2018届南昌市高三摸底调研考试理科数学
江西省南昌市高三摸底考试理科数学试题
2018届ncs0607摸底调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只13．4514. 10-15. 16. [3--三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.【解析】（1）∵122nnS+=-，∴当1n=时，1111222a S+==-=；当2n≥时，11222n n nn n na S S+-=-=-=，又∵1122a==，∴2nna=. ………………6分（2）由（1）知，1242n nn n nb a S+==⋅-，∴1232311232(4444)(222)n n n nT b b b b+ =++++=++++-+++124(14)4(12)24242141233n nn n++--=⨯-=⋅-+--. ………………12分18.∴240(131278)2.5 2.70620202119K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. ………………6分（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，X的所有可能取值为0，1，2，363820(0)56CP XC===，12263830(1)56C CP XC===，12623186(2)56C CP XC===， (9)分∴X的分布列如下：∴20()012.5656564E X=⨯+⨯+⨯=19.【解析】（1）证明：∵,M N分别为,PD AD的中点，………………12分则MN∥PA.又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt ACD ∆中，60,CAD CN AN ∠==o， ∴60ACN ∠=o.又∵60BAC ∠=o ， ∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . ………………4分 又∵CN MN N =I ， ∴平面CMN ∥平面PAB . ………………6分 （2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC I 平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ， 如图，以点A 为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系， ∴(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,23,0)A C P D ，N ，∴(1,3,0),(1,3,2)CN PN =-=-，设(,,)x y z =n 是平面PCN 的法向量，则0CN PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020xx z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取=n， 又平面PAC的法向量为(0,CD =，∴cos ,|||CD CD CD ⋅===n n n |， 由图可知，二面角N PC A --的平面角为锐角，∴二面角N PC A -- …………12分20.【解析】（1）设焦距为2c ，由已知c e a ==22b =，∴1b =，2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ………………4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=，依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，① 2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =，∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)4()404141m km k km m k k --⋅+⋅-+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②………………9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤， ………………10分∵原点O 到直线l的距离d =，∴2222225941114(1)k m d k k k -===-++++， 又∵215204k <≤，∴2807d ≤<， ∴原点O 到直线l的距离的取值范围是[0,7. ………………12分21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2114()4mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，解()0f x '>得0x <<，∴()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减. ………………6分 （2）由（1）知，当0m >时，()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减.∴max 111()2ln 2ln ln 2422f x f m n m n m ==-⋅-=----=-， ∴11ln 22n m =--， ∴11ln 22m n m m +=--，令11()ln 22h m m m =--，则121()122m h m m m -'=-=， ∴()h m 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，∴min 11()()ln 222h m h ==， ∴m n +的最小值为1ln 22. ……………………12分22.【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=，即22430x y y +--+=，则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=， …………………3分∵直线2C的方程为3y x =， ∴直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈. …………………5分（2）设1122(,),(,)P Q ρθρθ， 将()6R πθρ=∈代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=得，2530ρρ-+=，∴123ρρ⋅=， ∴12|||| 3.OP OQ ρρ⋅== …………………10分23.【解析】（1）∵()5|2|f x x >-+可化为|23||2|5x x -++>，∴当32x ≥时，原不等式化为(23)(2)5x x -++>，解得2x >，∴2x >； 当322x -<<时，原不等式化为(32)(2)5x x -++>，解得0x <，∴20x -<<；当2x ≤-时，原不等式化为(32)(2)5x x --+>，解得43x <-，∴2x ≤-.综上，不等式()5|2|f x x >-+的解集为(,0)(2,)-∞+∞. …………………5分（2）∵()|23|f x x =-，∴()()()|223||223|g x f x m f x m x m x m =++-=+-+-- |(223)(223)||4|x m x m m ≥+----=，∴依题设有4||4m =，解得1m =±. …………………10分。
【省会检测】2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=（）A．（﹣∞，4]B．{1，3}C．{1，3，5}D．[1，3]2．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知角α的终边经过点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）=（）A．B．C．D．4．已知奇函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）是导函数，若x＞0时f'（x）＞0，则（）A．f（0）＞f（log32）＞f（﹣log23）B．f（log32）＞f（0）＞f（﹣log23）C．f（﹣log23）＞f（log32）＞f（0）D．f（﹣log23）＞f（0）＞f（log32）5．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y=kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．6．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为（）A．B．C．D．7．已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（）A．6+B．C．D．88．执行如图程序框图，则输出的n等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．函数f（x）=（﹣π≤x≤π）的图象大致为（）A．B． C．。
江西省南昌市2018届高三第二次高考模拟考试理数试题(精编含解析)
江西省南昌市2018届高三第二次高考模拟考试数学（理）试题全解全析点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数相等的概念，及复数的表示，着重考查了推理与运算能力．3．B成立，反之：如B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．D【解析】分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，分别求出它的底面面积和高，代入体积公式，即可求解．详解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，如图所示，，，高为所以该三棱柱的体积为D．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，当循环次数不多时或有规律时，常常采用模拟循环的方法求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6．AA．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7．C，求得详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，在不等式组，故选C．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确作出约束条件所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．的值，得到函数的解析式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．A【解析】分析：的值．点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．11．C【解析】分析：当且仅当时，等号是成立的，故选C．点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用．12．A曲线的焦点坐标，设出圆心坐标，列式求出圆心坐标，进一步求得半径，即可求解圆的方程．详解：如图所示，的内切圆切，点睛：本题主要考查了双曲线定义及几何性质的应用，以及圆的标准方程的求解，其中解答中联立方程方程组，求得圆心的坐标是解答的关键，试题运算量较大，化简繁琐，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．13．0.79产品在这项指标上的合格率．内的频率为点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.14．1果．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．点睛：本题主要考查了的实际应用问题，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求解函数的极值与最值，其中正确理解题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．17．（1（2【解析】分析：（1）利用已知条件，求得等比数列的首项与公比，即可求解数列的通项公式；（2）由（1详解：（1，解得，，解得所以数列的通项公式为（2所以所求数列的前100点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18．（1）见解析；（2点睛：本题考查了线面位置关系的判定及应用判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）根据平均分的计算公式，即可求解（2）对4和5号评委排名偏差平方和，即可作出判断．（3求解数学期望．详解：（1）依据评分规则：所以选手的均分及最终排名表如下：（2）对4号评委分析：4号评委评分分析表对5号评委分析：5号评委评分分析表点睛：本题主要考查样本估计总体的应用、及随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要认真准确审题，利用统计的公式作出正确计算，确定随机变量的取值，求得相应的概率，求得分布列是解答的关键，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20．（1（2得，又因为为长轴端点，此时点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．（1）6；（2）见解析，函数的图象有且只有一个交点，得.（2）由（1，，时，，即.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．22．（1（2点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，熟记极坐标与直角坐标的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．23．（1（2点睛：本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
江西省南昌市2018届高三上开学摸底考试数学试题(理)含答案
C83 56
C83 56
C138 56
分
∴ X 的分布列如下：
X
0
1
2
20
30
P
56
56
∴ E( X ) 0 20 1 30 2 6 3 . 56 56 56 4
19.【解析】（1）证明：∵ M , N 分别为 PD, AD 的中点，
则 MN ∥ PA .又∵ MN 平面 PAB ， PA 平面 PAB ，
又∵ a1 2 21 ， ∴ an 2n .
………………6 分
（2）由（1）知， bn anSn 2 4n 2n1 ，
∴ Tn b1 b2 b3 bn 2(41 42 43 4n ) (22 23 2n1)
（2）若直线 C2 与曲线 C1 交于 P, Q 两点，求| OP | | OQ | 的值.
23．[选修 4—5：不等式选讲](10 分)
设函数 f (x) | 2x 3 | . （1）求不等式 f (x) 5 | x 2 | 的解集； （2）若 g(x) f (x m) f (x m) 的最小值为 4 ，求实数 m 的值.
