数学教学中的辩证法
数学中的辩证法
数学中的辩证法作者：李鹏来源：《学周刊·C》2011年第08期数学教材中蕴含着丰富的辩证法思想，中学教学大纲要求教师在教学的过程中要采用唯物主义的观点解释教学内容，以便于让学生在学习基础知识的同时，形成唯物主义的世界观、人生观和价值观。
所以，教师在教学的过程中，要挖掘数学教材中的辩证唯物主义思想。
不但可以提高学生认识问题、分析问题、解决问题的能力，同时也是数学教师的一项基本义务。
一、矛盾统一观点根据辩证唯物主义观点，世界万物都是一个矛盾统一体，都具有正反两方面，而且矛盾是发展的根源，只有具有一定的矛盾，事物才能得到发展和进步。
自然，矛盾的原理在数学的教学和学习中也是存在的。
例如，学生在刚入小学时接触的都是一些自然数，然而在这一个范围之内，减法运算就会受到限制，如10-5=5，然而5-10=？学生都不知所措。
于是，为了解决这一认知和运算的矛盾，在教学中就引入了负数的概念。
再如，在整数的范围内，有些除法运算是无法实现的，如10除以3等于多少？出现矛盾了，于是又引入了分数，扩展到复数。
这样每一次的扩张，都是一个解决矛盾的过程。
二、对立统一规律在数学的运算过程中，对立统一的规律最为常见和突出，如加法与减法、乘法与除法等，本是对立的，但从另外一个意义上讲就是统一的了。
例如，减去一个数就相当于加上了这个数的相反数，除以一个数就相当于乘以这个数的倒数。
这一规律在几何领域也有充分的表现，例如，“平面内与两个定点F1、F2距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆”；“平面内与两个定点F1、F2距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线”，这是两种截然相对的概念，但是在本质上却有着统一性，可以统一于：“平面内与定点F和一条定直线l的距离之比为常数的点的轨迹”。
三、联系的观点如几何中的三角形、平行四边形、梯形等面积都有着一定的联系性，面积与边长有关，就拿梯形面积公式来说：Ｓ＝（其中a为梯形的上底，b为梯形的下底，h为梯形的高）当梯形的上下底长度一样时，就变成了平行四边形；当梯形上底为0时，就是三角形，如果更进一步推理联系的话，就可以得出正方形和长方形的面积公式。
辩证法与数学教学
１ ・ ８
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年第 ４ 期
辩证法与数学教学
魏 本 义 （ 苏 宁 教 江 省睢 县 ０的 曲线 ｃ上 的 点 与 方 程 方 ． ＝ 厂 ， 一 ０的解 之 间 既 相 互 制 约 ， 相 互 依 （ ） 又 赖 ； 是个 体 ， 点 曲线 是 整 体 ， 种个 体 与整 体 之 这 间 的关 系也 体 现 了个 性 与共 性 、 约 与 依 赖 的 制 辨证 关 系．
断 地 发 展 、 广 的 拓 同 时 ， 不 断 地 返 又
１ ３ 偶 然 性 与 必 然 性 ．
数学 规律 和解 决数 学 问题 的技巧 的发 现看 似有 一定 的偶 然性 ， 殊不 知 “ 必然 性包 含在 偶 然 性之 中” 华 罗庚 教 授 却 说 ：知 识 在 于积 累 ， ． “ 天 才在 于 勤奋． “ 童” 懒 于思索 ， 会变 成“ ”神 若 也 凡 人” 普 通 人 通 过勤 奋 刻 苦 的努 力 ， 分 挖 掘 潜 ； 充 藏 的智 慧 ， 也会 爆 发 出惊人 的能 力． 原来“ 明” 聪 和“ 笨拙 ” 也是 可 以实 现互 相转 化 的． 在 教学 过程 中 ， 师 是 要 善 于从 学 生 解 题 教 的“ 来 之笔 ” 神 的偶 然 性 中寻 找 必 然 的 因素 ， 让 他们 认识 到灵 感 源于“ 累” 勤奋 ” 中． 积 加“ 之
