正态分布及其应用(1)
正态分布与应用
正态分布
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正态分布的性质是什么
正态分布的突出性质：
➢ 分布围绕平均值对称：一半的值低于平均值，一半高于平均值。
➢ 分布可以用两个值来描述：平均值和标准差。
➢ 平均值是位置参数，而标准差是刻度参数。
➢ 平均值确定曲线峰值的中心位置，增加均值使曲线向右移动，而减小均值使曲
要首先得到 z 值，z 值告诉我们 1380 与平均值相差多少个标准差。
公式
=
−μ
计算
=
1380−1150
150
当 z 为 1.53 时， 为 0.937，这是 SAT 分数为 1380
或更低的概率，要获得阴影区域的概率(面积)，需要从整体中
减去 0.937：
S（x > 1380） = 1 – 0.937 = 0.063
即在=μ这条直线左右两边的面积各为0.5，即S(＜μ)=S(＞μ)=0.5；
⑤当＜μ时，曲线上升(增函数)；当＞μ时，曲线下降(减函数)，并且
当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近;
⑥当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越尖削，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越平阔，
线向左移动。
➢ 标准差拉伸或挤压曲线。小的标准差导致窄曲线，而大的标准差导致宽曲线。
正态分布
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正态分布的特点
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
③曲线在=u处达到峰值；
正态分布及其应用医本
表9-1 某地140名正常成年男性血清尿素氮浓度(mmol/L)
6.00
5.28
3.90
5.30
4.20
3.90
5.60
5.66
4.10
4.00
4.50
3.77
4.34
4.30
4.22
5.30
5.13
3.79
4.80
5.20
4.70
2.94
5.90
4.50
2.10
5.60
5.90
5.90
2.85
4.90
4.22
5.63
3.21
4.66
3.00
5.96
3.45
3.50
4.23
3.90
3.88
4.24
4.53
4.88
2.48
3.40
3.26
3.21
3.60
2.73
4.15
4.60
4.35
4.96
5.61
5.87
5.01
4.33
5.74
4.87
3.96
3.00
3.93
3.15
5.00
3、标准正态分布
正态分布的图形由 和 所决定，即N（ ， 2） 对上式进行 u 代换，即： 可使一般的正态分布转换为标准正态分布（u 分布），此时 N（0，1）。 x = 0 = 1
问题：为什么一般的正态分布要转换成标准正态分布？
01
表中曲线下面积为 - ~ u 的面积；即 P ( u) P299
第九章 数值变量资料的统计分析 第二节 正态分布及其应用
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温医环境公卫学院黄陈平
正态分布及其应用
正态分布及其应用安徽财经大学统计与应用数学学院 吴礼斌一. 随机变量及其分布（Random variable and Distribution ）定义1.1 设E 是随机试验，它的样本空间为Ω=｛ω｜ω为基本事件｝，对每一个样本点即基本事件ω∈Ω，都对应一个实数X(ω)，对于任意实数x ，集合{ω| X (ω) ≤x }有确定的概率．则称X(ω)为随机变量，简记为X 。
随机变量按其取值情况可以分为两类：离散型与非离散型，常见非离散的连续型。
定义1.2 设X 为离散型随机变量，它的所有可能取值为x 1,x 2,…，x k ，…，(有限个或可列无限个)，X 取值为x k 的概率记为).,3,2,1(,}{L ===k p x X P k k (2.1)称(2.1)式为随机变量X 的概率分布或分布律（Law of distribution)，简称(2.1)式为X 的分布。
定义1.3 设X 是随机变量，任意给定实数x ，记事件}{x X ≤的概率为}{)(x X P x F ≤= （2.4.1）则F(x)为实值函数，称F(x)为X 的分布函数（distribution function ）。
随机变量X 的分布函数)(x F 具有如下性质：（1）单调非降性；（2）规范性；（3）右连续性。
定义1.4设随机变量X 的其分布函数为F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x, 有∫∞−=≤=xdt t f x X P x F )(}{)( (3.1)则称X 为连续型随机变量，称f(x)为X 的概率密度函数（Density function and nature ），简称概率函数或密度函数，记为X ～f(x)，读作X 服从以f(x)为概率密度函数的随机变量。
X 的概率密度函数f(x)具有两条基本性质：(1)非负性；(2)完备性。
二、正态分布(Normal distribution)1．一般正态分布定义2.1 如果连续型随机变量X 的密度函数为),(,21)(22)(21+∞<<−∞=−−x ex f x µσσπ (2.1)其中)0(,>σσµ为常数，则称X 服从参数为µ和2σ的（一般）正态分布或高斯分布(Normal distribution or Gauss distribution )，记作),(~2σµN X 。
正态分布的概念及应用