A． 2
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
11. 已知动直线 l 与圆 O : x2 y2 4 相交于 A, B 两点，且满足| AB | 2 ，点 C 为直线 l 上
一点，
且满足
uur CB
5 2
uur CA
，若
M
是线段
AB
的中点，则 OC
OM
的值为
A． 3
B． 2 3
0.05
k
江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试数学理科试卷及答案解析
江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试数学理科试卷及答案解析1第一次模拟测试卷理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4A xN yx ，21,Bx xn n Z ，则AB( )A.,4B.1,3C.1,3,5D.1,32.欧拉公式cos sin ixexi x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。
根据欧拉公式可知，3xie 表示的复数位于复平面中的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角的终边经过点sin47,cos47P °°，则sin13°( )A.12B.32C.12D.324.已知奇函数'f x 是函数f x xR 是导函数，若0x时'0f x，则( ) A.320log 2log 3f f fB.32log 20log 3f f fC.23log 3log 2ff f D.23log 3log 2ff f 5.设不等式组301035xy x y xy 表示的平面区域为M ，若直线y kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A.1,22B.14,23C.1,22D.4,236.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b ，则斜边长为22a b ，直角顶点到斜边的距离为22ab ab，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为123,,S S S ，类比推理可得底面积为223123S S S ，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A.1233223123S S S SSSB.123223123S S S SSSC.1232231232S S S SSSD.1232231233S S S S S S 7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )。
(完整版)【省会检测】2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的•1.已知集合「〔：・：「• ■ ，: ，B={x|x=2n+1, n € Z}，则 A H B=( A .(-x ，4] B. {1, 3} C . {1, 3, 5} D. [1, 3]2.欧拉公式e ix =cosxHsinx (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,的复数位于复平面中的(6.平面内直角三角形两直角边长分别为 a , b ,则斜边长为一 •’]；',直角顶点到斜边的距离为 -- - -- ，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S , 9, S 3，类比推理可得底面积为•：•：-■!「，则三棱锥顶点到底面的它将指数函数的定义域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复 e变函数论里非常重要，被誉为数学中的天桥”根据欧拉公式可知,表示A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D .第四象限 3. A .4. 已知角a 的终边经过点P (sin47 , cos47),则sin ( a- 13°)=( -B -- 已知奇函数f (x )是函数f (x ) (x € R )是导函数，若x >0时f(x )C.亠 D . > 0,A .f (0)> f (log 32) >f (- log 23) B. f (log 32)> f (0)> f (- log 23) C.f (- log 23)>f (log 32)> f (0) D . f (- log 23)>f (0)>f (log 32) 5.x+y-3^0设不等式组rfS 表示的平面区域为 M ,若直线y=kx 经过区域M 内的13x^-5^ 0点，则实数k 的取值范围为( ) A . ,2] B.C.■ : D.,2]距离为( )ABCD7 AB5否A 1 )921 r.CA BC. 3B. 2D . 43S|S^S3打1见巧 I J +S J +S^S1S2 S3 F^I正方形，那么组合体的侧视图的面积为（）已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示， 图中网格是单位 si nx（-n< X < n 的图象大致为（C.卜…'D. 88.执行如图程序框图，则输出的n 等于（）函数f (x )T1=T ］十110.已知具有线性相关的五个样本点 A i (0, 0), A (2, 2), A (3, 2), A 4(4, 2), A (6, 4),用最小二乘法得到回归直线方程l i : y=bx+a ,过点A i , A的直线方程l 2： y=mx+ n ,那么下列4个命题中，55①m >b , a > n ；②直线|1过点A s ；③丄Ii=li-155E IlYi-iriXj-ni=li 二Ln__ n __刀右人-nicy E (利-耳)@1-v) b=1 1n,且二小瓷)眉2 _2L Xi-FLX i=l正确命题的个数有A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个蛊一过 二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13.(肢)好-1)展开式中的常数项为 ______________ .14 .平面向量a=(l, m)，医4曲，若有〔2| a |-|b |) Ca+b)=O ，则实数 m= _____ .15. 在圆«+y 2=4上任取一点，则该点到直线 x+y -2一 =0的距离d €［0, 1］的£ &厂工严1=111.设函数fCx) =，若 f (x )的最大值不超过 1,则实数a-1 i+l | ~a* x^a+1)［号 +OO)B.(寻 g)c.［寻 0)的取值范围为(A .12.已知椭圆班2 2O 为坐标原点, D .「一一 节A ,B 是椭圆上两点, OA , OB 的斜率存在并分别记为k oA k oB ,且二，•兰卜-丄,贝一命 也 的最小值为()A . B.D.概率为_______ .16. 已知台风中心位于城市A东偏北a （a为锐角）度的150公里处，以V公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北为锐角）度的200 公里处，若cos a=-|C osP，则v= ___________________ .三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12.00分）已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n，满足®=2a4- 1, Ss=2a3- 1. （1）求｛a n｝的通项公式；（2）记b n=log2（a n?a n+1），数列｛b n｝的前n项和为T n，求证:I…丨」"-.T118. （12.00分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在［50, 100］，按照区间［50, 60），［60, 70），［70, 80），［80, 90），［90，100］进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.关”甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计(2)从乙班［70, 80), ［80, 90), ［90, 100］分数段中，按分层抽样随机抽取7 名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自［80, 90)发言的人数为随机变量X, 求X的分布列和期望.附：K2=Ca+bytl+d) (a+c) (b+d) ?P (K2》k0) 0.10 0.05 0.025k0 2.706 3.841 5.02419. (12.00分)如图，四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD, ABCD为直角梯形, AD// BC, AD丄AB, AB=BC=AP=AD=3, AC A BD=O,过O点作平面a平行于平面PAB平面a与棱BC, AD , PD , PC分别相交于点E , F, G , H.(1)求GH的长度；(2)求二面角B- FH- E的余弦值.20. (12.00分)已知抛物线C: y2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为I ,过焦点F 的直线交C于A (X1 , y1), B (X2 , y2)两点，y1y2 = - 4.(1)求抛物线方程；(2)点B在准线I上的投影为E , D是C上一点,且AD丄EF,求厶ABD面积的21. (12.00分)已知函数f (x) =ln (ax) +bx在点(1, f (1))处的切线是y=0.(1)求函数f (x)的极值；(2)当［Q+上工恒成立时，求实数m的取值范围(e为自然对第7页（共29页）数的底数).22. (10.00分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为厂…( 9［尸2“口8 +2为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)若直线h, 12的极坐标方程分别为eU^-(p ER) , ER)，设直6 3线11，12与曲线C的交点为O, M , ”，求厶OMN的面积.23. 已知f (x) =| 2x+3a2| .(1)当a=0时，求不等式f (x) +|x-2| >3的解集；(2)对于任意实数x,不等式|2x+1| - f (x)v 2a成立，求实数a的取值范围.2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知集合「〔：・：「• ■ ，: , B={x|x=2n+1, n € Z}，则 A H B=（ ） A . （-x, 4] B. {1，3} C . {1，3，5} D. [1，3]【分析】先解出集合A={0，1，2，3，4}，然后可判断1, 3€ B ,进行交集的运 算即可求出A H B .【解答】解: A={0, 1, 2, 3, 4}; 对于集合B : n=0时，x=1; n=1时，x=3; 即 1, 3€ B ； ••• A H B={1, 3}. 故选：B.【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算.的复数位于复平面中的（则答案可求.2.欧拉公式e iX =cosxHsinx （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的， 它将指数函数的定义域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复JTe变函数论里非常重要，被誉为数学中的天桥”根据欧拉公式可知, 表示A .第一象限B.第二象限C.第三象限D .第四象限 【分析】直接由欧拉公式e iX=cosxHsinx ,可得TT3eJU JU I =cos ~— - . _2第7页（共29页）【解答】解：由欧拉公式e iX=cosxHsinx，可得JT表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：A.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是基础题.3. 已知角a的终边经过点P (sin47 , cos47),则sin ( a- 13°)=( )二 B. C. - D.2 : 2 2 2【分析】根据三角函数的定义求出sin a和cos a结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可.