医学统计学-正态分布
正态分布在医学统计学中的应用
正态分布在医学统计学中的应用
正态分布在医学统计学中的应用
正态分布，也称为高斯分布，是一种概率分布，它可以用来描述一些经典情况下随机变量的分布特征。
它被广泛应用于各种科学和工程领域，尤其是在统计学和数理金融中。
正态分布在统计学中的特殊地位使它成为医学统计学的重要概念。
在医学统计学中，正态分布被用来描述和分析人群特征，包括身高、体重、血压等生理指标。
此外，正态分布还被广泛用于评估治疗前后对病人的影响，以及分析疾病发病率和患病风险。
正态分布在医学研究中的应用可以帮助临床医生和科学家更准确地识别疾病或隐性疾病，以及更有效地采取治疗措施。
正态分布在医学统计学中的应用主要有三个方面：
一是诊断试验。
通过正态分布的概率分布，可以更准确地判断一个患者是否感染某种疾病，以及分析不同病人对治疗方案的反应情况。
比如，在肿瘤治疗中，可以通过正态分布模型来估计患者肿瘤标志物浓度的变化，便于评价患者的疗效。
二是疾病预测。
在医学研究中，正态分布可以用来评估一个疾病的发生率，以及病人对某种治疗方案的反应情
况。
比如，对某种疾病的风险因素可以用正态分布模型来分析，从而帮助临床医生精确预测患病的可能性。
三是病因分析。
正态分布也可以用来分析疾病的发病原因，以及特定病因对患病风险的影响程度。
比如，可以通过正态分布模型来分析肥胖对心血管疾病发病率的影响，从而提供准确的诊断和治疗方案。
正态分布在医学统计学中的应用可以更准确地评估疾病发生率、患病风险、治疗效果以及疾病发病原因，为临床医生和科学家提供准确的诊断和治疗措施，从而提高治疗效果和患病风险。
医学统计学 正态分布(精)
参考值范围的估计方法：正态分布法
2.5% 95% 2.5%
-1.96
+1.96
【例5.6 】某地调查正常成年男子144人的红细胞 数，近似正态分布，得均数 X =5.38×1012/L，
标准差S=0.44×1012/L。试估计该地成年男子红
细胞数的95％参考值范围。 解：双侧，95%界值u=1.96
X 2S 作为上下警戒值，
X 3S 作为上下控制值
4)正态分布是许多统计方法的理论基础
u 检验是以正态分布为理论基础的假设 检验方法； 统计学中的三大统计分布：卡方分布，t 分布， F 分布都是在正态分布的基础上推 导出来的； 某些分布的极限形式为正态分布：如 t 分 布，二项分布，Poisson分布等。均可按正 态近似的原理来处理。
应用本法的条件是样本含量较多，分布趋于稳定，样本含量 不少于150为宜。 其优点是可用于任何分布甚至分布不明的 资料。
【例5.7 】 用硫酸-高锰酸钾-硝酸消化法和无火焰原子吸 收光谱法测得某市238 名正常人发汞值如表5.6，试确定 该市发汞值的95％正常值范围。
表5.4 238例正常人发汞值的频数分布
X ±us
(cm)
人数
百分数(%)
(%)
────────────────────────────────────
X ±1.00s 119.41±1.00×4.38 X ±1.96s 119.41±1.96×4.38
115.03-123.79 110.83-127.99 108.11-130.71
83 113 119
参考值范围的涵义：绝大多数的正常人在该范围内 绝大多数，习惯上指正常人的80％，90％，95％ （最常用）或99％等。 例如，根据正常人样本确定了血清谷草转氨酶正常 值单侧95％上限为37U/L。即容许有5％的正常人被 判为异常，称为假阳性
医学统计学之正态分布的概念与特征(doc 10页)
医学统计学之正态分布的概念与特征(doc 10页)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑1统计的工作内容？P2实验设计、收集资料、整理资料、分析资料2资料的类型 P2-P3(1)计量资料：观察指标用定量的方法测定其数值的大小所得的资料。
一般用度量衡单位表示。
如身高、体重、浓度。
