医学统计学.正态分布及其应用
正态分布在医学统计学中的应用
正态分布在医学统计学中的应用
正态分布在医学统计学中的应用
正态分布，也称为高斯分布，是一种概率分布，它可以用来描述一些经典情况下随机变量的分布特征。
它被广泛应用于各种科学和工程领域，尤其是在统计学和数理金融中。
正态分布在统计学中的特殊地位使它成为医学统计学的重要概念。
在医学统计学中，正态分布被用来描述和分析人群特征，包括身高、体重、血压等生理指标。
此外，正态分布还被广泛用于评估治疗前后对病人的影响，以及分析疾病发病率和患病风险。
正态分布在医学研究中的应用可以帮助临床医生和科学家更准确地识别疾病或隐性疾病，以及更有效地采取治疗措施。
正态分布在医学统计学中的应用主要有三个方面：
一是诊断试验。
通过正态分布的概率分布，可以更准确地判断一个患者是否感染某种疾病，以及分析不同病人对治疗方案的反应情况。
比如，在肿瘤治疗中，可以通过正态分布模型来估计患者肿瘤标志物浓度的变化，便于评价患者的疗效。
二是疾病预测。
在医学研究中，正态分布可以用来评估一个疾病的发生率，以及病人对某种治疗方案的反应情
况。
比如，对某种疾病的风险因素可以用正态分布模型来分析，从而帮助临床医生精确预测患病的可能性。
三是病因分析。
正态分布也可以用来分析疾病的发病原因，以及特定病因对患病风险的影响程度。
比如，可以通过正态分布模型来分析肥胖对心血管疾病发病率的影响，从而提供准确的诊断和治疗方案。
正态分布在医学统计学中的应用可以更准确地评估疾病发生率、患病风险、治疗效果以及疾病发病原因，为临床医生和科学家提供准确的诊断和治疗措施，从而提高治疗效果和患病风险。
医学统计学 正态分布及其应用
26/43
为什么要确定一个范围？ 既然同属正常人，就不能以甲的数据为标准， 认为乙异常，亦不能以甲此时的数据为标准， 认为彼时的异常。所以必须确定一个波动范 围。如WBC：4000～10000个/mm3 “正常”是一个相对的概念 “正常人”是指排除了影响所研究指标的疾 病和有关因素的人。
27/43
同质 正常 “足够数量” 例数过少，代表性差；例数过多增加成本， 且易导致正常标准把握不严，影响数据的可 靠性。 一般认为每组100例以上 ；有人认为确定临 床生化指标的正常值应取300~500例。
30/43
控制检测误差
通过人员培训、控制检测条件、重复测 定等措施，严格控制检测误差。
(二)主要特征：
1、正态分布以均值μ为中心，左右对称。 2、正态分布中，曲线下面积集中在以均值μ为中心 的中心部分，越远离中心，曲线越接近 X 轴，曲线 下面积越小，超过一定范围以外的面积可以忽略。
8/43
3、正态分布曲线完全由参数μ和σ决定。
μ是位置参数，决定分布曲线在横轴的偏
移位置。
σ是变异参数，决定分布曲线的形态。
71.67
95.00 98.33
68.27
95.00 99.00
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参考值范围
(reference interval)
又称正常值范围(normal range) 正常人的形态、功能、生化等各种指标的波 动范围。简称正常值。 为什么波动？ “个体变异” 同一指标的数据因人而异 同一个体的数据随环境、时间等改变而变
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方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
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均数相等、方差不等的正态分布图示
医学统计学简答题