．
１ 教 师 应 该 用 辨 证 唯 物 主 义 观 来 认 识 数 学 和 数 学 教 学
恩 格 斯 说 ：数 学 ： 证 的辅 助 工 具 和 表现 “ 辨 形式 ． ， 正合 格 的 数 学 教 师应 该 能从 辩 证 唯 ”真 物 主义 观 的 角度 、 度 和 高度 来 理 解 和 驾驭 数 深 学 和数学 教学 ． １ １ 事物 的 内部 矛盾是 事物 发展 的根 本 动 力 ． 数 、 、 离 、 角 函数 、 角 距 三 图形 、 直 、 行 、 垂 平 各种 曲线 及其 位置 关 系等概 念 和各种 运算 的发 展 、 广 的根本 动力 都 是数学 本 身 的内部 矛盾 ， 拓 而这 种发 展 和拓广 又 常呈现 出 波浪式 前进 和螺 旋式 上升 的态 势． 如“ ” 角 的概 念 ， 方 面 从 锐 角 到 钝 角 、 一 平 角、 大于 １ ０ 的角 ， 到 正 角 、 ８。 再 负角 ， 任意 角 ， 又 到两个 向量 的夹角 、 两条 直线 的夹 角 、 一条 直线 到另 一条 直线 的角 ； 一方 面从平 面 的角 ， 另 到空 间 的角 （ 面 直线所 成 的角 、 异 直线 与平 面所 成 的 角、 二面 角） 不是 在原 有 的概念 与现 实需 要 和 无 实 际背景 产生 矛 盾 时 ， 过 “ 经 斗争 ” 取 得 突破 并 性进 展 的结果 ． 发 展 拓 广 数学 概 念在 不
浅析数学教学中哲学辩证思维方法的培养与运用
浅析数学教学中哲学辩证思维方法的培养与运用摘要：对在数学教学与学习中如何渗透哲学世界观和方法论进行研究，同时又充分运用哲学辩证法的思辨性来促进数学思维品质的提升，加强学科间的横向联系与知识的深层互动，以促进个体更高、更强、更全面的发展。
关键词：知识；思维；辩证思维方法；数量中图分类号：G424.21文献标志码：A文章编号：1000－8772(2009)06－0150－01收稿日期：2009-03-06数学是关于人类思维的科学，这门学科的主要任务是培养个体思维的灵活性、精确性（或称清晰度）、深度、广度，而思维能力的培养是一项长期而艰巨的任务，因此，必须从孩提时代认真培养才会取得良好效果。
一、关于事物对立统一的辩证思想在数学思维灵活性的培养中具有特殊指导意义作为教育者必须明白个体思维灵活性在数学这一学科中是从哪些方面来进行培养的，所谓灵活性是指面对具体问题时的变通能力，可以说“变”是数学的灵魂。
实例一：乘法分配律。
，等号前的算式是先计算加法，后计算乘法，等号后的算式是先计算乘法，后计算加法，即将先加后乘变为先乘后加，中间的等号表示两个算式的结果相等。
在这一变化过程中，属于知识和技能层面的是：必须分别和b与c相乘，再把乘得的结果相加或相减；属于思维层面的是在这一变化过程中应遵循的原则是：改变的只是式子的形式，不变的是运算的结果，即在不改变结果的前提下可以对式子进行灵活的变通，同时，这种变通一定是有目的性和方向性的，即有助于问题的解决——使计算能化繁为简，化难为易。
在这一简单的运算定律的演绎变化中，将哲学关于变与不变对立统一辩证法思想发挥得淋漓尽致。
事物的变化是绝对的，而不变是相对的，变化的是形式而不变的是本质，变化之中蕴涵不变的因素，不变之中包含着便变化的成分，变与不变，对立统一，相辅相成。
在数学知识的教学中既要充分运用辩证法思想来指导孩子们的思维能力的培养，反过来，也要充分应用数学知识发展学生的辩证认识观。
数学教学中的辩证唯物主义教育
数学教学中的辩证唯物主义教育
辩证唯物主义教育是指根据唯物主义思想，以辩证法为思维方式，以实践精神为行动准则，对学生进行教育的一种教学方法。
在数学教学中，辩证唯物主义教育可以为学生提供有效的立足点和指导思想，帮助他们更好地理解数学的实质和内在原理。