【解答】解：：r=|0p= =1，二sin a -------- =cos47°cos a= =sin47 )11则sin( a- 13°) =sin a cosl—c os a sin13 °=cos47°coss3i47 )n13 =cos(47°+13°)=cos60 °,故选：A.【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键.4. 已知奇函数f (x)是函数f (x) (x€ R)是导函数，若x>0时f (x)> 0, 则( )A. f (0)>f (log32)>f (- log23)B. f (log32)>f (0)> f (- log23)C. f (- log23)>f (log32)> f (0)D. f (- log23)>f (0)>f (log32)【分析】判断f (x)的单调性和奇偶性，再判断大小关系.【解答】解：••• f'(x)是奇函数，且x>0时f (x)>0，•••当x v0 时，f 7x)v 0，••• f (x)在(-X，0)上单调递减，在(0，+x)上单调递增，•••- f 7 - x) =f'( x)，•f (- x) =f (x)，•f (x)是偶函数.log23> log32> 0,二 f (- log 23) =f (Iog 23)> f (Iog 32)> f (0). 故选：C. 【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题. 5. 设不等式组-i^l>0表示的平面区域为M ,若直线y=kx 经过区域M 内的 3飞^5《0 点，则实数k 的取值范围为( ) 存2] B 【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数 y=kx 的图象是过点0(0, 0), 斜率为k 的直线I ,故由图即可得出其范围.【解答】解：由不等式组 丈十，作出可行域如图,13x-y-5^ 0如图.因为函数y=kx 的图象是过点0 (0, 0), 且斜率为k 的直线I ,由图知，当直线I 过点A (1, 2)时，k 取最大值：2,当直线I 过点B (2, 1)时，k 取最小值：订， 故实数k 的取值范围是[丄,2]. 故选：C.A . C.【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大 值与最小值.这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档 题. 6.平面内直角三角形两直角边长分别为 a ,b ,则斜边长为一 ■'］：',直角顶点距离为（）A .【分析】三棱锥P - ABC PA PB, PC 两两垂直，P 在底面的射影为H ,设PA=a PB=b, PC=c 运用三棱锥的体积公式和等积法，计算可得所求距离.【解答】解：如图三棱锥P -ABC, PA, PB , PC 两两垂直,P 在底面的射影为H ,设 PA=a PB=b, PC=c可得 S^^ab , S2^-bc , S B ^-ca,可得 abc=2 -------- 「「由题意可得底面积为■■： ■：.｝：.,由等积法可得丄x^-abc 丄PH? :,到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积 分别为S , 9, S 3，类比推理可得底面积为--.:一 |「一，则三棱锥顶点到底面的【点评】本题考查类比推理的应用，注意平面与空间的区别和联系，考查等积法的运用，属于中档题.7. 已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（）A. 6+ B^ — C.卜…八D. 8【分析】几何体为圆台和三棱锥的组合体，根据三视图的对应关系计算侧视图面积.【解答】解：由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台，上部为三棱锥，其中圆台的上下底面半径分别为1, 2,高为2,三棱锥的高为2,底面为等腰三角形，由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为二，故侧视图下部分为上下底分别为2，4，高为2的梯形，上部分为底边为一，高为2的三角形，侧视图的面积为丄X （ 2+4）X 2^x 7^^"- 2 2 2 ^2故选：B. 【点评】本题考查了简单组合体的结构特征与三视图，属于中档题. 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：模拟程序的运行，可得n =°，x 十-，.兀a =- si v ，【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正确的结论，是基础题.9. 函数f （x ） ="「4巳inz （- nC x < n 的图象大致为（ ）不满足条件 不满足条件 不满足条件 a= _，执行循环体,a=，执行循环体, 2a=，执行循环体, 2 n=1， n=2, n=3,x= n, a=sin n =0 3兀 x=—— 4 a=si 满足条件a= _ 故选：C.，退出循环，输出 n 的值为3.8.执行如图程序框图，则输出的n 等于（ ） A . 1 B. 2 C. 3 D . 4e第17页(共29页)【分析】利用函数的奇偶性排除选项 B,通过特殊点的位置排除选项 D ,利用特 殊值的大小，判断选项即可. 所以排除选项C . 故选：A . 10.已知具有线性相关的五个样本点 A i (0, 0), A (2, 2), A 3 (3, 2), A 4 (4 , 2), A (6 , 4),用最小二乘法得到回归直线方程l i ： y=bx+a ,过点A i , A 的直线方程l 2： y=mx+n ,那么下列4个命题中，①m >b , a >n ；②直线l i 过点A 3；③丄L 八.■ i i. 一「二 丿一・.丨」i=li-l§ § ④ £丨比"工广色|》工|y.-iDx ：L -rL| . (参 考 公 式i=l i=l【解答】解：函数二是奇函数，排除选项B ; 7T X — 4时,>0，排除选项D ,7T X=— 2 rr n2 =e 4-e2 2 e2 e【点评】本题考查函数的图象的判断, 函数的图象的常用方法.函数的奇偶性以及特殊点的位置， 是判断 y时, yJT+厂 >A . 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】首先求得a , b , m , n 的值，然后结合所给的数据验证所给的算式是否 成立即可.【解答】解：由题意可得:匚二°+黔阳4+6二3,孑」+姑时2+4二乙5 5n _ _E （x 1-z ）（叫存）贝U ： b ------------------------ =0・6] a=y-bi=0. 2 ,线性回归方程li 为：尸0.张+0.2，直线12的方程为：y=x ,故：b=0.6, a=0.2, m=1, n=O,说法①正确;3X 0.6+0.2=2,则直线l i 过A 3,说法②正确；5 _ 5£ 3i-Xi-a/=0-8,匸（比-恥1-0尸=9，说法③错误;5L I - 1 ,： ■ ，说法④错误;i=i综上可得：正确命题的个数有 2个.故选：B.【点评】本题考查线性回归方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计正确命题的个数有（ ） i=L第19页(共29页)算能力，属于中等题.的取值范围为（ ）A .令片）B.（今，+8）C.冷，0） D .〔今兮）【分析】讨论X V a+1时，x >a+1时，由指数函数、绝对值函数的单调性，可得 最大值，解不等式即可得到所求范围.【解答】解：当X V a+1时，f (x )= (-) lx 「日在(-％, a )递增，[a ，a+1)递减，可得x=a 处取得最大值，且为1;当 X >a+1 时，f (X ) = - a - | X +1|，当 a+1 >- 1，即 a >- 2 时，f (x )递减，可得-a - | a+2| < 1， 解得a 》-3；2当a+1 V- 1,即a v- 2时，f (x )在X =- 1处取得最大值，且为-a < 1，则 a € ?.综上可得a 的范围是[-二，+x).故选：A .【点评】本题考查分段函数的最值的求法， 注意运用分类讨论思想方法，以及指 数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.2 212. 已知椭圆务+倉二1, O 为坐标原点，A ，B 是椭圆上两点，OA , OB 的24 12斜率存在并分别记为k oA 、k oB,且;；・—丁二丄，则一—- |学|的最小值为( )A .「B.丄 C. ： D . _ ： 【分析】设椭圆的参数方程，根据直线的斜率公式，求得 a= +B,利用两点之 间的距离公式，求得| OA| 2+| OB| 2=36,根据基本不等式求得即可求得 ———p 的最小值.【解答】解：设 A (2*£cos a 亦 s in ) B (亦 cos B, 励 s in ) a€ [0, 2n), 英[o , 2 n , 由 k oA ?k oB F = ，整理得：cos a sir+s(Bn a sin B 即 cos as-a11设函数ft ）.rCar+Ii+l |~a, s^a+1 若f （x ）的最大值不超过 1,则实数a6cosCl X 2V6cos P 2 (a- B =0,贝U a- B^^,I兀I ca^+ 3,± 2则 A (2 _ :cos ( ' + B ，2 :;sin・•・ | OA| 2=24sin F B +12coW B=12( 1+sin 2 B)，| OB| 2=12 (1+coW B)，> 》：=， 血| |0B| ^/|OA | - |0B I 7TI 3 B =的最小值-，故选：c.【点评】本题考查椭圆的参数方程，直线的斜率公式，基本不等式的应用，考查 转化思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.仕+2）叹丄-1）展开式中的常数项为 4 . g【分析】分别求出（x+2） 3的展开式中含x 的项及常数项，再由多项式乘多项式 求解.【解答】解：（x+2） 3的通项公式为丁申二中芒"WU*鋼.取 3 - r=1，得 r=2.•••（ x+2） 3的展开式中含x 的项为12x ，取 3- r=0，得 r=3.•••（x+2） 3的展开式中常数项为8，•••決〕址-1）展开式中的常数项为12-8=4.故答案为：4.®),即 A (- ^6 sin B ^3cos ® ,则 | OA| 2+|OB| 2=36，| OA| ?|OB| <sin B ±乎，=18，当且仅当|OA| =| OB|，即 当且仅当| OA| =| OB|，即sin B或B-综上可知:【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题. 14. 平面向量：二（1, m），W=（£，若有（2 | a |-|b |）（a+b>0，贝U实数m=【分析】根据平面向量的模长公式与数乘向量，列方程求出m的值.【解答】解：向量口），m），若■：■ | j :' '：■则（^7-^7）?（ 5 2m）彳，二2Jl+m$ 716+ M =°，化简得m2=4,解得m=± 2.故答案为：土2.【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数乘向量应用问题，是基础题.15. 在圆W+y2=4上任取一点，则该点到直线x+y- 2「=0的距离d €[0, 1]的概率为-.一亘一【分析】由题意画出图形，由弧长公式求出在圆x2+y2=4上任取一点，该点到直线x+y- 2 :?=0的距离d € [0，1]的弧的长度，再由测度比为长度比得答案.【解答】解：如图,*yi…直线x+y - 2 ' =0与圆x2+y2=4相切于D，且OD=2,作与直线x+y- 2 : -0平行的直线交圆于AB, 由O到直线AB的距离OC-1,半径OA-2,可得i讦二匚而圆的周长为4n,在圆x 2+y 2=4上任取一点，则该点到直线x+y - 2. :=0的距离d € [0,1]的概率 4兀【点评】本题考查几何概型，考查直线与圆位置关系的应用，体现了数形结合的 解题思想方法，是中档题.16. 已知台风中心位于城市 A 东偏北a （ a 为锐角）度的150公里处，以V 公 里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北为锐角）度 的 200 公里处，若 cos a=^-cos p ，则 V= 100 . 