1、正态分布的特点及其应用性质：①以均数为中心，两头低中间高，左右完全对称的钟型曲线；②只有一个高峰，在X=μ，总体中位数亦为μ；③μ为位置参数，当σ恒定时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ为形态参数，当μ恒定时，σ越大，表示数据越分散，曲线越矮胖，反之，曲线越瘦高；④对于任何服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X作的线性变换，都会变换成u服从于均数为0，方差为1的正态分布，即标准正态分布；⑤正态分布在μ±1σ处各有一个拐点；⑥正态曲线下的面积分布有一定的规律：X轴与正态曲线所夹面积恒为1；区间μ±σ的面积为68.27%，区间μ±1.96σ的面积为95.00%，区间μ±2.58σ的面积为99.00%。
应用：①概括估计变量值的频数分布；②制定参考值范围；③质量控制；④是许多统计方法的理论基础。
2、确定参考值范围的一般原则和步骤、方法一般原则和步骤：①抽取足够例数的正常人样本作为观察对象；②对选定的正常人进行准确而统一的测定，以控制系统误差；③判断是否需要分组测定；④决定取单侧范围值还是双侧范围值；⑤选定适当的百分范围；⑥选用适当的计算方法来确定或估计界值。
方法：①正态分布法：②百分位数法（偏态分布）：3、标准差与标准误的区别与联系区别：含义：标准差反映观察值在个体中的变异大小，标准差越大，变量值越分散。
标准误是指样本统计量的标准差，反映来自同一总体的样本统计量的离散程度以及样本统计量与总体参数的差异程度，即抽样误差的大小。
计算方法：标准差：总体标准差：样本标准差：标准误：均数的标准误：率的标准误：用途：标准差①用于对称分布，特别是正态分布资料，表示观察值分布的离散程度②结合均数，描述正态分布的特征、估计参考值范围③结合样本统计量，计算均数标准误④计算变异系数⑤反映均数的代表性标准误①衡量样本均数的可靠性②估计总体均数的可信区间③用于均数的假设检验与n的关系：随着n增加，样本标准差稳定于总体标准差；随着n增加，样本标准误减少并趋于0。
医学统计学 正态分布
X ,S
2 2
2
变量近似服从均数为 X, 方差为 S 的正态分布
【例5.5】 在例2.1中，某地120名7岁男童的身高，已
知均数 X =119.41cm，标准差S =4.38cm， (1)试估计
该地7岁男童身高在110cm以下者占该地7岁男童总数的
百分数。(2)分别求 X〒1s，X 〒1.96s， X〒2.58s范
现代医学对正常值的概念有了较大的发展 ： 如卫生学上对食品、空气、水、化妆品等的卫生标 准的制订 ；流行病学中某传染病隔离期限的确定； 在儿少卫生中不同性别、年龄儿童的各项生长发育 指标的等级标准的确定；动物实验中标准动物的确 定等等；
（1）确定正常值范围的一般原则和步骤
1.抽取足够例数的正常人样本
保证原始资料可靠，是确定正常值范围的前提
3.决定取单侧范围值还是双侧范围值
正常值范围是取单侧还是双侧需根据指标的实际用 途来确定 过低和过高均属异常，需要分别确定下限和上限： 双侧范围。例如：白细胞总数 过高为异常，只需确定其上限，如：尿铅 仅过低为异常，只需确定其下限：如肺活量、智商
4.选定适当的百分范围
参考值范围的涵义：绝大多数的正常人在该范围内 绝大多数，习惯上指正常人的80％，90％，95％ （最常用）或99％等。 例如，根据正常人样本确定了血清谷草转氨酶正常 值单侧95％上限为37U/L。即容许有5％的正常人被 判为异常，称为假阳性
Байду номын сангаас5.估计界值
即根据资料的分布类型，样本含量的多少及研究者 的要求，选用适当的方法，确定正常值范围的界值。
X ±us
(cm)
人数
百分数(%)
(%)
────────────────────────────────────
医学统计学-4-正太分布及应用
1 2 e
u 2 2
，(-∞＜ u ＜+∞)
对其定积分：
(u )
1 2
u
e
u 2 2
du
式中 (u)为标准正态变量u的累计分布函数， 反映了横轴自-∞到u的正态曲线下面积，也 就是下侧累计面积(概率)。 引入标准化变换后，对于其他任何正态分 N ( , 2 ) 都可以借助标准正态分布表估计 布 任意（X1，X2）范围内的频数比例。