• 正态分布的简介 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用场景 • 正态分布在数据分析中的应用 • 正态分布在机器学习中的应用 • 正态分布与其他统计分布的关系
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 描述了许多自然现象的概率分布 形态，其概率密度函数呈钟形曲 线，且具有对称性。
贝叶斯推断
正态分布在贝叶斯推断中发挥了重要作用。通过贝叶斯定理，我们可以根据先 验知识和数据更新对未知参数的估计，而正态分布可以作为先验知识的分布形 式。
核方法和支持向量机
核方法
在支持向量机（SVM）等核方法中，正态分布作为核函数的一 种形式，用于将输入空间映射到高维特征空间，从而使得线性 不可分的数据变得线性可分。
在时间序列分析中，正态分布可用于描述时间序列数据的分布特征， 并建立预测模型。
05
正态分布在机器学习中的应用
概率模型和贝叶斯推断
概率模型
正态分布是一种常用的概率分布，在贝叶斯推断中，我们常常假设某些参数服 从正态分布，以便进行统计推断。例如，在朴素贝叶斯分类器中，特征的概率 分布被假设为正态分布。
考试成绩和测试评分
考试成绩和各种测试评分也经常呈现正态分布，因为大多数人的得分集中在平均分附近， 而高分和低分的人数较少。
气温、降雨量等气候数据
气温、降雨量等自然现象数据也可以用正态分布来描述，因为它们通常遵循类似的统计规 律。
科学研究和技术开发
01 02
实验结果和测量数据
在科学实验和测量中，很多数据呈现正态分布，如放射性衰变的半衰期、 化学反应速率等。这些数据反映了物质内部微观粒子的随机运动和相互 作用。
正态分布在统计学中的地位
正态分布及其应用
Part
04
正态分布在金融领域的应用
资产收益率的正态分布假设
资产收益率的正态分布假设
在金融领域中，正态分布被广泛用于描述资产收益率的概率分布。这一假设基于大量历史 数据的统计分析，认为资产收益率的分布近似于正态分布。
中心极限定理
中心极限定理是正态分布假设的理论基础，它表明无论总体分布是什么，当样本量足够大 时，样本均值近似服从正态分布。
生物医学研究
在生物医学研究中，许多生理指 标和疾病发生概率的分布并不服 从正态分布，而是呈现出偏态分 布或泊松分布等其他类型。
正态分布在大数据时代的发展
01 02
机器学习算法的改进
随着机器学习算法的不断改进，正态分布在大数据时代的 应用场景将得到进一步拓展。例如，深度学习算法可以处 理大规模、高维度的数据集，并能够自动提取特征，从而 减少对正态分布假设的依赖。
参数估计
在正态分布假设下，可以使用历史数据估计资产的预期收益率和风险波动率等参数，为投 资决策提供依据。
VaR（风险价值）的计算
VaR（风险价值）定义
VaR是指在一定置信水平下，某 一金融资产或投资组合在未来特 定时间段内的最大可能损失。
VaR计算方法
基于正态分布假设，可以使用历 史模拟法、蒙特卡洛模拟法等计 算VaR。这些方法通过模拟资产 价格的随机变动，计算出在给定 置信水平下的潜在损失。
无法处理复杂数据
正态分布在处理具有复杂结构或非线性关系的数据时可能表现不佳， 无法准确描述数据的分布特性。
非正态分布的适用场景
金融领域
自然语言处理
在金融领域中，许多金融变量的 分布并不服从正态分布，而是呈 现出尖峰厚尾的特点。例如，股 票收益率、波动率等金融时间序 列数据的分布往往具有这些特征。
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的连续概率分布之一、正态分布在理论研究和实际应用中都起到了重要的作用。
1.中心极限定理：中心极限定理是正态分布理论的基础，它指出，独立同分布的随机变量的和的极限分布依近似于正态分布。
这意味着，对于大量独立随机变量的和，即使这些变量的分布不同，其总体分布也会接近于正态分布。
2.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数由两个参数决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
其概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))3.正态分布的特性：-均值μ是分布的中心，标准差σ决定了分布的离散程度。
-68%的观测值在均值左右一个标准差范围内，95%的观测值在均值左右两个标准差范围内，99.7%的观测值在均值左右三个标准差范围内。
1.统计分析：正态分布广泛应用于统计分析中。
很多统计模型都需要基于正态分布的假设。
例如，参数估计、假设检验、方差分析等都需要基于正态分布进行推断。
2.质量控制：质量控制中常常使用正态分布。
通过收集样本数据，计算平均值和标准差，可以对产品的质量进行控制和评估。
例如，正态分布常用于确定产品的上下公差。
3.自然科学：正态分布在自然科学中也有应用。
例如，生物学中研究身高、体重等指标时可以使用正态分布。
物理学中粒子运动的速度和位置分布也可以近似为正态分布。
4.金融与经济学：金融市场和经济领域中，许多变量的分布近似为正态分布。
例如，股票收益率、利率、汇率等可以建模为正态分布。
这使得研究人员能够使用正态分布的属性来做出预测和决策。
5.归一化处理：正态分布是进行归一化处理的常用工具之一、通过将数据转化为标准正态分布，可以对不同数据进行比较和分析。
预防医学统计学正态分布及其应用
2
其中 x
0
x
式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2旳正态分 布,记为N(, 2).可表为X～N(, 2).