(2)计数资料：（分类）疗效(3)等级分组资料3变异与同质的概念？P3（1）变异：在临床治疗中，用同样的药物治疗病情相同的病人，疗效也不尽相同，即使在实验室里，动物与动物之间也有明显的差异，这种现象称为个体差异或者变异。
（2）同质：研究对象某一个或者几个属性相同称为同质，例如同种族、年龄、性别的健康人。
4总体样本的概念？P3(1)总体：是同质的个体所构成的全体。
有限总体：研究单位是有限的。
无限总体：研究单位是无限的。
(2)样本：从总体中随机抽取部分有代表性的观察单位。
其实测值的集合。
5误差的类型？P6（1）系统误差（2）随机测量误差（3）抽样误差6概率的概念特征？P6概念：描写某一事件发生的可能性大小的一个量度。
特征：（1）肯定发生的时间成为必然事件。
概率为12）可能发生也可能不发生的事件称为随机事件或者偶然事件概率0-1（3）概率小于等于0.05或者小于等于0.01事件成为小概率事件。
7频率的概念？频率指样本的实际发生率。
8,频率表的绘制步骤？P8-P9(1)求极差：最大值减最小值（2）确定组距分组：组距=极差除以10（3）划计（4）计数9描写集中与离散趋势的指标？集中趋势：算术均数、中位数、几何均数离散趋势：全距、四分位间距方差、标准差、变异系数10.频数分布表的用途？P10(1)作为陈述资料的形式，可以替代原始的资料，便于进一步分析。
（2）便于观察资料的分布类型，医学研究中常见的资料分布类型可以分为对称分布和偏态分布两大类。
（3）便于发现资料中某些远离群体的特大或者特小的可疑值。
（4）当样本含量比较大时，可用各组段的频率作为概率的估计值。
03-医学统计学正态分布与医学参考值范围
1
ze
z2 2
dz
( X
)
2
标准正态分布的应用
实际应用中，经z变换可把求解任意一个正态分布曲线 下面积的问题，转化成标准正态分布曲线下相应面积的 问题。
欲求服从标准正态分布的随机变量在区间(-∞, z)(z≤0) 上曲线下的面积，可直接查表；对(z＞0) 可根据对称性 算得，计算公式为：
正态分布的应用
• 制定医学参考值范围 • 质量控制 • 正态分布是很多统计方法的理论基础
医学参考值范围
概述
医学参考值范围（reference value range），指正常人 的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等 各种数据的波动范围。
医学参考值范围，习惯上是包含95%的参照总体的 范围。
卫生部“十二五”规划教材
医学统计学
正态分布与医学参考值范围
正态分布
概述
正态分布（normal distribution），是 一种连续型随机变量常见而重要的分 布。
它首先由莫阿弗尔于1733年提出。 之后高斯对其进一步研究，使正态分 布广为人知。
A. de Moivre
Gauss
正态曲线 正态曲线（normal curve），是一条高峰位于中央，两侧逐 渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。
Φ(z) =1－Φ( -z ) z在区间( z1, z2 )取值概率的计算公式为：
P(z1＜z＜z2 ) = Φ(z2)－ Φ(z1)
【例】由160名7岁男孩身高测量的数据算得样本均数为 122.6cm、样本标准差为4.8cm。已知身高数据服从正态分布， 试估计该地当年7岁男孩身高介于119cm到125cm范围所占的 比例。
医学统计学 常用概率分布-正态分布
N (123.02，4.792)
（2）身高在120~128者占该地8岁男孩总数的百分比；
解析：
58.65%
58.65%
120cm 128cm N (123.02，4.792)
-0.63 1.46 N (0，1)
（3）该地80%男孩的身高集中在哪个范围？
解析：
80%
10%
10%
10% Z1
80%
10% Z2
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线 X~N(0,1)
采用定积分的办法，对函数式 (1) 或 (2) 定积分， 算得从 -∞ 到 x累计面积，从而推算出该区间事件发 生的概率值。 .