1、参考值范围确定的注意点
“正常人” 的概念 样本数据大小的问题 检测误差的问题 判断是否分组 单、双侧的问题 “绝大多数”的含义 是否需要确定可疑范围 变量转换的问题
不管将正常界值定在什么位置，都可能出现假 阳性或假阴性，产生这两种误判的根本原因是 正常人的分布与病人的分布有重叠 。
（一）估计频率分布
例、若由某项研究得某地婴儿出生体重为 3100g，标准差为300g，试估计该地区当年出 生低体重儿（出生体重≤2500g）所占比例。 认为当年该地区婴儿出生体重近似服从正态分 布N（3100,3002）,作标准化变换：
u X
2500 3100 2.00 300
注意点二
对于非标准正态分布，求曲线下任意（X1， X2）范围内的面积，可先作标准化变换， 再借助标准正态分布表求得。
例、某市120名12岁男童身高的例子中已求得均 数为 143.05cm，标准差s=5.82cm。设该资料服 从正态分布，试求① 该地12岁男童身高在132cm 以下者占该地12岁男童总数的比例，② 分别求 X ±1s、 X ±1.96s和 X ±2.58s范围内12岁男童占 该组儿童总数的实际百分数，并与理论百分数比 较。
医学统计学. 正态分布及其应用
表4.6 参考值范围的制定
45
例4.24 某地调查正常成年男子200人的红 细胞数，得均数 X =55.26×1012/L，标准 差S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年 男子红细胞数的95%参考值范围。
46
解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为
下限：
X－1.96S =55.26 － 1.96×0.38=54.52(×1012/L)
生不同位置、不同形状正态分布， （x1，x2）范围内的面积也不同， 计算起来很麻烦。
22
三、标准正态分布 为了计算方便，对于正态或近似正态 分布的资料，只要得出均数和标准 差，可通过标准转化，转化成求标 准正态曲线下横轴自-∞到z的面积。 为了便于应用，统计学家按Φ(z)编 制了标准正态分布曲线下的面积表， 由此表可查出曲线下某区间的面积， 这样就可对符合正态分布资料的频 数分布作出估计。
曲线下在区间(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)的面积为99%。
16
■μ士σ范围内的面积占正态曲线下面积的68.27％，也
就是说有68.27％的变量值分布在此范围内。
68.27%
-
+
17
μ士1.64σ范围内的面积占正态曲线下面积的90％，也就是 说有90％的变量值分布在此范围内。
90%
5%
线,近似于数学上的正态分布曲线。
7
一.正态分布的概念和特征
1.正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频 数分布是中间(靠近均数处)频数多，两边 频数少，且左右对称。如人体的许多生 理、生化指标等。这种变量的频数分布 规律可用概率论中的一种重要的随机变 量分布—正态分布(Normal distribution)加 以描述。
正态分布在医学统计学区间估计的应用
正态分布在医学统计学区间估计的应用
正态分布在医学统计学区间估计中有着重要的作用，下面来看看它具体在医学统计学中的应用：
一、正态分布在病人总死亡评估中的应用
1、采用正态分布加以拟合，以此为基础进行参数的估计，来评估患病的总死亡率;
2、正态分布用于估计患者每一种病的能力，以及每个患者的健康状况，对有效的病人总死亡率的有效性的评估;
3、采用正态分布加以建模，以评估人群特定疾病的潜在病死率。
二、正态分布在病人康复情况评估中的应用
1、用正态分布拟合以此来评价患者在疾病入院状态以及出院状态，以便记录每一个患者的康复情况;
