宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析
宏观经济学的研究方法与途径
宏观经济学的研究方法与途径宏观经济学是研究整体经济运行的学科，它关注的是国家、地区或全球范围内的经济现象和问题。
对于经济学家来说，研究宏观经济学是一项复杂而庞大的任务，需要运用多种方法和途径来分析和解释经济现象。
首先，宏观经济学的研究方法之一是统计分析。
通过收集和整理大量的经济数据，经济学家可以利用统计学方法来分析经济现象的规律和趋势。
他们可以计算经济增长率、通货膨胀率、失业率等指标，从而评估经济的整体状况和走势。
同时，统计分析还可以帮助经济学家研究不同经济变量之间的关系，例如利率和投资、消费和收入等。
通过这些统计数据和方法，经济学家可以揭示经济现象背后的规律和机制。
其次，宏观经济学的研究方法还包括建立经济模型。
经济模型是对经济系统进行抽象和简化的表达方式，它可以帮助经济学家理解和解释复杂的经济现象。
经济模型通常基于一定的假设和前提条件，通过建立数学方程或图形来描述经济变量之间的关系。
经济学家可以运用这些模型来分析政策的效果、预测经济发展趋势等。
例如，凯恩斯的总需求总供给模型可以解释经济周期和失业问题，新凯恩斯主义模型可以研究货币政策的影响等。
通过建立和运用经济模型，经济学家可以深入研究宏观经济问题，并提出相应的政策建议。
此外，宏观经济学的研究方法还包括实证研究和案例分析。
实证研究是通过对现实经济数据的观察和分析来验证或推翻经济理论的方法。
经济学家可以利用实证研究来检验经济理论的有效性，找出理论与实际之间的差距，并进一步完善经济理论。
案例分析则是通过对具体经济事件或经济体的深入研究，来揭示其背后的经济规律和机制。
例如，研究某个国家的经济改革经验，可以帮助经济学家了解改革的效果和影响，从而为其他国家的政策制定提供参考。
最后，宏观经济学的研究方法还可以包括实验研究和模拟分析。
实验研究是通过构建经济实验来观察和分析经济行为和决策的方法。
经济学家可以通过实验来研究人们对不同经济政策和环境的反应，从而提供政策制定的依据和建议。
山西省考研经济学复习资料宏观经济学重要概念及模型解析
山西省考研经济学复习资料宏观经济学重要概念及模型解析宏观经济学是经济学的一个重要分支，研究整个经济系统的总体运行规律和宏观经济问题。
对于山西省考研经济学的学生来说，掌握宏观经济学的重要概念和模型是非常关键的。
本文将对一些宏观经济学的重要概念及模型进行解析，帮助同学们更好地复习和理解这些知识点。
一、GDP（国内生产总值）及其计算方法GDP是衡量一个国家或地区经济总量的重要指标，它代表了一年内所有最终商品和服务的市场价值。
计算GDP有三种方法：产出法（也称为生产法）、收入法和支出法。
其中，产出法是在生产者的角度来计算GDP，收入法是在收入者的角度来计算GDP，支出法是在最终消费者的角度来计算GDP。
二、C、I、G、X-M 四个支出分量宏观经济学中，支出可以分为四个部分：个人消费支出（C）、私人投资支出（I）、政府消费支出（G）和净出口（X-M）。
个人消费支出是指个人和家庭用于购买消费品和服务的支出，私人投资支出是指企业用于购买固定资产和增加库存的支出，政府消费支出是指政府用于购买消费品和服务的支出，净出口是指出口减去进口。
三、IS-LM模型IS-LM模型是宏观经济学中的一个重要分析工具，它分析了货币政策、财政政策和产出水平之间的相互作用。
IS曲线表示货币市场的平衡，Liquidity Preference Money (LM) 曲线表示商品市场的平衡。
通过将IS曲线和LM曲线结合，我们可以分析出产出水平和利率之间的均衡关系。
四、AD-AS模型AD-AS模型是宏观经济学中另一个重要的分析工具，它用于分析总需求（AD）和总供给（AS）之间的关系。
AD曲线表示总需求与价格水平之间的关系，AS曲线表示总供给与价格水平之间的关系。
通过分析AD曲线和AS曲线的相互作用，我们可以得到价格水平和产出水平之间的均衡。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线描述了通货膨胀率和失业率之间的关系。
根据菲利普斯曲线，当失业率较高时，通货膨胀率较低；而当失业率较低时，通货膨胀率较高。
宏观经济学分析报告方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析报告
================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数)(x y y =，最优点*x 的一阶条件是0)(='*x y .在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线)(t x *．这个最大化的积分定义为独立变量t 、函数)(t x 及它的导数dt dx /的函数F 下的面积。