把辩证唯物主义教育引入数学教学，应从下面几个方面思考。
首先，要培养学生根据实践经验推理的能力，打破表面上的思维定式，从数学的实践中总结出普遍的规律，找出基本原理，使数学变成一种有用的工具而不是一堆死记硬背的知识。
其次，要推动学生在实践中不断思考，有批判性的思维，通过比较、分析、验证来有效地发现数学问题的内在规律。
再次，要教会学生运用数学工具处理实际问题，通过解决实际问题，提升学生的实践能力，帮助学生更好地理解数学原理。
最后，要注重数学的实际应用价值，以实践为指导引导学生理解数学，把数学知识贴近日常生活，增强学生对数学的兴趣。
总之，在数学教学中引入辩证唯物主义教育，可以激发学生对数学的兴趣，培养学生科学思维，提高学生实践能力和应用能力。
正是这种辩证唯物主义教育，才能使学生更好地理解数学的实质，把它应用到实际生活中，从而真正提高学生的数学学习能力。
用唯物辩证法阐述中学数学教学内容
用唯物辩证法阐述中学数学教学内容[摘要] 通过唯物辩证法的一些基本观点,阐述中学数学教学内容,可以训练学生进行辩证思维,使学生思想清晰、思路开阔,并论证数学与唯物辩证法的联系。
[关键词] 数学物质性量变到质变对立统一否定之否定数学内在规律辩证唯物主义是从自然、社会中概括出来的,作为自然科学的一部分——数学,当然同样可以印证唯物辩证法的客观性和真理性;反过来,用辩证唯物论阐述数学教学内容,可以训练学生进行辩证思维,使学生思想清晰、思路开阔,正如恩格斯论述唯物辩证法时所说的:“除了以这种或那种形式从形而上学的思维复归到辩证的思维,在这里没有其他任何出路,没有达到思想清晰的任何可能(《自然辩证法》)。
”因而,这就有利于学生学好数学基础知识,有利于培养学生的包括形式逻辑和辩证逻辑在内的思维能力,发展学生的智力,而且有助于学生形成辩证唯物主义世界观。
一、用辩证唯物论的观点阐明数学来源于客观世界,揭示数学的物质性恩格斯指出:“数和形的概念不是从其他任何地方得来的,而是从现实世界中得来的(《反杜林论》)。
”由于数学具有高度的抽象性,因而迷惑了一些人,以为数学不是来源于客观世界,而是由专搞数学的人的头脑里臆想出来的。
这种观点是唯心的、错误的。
数学虽然具有高度的抽象性,但是却是从客观实际经验中提取出来的,它具有现实的物质性。
正如恩格斯所提出的:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料,这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实(《反杜林论》)。
”对于中学数学中的所有数和形的概念,都可以用辩证唯物论的观点来阐明它的物质性。
例如,代数第一册第一章“有理数”中在讲“相反意义的量”而引进正负数时,首先阐明了“整数”、“分数”来源于现实世界的情况和引用恩格斯关于数和形概念的论述,即“数和形的概念不是从其他任何地方得来的,而是从现实世界中得来的。
”接着阐述现实世界中存在着一些只具有相反意义的量,需要引进新数来表示它们,这样所引进来的新数就是“正数”“负数”。
数学中的辩证法
赛 队 在 规 定 时 间 内完 成 答 卷 ． 准 时 交 卷 。参 赛 院 校 应 责 成 并
有 关 职 能 部 门负 责 竞 赛 的 组 织 和 纪 律 监督 工作 ， 证 本 校 竞 保
赛 的规 范性 和公 正性 。高 等 职 业 院 校 是 在 具 有 高 中文 化 的 基 础 上 ， 培 养 生 产 、 理 、 务 第 一 线 ， 备 综 合 职 业 能 力 和 以 管 服 具 全 面 素 质 的 高 等 技 术 应 用 型人 才 为 办 学 宗 旨的 ， 学 生 具 备 使
