高中数学《直线和圆的方程》课件北师大版必修
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高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.4两条直线的平行与垂直课件北师大版选择性必修第一册
存在两种情况解答．
[课堂十分钟] 1．[多选题]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 () A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
答案：BCD
解析：直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有 斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切 值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1 ＝α2，则l1∥l2，C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，D正确．故选BCD.
跟踪训练1 (1)[多选题]下列各组直线平行的有( ) A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0 B．y＝x＋2与x－y－2＝0 C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0 D．2x + y3＝1与3x＋2y－2＝0
答案：(1)BD
解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确．故选BD.
(2)已知两条不重合的直线l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋12＝0， a∈R，若l1∥l2，则a＝________．
答案：3x－2y－18＝0
解析：设直线方程是3x－2y＋t＝0， 则3×4－2×(－3)＋t＝0 ∴t＝－18. 故所求直线方程是3x－2y－18＝0.
题型二 两条直线垂直的判定及应用 例2 (1)判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
[课堂十分钟] 1．[多选题]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 () A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
答案：BCD
解析：直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有 斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切 值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1 ＝α2，则l1∥l2，C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，D正确．故选BCD.
跟踪训练1 (1)[多选题]下列各组直线平行的有( ) A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0 B．y＝x＋2与x－y－2＝0 C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0 D．2x + y3＝1与3x＋2y－2＝0
答案：(1)BD
解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确．故选BD.
(2)已知两条不重合的直线l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋12＝0， a∈R，若l1∥l2，则a＝________．
答案：3x－2y－18＝0
解析：设直线方程是3x－2y＋t＝0， 则3×4－2×(－3)＋t＝0 ∴t＝－18. 故所求直线方程是3x－2y－18＝0.
题型二 两条直线垂直的判定及应用 例2 (1)判断下列各题中l1与l2是否垂直． ①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； ②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； ③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
北师版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆总结课件
＝r2.
＝，
＝，
③ 由①②③可得ቐ＝－，或ቐ ＝－，
＝，
＝
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
第29页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·讲
二合一
判断圆与圆的位置关系的一般步骤：(1)将两圆的方程化为标准方程(若
关系，如动点到两定点连线互相垂直、动点到两定点的距离的比是常数等.
第18页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·讲
二合一
[例 4] 圆 C 与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点 A(3，6)，且经过点
B(5，2)，求圆 C 的方程.
[解]
解法一：由题意可设所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－
第22页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·讲
二合一
讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或
几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与
圆有关的问题比较简捷实用. 如直线与圆相交求弦长时，利用公式
2
＋d2＝
2
r2(其中，弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r)比利用代数法求弦长要简单实用.
3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5，2)，将坐标(5，2)代入圆的方程求得λ＝
－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
第19页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·讲
二合一
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为C(a，b)，由A，B在圆上，CA⊥l，得
二合一
[解析]
1.2.3直线与圆的位置关系课件(北师大版)
y
解：已知圆心O(0,0),半径r=1，则O到直线的距离
d
m 0 (1) 0 2
2
m 2 (1) 2
O
2
x
m2 1
d r ,即
2
m2 1
解得m 3
1
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
二、直线与圆相切
例3.已知直线经过(, )，且与圆: ( − ) +( − ) = 相切，
距离与半径大小
d<r
d=r
d>r
位置关系
谢谢凝听！
2
k
B(x2,y2)
A(x1,y1)
D
O
（2）几何法：勾股定理
弦长 AB 2 r d
2
2
y=kx+b
x
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
三、直线与圆相交
2
1．经过点 (3, 2) 的直线 l 与圆 x 2 y 9 交与 P，Q 两点，如果 PQ 4 2 ，则直线 l 的方程
任意一点，求 AB 的最值.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
2
2
1．已知实数 x, y 满足曲线 C 的方程 x y 2 x 2 0 ，则下列选项正确的是（BD）
A． x
B．
2
y 2 的最大值是 3 1
y 1
的最大值是 2 6
x 1
C． x y 3 的最小值是 2 2 3
为
.