j(Z )
1 2
Z
e
Z
2
/ 2
dZ
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
1.2 正态概率密度曲线下的面积 1.3 正态分布的应用
1.4 正态分布的判断
一、正态分布的概念
正态分布(normal distribution)
德莫佛最早发现了二项概率
的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面。
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
若按左单侧算，则是 97.5% 参考值范围
按左单侧算，是 95% 参考值范围
举例2： 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通 气量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此估 计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。 解析： 分布近似正态 1. 2. 仅过低为异常 3. 求下界值
医学统计学简答题
1、正态分布的特点及其应用性质：①以均数为中心，两头低中间高，左右完全对称的钟型曲线；②只有一个高峰，在X=μ，总体中位数亦为μ；③μ为位置参数，当σ恒定时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ为形态参数，当μ恒定时，σ越大，表示数据越分散，曲线越矮胖，反之，曲线越瘦高；④对于任何服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X作的线性变换，都会变换成u服从于均数为0，方差为1的正态分布，即标准正态分布；⑤正态分布在μ±1σ处各有一个拐点；⑥正态曲线下的面积分布有一定的规律：X轴与正态曲线所夹面积恒为1；区间μ±σ的面积为68.27%，区间μ±1.96σ的面积为95.00%，区间μ±2.58σ的面积为99.00%。
应用：①概括估计变量值的频数分布；②制定参考值范围；③质量控制；④是许多统计方法的理论基础。
2、确定参考值范围的一般原则和步骤、方法一般原则和步骤：①抽取足够例数的正常人样本作为观察对象；②对选定的正常人进行准确而统一的测定，以控制系统误差；③判断是否需要分组测定；④决定取单侧范围值还是双侧范围值；⑤选定适当的百分范围；⑥选用适当的计算方法来确定或估计界值。
方法：①正态分布法：②百分位数法（偏态分布）：3、标准差与标准误的区别与联系区别：含义：标准差反映观察值在个体中的变异大小，标准差越大，变量值越分散。
标准误是指样本统计量的标准差，反映来自同一总体的样本统计量的离散程度以及样本统计量与总体参数的差异程度，即抽样误差的大小。
计算方法：标准差：总体标准差：样本标准差：标准误：均数的标准误：率的标准误：用途：标准差①用于对称分布，特别是正态分布资料，表示观察值分布的离散程度②结合均数，描述正态分布的特征、估计参考值范围③结合样本统计量，计算均数标准误④计算变异系数⑤反映均数的代表性标准误①衡量样本均数的可靠性②估计总体均数的可信区间③用于均数的假设检验与n的关系：随着n增加，样本标准差稳定于总体标准差；随着n增加，样本标准误减少并趋于0。
正态分布在医学统计学区间估计的应用
正态分布在医学统计学区间估计的应用
正态分布在医学统计学区间估计中有着重要的作用，下面来看看它具体在医学统计学中的应用：
一、正态分布在病人总死亡评估中的应用
1、采用正态分布加以拟合，以此为基础进行参数的估计，来评估患病的总死亡率;
2、正态分布用于估计患者每一种病的能力，以及每个患者的健康状况，对有效的病人总死亡率的有效性的评估;
3、采用正态分布加以建模，以评估人群特定疾病的潜在病死率。
二、正态分布在病人康复情况评估中的应用
1、用正态分布拟合以此来评价患者在疾病入院状态以及出院状态，以便记录每一个患者的康复情况;
2、用正态分布拟合对比康复情况和病人体重、血压等参数，以便来评估疾病康复速度及相关变量;
3、采用正态分布估计病人疾病康复时间，以及评估病人康复率。
三、正态分布在医療安全性评估中的应用
1、用正态分布运算识别医疗机构中的安全缺陷及其准确性;
2、采用正态分布估计对医疗安全性的危害概率;
3、用正态分布拟合以此来评估医疗安全事件的频率和比例，以此来发现有关的风险因素。
四、正态分布在药物毒性监测中的应用
1、用正态分布评估药物毒副作用出现的概率，评估药物在不同患者身上的作用效果;
2、运用正态分布来收集药物实验结果，以检测出不同的药物的毒性;
3、采用正态分布来评估药物的安全程度及其有效性。
总而言之，正态分布在医学统计学区间估计中有着重要的应用，可以在病人总死亡评估、病人康复情况评估、医療安全性评估以及药物毒性监测中使用，在这些医学领域中都能发挥作用。
医学统计学-正态分布和医学参考值范围
② 百分位数法，
如资料呈偏态分布或分布不明，用百分位数法：
双侧 95% P2。5 —— P97。5 单侧 95% P95 （单侧上界 ） 计算用百分位数的公式：
P5 （单侧下界）
例9-12 利用例9-7的资料计算6岁以下男童发铅值95%的参考值范 围。发铅值是一个偏态分布的 资料，可用百分数法制定其参考 值范围 ，发铅过高才属异常，所以应计算其
.