【分析】如图所示：AB=150, AC=20Q B=a ，C=B,根据解三角形可得3sin a =4sir ，B ①，又COS a=COS B ②，求出COS B=，cos a 二，求出BC 的距离，即可求出速 度【解答】解：如图所示：AB=150, AC=20Q B=a ，C=B,在 Rt A ADB 中，AD=ABsin a =150sin ,BD=ABco a在 Rt A ADC 中，AD=ACsina =200sin, B CD=ACco$••• 150sin a =200sin B即 3sin a =4sir ,①, • BD=ABco a =150^—=90, CD=ACcos =200＜一=160, 5 5• BC=BBCD=9(+160=250,• v^-=100, B,②,由①②解得sin ,cos B,sin a ， 5,cos a 劣弧-的长度为q 兀 3故答案为：丄.又 cos a故答案为：100.【点评】本题考查了解三角形的问题，以及三角函数的关系，属于基础题 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12.00分）已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，满足&=2幽-1, S 3=2a 3- 1.（1） 求｛a n ｝的通项公式；（2） 记b n =log 2（ a n ?a n +1），数列｛b n ｝的前n 项和为T n ，求证:丨…丨」"-. 【分析】（1）设｛a n ｝的公比为q,由Si - S 3=a 4得,2a 4- 2a 3=a 4，从而q=2.由S 3=2a 3所以亠:，所以q=2.又因为&=2a 3- 1，所以 a 1+2a 1+4a 1=8a 1 - 1，所以 a 1=1 .所以务二2“】证明：（2）由（1）知b n =log 2（%+r e n ） = log 2（2n X2n_1）=2n-l ， -1，求出a1=1 .由此｛an ｝的通项公式.（2） 由b n =loe j* a n ）=lo g j （2n X 2n b = 2n-l ，得 2 ? n-n 2,由寻朽 ,十…十〒＜2 .T 1 1 2 T n 【解答】解：（1）设｛a n ｝的公比为q ，由S 4-Ss=a 4得, 2a i - 2a 3=a 4,n项和的求解，利用裂项求和法是解决【点评】本题主要考查数列通项公式和前本题的关键.18. （12.00分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在［50, 100］，按照区间［50, 60），［60, 70），［70, 80），［80, 90），［90，100］进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.关”甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计（2）从乙班［70, 80）, ［80, 90）, ［90, 100］分数段中，按分层抽样随机抽取7 名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自［80, 90）发言的人数为随机变量X, 求X的分布列和期望.附.K2=附〔时b）（c十d）G+c）（b+d），P （K2》k0）0.10 0.05 0.025【分析】(1)依题意求出K 2"3.333>2.706,从而有90%以上的把握认为 数学成 绩优秀与教学改革有关”. (2)从乙班[70, 80), [80, 90), [90, 100]分数段中抽人数分别为 2, 3, 2, 依题意随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,分别求出相应的概率，由此 能求出X 的分布列和数学期望. 【解答】解：(1)依题意得 护二狎：器益驚;:鴛334」”, 有90%以上的把握认为数学成绩优秀与教学改革有关”. (2)从乙班[70, 80), [80, 90) , [90 , 100]分数段中抽人数分别为 2 , 3 , 2 , 依题意随机变量X 的所有可能取值为0 , 1 , 2 , 3 ,【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 19. (12.00分)如图,四棱锥P- ABCD 中,PA 丄底面ABCD , ABCD 为直角梯形, AD// BC, AD 丄AB , AB=BC=AP=AD=3, AC A BD=O,过 O 点作平面 a 平行于平面 PAB 平面a 与棱BC, AD , PD , PC 分别相交于点E , F , G , H . (1) 求GH 的长度； (2) 求二面角B - FH- E 的余弦值.k o 2.706 3.841 5.024 数学期望X 0 1 2 3SEC【分析】（1）法一：推导出EF// AB, EH// BP, FG// AP,从而△ B03A DOA,且些，竺，连接H0,则有HO// PA过点H作HN// EF交FG于N,由此能求AD A0 2出GH.法二：由面面平行的性质定理，得EF// AB, EH// BP, FG// AP,作HN / BC, HNA PB=N GM// AD, HN// GM, HN=GM，故四边形GMNH 为矩形，即GH=MN, 由此能求出GH.（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-FH- E的余弦值.【解答】解：（1）解法一：因为a//平面PAB平面aA平面ABCD=EF 0€ EF, 平面PABA平面ABCD=AB 所以EF// AB ,同理EH// BP, FG// AP,连接H0,则有HO// PA所以H0丄EO, H0=1 ,所以同理,"一-一上-1,过点H作HN// EF交FG于N ,则•- 丨解法二：因为a//平面PAB平面aA平面ABCD=EF 0€ EF,平面PABA平面ABCD=AB根据面面平行的性质定理,所以EF// AB,同理EH// BP, FG// AP ,因为BC// AD , AD=2BC 所以△ B03A D0A,且一-AD 0A 2又因为△ CO0A AOF, AF=BE 所以 BE=2EC如图：作 HN // BC, HN G PB=N GM // AD , GM A PA=M, 所以 HN // GM , HN=GM , 故四边形GMNH 为矩形,即GH=MN ,在厶PMN 中,所以 胴珂阳1-2X2^X8545"二再,所以GH 二岛.解：（2）以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立如图所示空间直 角坐标系,B (3 , 0 , 0), F (0 , 2 , 0), E (3 , 2 , 0) , H (2 , 2 , 1),BH=(-1S 2. 1), FH=(23 0, 1)，设平面BFH 的法向量为「.「.,n ■ &H=-x-b 2y+z=0FH=2x+z=0因为平面EFGH/平面PAB 所以平面EFGH 的法向量 同理 2AF=FD 2PG=GD令 z=- 2，得］「1,—. -：颐二AB 二 39 FG 二专第23页（共29页）线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想, 是中档题.20. (12.00分)已知抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点为F,准线为I,过焦点F 的直线交C 于A (x i, y i), B (x2, y2)两点，y i y2 = - 4.(1)求抛物线方程；(2)点B在准线I上的投影为E, D是C上一点，且AD丄EF,求厶ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.p的值，综【分析】(1)根据题意，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，求出合即可得答案；(2)根据题意，设D (x o, y o) , B(亍，“,分析可得E、A的坐标，进而可得直线AD的方程，结合三角形面积公式可以用t表示△ ABD面积，利用基本不等式的性质分析可得答案.【解答】解：(I)依题意卩(牛0),当直线AB的斜率不存在时，| AB| =- p2=- 4, p=2当直线AB的斜率存在时，设尸k(u于)f 2y由.,化简得由y i y2= - 4 得p2=4, p=2,所以抛物线方程y2=4x.(U)设D (x o, y o), B(计，〒)，贝U E (- 1, t), 又由y1y2= -4，可得因为T 于，AD 丄EF,所以k 扼专 ，故直线?Jh 斗彳(=所以■, I 二当且仅当t 4=16,即t=±2， 当 t=2 时，AD: x -y - 3=0， 当 t=- 2 时，AD : x+y - 3=0.【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系, 意直线的斜率是否存在.21. (12.00分)已知函数f (x ) =ln (ax ) +bx 在点(1, f (1))处的切线是y=0. (1) 求函数f (x )的极值； (2)当呼》乎R (m<0)恒成立时，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数). 【分析】(I )求出.，由导数的几何意义得f (x ) =lnx - x+1ax x(x €( 0, +x ))，由此能示出f (x )的极值.2 y =4Y□2x-ty^4— =0,化简得气」斗二0，所以t 2旳 + 坯二2「y 1y 0=-8-^|设点B 到直线AD 的距离为d ，则 2 .号-1I 112 +为吃 I十2^4+t 2所以也D 令I 幅I 心詁』+卡诃/》1 &，(1)中注(U)当，(m v 0)在x€( 0, +x)恒成立时，丄！■ . - 1，- 2 丄/ 已e K x e(m v0)在x€( 0, +x)恒成立，法一：设菖仗)二竺，笊“上旦丄，则# 二匹也，h‘ Gh-嶂，ge x K e/ x2(乂)在(0，1)上单调递减，在(1，+x)上单调递增，吕仗人迪二吕(1)二旦；h(K)二hll)二丄-1・g (x)，h (x)均在x=1 处取得最值，要使g (x)> h (x)TT L SZ &恒成立，只需g (x) min > h (x) max，由此能求出实数m的取值范围.法二：设(x€( 0, +-))，则” &)二冷止11，z e K e i e x吕Q) =g(l)=l -2+-^ —<0，由此能求出实数m的取值范围.ji0K e e【解答】解：(I )因为 f (x) =ln (ax) +bx，所以-<'=—-■■=—-，az it因为点(1，f (1))处的切线是y=0,所以f (1) =1+b=0,且f (1) =lna+b=0 所以a=e, b=- 1,即f(x) =lnx-x+1 (x€(0, +^))所以二' 二二―二丄丄，所以在(0, 1)上递增，在(1, +x)上递减所以f (x)的极大值为f (1) =lne-仁0,无极小值.(U )当:(m v 0)在x€( 0, +x)恒成立时，由( I ) f (x) =lnx - x+1,即(m v0)在x€(0, +x)恒成立，解法一：设g仗)二d hg)=E+l J.?，则『g)二Z—Q g二—嶂,又因为m v0，所以当0v x v 1 时，g' (x)v 0, h' (x)>0;当x> 1 时，g' (x)> 0, h' (x)v 0.所以g (乂)在(0, 1) 上单调递减，在(1, +x)上单调递增，吕(K)■二吕⑴二卫；h (乂)在(0, 1)上单调递增，在(1, +x)上单调递减，nin 巳血儿4⑴三I所以g (x), h (x)均在x=1处取得最值，所以要使g (x)> h (x)恒成立，只需g (X)min > h ( X)max,即巴屮^_］，解得m》1 - e,又m V 0 ,所以实数m的取值范围是［1 - e, 0).解法二：设百仗)二^^座_2丄(x€(0, +-)),则/ (小7严1^7x e s e x2『当0V x v 1 时，—lnx>0, x- 1V0,贝y …盈，丨，i*，・■ i,即g' (x)> 0 d e x当x> 1 时，—Inx v 0, x- 1 >0,贝U ….i, 「，即g' (x)v 0L. "JX.x e所以g (x)在x€( 0, 1) 上单调递增，在x€( 1, +x)上单调递减.所以⑴二1-2丄』<0,即理〉丄-1，又m v 0皿dK 巳巳 e e所以实数m的取值范围是［1 - e, 0).【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质、导数性质、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.22. (10.00分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为广…( 9ly=2sin0+2为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)若直线11, 12的极坐标方程分别为ER) , ER)，设直b J线l1, l2与曲线C的交点为O, M , ”，求厶OMN的面积.