7．已知直线 l : m 1 x 2 y m 3 0 与圆 C : x 2 y 2 2 y 15 0 交于 A, B 两点，则 AB 的取值范围
解：已知圆心O(0,0),半径r=1，则O到直线的距离
d
m 0 (1) 0 2
2
m 2 (1) 2
O
2
x
m2 1
d r ,即
2
m2 1
解得m 3
1
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
二、直线与圆相切
例3.已知直线经过(, )，且与圆: ( − ) +( − ) = 相切，
距离与半径大小
d<r
d=r
d>r
位置关系
谢谢凝听！
2
k
B(x2,y2)
A(x1,y1)
D
O
（2）几何法：勾股定理
弦长 AB 2 r d
2
2
y=kx+b
x
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
三、直线与圆相交
2
1．经过点 (3, 2) 的直线 l 与圆 x 2 y 9 交与 P，Q 两点，如果 PQ 4 2 ，则直线 l 的方程
任意一点，求 AB 的最值.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂检测 课堂小结
2
2
1．已知实数 x, y 满足曲线 C 的方程 x y 2 x 2 0 ，则下列选项正确的是（BD）
A． x
B．
2
y 2 的最大值是 3 1
y 1
的最大值是 2 6
x 1
C． x y 3 的最小值是 2 2 3
为
.
7．已知直线 l : m 1 x 2 y m 3 0 与圆 C : x 2 y 2 2 y 15 0 交于 A, B 两点，则 AB 的取值范围
高中数学北师大版必修二《2.2.3直线与圆方程的应用》课件
思考:(用坐标法) • 单击此1处.圆编心辑母和版半文径本能样直式接求出吗？
• 二•级三2级.怎样求出圆的方程？ 3•.怎四级• 样五级求出支柱A2P2的长度？ 解：建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是 (0,b),圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P（0，4）, B（10，0）代入圆的方程得 方程组：
7
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式 • 二第级一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题 中• 的三几级 何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
• 四级
第二步：• 五通级过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
8
单击此处编辑母版标题样式 1. 求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=9所截得的弦长.
2.2.3
直线与圆方 程的应用
北师大版 高中数学
单击此例处1、编图辑中母是某版圆标拱桥题的样一式孔圆拱的示意图，该圆
• 单击拱此跨处度编A辑B母＝版20文m本，样拱式高OP=4m，在建造时每隔4m需 • 用二级一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度.（精确到0.01）
• 三级
• 四级 • 五级
y
x
2
单击此处编辑母版标题样式
6
单击此处编辑母版标题样式 xO
xM
aLeabharlann 2c,yO
yN
bd 2
,
xE
a 2 , yE
d 2
•
单•击二此级所处以编，辑| O母'E 版| 文(本a2 样2c式
a )2 2
(b 2
d 2
d 2
)2
• 三级
• 二•级三2级.怎样求出圆的方程？ 3•.怎四级• 样五级求出支柱A2P2的长度？ 解：建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是 (0,b),圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P（0，4）, B（10，0）代入圆的方程得 方程组：
7
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• 单击此处编辑母版文本样式 • 二第级一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题 中• 的三几级 何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
• 四级
第二步：• 五通级过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
8
单击此处编辑母版标题样式 1. 求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=9所截得的弦长.
2.2.3
直线与圆方 程的应用
北师大版 高中数学
单击此例处1、编图辑中母是某版圆标拱桥题的样一式孔圆拱的示意图，该圆
• 单击拱此跨处度编A辑B母＝版20文m本，样拱式高OP=4m，在建造时每隔4m需 • 用二级一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度.（精确到0.01）
• 三级
• 四级 • 五级
y
x
2
单击此处编辑母版标题样式
6
单击此处编辑母版标题样式 xO
xM
aLeabharlann 2c,yO
yN
bd 2
,
xE
a 2 , yE
d 2
•
单•击二此级所处以编，辑| O母'E 版| 文(本a2 样2c式
a )2 2
(b 2
d 2
d 2
)2
• 三级
高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.5两条直线的交点坐标课件北师大版选择性必修第一册
本题除了平行四边形ABCD外，还有平行
四边形ABDC，平行四边形ACBD.