8）选定合适的百分界限，
参考值范围是指绝大多数正常人的测定值应该所在
的范围，这个“绝大多数”习惯上指80%、90%、95%
99%
最常用的是95%
9）对资料的分布进行正态正态性检验
10）根据资料的分布类型制定适当的方 法
进行参考估计范围。
.
3.参考值范围的估计方法
估计参考值范围方法很多。主要是正态分布法。百分位数法和对 数正态分布法，以95%为例来说明。
10 .0 4 11 .1 05
u1
1.05 5.86
10.08 11.105
u2
查附表(1)
0.37 5.86
u 1 1 .0 50 .146 u2 9 0.3 70.3557
D u 2 u 1 0 . 3 3 0 . 1 5 4 0 . 2 7 6 0 9
.
正态分布的应用:
取单或双侧正常值范围。
5.百分位数法应用广泛，计算较简单，故制定正常值范围时应
首选百分位数法。
6.近似正态分布资料以 X uS 法估计正常值范围，较百
分位数法稳定,受两端数据影响较小。
.
医学统计方法（试题分析）
二、选择题：
1、某资料的观察值呈正态分布，理论上有________的观察值落
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5
概率密度曲线
当组距趋向于0时，直方条宽度趋向0，直方 条趋向垂直的直线，相邻的直方条顶点用直 线连接，构成一条曲线，这条曲线称为概率 密度曲线 概率密度曲线下的面积为1 计算概率的问题对应于计算概率密度曲线下 的面积问题
)>5，n>40)，二项分布逐渐逼近于均数为n， 方差为n (1 ) 的正态分布 正态分布与Poisson分布的关系 – 当均数越来越大时(>20) ，Poisson分布逐渐 逼近于均数为，方差为的正态分布
25
19
正态分布应用
确定医学参考值范围
– 医学参考值范围---决大多数正常人的某项指标值 范围
”正常”人群：排除了影响所研究指标的疾病和有
关因素的同质人群 大多数个体；90%，95%，99%等
– 方法
百分位数法:任何分布的指标 正态分布法:服从正态分布的指标 注意:单双侧
20
正态分布应用
例3.9 估计某地健康成年女子的血红蛋白 的95%医学参考值范围 – 制定入选标准和排除标准 – 在入选标准和排除标准所确定的人群中
形状由 、两个参数决定
9
不同参数的正态分布曲线
10
不同参数的正态分布曲线
1 2 3
11
正态分布曲线的特点
始终位于横轴上方
关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 x
处有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意 味着正态分布变量取值靠近 x 处的概率较 大,两边逐渐减少
6正态分布Fra bibliotekab
c
频率分布逐渐接近正态分布示意图
•若概率密度曲线呈钟型，两头低中间高，左右对 称，则称描述指标近似正态分布
•若描述指标X分布的曲线对应于数学上的正态曲
线，则称该指标X服从正态分布。又称Gauss分布
7
正态分布的概率密度
正态曲线（normal curve）：高峰位于中 央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两 段永远不与横轴相交的钟型曲线。
随机抽样 – 确定单双侧和分布：双侧，近似正态 – 估计：x 12.5克/升 s 1.2克/升
21
正态分布应用
例3.10 估计某地110名健康成年男子第一秒
肺通气量的95%参考值范围 – 根据肺通气量的背景和已知的影响因素，制定
入选标准和排除标 – 入选标准和排除标准所确定的人群中随机抽样 – 确定单双侧和分布：单侧，近似正态 – 已知 x =4.5L, s=0.6L.