2、用正态分布拟合对比康复情况和病人体重、血压等参数，以便来评估疾病康复速度及相关变量;
3、采用正态分布估计病人疾病康复时间，以及评估病人康复率。
三、正态分布在医療安全性评估中的应用
1、用正态分布运算识别医疗机构中的安全缺陷及其准确性;
2、采用正态分布估计对医疗安全性的危害概率;
3、用正态分布拟合以此来评估医疗安全事件的频率和比例，以此来发现有关的风险因素。
四、正态分布在药物毒性监测中的应用
1、用正态分布评估药物毒副作用出现的概率，评估药物在不同患者身上的作用效果;
2、运用正态分布来收集药物实验结果，以检测出不同的药物的毒性;
3、采用正态分布来评估药物的安全程度及其有效性。
总而言之，正态分布在医学统计学区间估计中有着重要的应用，可以在病人总死亡评估、病人康复情况评估、医療安全性评估以及药物毒性监测中使用，在这些医学领域中都能发挥作用。
正态分布在医学研究中的应用
正态分布在医学研究中的应用# 正态分布在医学研究中的应用## 引言正态分布是统计学中一种常见的概率分布，其在医学研究中广泛应用。
正态分布的特征使得它成为描述自然界中许多现象的理想工具，包括生物学和医学领域。
本文将探讨正态分布在医学研究中的应用，以及它在疾病研究、药物试验和流行病学等方面的重要性。
## 正态分布的基本概念正态分布，又称高斯分布，是一种对称的概率分布，其图形呈钟形曲线。
正态分布的均值、方差和标准差是分布的关键参数，它们决定了曲线的形状和分布的特性。
在医学研究中，正态分布常常用来描述一群人群中的某种生理指标，如血压、体重等。
## 正态分布在疾病研究中的应用### 1. 遗传疾病的研究正态分布在遗传疾病研究中起着关键作用。
通过对家系和群体进行遗传分析，研究者可以利用正态分布来描述某一遗传性状的分布情况。
例如，身高是一个受多基因遗传影响的生理特征，其在人群中呈现出正态分布。
这种分布模式有助于确定遗传因素在疾病发生中的贡献程度，为家族遗传性疾病的研究提供了重要参考。
### 2. 疾病诊断标准的制定在制定疾病诊断标准时，正态分布可以用来建立正常参考范围。
通过对大规模人群进行测量，得到某项生理指标的分布情况，可以确定正常范围的均值和标准差。
这样的标准化过程有助于医生更准确地判断患者是否存在异常。
例如，血糖水平的正态分布可用于确立糖尿病的诊断标准，提高了疾病诊断的客观性和科学性。
## 正态分布在药物试验中的应用### 1. 药效评价在药物试验中，正态分布常被用来评估药物的疗效。
研究者通常通过对患者进行观察和测量，收集与药物治疗相关的生理指标数据，如血压、血糖等。
这些数据往往呈现正态分布，使得研究者能够运用统计学方法来分析和解释结果。
通过比较药物组和安慰剂组的数据分布，可以更准确地评价药物的治疗效果，并制定科学的治疗方案。
### 2. 不良反应监测药物试验不仅关注治疗效果，还需要监测药物的不良反应。
医学统计学正态分布
正态分布的假设检验
假设检验是医学统计学中常用的方法之一。
通过检验数据是否服从正态分布，可以判断相关统计推断的适用性。
正态分布的可视化方法
图表是可视化呈现正态分布的重要工具。
直方图、箱线图和概率图等方法可以帮助理解数据的分布特征。
医学统计学正态分布
医学统计学中，正态分布是一个重分布，又称为高斯分布，是一种以钟形曲线为特征的概率分布。
它具有对称性、单峰性和中心极限定理等重要特点。
正态分布的公式和参数
正态分布的概率密度函数可以使用以下公式表示：
()=1/(√(2)) * e^(-((−)²/2²))
其中，表示均值，表示标准差。
正态分布的应用领域
正态分布在医学统计学中广泛应用。
它可以用来描述人口生理指标、药物浓度、医学测试结果等。
正态分布与医学统计学的关系
医学统计学研究中常常假设数据服从正态分布。
正态分布的假设可以帮助进行参数估计和假设检验等统计推断。
正态分布的重要性
正态分布的重要性在于它在自然界和人类行为中的广泛应用。