Ｆ 、， 离 之 和 等 于 常 数 （ 于 Ｉ ＦＪ的 点 的轨 迹 叫 做 椭 圆 ” Ｆ距 大 Ｆ ， ） ； “ 面 内 与 两 个 定 点Ｆ 、 离 的 差 的绝 对 值 等 于 常 数 （ 于 平 Ｆ距 小 ＦＩ ｌ＿， 的点 的 轨迹 叫 做 双 曲线 ” 这 两 个 概 念 形 式 上 是 对 立 Ｆ ） 。
师 范 大 学 出版 社 ，０ ２ ２０． ［ ］ 俭 ． 展 数 学 建 模 活 动 的 意 义 ［］ 都 经 济 贸 易 大 ２张 开 Ｊ． 首 学 学 报 ，０ １ ２０ ．
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７ ０
引 入 ， 乘 方 与 开 方 两 种 对 立 的 运 算 合 二 为 一 ； 引 进 对 数 把 而 后 ， 方 、 方 统 一 于乘 、 ， 、 都 统 一 于加 法 。另 外 这 一 乘 开 除 乘 除 规 律 在 椭 圆 和 双 曲 线 上 也 有 充 分 体 现 ： 平 面 内与 两 个 定 点 “
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量 变 和 质 变 是 事 物 变 化 的 两 种 形 式 或 两 种 状 态 。 量 变 就 是 事 物 量 的 变 化 ， 数 量 的 增 减 和 场 所 的 变 动 。 变 就 是 即 质 事 物 性 质 的 变 化 ， 由 一 种 质 态 向 另 一 种 质 态 的 转 变 。 变 是 量 和 质 变 的 关 系 是 辩 证 的 ． 对 立 的统 一 。 的分 割 达 到 一 定 是 量 的 程 度 ， 产 生 了不 同 质 的物 质 体 。 格 斯 曾 经 说 过 ：纯 粹 就 恩 “
数学教学中的辨证法
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１ 变 中又 定 。 细审 题 详
有些 研 究 对象 ， 表 面来 看 。 从 完全 处 于 运 动 之 中 ． 在 分 析 整 个 过 但
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４ 化繁 为 易 。 找捷 径 寻
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有 些题 目， 用 基 本 思 路 ， 若 常规 方 法 解 ， 算 特 别 繁 杂 ， 若 能 灵 运 但 则 将 教 材 中 已讲 过 或 做 过 的 例 题 或 习 题 。 用 新 知 识 ， 方 法 再 去 活 运用 解 题 方 法 ， 可 找 到捷 径 。 运 新 例 ４ 方 程 ７ （＋ ３Ｘ Ｋ一 一 ＝ ｘ一Ｋ １） ＋ Ｋ ２ ０有 两 实 根 ，且 ０ ｘ １１ｘ＜ ， ＜ｌ ，＜２２ ＜ 作 为 例 题 来讲 解 ， 有 一 番 新 意 ． 学 生 可 以把 教 材 中各 章 节 的 内 容 别 使 求 Ｋ 的 范 围。 联 系 超来 ， 行 比较 ， 而起 到 温 故 而知 新 的 作用 。 进 从
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辩证法在数学教学中的应用
2012-08教学实践例如，学完条件语句和循环语句后，可这样提问：“条件语句和循环语句的作用有何不同，如何利用它们解决实际问题？”回答这种问题不仅需要记忆力，还需要分析、对比、归纳、综合的能力，无疑会促进学生的思维。
或这样问：“学习了计算机的基本组成后，大家是否想知道计算机是如何工作的？”学生围绕这个问题展开讨论。
在探讨过程中，学生解决实际问题的意识和能力就会不断提高。
总之，课堂提问既是一门科学，更是一门艺术。