17
-1.96≤x≤1.96的概率：
18
例：设u1=-1.83,u2=-0.3，求标准正态分布曲
线下（-1.83，-0.30）范围内的面积 (u2 ) (u1) (0.30) (1.83)
例：110名7岁男孩体重的均数 x 35.6 kg，标 准差为s=6.4kg。请估计该地1995年体重界于 30kg 到40kg范围内的7岁男童比例
例：求 范围内曲线下面积
P( X )
f (t)dt 1 2 f (t)dt 0.6827
概率
1.64 1.96 2.58
0.90 0.95 0.99
14
正态分布曲线下面积
概率P(X<+1.64)＝0.95 概率P(X>+1.64)=0.05 概率P(X<+1.96)＝0.975 概率P(X=)=0 （一条直线的面积为0）
正态曲线的函数表达式 f (x) 称为正态分布
概率密度函数：
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
8
正态分布的参数
如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称 该变量服从正态分布。记做 X ~ N (, 2 )
位置参数 ：描述正态分布的集中趋势的位置 变异度参数 ：描述正态分布离散趋势，越小，
分布越集中，曲线形状越“瘦高”；反之越 “矮胖”。
只有 上限 P90
P95
P99
23
正态分布应用
质量控制图 – 原理：如果波动仅由个体差异或随机
误差所致，则结果应服从正态分布 – 为控制实验误差,以X 2S 为警戒线，
以 X 3S为控制线
24
三种分布的关系
Poisson分布与二项分布 – 当n很大，很小时，二项分布 B(n, )逼近
Poisson分布 P(n ) 正态分布与二项分布的关系 – 当 n 和 n(1 ) 均较大时(通常要求n>5，n(1－
2
在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量 他们的身高并作图描述
3
频率密度图
频率密度图:纵坐标＝频率/组距
– 组距为5cm，纵坐标＝频率/组距，横坐标为身 高
– 每一直方条的面积＝直方条顶点纵坐标值×组 距＝频率
– 因为各个组段的频率之和＝1，所以这种直方条 图的面积为1
– 如果样本量为n，并且n越来越大时，每个组段 的频率越来越稳定，也越趋向于对应的概率
常用概率分布——正态分布
2020/4/10
1
正态分布
频数分布图：直方图（频数-频率） 关于频率和概率：
– 频率：对于随机事件A，在相同的条件下进行了n次实验， 事件A发生的次数为nA，比值nA/n为频率 ，fn(A)
– 概率:描述某随机事件发生的可能性大小，记为P(A)
频率具有波动性,但又趋于某个稳定的常数(概率) 只要观察单位数充分多，可以将频率作为概率的估 计值
15
标准正态分布N(0,1)
对任意一个正态分布可以进行标准化变换，
U变换
u x
变换后的随机变量u仍服从正态分布，称为 标准正态分布, u ~ N(0,1)
– 经u变换可以将任意的正态分布变成标准正态分 布
– N (, 2 ) 中的X和N(0,1)中的u一一对应，面积 也一一对应
16
标准正态分布曲线下面积(u) 表、图
12
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
任意两点范围 (x1, x2)内取值的概率P,即 正态分布曲线下面积
P x2 x1
1
e dx
(
x )2 2 2
2
变量X落在任意一个区间的概率＝该区间 的概率密度曲线下的面积
13
正态分布曲线下面积
正态分布曲线下面积相当于求 P(X x)
4
概率密度
各个组段的概率
组段 95- 100- 105- 110- 115- 120- 125- 130- 135- 140概率 0.0006 0.0049 0.0440 0.1532 0.2936 0.3037 0.1515 0.0421 0.0061 0.0003
– P(110cm身高<115cm)= 0.153 – P(105cm身高<120cm)=
22
参考值范围估计
正态分布法
百分位数法
双侧
单侧
双侧 单侧
%
只有下 只有上
限
限
只有 下限
90 x 1.64s x 1.28s x 1.28s P5~P95 P10
95 x 1.96s x 1.64s x 1.64s P2.5~P97.5 P5 99 x 2.58s x 2.33s x 2.33s P0.5~P99.5 P1