【分析】(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)利用方程组求出极径的长，最后求出三角形的面积.【解答】解：(1)由参数方程［沪兀":,^y=2sin0+2得普通方程(x- 2) 2+y2=4,所以极坐标方程p cos29+ p sin29- 4 p sin 9, =0即p =4sin. 9TT(2)直线与曲线C 的交点为O , M ,1o得|创|二4丑环-二2,又直线1才€尺)与曲线C 的交点为O , N ,3且乙磁二*,所以■严：丰「口二二……—■•【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化, 极径的应用.23. 已知 f (x ) =| 2x+3a 2| •(1) 当a=0时，求不等式f (x ) +|x -2| >3的解集；(2) 对于任意实数x ,不等式|2x+1| - f (x )v 2a 成立，求实数a 的取值范围. 【分析】(1)当a=0时，不等式f (x ) +|x -2| > 3变成| 2x|+| x - 2| > 3,讨论x 取值，去绝对值号即可解出该不等式；(2)由不等式 | 2x+11 - f (x )v 2a 即可得出 |2x+1| - | 2x+3a 2| v 2a ,而 | 2x+11 -I2X+3XI < | 3a 2- 1|，从而得到不等式| 3a 2- 1| v 2a ,解该不等式即可得出实 数a 的取值范围.(2)对于任意实数x ,不等式| 2x+11 - f (x )v 2a 成立，即| 2x+1| - | 2x+3a 2| v 2a 恒成立；又因为 | 2x+1| - | 2x+3£| < | 2x+1 - 2x - 3a 2| =| 3a 2- 1| ; 所以原不等式恒成立只需|3a 2- 1| v 2a ；当a v 0时，无解；当 匸二一时，1 - 3a 2 v 2a ,解得ti?JJ所以实数a 的取值范围是一-[2 , 得，得 1< x < 2； fx>2g 3 '12x+2_x^3［乃+龙-2》3f (x ) +|x -2| >2的解集为电]U [1, +0 ；【解答】解：(1)当 a=0 时，f (x ) +|x -2|=|2x|+| x - 2| >3; 得 x >2;【点评】考查含绝对值不等式的解法：讨论x去绝对值号，以及不等式| x+a| -|x+b| w|a-b| 的应用.。
2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）及参考答案
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C．3 D．49．（5分）函数f（x）＝（﹣π≤x≤π）的图象大致为（ ）A． B．C． D．10．（5分）已知具有线性相关的五个样本点A1（0，0），A2（2，2），A3（3，2），A4（4，2），A5（6，4），用最小二乘法得到回归直线方程l1：y＝bx+a，过点A1，A2的直线方程l2：y＝mx+n，那么下列4个命题中，①m＞b，a＞n；②直线l1过点A3；③ ④．（参考公式，）正确命题的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）设函数，若f（x）的最大值不超过1，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D． 12．（5分）已知椭圆，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，OB的斜率存在并分别记为k OA、k OB，且，则的最小值为（ ）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）展开式中的常数项为 ．14．（5分）平面向量，，若有，则实数m＝ ．15．（5分）在圆x2+y2＝4上任取一点，则该点到直线x+y﹣2＝0的距离d∈[0，1]的概率为 ．16．（5分）已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若，则v＝ ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝2a4﹣1，S3＝2a3﹣1． （1）求{a n}的通项公式；（2）记b n＝log2（a n•a n+1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：． 18．（12分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班 乙班 总计大于等于80分的人数小于80分的人数 总计（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90）发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．附：K2＝，P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025k0 2.706 3.841 5.02419．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝AD＝3，AC∩BD＝O，过O点作平面α平行于平面P AB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H．（1）求GH的长度；（2）求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过焦点F 的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1y2＝﹣4．（1）求抛物线方程；（2）点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax）+bx在点（1，f（1））处的切线是y＝0． （1）求函数f（x）的极值；（2）当恒成立时，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1与曲线C的交点为O，M，直线l2与曲线C的交点为O，N，求△OMN 的面积．23．已知f（x）＝|2x+3a2|．（1）当a＝0时，求不等式f（x）+|x﹣2|≥3的解集；（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合，B＝{x|x＝2n+1，n∈Z}，则A∩B＝（ ） A．（﹣∞，4] B．{1，3} C．{1，3，5} D．[1，3]【解答】解：A＝{0，1，2，3，4}；对于集合B：n＝0时，x＝1；n＝1时，x＝3；即1，3∈B；∴A∩B＝{1，3}．故选：B．2．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：由欧拉公式e ix＝cos x+i sin x，可得＝cos＝，∴表示的复数位于复平面中的第一象限．故选：A．3．（5分）已知角α的终边经过点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）＝（ ）A． B． C． D．【解答】解：∵r＝|OP|＝＝1，∴sinα＝＝cos47°，cosα＝＝sin47°，则sin（α﹣13°）＝sinαcos13°﹣cosαsin13°＝cos47°cos13°﹣sin47°sin13°＝cos（47°+13°）＝cos60°＝，4．（5分）已知奇函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）是导函数，若x＞0时f'（x）＞0，则（ ）A．f（0）＞f（log32）＞f（﹣log23）B．f（log32）＞f（0）＞f（﹣log23）C．f（﹣log 23）＞f（log32）＞f（0）D．f（﹣log23）＞f（0）＞f（log32）【解答】解：∵f′（x）是奇函数，且x＞0时f'（x）＞0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵﹣f′（﹣x）＝f′（x），∴f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．∵log23＞log32＞0，∴f（﹣log23）＝f（log23）＞f（log32）＞f（0）．故选：C．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，如图．因为函数y＝kx的图象是过点O（0，0），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A（1，2）时，k取最大值：2，当直线l过点B（2，1）时，k取最小值：，故实数k的取值范围是[，2]．6．（5分）平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图三棱锥P﹣ABC，P A，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设P A＝a，PB＝b，PC＝c，可得S1＝ab，S2＝bc，S3＝ca，可得abc＝2，由题意可得底面积为，由等积法可得×abc＝PH•，可得PH＝＝，故选：C．7．（5分）已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（ ）A．6+ B． C． D．8【解答】解：由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台，上部为三棱锥， 其中圆台的上下底面半径分别为1，2，高为2，三棱锥的高为2，底面为等腰三角形，由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为，故侧视图下部分为上下底分别为2，4，高为2的梯形，上部分为底边为，高为2的三角形，∴侧视图的面积为×（2+4）×2+＝．故选：B．8．（5分）执行如图程序框图，则输出的n等于（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝0，x＝，a＝﹣sin，不满足条件a＝，执行循环体，n＝1，x＝π，a＝sinπ＝0，不满足条件a＝，执行循环体，n＝2，x＝，a＝sin＝，不满足条件a＝，执行循环体，n＝3，x＝，a＝sin＝，满足条件a＝，退出循环，输出n的值为3．故选：C．9．（5分）函数f（x）＝（﹣π≤x≤π）的图象大致为（ ） A． B．C． D．【解答】解：函数是奇函数，排除选项B；x＝时，y＝＞0，排除选项D，x＝时，y＝，∵＞，所以排除选项C．故选：A．10．（5分）已知具有线性相关的五个样本点A1（0，0），A2（2，2），A3（3，2），A4（4，2），A5（6，4），用最小二乘法得到回归直线方程l1：y＝bx+a，过点A1，A2的直线方程l2：y＝mx+n，那么下列4个命题中，①m＞b，a＞n；②直线l1过点A3；③④．（参考公式，）正确命题的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意可得：，则：，线性回归方程l1为：，直线l2的方程为：y＝x，故：b＝0.6，a＝0.2，m＝1，n＝0，说法①正确；3×0.6+0.2＝2，则直线l1过A3，说法②正确；，，说法③错误；，，说法④错误；综上可得：正确命题的个数有2个．故选：B．11．（5分）设函数，若f（x）的最大值不超过1，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D． 【解答】解：当x＜a+1时，f（x）＝（）|x﹣a|在（﹣∞，a）递增，[a，a+1）递减，可得x＝a处取得最大值，且为1；当x≥a+1时，f（x）＝﹣a﹣|x+1|，当a+1≥﹣1，即a≥﹣2时，f（x）递减，可得﹣a﹣|a+2|≤1，解得a≥﹣；当a+1＜﹣1，即a＜﹣2时，f（x）在x＝﹣1处取得最大值，且为﹣a≤1，则a∈∅．综上可得a的范围是[﹣，+∞）．故选：A．12．（5分）已知椭圆，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，OB的斜率存在并分别记为k OA、k OB，且，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【解答】解：设A（2cosα，2sinα），B（2cosβ，2sinβ），α∈[0，2π），β∈[0，2π），由k OA•k OB＝＝﹣，整理得：cosαsinβ+sinαsinβ＝0，即cos（α﹣β）＝0，则α﹣β＝，α＝+β，则A（2cos（+β），2sin（+β）），即A（﹣2sinβ，2cosβ），∴|OA|2＝24sin2β+12cos2β＝12（1+sin2β），|OB|2＝12（1+cos2β），则|OA|2+|OB|2＝36，|OA|•|OB|≤＝18，当且仅当|OA|＝|OB|，即sinβ＝±，β＝或β＝，≥≥＝，当且仅当|OA|＝|OB|，即sinβ＝±，β＝或β＝，综上可知：的最小值，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）展开式中的常数项为 4 ．