简言之，假设时间区域从00=t 到T t =1，且用x &表示dt dx /，我们寻找最大化或最小化⎰Tdt t x t x t F 0)](),(,[& （20.1）这里假定F 对t 、)(t x 、)(t x &是连续的，且具有对x 和x&的连续偏导数．将形如(20．1)，对每一个函数)(t x 对应着一个数值的积分称为“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”．极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类)(t x ． （讲！）例1 一家公司当希望获得从时间0=t 到T t =的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dt dp /。
假设成本是固定的，并且每个p 和dt dp /是时间的函数，p&代表dt dp /，公司的目标可以作如下数学表示 ⎰Tdt t p t p t Max 0)](),(,[&π另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平)(t x 和生产的变化率xdt dx &=/．假设这个公司希望最小化成本，且x 和x &是时间t 的函数，公司的目标可以写成⎰10)](),(,[min t t dt t x t x t C &满足1100)(,)(x t x x t x ==且这些初始和终值约束称为端点条件．例2 Ramsey 经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式)(c U U =出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey 问题”—找出一条消费路径)(t c ，使家庭终生效用函数)(c U U =最大化：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-⎰⎰∞-+-∞-0))()((1)]([max 0)()(010dt e t c t k dt t c e B t R t g n t c ωϑϑβ二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F &连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线)(t x x **=是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F & (20．2a)称之为欧拉方程．尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为)],,([),,(x x t F dtdx x t F x x &&&=(20．2b)然后，用链式法则求x F &关于t 的导数，并且省略自变“量”，得)()(x F x F F F xx x x t x x &&&&&&&++= (20．2c) 这里，22/dt x d x =&&下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。
考研宏观经济学知识点与模型剖析
考研宏观经济学知识点与模型剖析在考研的经济学领域中，宏观经济学无疑是一座重要的知识山峰。
它不仅对于理解整体经济运行至关重要，也是考试中的重点与难点。
接下来，让我们深入剖析一下其中的关键知识点与常用模型。
一、宏观经济学的基本概念首先，我们要明白什么是宏观经济学。
宏观经济学研究的是整体经济的运行，关注的是经济总量，如国内生产总值（GDP）、失业率、通货膨胀率等。
国内生产总值（GDP）是衡量一个国家经济活动总量的重要指标。
它有三种计算方法：生产法、收入法和支出法。
生产法通过计算各个生产部门的增加值来得出 GDP；收入法是把生产要素在生产中所得到的各种收入相加；支出法是把消费、投资、政府购买和净出口相加。
失业率反映了劳动力市场的状况。
摩擦性失业、结构性失业和周期性失业是常见的失业类型。
摩擦性失业是由于劳动力市场的正常流动导致的；结构性失业是由于经济结构变化，劳动力的技能与需求不匹配造成的；周期性失业则与经济周期有关。
通货膨胀率衡量了物价水平的普遍上涨程度。
温和的通货膨胀有时被认为对经济有一定的刺激作用，但过高的通货膨胀会带来诸多问题，如降低货币的购买力、扭曲资源配置等。
二、宏观经济的主要目标宏观经济政策通常有四大目标：经济增长、充分就业、物价稳定和国际收支平衡。
经济增长意味着一个国家或地区在一定时期内生产的商品和服务的增加。
它通常用 GDP 的增长率来衡量。
持续的经济增长对于提高生活水平、增强国家实力具有重要意义。
充分就业并不意味着零失业，而是指失业率处于自然失业率水平。
自然失业率是指在没有货币因素干扰的情况下，让劳动力市场和商品市场自发供求力量起作用时，总需求和总供给处于均衡状态的失业率。