在实际教学中，教师必须努力将问题贯穿于计算机教育教学的过程中，激发学生学习的好奇心和求知欲，培养学生强烈的问题意识、问题能力和创造精神，才能有效地发展学生的思维能力，才能有效地提高计算机课堂教学效率。
参考文献：［1］周作宇.论教育问题［J］.高等师范教育研究，1994.［2］史艳杰.学生问题意识的培养.中小学教材教学，2005（05）.［3］彭聃龄.普通心理学.北京师范大学出版社，2004.［4］肖培宗.现代教育技术教程.中国石化出版社，2001-08.［5］朱景林.夸美纽斯自然适应性原则极其现实意义［J］.陕西职业技术学院院报，2006.（作者单位长汀职业中专学校）辩证法在数学教学中的应用文/梁珺瑛当今社会十分强调“提高学生数学素质，发展能力，注重能力”，无论是从优化育人环境，还是从自我完善的要求，我认为用辩证法的思想在数学教学中可以起到事半功倍的效果。
一、备课时，既要挖掘教材，又要全面了解学生数学是基本学科，培养学生良好的数学思想和方法是学生学习各门功课的需要，教师只有从整体上对教材做居高临下的分析与处理，才能明确教材的系统，掌握教材的重点、难点、关键等目的，才能充分发挥教材对发展学生思维能力的功能。
同时由于学生是教学活动的主体，教学效果最终要落实到学生掌握知识和发展能力上，所以多渠道了解学生更为重要。
只有及时全面分析、了解学生的个性特征、思维特点、学习习惯及原有知识水平，才能因材施教，才能正确估计学生，及时调控教学过程。
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数学教学中的辩证法
摘要：辩证法的基本规律是对立统一规律、质量互变规律、否定之否定规律。
对立统一规律揭示了事物内部对立双方的统一和斗争是事物普遍联系的根本内容，是事物变化发展的源泉和动力。
而数学这门科学是门古老的学科，是对客观的物理世界的一种抽象的描述，是根据自然辨证法所揭示的客观规律发展起来的。
关键词：辨证法对立统一规律数学
质量互变规律揭示了一切事物运动、变化、发展的两种基本状态，即量变和质变以及它们之间的内在联系和规律性。
否定之否定规律揭示了事物由矛盾引起的发展，即由肯定─否定─否定之否定的螺旋式的前进运动。
数学中的辨证法要点是：1.同中有异-分法 2.异中有同-合法 3.相互转化-化法
一、曲与直
直与曲除了有“非直即曲”的一面，也存在“亦直亦曲”的一面。
存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态，实现直与曲的转化，即在局部范围内（等价无穷小）“以直代曲”、“以曲代直”。
如阿基米德的穷竭法。
二、常量与变量
1.常量在一定条件下具有任意性。
如极限定义中的ε，不定积分中的常数c。
2.常量与变量的相对性。
常量与变量即有着严格的区分，又相互
依存，相互渗透，在一定条件下相互转化。
如偏导数。
3.通过常量来刻画变量。
如微分方程中的常数变易法。
4.通过变量来研究常量。
如利用导数求极值和拐点。
三、.连续与间断
1.连续与间断是事物两种不同的性态。
有时二者性质截然不同。
2.连续与间断在一定条件下可相互转化。
如数列、级数与函数之间的转化，各种数值计算方法（差分、有限元、离散等）
四、有限与无限
1.潜无限。
把无限看成永远在延伸着的变程或进程的观点。
2.实无限。
把无限看成可以自我完成的过程的观点。
3.有限与无限存在质的差异。
如许多运算法则不通用。
4.通过有限认识无限。
如数学归纳法。
5.通过无限来表示有限。
如函数的无穷级数展开。
五、抽象与具体
1.高度抽象是数学的主要特征。
⑴数学抽象就是把对象理想化。
⑵数学的抽象有一系列的发展阶段。
⑶数学的研究方法几乎完全致力于使用逻辑方法处理抽象概念及它们之间的关系。