[课堂十分钟]
1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是(
A．(3，－1)
B．(－1，3)
C．(－3，－1)
D．(3，1)
)
答案：A
2 − ＝7，
＝3，
解析：联立两直线的方程，得ቊ
解得ቊ
即交点为(3，－1)，
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
跟踪训练1 (1)[多选题]下列直线与直线x－2y＋1＝0相交的是(
A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y＋1＝0
x
y
1
C． + ＝1
D．y＝ x＋1
2
4
)
2
答案：BC
A2x0＋B2y0＋C2＝0
则൜__________________．
A1 x + B1 y + C1 = 0，
(2) 若 两 直 线 方 程 组 成 的 方 程 组 ቊ
有唯一解
A2 x + B2 y + C2 = 0，
(x0，y0)
相交
x = x0 ，
ቊy = y ， 则两条直线________，交点坐标为________．因此求两条
)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
答案：A
2 − + 4＝0，
解析：由ቊ
得交点为(1，6)，又与直线x－2y＝0垂直，∴所求直
− + 5＝0.
四边形ABDC，平行四边形ACBD.
[课堂十分钟]
1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是(
A．(3，－1)
B．(－1，3)
C．(－3，－1)
D．(3，1)
)
答案：A
2 − ＝7，
＝3，
解析：联立两直线的方程，得ቊ
解得ቊ
即交点为(3，－1)，
方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．
方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．
方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．
跟踪训练1 (1)[多选题]下列直线与直线x－2y＋1＝0相交的是(
A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y＋1＝0
x
y
1
C． + ＝1
D．y＝ x＋1
2
4
)
2
答案：BC
A2x0＋B2y0＋C2＝0
则൜__________________．
A1 x + B1 y + C1 = 0，
(2) 若 两 直 线 方 程 组 成 的 方 程 组 ቊ
有唯一解
A2 x + B2 y + C2 = 0，
(x0，y0)
相交
x = x0 ，
ቊy = y ， 则两条直线________，交点坐标为________．因此求两条
)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
答案：A
2 − + 4＝0，
解析：由ቊ
得交点为(1，6)，又与直线x－2y＝0垂直，∴所求直
− + 5＝0.
北师大高中数学选择性必修第一册1.2.3直线与圆的位置关系【课件】
在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0，⑥
联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1，或D＝2，E＝6，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
基础训练
达标小练
1. 直线 3x＋4y＝5 与圆 x2＋y2＝16 的位置关系是 ( A )
A. 相交
∴切线方程为2x＋y＋5 ＝0或2x＋y－5 ＝0.
－＋
＝ ，
－
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
(3)∵kAC＝
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
[例 3]
直线 l 经过点 P(5，5)，且和圆 C：x2＋y2＝25 相交，截得
2. 代数法：
直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆 M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线 l 和圆 M
的方程联立得方程组，消去 y(或 x)整理，得关于 x(或 y)的一元二次方程 mx2
＋nx＋k＝0(或 my2＋ny＋k＝0)，其判别式为 Δ＝n2－4mk，
Δ＞0⇔直线 l 与圆 M 相交；
Δ＝0⇔直线 l 与圆 M 相切；
(－)
(＋ )[( ＋ ) － ]＝ (＋ )
( ＋)
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0. 解得k＝ 或k＝2.
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
－·
(－)
＋
＝ 4 .
通法提炼
1. 一般来说，在解决圆和直线相交问题时，应首先考虑圆心到直线的距离、
1，1)，半径r＝ －，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝
2023版高中数学第一章直线与圆2圆与圆的方程2.3直线与圆的位置关系课件北师大版选择性必修第一册
2.3 直线与圆的位置关系
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判 断
位置关系 公共点个数
相交 __2__个
相切 __1__个
相离 ___0_个
判定 方法
d_<_r
d_＝_r
d_>_r
Δ_>_0
解析：圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝4−3a2，圆心C坐标为(－a，－1)，半径
2
4
2
r＝ 4−43a2＝ 4−23a2，则4－3a2>0，解得－233<a<233. 又 过 点 A(1 ， 2) 作 圆 的 切 线 有 两 条 ， 则 点 A 必 在 圆 外 ， 即
1
+
a 2
2
+
2 + 1 2>
＝ 1 + k2|x1－x2|＝ 1 + k2 x1 + x2 2 − 4x1x2 .