物价稳定要求避免出现过高的通货膨胀或通货紧缩。
稳定的物价有助于消费者和生产者做出合理的决策，促进经济的稳定发展。
国际收支平衡要求一个国家在国际经济交往中，其经常项目和资本项目的收支保持平衡。
失衡的国际收支可能会对国内经济产生不利影响。
宏观经济学的数学模型分析
宏观经济学的数学模型分析宏观经济学是研究整个国家或地区经济状况及其变化的学科。
它主要关注国民经济的总体运行规律，包括经济增长、物价水平、就业和失业、货币和银行信贷政策等方面。
为了深入理解和预测宏观经济的发展趋势，我们需要运用数学模型来分析和解释宏观经济现象。
数学模型是指用数学语言来描述和解释人类社会、自然界及其它现象的方式。
它是一个用于分析和预测宏观经济现象的有力工具。
在宏观经济学研究中，常用的数学模型有凯恩斯总体均衡模型、孟菲斯生产函数、费用函数、货币供应量模型等。
凯恩斯总体均衡模型是宏观经济学分析中最基本的模型之一。
它是由英国经济学家凯恩斯于1936年提出的，该模型可以用来解释市场失灵和政府干预等问题。
凯恩斯总体均衡模型有几个基本假设，如个人消费支出与收入成正比、投资支出与收益高度相关、政府开支能够影响经济总需求等。
该模型的主要特点是，解释经济体的总体均衡和失业等宏观经济问题、同时考虑了价格水平对经济体的影响、可以用来解释短期波动和长期变化等。
孟菲斯生产函数是由美国经济学家孟菲斯于1926年提出的。
该模型是从生产活动的角度来研究宏观经济增长。
它可以描述生产的规模与生产要素如资本、劳动力等的关系，主要包含一个产出函数和一个生产要素函数。
孟菲斯生产函数的主要特点是可模拟生产过程，包括劳动和资本的使用效率以及规模效益，同时该模型也能用来解释技术创新、人口结构等宏观经济现象。
费用函数是一种用来估算企业或行业提供一定产量所需要的成本的经济分析工具。
它的主要作用是用来分析经济体劳动力的需求和供应等问题，常常用于预测某一行业或职业发展的趋势。
费用函数的主要特点是可以考虑劳动力、资本投资等因素，同时也能够用来分析失业等宏观经济现象。
货币供应量模型是描述货币市场的重要模型之一。
该模型主要用来研究货币市场的供给和需求关系，以及货币供应量和利率之间的关系。
货币供应量模型的主要特点是，它可以用来描述货币供应量变化对通货膨胀和利率变化的影响，进而影响经济的总需求。
宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析
附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化08、09、10、11硕已讲，精细订正版)一、动态最优化在静态最优化问题中，我门寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数 y = y(x)，最优点x 的一阶条件是y(X)=0.在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线x (t).这个最大化的积分定义为独立变量t、函数x(t)及它的导数dx/ dt的函数F下的面积。
简言之，假投时间区域从t o"到t-T，且用&表示dx/dt，我们寻找最大化或最小化；F[t,x(t), &()]dt 20・1) 这里假定F对t、x(t)、x&t)是连续的，且具有对x和&的连续偏导数.将形如(20 . 1)，对每一个函数x(t)对应着一个数值的积分称为“泛函”.一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为极值曲线”.极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类x(t).(讲！例1 一家公司当希望获得从时间t = 0到t = T的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dp/dt。
假设成本是固定的，并且每个p和dp/dt是时间的函数， &代表dp/dt，公司的目标可以作如下数学表示Max L [t, p(t), p&(t)] dt另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平x(t)和生产的变化率 dx/dt二&.假设这个公司希望最小化成本，且X和&是时间t的函数，公司的目标可以写成min tl C[t,x(t),x&(t)]dtt o满足X(t o)=X o,且X(t i) = X i这些初始和终值约束称为端点条件.