图象见右上角
二、正态分布图形特征
1、高峰位于中央，两侧逐渐下降并对称，
曲线两端不与横轴相交
f (x)
2、以均数为中心，左右对称
3、正态分布有两个参数:
(1)位置参数 μ (2)形态参数σ
95%参照值范围为（2.96,6.72）（mmol/L）
(2) 3.80－4.84
u=
＝ － 1.08
0.96
Ф(u) =Ф(-1.08)=0.1401
即血清总胆固醇低于3.80 mmol/L所占旳 百分比为14.01%。
95.00% 2.5%
μ -1.96 σ
μ + 1.96σ
1
2 μ-σ
3
μ+σ
四、 原则正态分布
参数＝0，2＝1旳正态分布称为原则正态
分布，记作X~N(0, 1)。
(x)
其密度函数为
(x)
1
x2
e2
2
( x )
4 2 0 2 4
2、原则正态分布曲表
Φ(面积，即相应u值左侧原则正态分布曲线 下面积。
N(4,7/5)
2 0 2 4 6 x
三、正态曲线下面积旳分布规律
正态曲线与X轴所夹旳面积恒等于1或100%
面积总 等于1
已知：X服从均数为μ ，原则差为σ旳正态分
布，试估计X取值在μ± σ， μ±1.96 σ，
μ±2.58σ区间上旳概率
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
第六章 正态分布及其应用
一．正态分布
♦
正态分布（ 正态分布（normal distribution）也称
为常态分布， 为常态分布，是连续型随机变量概率分布的一 种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最 重要地位的一种理论分布。 重要地位的一种理论分布。
♦
正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。 正态分布由棣．莫弗于1733年发现的。拉 1733年发现的
无限延伸，但永不与基线相交。 无限延伸，但永不与基线相交。 差为１。从Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之间几乎分布着全 Ｚ＝－3 Ｚ＝＋3 部数据。 部数据。
♦
拐点为正负一个标准差处 ⑸．曲线的拐点为正负一个标准差处。 曲线的拐点为正负一个标准差处。
二．标准正态分布表及使用
1．标准正态分布表
♦
利用积分公式可求出正态曲线下任何
2σ 2
公式所描述的正态曲线， 两个参数决定。 公式所描述的正态曲线，由σ和μ两个参数决定。
2．标准正态分布曲线
将标准分数代入正态曲线函数 并且， 并且，令σ＝1 则公式变换为标准正态分布函数： 则公式变换为标准正态分布函数：
1 Y= ⋅e 2π
Z2 − 2
♦
以Ｚ为横坐标，以Ｙ 为横坐标，
为纵坐标，可绘制标准正 为纵坐标， 态分布曲线。 态分布曲线。
♦
标准正态分布曲线的
纵线高度Ｙ为概率密度， 纵线高度Ｙ为概率密度， 曲线下的面积为概率。 曲线下的面积为概率。
3．标准正态分布曲线的特点
♦ ♦ ♦ ♦
⑴．曲线在Ｚ＝０处达到最高点 曲线在Ｚ＝０ Ｚ＝ ⑵．曲线以Ｚ＝０处为中心，双侧对称 曲线以Ｚ＝０处为中心， Ｚ＝ ⑶．曲线从最高点向左右缓慢下降，向两侧 曲线从最高点向左右缓慢下降， 平均数为 ⑷．标准正态分布曲线的平均数为０，标准 标准正态分布曲线的平均数
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例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均
数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服
从正态分布，试求① 该地12岁男童身高在132cm
以下者占该地12岁男童总数的比例，② 分别求
X ±1s、X ±1.96s和 X ±2.58s范围内12岁男童占
该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比
线形态“矮胖” 。
特征四 有些指标不服从正态分布，但通过
适当变换后服从正态分布，如对数正态分
布。
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8
特征五 正态分布曲线下的面积分布是有规律 的。
用F(X)代表横轴自-∞到X间曲线下面积，即
下侧累计面积(概率)。
X
FX
1
X2
e 22 dX
2
曲线下（X1，X2）两个数值之间的面积则可
实际分布
人数
百分数(％)
87
72.50
114
95.0
68.27 95.00 99.00
可编辑ppt
17
四、正态分布的应用
医疗卫生领域中有很多的指标是服从或近 似服从正态分布。
如：同性别同年龄正常儿童的身高、体重， 同性别健康成人的红细胞数以及实验中的 随机误差等一般都服从正态分布。
较。
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16
① 计算u=（132.0-143.05）/5.82= -1.90 查表得，( u)= ( -1.90)=0.0287
②
X us
X ±1.00s
X ±1.96s X ±2.58s
身高范围(cm)
137.23～148.87 131.64～154.46 128.03～158.07
f (X)
1
(X)2
e 22 , (-∞＜ X ＜+∞)
2
式中，有4个常数， 为总体均数， 为总体
标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，其
中，为不确定的常数，π，e为固定常数，
仅X为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为
