A
B
⑴
C O
A
B
⑵
C
O
A
B
⑶
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/112021/8/11Wednesday, August 11, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/112021/8/112021/8/112021/8/118/11/2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 11日星 期三2021/8/112021/8/112021/8/11
2
A C
●O
B
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,
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倍 速 课 时 学 练
A O B C B D O
A
O
A
C
D
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
OA OC A C BOC A C
倍 速 课 时 学 练
1 A BOC 2
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
A O B C
倍 速 课 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 时 学 练
O
.
课堂总结：
这节课我们都有什么收获？
倍 速 课 时 学 练
A
O
C B
1 1 AOB，BAC BOC 2 2 又 AOB 2BOC ACB 2BAC
做做看，收获知多少？
一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。（ × ）
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。（ √
二、计算
）
半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的 圆周角的度数是 60°或120° 倍 速 课 时 学 练 。
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A A O B 倍 速 课 时 学 练 C
做一做，成功在向你招手！
已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数.
O
A
B C
倍 速 课 时 学 练
你能解决它吗？
已知：OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∠AOB=2∠BOC
求证：∠ACB= 2 ∠BAC 证明： ACB 倍 速 课 时 学 练
倍 速 课 时 学 练
2014年9月3日
C O A B
1、请说出圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、如图，已知∠AOB=80°，
①求AB弧的度数； 80° 40°
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求
∠C的度数。
倍 速 课 时 学 练
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
倍 速 课 时 学 练
想一想
一个圆的圆心角与圆周角可能有几种关系？
A
A
A
O
B
.
C B D
O
.
C
O
D B
.
C
倍 速 课 时 在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？ 学 练
探索研究： 如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样 的关系？ 命题：(圆周角定理)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
A O B C B D O
A
O
A
C
D
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
OA OC A C BOC A C
倍 速 课 时 学 练
1 A BOC 2
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
A O B C
倍 速 课 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 时 学 练
O
.
课堂总结：
这节课我们都有什么收获？
倍 速 课 时 学 练
A
O
C B
1 1 AOB，BAC BOC 2 2 又 AOB 2BOC ACB 2BAC
做做看，收获知多少？
一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。（ × ）
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。（ √
二、计算
）
半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的 圆周角的度数是 60°或120° 倍 速 课 时 学 练 。
如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A A O B 倍 速 课 时 学 练 C
做一做，成功在向你招手！
已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数.
O
A
B C
倍 速 课 时 学 练
你能解决它吗？
已知：OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∠AOB=2∠BOC
求证：∠ACB= 2 ∠BAC 证明： ACB 倍 速 课 时 学 练
倍 速 课 时 学 练
2014年9月3日
C O A B
1、请说出圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、如图，已知∠AOB=80°，
①求AB弧的度数； 80° 40°
②延长AO交⊙O于点C，连结CB，求
∠C的度数。
倍 速 课 时 学 练
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
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想一想
一个圆的圆心角与圆周角可能有几种关系？
A
A
A
O
B
.
C B D
O
.
C
O
D B
.
C
倍 速 课 时 在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？ 学 练
探索研究： 如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样 的关系？ 命题：(圆周角定理)
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。