医学统计学3. 正态分布及应用
例习题3-1题
130名健康成年男子脉搏资料的均数、标准差分 别为：71.32与5.80 （次/分）;问在正态分布假定下， 脉搏在65～75（次/分）之间有多少人？
Z1
65
71.32 5.80
1.09,该界值左侧面积为0.1379
Z2
75
71.32 5.80
0.63,该界值左侧面积为0.7357
肺活量参考 值范围
白细胞数参 血铅参考值范
考值范围
围
5. 选择适当的百分数范围 结合专业知识，根据研究目的、研究指标的性质、 数据分布特征等情况综合考虑。百分数范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
6. 选择计算参考值范围的方法 根据资料的分布类型，样本含量的多少和研究目 的等，选用适当的方法确定参考值范围。
过低异常 过高异常
过低异常过高异常
表 3-1 医学参考值范围的正态分布法和百分位数法计算公式
概率 （%） 双侧
正态分布法
单侧
下限
上限
百分位数法
双侧
单侧 下限 上限
90 X 1.64S X 1.28S X 1.28S
P5 ～ P95
P10
P90
95 X 1.96S X 1.64S X 1.64S
P2.5～P97.5 P5
Z=0.43，所对应左侧的面积 P=1-0.3336
Standard normal distribution 图3-7
0.07
f(X)
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 57 60 63 66 69 X 72 75 78 81 84
P(65 x 75) (0.43) (1)
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S(-,-X)
-X
S(X,)
X
X轴
正态分布对称性
15
二.正态密度函数曲线下的面积规律
③曲线下在区间(μ－σ，μ＋σ)的面积为68.27%， 曲线下在区间(μ－1.64σ，μ＋1.64σ)的面积为90%，
曲线下在区间(μ－1.96σ，μ＋1.96σ)的面积为95%，
23
1. 标准化变换
Z
x
若 x 服从正态分布 N (，2) ，则 z就 服从均数为0、标准差为1的正态分布， 这种正态分布称为标准正态分布或 z 分 布，记为 N (0，12)，这一变换也称为标 准化变换。
24
N(μ,σ2)
N（0，1）
从一般的正态分布转变为标准的正态分布
25
标准正态分布的密度函数为
(X )
1 2
e
Z2 2
26
对上式求积分可得到标准正态变量Z的分布函
数。
由于积分计算繁琐，统计学家按标准正态分布
的累积概率分布函数(-Z)编制了附表2
（P315），标准正态分布曲线下的面积，由 表可查出曲线下某区间的面积。
27
线,近似于数学上的正态分布曲线。
7
一.正态分布的概念和特征
1.正态分布的概念
在医学卫生领域中，许多变量的频 数分布是中间(靠近均数处)频数多，两边 频数少，且左右对称。如人体的许多生 理、生化指标等。这种变量的频数分布 规律可用概率论中的一种重要的随机变 量分布—正态分布(Normal distribution)加 以描述。
生不同位置、不同形状正态分布， （x1，x2）范围内的面积也不同， 计算起来很麻烦。
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三、标准正态分布 为了计算方便，对于正态或近似正态 分布的资料，只要得出均数和标准 差，可通过标准转化，转化成求标 准正态曲线下横轴自-∞到z的面积。 为了便于应用，统计学家按Φ(z)编 制了标准正态分布曲线下的面积表， 由此表可查出曲线下某区间的面积， 这样就可对符合正态分布资料的频 数分布作出估计。
3. 正态分布有两个参数
4. 曲线下面积分布有规律
X
2相等, 不等的正态分布图示
1
2
3
13
1＜ 2 ＜ 3