【解答】解：（x+2）3的通项公式为＝．取3﹣r＝1，得r＝2．∴（x+2）3的展开式中含x的项为12x，取3﹣r＝0，得r＝3．∴（x+2）3的展开式中常数项为8，∴展开式中的常数项为12﹣8＝4．故答案为：4．14．（5分）平面向量，，若有，则实数m＝ ±2 ．【解答】解：向量，，若，则（2﹣）•（5，2m）＝，∴2﹣＝0，化简得m2＝4，解得m＝±2．故答案为：±2．15．（5分）在圆x2+y2＝4上任取一点，则该点到直线x+y﹣2＝0的距离d∈[0，1]的概率为 ．【解答】解：如图，直线x+y﹣2＝0与圆x2+y2＝4相切于D，且OD＝2，作与直线x+y﹣2＝0平行的直线交圆于AB，由O到直线AB的距离OC＝1，半径OA＝2，可得，∴劣弧的长度为，而圆的周长为4π，∴在圆x2+y2＝4上任取一点，则该点到直线x+y﹣2＝0的距离d∈[0，1]的概率为．故答案为：．16．（5分）已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若，则v＝ 100 ．【解答】解：如图所示：AB＝150，AC＝200，B＝α，C＝β，在Rt△ADB中，AD＝AB sinα＝150sinα，BD＝AB cosα在Rt△ADC中，AD＝AC sinα＝200sinβ，CD＝AC cosβ∴150sinα＝200sinβ，即3sinα＝4sinβ，①，又cosα＝cosβ，②，由①②解得sinβ＝，cosβ＝，sinα＝，cosα＝∴BD＝AB cosα＝150×＝90，CD＝AC cosβ＝200×＝160，∴BC＝BD+CD＝90+160＝250，∴v＝＝100，故答案为：100．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝2a4﹣1，S3＝2a3﹣1． （1）求{a n}的通项公式；（2）记b n＝log2（a n•a n+1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：． 【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，由S4﹣S3＝a4得，2a4﹣2a3＝a4，所以，所以q＝2．又因为S3＝2a3﹣1，所以a1+2a1+4a1＝8a1﹣1，所以a1＝1．所以．证明：（2）由（1）知，所以，所以＝．18．（12分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90）发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望． 附：K 2＝，P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 k 02.7063.8415.024【解答】解：（1）依题意得，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝AD＝3，AC∩BD＝O，过O点作平面α平行于平面P AB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H．（1）求GH的长度；（2）求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．【解答】解：（1）解法一：因为α∥平面P AB，平面α∩平面ABCD＝EF，O∈EF， 平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP，因为BC∥AD，AD＝6，BC＝3，所以△BOC∽△DOA，且，所以，，同理，连接HO，则有HO∥P A，所以HO⊥EO，HO＝1，所以，同理，，过点H作HN∥EF交FG于N，则解法二：因为α∥平面P AB，平面α∩平面ABCD＝EF，O∈EF，平面P AB∩平面ABCD＝AB，根据面面平行的性质定理，所以EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP，因为BC∥AD，AD＝2BC，所以△BOC∽△DOA，且，又因为△COE∽△AOF，AF＝BE，所以BE＝2EC，同理2AF＝FD，2PG＝GD，如图：作HN∥BC，HN∩PB＝N，GM∥AD，GM∩P A＝M，所以HN∥GM，HN＝GM，故四边形GMNH为矩形，即GH＝MN，在△PMN中，所以，所以．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，B（3，0，0），F（0，2，0），E（3，2，0），H（2，2，1），，设平面BFH的法向量为，，令z＝﹣2，得，因为平面EFGH∥平面P AB，所以平面EFGH的法向量，，故二面角B﹣FH﹣E的余弦值为．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过焦点F 的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1y2＝﹣4．（1）求抛物线方程；（2）点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝﹣p 2＝﹣4，p＝2当直线AB的斜率存在时，设 由，化简得由y1y2＝﹣4得p2＝4，p＝2，所以抛物线方程y2＝4x．（Ⅱ）设D（x0，y0），，则E（﹣1，t），又由y1y2＝﹣4，可得因为，AD⊥EF，所以，故直线由，化简得，所以． 所以设点B到直线AD的距离为d，则所以，当且仅当t4＝16，即t＝±2，当t＝2时，AD：x﹣y﹣3＝0，当t＝﹣2时，AD：x+y﹣3＝0．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax）+bx在点（1，f（1））处的切线是y＝0． （1）求函数f（x）的极值；（2）当恒成立时，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝ln（ax）+bx，所以，因为点（1，f（1））处的切线是y＝0，所以f'11+b＝0，且f（1）＝lna+b＝0所以a＝e，b＝﹣1，即f（x）＝lnx﹣x+1（x∈（0，+∞））所以，所以在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减所以f（x）的极大值为f（1）＝lne﹣1＝0，无极小值．（Ⅱ）当（m＜0）在x∈（0，+∞）恒成立时，由（Ⅰ）f（x）＝lnx﹣x+1，即（m＜0）在x∈（0，+∞）恒成立，解法一：设，则，， 又因为m＜0，所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0，h'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＞0，h'（x）＜0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，；h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，．所以g（x），h（x）均在x＝1处取得最值，所以要使g（x）≥h（x）恒成立， 只需g（x）min≥h（x）max，即，解得m≥1﹣e，又m＜0，所以实数m的取值范围是[1﹣e，0）．解法二：设（x∈（0，+∞）），则 当0＜x＜1时，﹣lnx＞0，x﹣1＜0，则，，即g'（x）＞0 当x＞1时，﹣lnx＜0，x﹣1＞0，则，，即g'（x）＜0所以g（x）在x∈（0，1）上单调递增，在x∈（1，+∞）上单调递减．所以，即，又m＜0所以实数m的取值范围是[1﹣e，0）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1与曲线C的交点为O，M，直线l2与曲线C的交点为O，N，求△OMN 的面积．【解答】解：（1）由参数方程，得普通方程（x﹣2）2+y2＝4，所以极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ．（2）直线与曲线C的交点为O，M，得，又直线与曲线C的交点为O，N，得，且，所以．23．已知f（x）＝|2x+3a2|．（1）当a＝0时，求不等式f（x）+|x﹣2|≥3的解集；（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）+|x﹣2|＝|2x|+|x﹣2|≥3；∴，得；，得1≤x≤2；，得x＞2；∴f（x）+|x﹣2|≥2的解集为；（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，即|2x+1|﹣|2x+3a2|＜2a 恒成立；又因为|2x+1|﹣|2x+3a2|≤|2x+1﹣2x﹣3a2|＝|3a2﹣1|；所以原不等式恒成立只需|3a2﹣1|＜2a；当a＜0时，无解；当时，1﹣3a2＜2a，解得；当时，3a2﹣1＜2a，解得；所以实数a的取值范围是．赠送—高中数学 必修1知识点【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. .（2）常用数集及其记法）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集示实数集..（3）集合与元素间的关系）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M Î，或者a M Ï，两者必居其一，两者必居其一. . （4）集合的表示法）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. .②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. . ③描述法：③描述法：{{x |x 具有的性质具有的性质}}，其中x 为集合的代表元素为集合的代表元素. . ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合..（5）集合的分类）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集①含有有限个元素的集合叫做有限集..②含有无限个元素的集合叫做无限集②含有无限个元素的集合叫做无限集..③不含有任何元素的集合叫做空集任何元素的集合叫做空集((Æ).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称名称记号记号意义意义性质性质示意图示意图子集子集B A Í（或)A B ÊA 中的任一元素都属于B(1)A ÍA(2)A ÆÍ(3)若B A Í且B C Í，则A C Í(4)若B A Í且B A Í，则A B =A(B)或B A真子集A ¹ÌB （或B ¹ÉA ）B A Í，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ¹ÆÌ（A 为非空子集）为非空子集） (2)若A B ¹Ì且B C ¹Ì，则A C ¹Ì BA集合集合相等相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ÍB (2)B ÍAA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ³个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集非空真子集. .【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集）交集、并集、补集 名称 记号意义意义性质性质示意图示意图交集AB{|,x x A Î且}x B Î（1）AA A = （2）A Æ=Æ （3）AB A ÍA B B Í BA并集 A B{|,x x A Î或}x B Î（1）A A A = （2）A A Æ= （3）AB A ÊA B B Ê BA补集U Að{|,}x x U x A ÎÏ且1()U A A =Æð 2()UA A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法）含绝对值的不等式的解法不等式不等式解集解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法）一元二次不等式的解法判别式判别式24b ac D =-0D > 0D = 0D <二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的图象O()()()U U U A B A B=痧?()()()U U UA B A B =痧?一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a¹-R20(0)ax bx c a ++<>的解集的解集12{|}x x x x <<Æ Æ。