⑷数学有自身的符号语言来表述自身的内容。
2.高度抽象使数学具有广泛应用。
3.数学抽象与具体的辩证关系。
表现在数学概念之间的一般与特殊的关系。
六、局部与整体
1.局部“点态性”。
即邻域的单纯静态点、比较静态点、动态点。
2.整体“区间性”。
如最值定理、有界定理。
3.局部与整体的辩证关系。
一定条件下可相互转化，
七、偶然性与必然性
1.随机事件与必然事件。
如概率论。
2.蝴蝶效应与偶然性。
如混沌学。
下面我就以两根与系数的关系的探讨为例：
可以这样人手：1.方程3一5x+2=0的两根之和1+2、两根之积．分别等于多少，观察．帆、xlx的值与三个系数有什么关系。
换一个方程，再看看是否也有这样的关系，进而猜测一元二次方程axz
+bx+c=o(n≠0)的两根与系数的关系。
3.静止与运动的关系事物的静止是相对的，运动是绝对的。
“人不能两次踏进同一条河流”，数学亦如此。
变量有时可视为常量来对待，而常量有时又可以作变量来处理。
例如，用求根公式法将多项式3xz-5xy+分解因式，可将多项式中的变量y视为常量，先求关于变量的一元二次方程3一5xy+y2=0的两根，再把它分解因式。
4.现象与本质的关系现象是事物的外部表现形态，是人的感官能直接感知的；本质是事物内在的属性，是构成一事物的各种必不可
少的要素的内在联系，是事物外部表现形态的根据。
任何一个数学问题都有它的现象和本质，只有由表及里，由近及远去分析，才能把握其本质，挖掘其潜在的条件而顺利解决。
如，共有1022名选手参加的乒乓球单项竞赛，实行淘汰制。
问决出最后的冠军共需进行多少场比赛?本题若按常规的思路解，1022名选手初赛511场，胜出的511人再赛255场，剩下255人加上轮空的1人又赛128场，如此下去，最后两人决赛，共需的场数为1021场。
如果参赛人数更多(如参赛人数为10003人)，按照上面的思路求解，其过程是繁琐而冗长的。
实际上，这样分析就精彩多了：考虑到比赛一场就淘汰1人这一本质条件，要淘汰掉若干选手便要赛若干场。
故决出最后冠军须淘汰掉1021名选手，因而需赛1021场。
同样，参赛人数为10003时，需赛10003—1=10002(场)即可。
5.对立与统一的关系客观世界是充满矛盾的，这些矛盾又统一在这个世界里，反映到数学领域亦不例外。
加与减、乘与除、正与负、开方与平方、多项式乘法与因式分解、和差化积与积化和差、微分与积分等，它们既是对立的，又是统一的。
如正数与负数之间有一个“零”，它起着“核”一样的连接作用，像天平上的支架一样支撑着双方，构成一个统一的整体。
6.量变与质变的关系量变是事物在数量上的增减，是一种渐进性的、不显著的变化；质变是事物根本性质的变化，是事物形态的突变和飞跃。
事物的发展是从量变开始，达到一定程度后发生质变，
再在质变的基础上进行新的量变。
数学中不少地方也体现了这一辩证法。
例如，当[0，耵]时，讨论曲线一cos·r2=1的形状。
解：
(1)当0≤”11时，0<‘cos≤1，曲线表示焦点在轴上的双曲线；
(2)当=“11时，cos=0，曲线厶表示两条平行于y轴的直线；(3)当{<<耵时，一1<cos<‘0，曲线表示焦点在瑚上的椭圆；(4)当=耵时，cos=一1，曲线表示圆+仁=1。
可见，在一定范围内变化，仅仅引起图形大小、弯曲程度的变化(量变)；而一旦={时，图形发生厶了根本变化(质变)，变成了直线。
从以上的分析中可以看出，数学教学中确实有许多辩证法，适时恰当地渗透和应用，对扩宽学生视野、提高学生数学素养是不无裨益的。
参考文献
[1]何谓数学好课《云南教育》2007年1z期
[2]2007年高考全国卷ⅱ第22题的推广探究《数学教学》2007年11期
[3]浅谈如何在一日活动中渗透数学教育《教育艺术》2007年11期。