相等, 2不等的正态分布图示
1 2
3
1 ＜ 2 ＜ 3
14
二.正态密度函数曲线下的面积规律
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%； ②正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 X=μ， X>μ与 X<μ范围内曲线下的面积相等，各占50%；
5%
-1.64
+1.64
18
■μ士1.96σ范围内的面积占正态曲线下面积的95％，
也就是说有95％的变量值分布在此范围内。
95%
2.5%
2.5%
-1.96
+1.96
19
■μ士2.58σ范围内的面积占正态曲线下面积的99％，
也就是说有99％的变量值分布在此范围内。
99%
0.5%
由此可知:如果一个区间由若干组段构成,计算肺活量落在 某个区间的概率等于计算这个区间的中各个直方条图的面 积之和. 只能计算给定区间概率,不能计算任意区间概率. 对于上述直方图,组距越小,组段越多,能够计算的概率区 间就越多,当组距逐渐减小,上述计算方法仍然成立. 5
随人数逐渐增多，组段不断分 细，则频数分布图中的直条逐渐变 窄，就会逐渐形成一条高峰位于中 央(均数所在处)、两侧逐渐降低且 左右对称、不与横轴相交的光滑曲
医学资料中有许多指标的频数分布都呈正态分布:
身高
体重 脉搏 血红蛋白 血清总胆固醇 ……
9
正态分布曲线呈对称的钟形， 在均数处最高，两侧逐渐低下，两 端在无穷远处与横轴无限接近。 若变量 x 的频率曲线对应于数 学上的正态分布曲线，则称该变量 服从正态分布。
10
2.正态分布的特征
正态分布曲线的密度函数为：
0.5%
-2.58
+2.58
20
曲线下的面积的计算
对于任意一个区间的曲线下面积，在知道变 量值x对应的概率密度函数f (x)后，都可以根 据微积分的方法求出其面积的大小
f(x )
F x P (a x b )
b a
f ( x )d x ?
a
21
b
x
实际工作中，常需要了解正态曲 线下横轴上某一区间的面积占总 面积的百分数，以便估计该区间 的例数占总例数的百分数（频数 分布）或观察值落在该区间的概 率。对于不同的参数μ和σ会产
数值变量统计描述小结
原始资料
对称 算术均数与标准差
频数分布表、图
分布 类型
不对称
对数转换
分组划计
几何均数与对数值 标准差的反对数
中位数与四分位数间距
1
第四章 第四节 正态分布及其应用
流行病与卫生统计学系 何保昌
正态分布及其应用
(Normal distribution)
一. 正态分布的概念和特征 二. 正态曲线下面积的分布规律 三. 标准正态分布的性质 四. 正态分布的应用
曲线下在区间(μ－2.58σ，μ＋2.58σ)的面积为99%。
16
■μ士σ范围内的面积占正态曲线下面积的68.27％，也
就是说有68.27％的变量值分布在此范围内。
68.27%
-
+
17
μ士1.64σ范围内的面积占正态曲线下面积的90％，也就是 说有90％的变量值分布在此范围内。
90%
5%
1 f (X ) e 2
( X )2 2 2
-∞<X<+∞
则称X服从正态分布,记作x～N(, 2)
正态分布的参数 ：μ为总体均数，σ为总体标准差， 固定常数： π为圆周率，e为自然对数的底变量：X
11
2.正态分布的特征
图形特点：
1. 钟型、均数处最高 f(X)
2. 均数为中心的左右对称
3
此图的纵坐标为频率，横坐标为肺活量，称此图为频率直方图 每一个直方条的面积=频率，各组段的频率之和=1，所以这个直方 图的面积为1 如果样本量越大，每个组段的频率就越稳定，也就趋向概率。 由此我们可得到:随机抽一个9岁男孩,其肺活量落在各个组段的概率
4
假定各组段的概率如下
P(0.98L 肺活量 1.11L) 0.0417 P(肺活量 2.15L) 0.0333 0.0333 0.0666 P(1.89L 肺活量 2.15L) 0.10 0.05 0.15