2018年江西省南昌市高三第二次理科数学模拟试题(解析版)
NCS20180607项目第二次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集为，集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：可求出集合，然后进行补集、交集的运算即可．详解：由题意，或，所以或，所以或，故选D．点睛：本题主要考查了集合的混合运算，正确求解集合是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．2. 若实数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数的运算法则和复数相等，即可求解的值，在利用复数的表示，即可判定．详解：由，所以，所以，解得，所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限，故选B．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数相等的概念，及复数的表示，着重考查了推理与运算能力．3. 已知为实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．详解：由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4. 已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A. B. 32 C. D. 16【答案】D【解析】分析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，分别求出它的底面面积和高，代入体积公式，即可求解．详解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，如图所示，，其中底面面积为，高为，所以该三棱柱的体积为，故选D．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．5. 执行如图程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序运行过程，可得答案．详解：若，则：满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，，当时，不满足进行循环的条件，此时输出结果，故选B．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，当循环次数不多时或有规律时，常常采用模拟循环的方法求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7. 已知点在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，由，求得点的坐标，即可得到结果．详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，且点，又因为点在不等式组的平面区域内，所以实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确作出约束条件所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．8. 如图，已知函数的部分图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，那么函数图象上的弧线与两坐标所围成图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由特殊点的坐标求出，再根据五点法求出，可得函数解析式，在根据定积分，即可求解所围成图形的面积．详解：根据函数的部分图象与轴的交点为，可得，解得，根据函数的图象轴的一个交点为，结合五点法作图可得，所以，所以函数，弧线与两坐标轴所围成图形的面积为，故选A．点睛：本题主要考查了三角函数的部分图象求解函数的解析式，由特殊点的坐标求出的值，得到函数的解析式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9. 已知函数，设（为常数），若，则等于（）A. 1998B. 2038C. -1818D. -2218【答案】A【解析】分析：由题意可得函数为偶函数，根据求解，进而求得的值．详解：由题意，函数，则满足，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，又由，所以，则，故选A．点睛：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，解答中根据函数的奇偶性，求得，得到是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．10. 在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率． 详解：在一次所谓“算怪”中得到六爻， 基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是，故选B ．点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 11. 在中，，的面积为2，则的最小值为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析： 详解：由的面积为，所以，得，在中，由正弦定理得，当且仅当时，等号是成立的，故选C ．点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用． 12. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线的右支于两点，若的角平分线的方程为，则三角形内切圆的标准方程为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意画出图形，由双曲线的定义可得三角形的内切圆切于，再由已知求出双曲线的焦点坐标，设出圆心坐标，由圆心在直线上及圆的半径相等，列式求出圆心坐标，进一步求得半径，即可求解圆的方程．详解：如图所示，设三角形的内切圆切于点，且于，且于，则，得，所以，即，也就是与重合，由的角平分线的方程为，可得，则，设三角形的内切圆的圆心，则，解得，所以三角形的内切圆的半径为,所以三角形的内切圆的标准方程为，故选A．点睛：本题主要考查了双曲线定义及几何性质的应用，以及圆的标准方程的求解，其中解答中联立方程方程组，求得圆心的坐标是解答的关键，试题运算量较大，化简繁琐，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________．【答案】0.79【解析】分析：由频率分布直方图求出这种指标值在内的频率，由此能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率．详解：这种指标值在内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为，所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为．点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.14. 已知正的边长为2，若，则等于__________．【答案】1【解析】分析：根据题意，以向量为平面的一个基底，利用向量的数量积的运算，即可求得结果．详解：由题意可知，则．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15. 已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为__________．【答案】【解析】分析：取正三棱台的上、下底面的中心分别为，则，得，解得，得，利用球的表面积公式即可求解．详解：因为正三棱台的上、下底面边长分别为，取正三棱台的上、下底面的中心分别为，则正三棱台的高为，在上下底面的等边三角形中，可得,则球心在直线上，且半径为，所以，且,解得，所以，所以球的表面积为．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．16. 如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：50元/米2，30元/米2,40元/米2.为使预计日总效益最大，的余弦值应等于__________．【答案】【解析】分析：设日总效益设为，运用三角形的面积公式和扇形的面积公式，即可得到目标函数，求得导数，即可得到所求最大值点．详解：设日总效益设为，则,又由，可得，解得，由，函数递增，，函数递减，既有，即由时，预计日收益最大，所以的余弦值为．点睛：本题主要考查了的实际应用问题，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求解函数的极值与最值，其中正确理解题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知各项均为正数且递增的等比数列满足：成等差数列，前5项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前100项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用已知条件，求得等比数列的首项与公比，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．详解：（1）由成等差数列得：，设的公比为，则，解得或（舍去），所以，解得，所以数列的通项公式为.（2）由得，所以所求数列的前100项和，即，所以，两式相减得：所以，所以.点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面.（1）确定点的位置，并说明理由；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）因为平面平面，求得，又由，进而得到点是的中点，又因为平面平面，得，得点是的中点；（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面，平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．详解：（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，即点是的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，点是的中点，所以点是的中点，综上，分别是的中点.（2）因为，所以，又因为平面平面，所以平面，又，所以.如图以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，由中点公式得到，设平面，平面的法向量分别为，，由，得：，令，得，由，得：，令，得所以.综上，二面角的余弦值是.点睛：本题考查了线面位置关系的判定及应用判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有共10位选手脱颖而出进入全市决赛.决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1,2,3，…，7的7名评委，规则是：选手上完课，评委们当初评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分.记评委对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委对这位选手的分数排名偏差”.排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）.七位评委评分情况如下表所示：（1）根据最终评分表，填充如下表格：（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确.____号评委评分分析表（3）从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数位，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）根据平均分的计算公式，即可求解，，即可填写表格．