纵轴数值。当给定和，就可绘制出一条正态
分布曲线。正态分布曲线是一簇曲线。
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有一些指标不服从正态分布，但经过变量 变换后，能近似服从正态分布。
如：对数正态分布
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18
（一）估计频率分布
例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为 3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出 生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。
第五节 正态分布及其应用
可编辑ppt
1
正态分布
重要的概率分布，统计分析方法的基础。 医学研究中的多数观察指标服从或近似服
从正态分布； 很多统计方法建立在正态分布的基础之上； 很多其他分布的极限为正态分布。
可编辑ppt
2
一、正态分布的概念和图形
（a）
（b）
（c）
可编辑ppt
（d）
3
正态分布的概率密度函数为：
利用正态分布的对称性，求(1.60)=1-(-1.60) 则（-∞，1.60）范围内面积为10.0548=0.9452。
（-1.20，1.60）范围内的面积
D=0.9452-0.1151=0.8301。
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15
注意点二
对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1， X2）范围内的面积，可先作标准化变换， 再借助标准正态分布表求得。
③曲线下面积常用规律：
在区间（ -， +）内的曲线下面积为68.27%； 在区间（ -1.64， +1.64）内的面积为89.90%， 在区间（ -1.96， +1.96）内的面积为95.00%； 在区间（ -2.58， +2.58）内的面积为99.00%。
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10
三、标准正态分布
将正态分布变量作标准化变换，就得到均 数为0，标准差为1的标准正态分布 （standard normal distribution）
可编辑ppt
13
注意点一
附表1中只列出了曲线下从-∞到0范围内的 面积
对于u>0的范围面积，利用正态分布的对称 性，通过(u) =1-(-u)来求曲线下的面积。
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14
例、已知u1= -1.20，u2=1.60，求标准正态曲线 下（-1.20，1.60）范围内的面积。
查附表1，得（-∞，-1.20）范围内的面积为 0.1151，（-∞，-1.60）范围内的面积为0.0548，
引入标准化变换后，对于其他任何正态分
布 N ( , 2 ) 都可以借助标准正态分布表估计
任意（X1，X2）范围内的频数比例。
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12
例、已知u1=-1.76，u2=-0.25，求标准正态曲 线下（-1.76，-0.25）范围内的面积。
查附表1，得（-∞，-1.76）范围内的面积为 0.0392，（-∞，-0.25）范围内的面积为 0.4013，则（-1.76，-0.25）范围内的面积 D=0.4013-0.0392=0.3621。
4
正态分布图形： 对称的钟型（在均数处最高） 两侧逐渐下降 两端在无穷远处与横轴无限接近。
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5
二、正态分布的特征
f
=1 =1.5 =2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
不同标准差 的正态分布示意
一般情况下，我们用N(,2)表示均数为，方差
为2的正态分布。 可编辑ppt
以用 F X2 与 F X1 的差值求得 ：
DFX2
FX1
可编辑ppt
X2 X1
1
X2
e22 dX
2
9
无论，取什么值，正态分布密度曲线下
的面积分布有以下几个规律：
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1 或100%；
②正态分布是对称分布。其对称轴为直线X=， X>与X<范围内曲线下面积相等，各占50%；
标准化变换公式： u X
正态分布的概率密度函数方程就简化为标 准正态分布的概率密度函数方程：
(u)
1
2
eu2
2
，(-∞＜
u
＜+∞)
可编辑ppt
11
对其定积分：
(u) 1
u
eu2 2du
2
式中 (u)为标准正态变量u的累计分布函数， 反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也 就是下侧累计面积(概率)。
6
特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置
在均数X= 处。
特征二 正态分布以均数为中心，左右完全 对称。
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7
特征三 正态分布取决于两个参数，即均数
和标准差。
为位置参数， 变大，则曲线沿横轴 向右移动； 变小，曲线沿横轴向左移动。
为形态参数，表示数据的离散程度， 若小，则曲线形态“瘦高”；大，则曲