跟踪训练3 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短 弦的长为________．
答案：2 2
解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直 时为最短弦，|CA|＝ 2 − 3 2 + 2 − 1 2＝ 2，∴半弦长＝ r2 − CA 2＝ 4 − 2 ＝ 2，∴最短弦的长为2 2.
题型二 直线与圆相切问题 例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方 程．
解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判 断
位置关系 公共点个数
相交 __2__个
相切 __1__个
相离 ___0_个
判定 方法
d_<_r
d_＝_r
d_>_r
Δ_>_0
解析：圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝4−3a2，圆心C坐标为(－a，－1)，半径
2
4
2
r＝ 4−43a2＝ 4−23a2，则4－3a2>0，解得－233<a<233. 又 过 点 A(1 ， 2) 作 圆 的 切 线 有 两 条 ， 则 点 A 必 在 圆 外 ， 即
1
+
a 2
2
+
2 + 1 2>
＝ 1 + k2|x1－x2|＝ 1 + k2 x1 + x2 2 − 4x1x2 .
跟踪训练3 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短 弦的长为________．
答案：2 2
解析：设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直 时为最短弦，|CA|＝ 2 − 3 2 + 2 − 1 2＝ 2，∴半弦长＝ r2 − CA 2＝ 4 − 2 ＝ 2，∴最短弦的长为2 2.
题型二 直线与圆相切问题 例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方 程．
解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆 精品教学课件
(1)斜截式方程应用的前提是什么？ (2)纵截距一定是距离吗？
[提示] (1)直线的斜率存在． (2)纵截距不一定是距离，它是直线与 y 轴交点的纵坐标，可取 一切实数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线 y＝2x－3 在 y 轴上截距为－3． (2)直线 y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3)． (3)直线的点斜式方程也可写成yx－－yx00＝k． [答案] (1)√ (2)√ (3)×
[解] 如图所示．
当点 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的斜率由 kAB 增大到 kAC， 又 kAB＝33－ ＋24＝17，kAC＝33＋ －20＝53， 所以直线 AD 的斜率的变化范围是17，53．
当堂达标·夯基础
1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了 这条直线相对于 x 轴的倾斜程度．
2．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 __y_－__y_0_＝__k(_x_－__x_0)___
_y_＝__k_x＋__b_
适用范围
斜率存在
3．直线 l 在 y 轴上的截距 定义：直线 l 与 y 轴交点(0，b)的纵__坐__标__b_叫作直线 l 在 y 轴上的 截距．
当 α∈0，π2时，斜率 k≥0，且 k 随倾斜角 α 的增大而增大； 当 α∈π2，π时，斜率 k＜0，且 k 随倾斜角 α 的增大而增大； 当 α＝2π时，直线 l 与 x 轴垂直，此时直线 l 的斜率不存在．
(2)如图，在直线 l 上任取两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由 平面向量的知识可知，向量P→1P2是直线 l 的方__向__向__量__，它的坐标是(x2 －x1，y2－y1)，直线的倾斜角 α、斜率 k、方向向量P→1P2分别从不同角 度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中 x 轴的倾斜程度．它们之间 的关系是 k＝yx22－ －yx11＝tan α(其中 x1≠x2)．
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k tan
思考：为什么用的正切来表示斜率？
y C
A
B
0
2
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾
斜程度。
下列说法对吗？
(1)任何一条直线都有唯一的倾斜角。(Yes) (2)任何一条直线都有唯一的斜率。 (No)
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
作业： 习题7.1：1 5题
P1•
0
x
直线的方向向量：OP, (或P1, P2 )
(当x1 x2时)
OP
x2
1
x1
(x2 ,x1,
y2
y1 )
(1,
y2 x2
y1 ) x1
此时，方向向量为(1, k)
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300，
直线l1 l2，求l1, l2的斜率。
解：
l1的斜率k1 tan1 tan 300
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120,则斜率为：k tan120 3
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
若 b d 0,则倾斜角 arctan b d
ac
ac
若 b d 0,则倾斜角 arctan( b d )
ac
ac
P37练习：
(1)k 0;(2)k 3;(3)k不存在;(4)k 1 y
0
2
x
(1)k 2, arctan 2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135 (1) 0; (2) 90; (3) 45 证明三点共线的解析几何方法：斜率相同
3, 3
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan(1800 600 ) tan 600 3.