（2）对4和5号评委排名偏差平方和，即可作出判断．（3）由题意，得到随机变量可能取值，求解取每个值的概率，即可得打分布列，利用期望的公式，即可求解数学期望．详解：（1）依据评分规则：，.所以选手的均分及最终排名表如下：（2）对4号评委分析：4号评委评分分析表排名偏差平方和为：.对5号评委分析：5号评委评分分析表排名偏差平方和为：.由于，所以评委4更准确.（3）10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，可能取值有0,1,2,3.所以，，，，所以的分布列为：所以数学期望.点睛：本题主要考查样本估计总体的应用、及随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要认真准确审题，利用统计的公式作出正确计算，确定随机变量的取值，求得相应的概率，求得分布列是解答的关键，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20. 已知平面直角坐标系内两定点，及动点，的两边所在直线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹的方程；（2）设是轴上的一点，若（1）中轨迹上存在两点使得，求以为直径的圆面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由已知，列出方程，即可求解点的轨迹的方程；（2）设点的坐标为，当直线斜率不存在时，可得，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，求解，由此列出不等式组，进而求得，又由为长轴端点时，可求得的坐标点，求得的值，即可得到结论．详解：（1）由已知，即，所以，又三点构成三角形，得所以点的轨迹的方程为.（2）设点的坐标为，当直线斜率不存在时，可得分别是短轴的两端点，得到，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，则由得①，联立，得，由得，整理得.由韦达定理得，，②由①②，消去得，由，解得，又因为为长轴端点时，可求得点，此时，综上，或，又因为以为直径的圆面积，所以的取值范围是.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 已知函数，（为常数，且）.（1）若当时，函数与的图象有且只要一个交点，试确定自然数的值，使得（参考数值，，，）；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）.【答案】（1）6；（2）见解析【解析】分析：（1）记，求得，分和讨论，即可得到函数的单调性和最小值，函数与的图象有且只有一个交点，得，进而可求解的取值范围，确定的值．（2）由（1）得：当时，只要证明：时，，记，求得，记，利用二次函数的图象与性质，即可作出证明．详解：（1）记，则，当时，因为，，函数单调递增，，函数无零点，即函数与的图象无交点；当时，，且时，，时，，所以，，函数与的图象有且只有一个交点，得，化简得：，记，，所以在上单调递减，又，，所以，即.（2）由（1）得：当时，，只要证明：时，即，记，则，记，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，且，所以当时，，即，所以在区间上单调递增，从而，即成立，所以成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线交于点，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线和直角坐标方程，（2）写出曲线的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，根据根与系数的关系，即可求解．详解：（1）曲线的极坐标方程可以化为：，所以曲线的直角坐标方程为：，曲线的极坐标方程可以化为：，所以曲线的直角坐标方程为：；（2）因为点的坐标为，的倾斜角为,所以的参数方程为：（为参数），将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到：，整理得：，判别式，中点对应的参数为，所以线段中点到点距离为.点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，熟记极坐标与直角坐标的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．23. 已知函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由，分类讨论，即可求解不等式的解集；（2）对任意的，存在，使得成立，即的值域包含的值域，利用绝对值的三角不等式，求解，即可求解实数的取值范围．详解：（1）由①当时，，得，即；②当时，，得，即；③当时，，得，即；综上，不等式解集是.（2）对任意的，存在，使得成立，即的值域包含的值域，由，知，由，且等号能成立，所以，所以，即的取值范围为.点睛：本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
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2018届ncs0607摸底调研考试
理 科 数 学
本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i - 2．设集合{}|21A x x =-≤≤，{}
22|log (23)B x y x x ==--，则A
B =
A ．[2,1)-
B ．(1,1]-
C ．[2,1)--
D ．[1,1)-
3．已知1sin 3θ=
，(,)2
π
θπ∈，则tan θ= A ．2- B ．2-
C ．24-
D ．2
8
-
4．执行如图所示的程序框图，输出的n 为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．设变量,x y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
， 则32z x y =-的最大值为
A ．2-
B ．2
C ．3
D ．4 6．已知m ,n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“||⋅=⋅m n m n ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A.
23 B. 43 C.2 D. 83
8．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2
x
y =的图像经过
A ．向右平移3
π
个单位长度得到 B ．向右平移23π个单位长度得到
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C ．向左平移
3
π
个单位长度得到 D ．向左平移23π个单位长度得到
9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A. 120种
B. 156种
C. 188种
D. 240种
10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆
满足90AB ACB =∠=，
PA 为球
的直径且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为
A
B ．
C
D ．
11. 已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足||2AB =，点C 为直线l 上一点，
且满足5
2
CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为
A ．3
B ． C. 2 D ．3-
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上第二象
限内一点，若直线
b
y x a
=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为
A
B
C
D
二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组
号依次为1，2，3，，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机 抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 . 14．二项式52()x x
-的展开式中3
x 的系数为
.
15．已知ABC ∆的面积为,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，3
A π
=
，则a 的最小值
为 . 16．已知函数2
ln(1),0,
()=3,0
x x f x x x x +>⎧⎨
-+≤⎩，若不等式|()|20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范 围为 ．
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每
个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)
已知数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，记(*)n n n b a S n N =∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .
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微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
20018000 8001
（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为
“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯”与“性别”有关？
（2）如果从小明这3人，设抽取的女性有X 人，求
X 的分布列及数学期望()E X ．
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．(12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，BAC ∠60CAD =∠=，PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点. （1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；
（2）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.
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已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
，短轴长为2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若5
4
OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.
21．(12分)
设函数2
()ln 2(,)f x x mx n m n =--∈R . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有最大值ln 2-，求m n +的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为2cos 22sin x y α
α
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的
方程为y x =
，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；
（2）若直线2C 与曲线1C 交于,P Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值.
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
设函数()|23|f x x =-.
（1）求不等式()5|2|f x x >-+的解集；
（2）若()()()g x f x m f x m =++-的最小值为4，求实数m 的值.。