例2：求经过A(a,b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
解：(1)当a c时，斜率k不存在；
倾斜角 90
(2)当a c时，斜率k b d ac
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所
转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
y y
tan 2 1
x2 x1
直线的斜率计算公式：
l
y P2•
P1• P
0
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
向量P1P2 （x2 x1, y2 y1）.
过原点作OP P1P2.
则P的坐标是（x2 x1, y2 y1）.
y y
tan 2 1
x2 x1
即
y y
k 2 1
x2 x1
直线的斜率计算公式：
即
y y
k 2 1
x2 x1
OP P1P2 (x2 x1, y2 y1)
l
y P2• P
平面解析几何
第七章 直线和圆的方程
平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国数学家笛卡儿和费马
7.1 直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2x 1 图象
A（0，1） P（1，3）
P
A
l
方程y 2x 1
直l
直线l上的点的坐标满足方程y 2x 1
方程y 2x 1的解(x, y)对应的点在直线l上。
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所
转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0
x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
倾斜角的取值范围是 00 1800.
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
思考：为什么用的正切来表示斜率？
y C
A
B
0
2
x
意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾
斜程度。
下列说法对吗？
(1)任何一条直线都有唯一的倾斜角。(Yes) (2)任何一条直线都有唯一的斜率。 (No)
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
作业： 习题7.1：1 5题
P1•
0
x
直线的方向向量：OP, (或P1, P2 )
(当x1 x2时)
OP
x2
1
x1
(x2 ,x1,
y2
y1 )
(1,
y2 x2
y1 ) x1
此时，方向向量为(1, k)
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300，
直线l1 l2，求l1, l2的斜率。
解：
l1的斜率k1 tan1 tan 300
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120,则斜率为：k tan120 3
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
若 b d 0,则倾斜角 arctan b d
ac
ac
若 b d 0,则倾斜角 arctan( b d )
ac
ac
P37练习：
(1)k 0;(2)k 3;(3)k不存在;(4)k 1 y
0
2
x
(1)k 2, arctan 2 (2)k 3, 120 (3)k 1, 135 (1) 0; (2) 90; (3) 45 证明三点共线的解析几何方法：斜率相同
3, 3
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan(1800 600 ) tan 600 3.
例2：求经过A(a,b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
解：(1)当a c时，斜率k不存在；
倾斜角 90
(2)当a c时，斜率k b d ac
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
1、直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所
转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
y y
tan 2 1
x2 x1
直线的斜率计算公式：
l
y P2•
P1• P
0
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )是直线l上的两个不同点
向量P1P2 （x2 x1, y2 y1）.
过原点作OP P1P2.
则P的坐标是（x2 x1, y2 y1）.
y y
tan 2 1
x2 x1
即
y y
k 2 1
x2 x1
直线的斜率计算公式：
即
y y
k 2 1
x2 x1
OP P1P2 (x2 x1, y2 y1)
l
y P2• P
平面解析几何
第七章 直线和圆的方程
平面解析几何
研究几何问题
以代数的方法
平面解析几何的产生背景
解析几何创始人：法国数学家笛卡儿和费马
7.1 直线的倾斜角和斜率
请作出函数的 y 2x 1 图象
A（0，1） P（1，3）
P
A
l
方程y 2x 1
直l
直线l上的点的坐标满足方程y 2x 1
方程y 2x 1的解(x, y)对应的点在直线l上。
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所
转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0
x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
倾斜角的取值范围是 00 1800.
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这