例2 Ramseys济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式U二U(c)出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“ Ramsey^l 题”一找出一条消费路径c(t)，使家庭终生效用函数U = U (c)最大化：max B 严e_gt)]1■&dtc 01—9(n g)t_R(t)二、欧拉方程：动态最优化的必要条件(三种形式)定理(泛函极值曲线即最优化)的必要条件)：对于一个泛函t ito F[t,x(t), &()]dt连接点(如X0)和(t1, X1)的曲线X = x (t)是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是(20. 2a) 称之为欧拉方程.尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程.用下标表示偏导数，并列出其自变量”它们本身也可能是函数.(20. 2a)的欧拉方程表示为F x(t,x, & =2[F&(t,x, &)] (20. 2b)dt然后，用链式法则求F&关于t的导数，并且省略自变量”得F x = F& +F&x(& + F&&(X) (20. 2c)这里，& =d2x/dt2F面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明图20-2证明：(重点！09 10、11硕，已井)设x = x (t)是图20-2中连接点(t o, x o)和(t i,xj的曲线，并且它使F面泛函取得最大值t lt°F[t,x(t), &t)]dt(20. 3)即X” =x”(t)为极值曲线，欧拉方程(20. 2a)是X = x(t)为极值曲线的一个必要条件.取釆二x(t) mh(t)是x' x (t)的相邻曲线，这里m是任意常数，h(t)是一个任意函数.为了使曲线X也通过点(t o, x o)和(t i, x i)，则X也?满足端点条件:h(t o)=O h(t i)=O (20. 4)一旦取定x (t)和h(t)之后，因x (t)和h(t)固定，则积分值tF[t, x(t), &t)]dt仅为m的函数，不妨改写成tog(m)二ti F[t,x (t) mh(t), x& (t) mh&(t)]dtt o由于x*(t)使(20.3)中的泛函J t F[t,x(t), x&(t)]dt实现最优化，所以o(20. 5)中的函数g(m)仅当m = 0时因为m = 0时的g(m) - j tl F[t, x (t) mh(t), x& (t) mh&(t)]dt 才能还原为t1F[t,x(t), x&(t)]dt)实现to to最优化，即有dg dm对(20. 5)即 g(m) = J t t F[t, x^t)+mh(t) ,x&*(t)+ mh&(t)]dt 用链式法则求o.:F / ；:m .由于F是x和&的函数，依次又是m的函数，代入(20. 7)得dg 二叫迟：:(x mh) ：：F 渝& mh&)dm to| x；:m ■&(20. 5)(20. 6)由于垫上亟」且 阿朋=&，用条件20. 6)即 竺|m 』= o ，有dm cm dm 1，㈣说訂1匡h(t) +氐卸)dt = 0(20.8)dm 订 t^ ：x方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分, 注:u = h(t)所以,du =血 dt 二 h&t) dtdt分部积分公式即［t Tdu = vu a bc-t0dvu = u(t), v = v(t)dC^ dt 嗚总dtdg s 工 h(t)dt由(20. 4)知，h(t o ) = h(t i ) =0，从而&t o ) = &t”=0，于是上式中第二项去 掉，合并其余两项，有由于h(t)是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条 件为方括号中式子为零，d^P 「F 十 d :F.五冠“或一五疑x：x这就是欧拉方程.定理证毕dg dmt i t o■JX_20 9)三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F ,即F = F(t, X, &).2、求 F 对 x 和 X& 的偏导数，记二F x, :F/；:&= F &•3、代入欧拉方程(20. 2a)或(20. 2b).4、求F X&关于t的导数.由于F&是t , x和&的函数，且x和兹又是t的函数，因此，需要用链式法则.5、如果没有导数项(&和x&)，立即解出x；如果有&c和&项，直到作出所有导数的积分，然后求出x。
动态经济学模型
动态经济学模型动态经济学模型是经济学研究中的重要工具，用于分析经济体的长期调整和发展路径。
它基于假设，通过建立各种变量之间的关系，模拟经济体的发展过程并预测未来的经济状况。
本文将介绍动态经济学模型的基本原理、应用领域和未来发展趋势。
一、基本原理动态经济学模型的基本原理是建立在人们在经济活动中作出的决策之上。
它考虑到人们在不同时间段内所做的决策是相互关联的，当前的决策会影响到未来的决策，从而影响到整个经济体的发展。
因此，动态经济学模型中的变量是随时间变化的，并且相互之间存在着因果关系。
动态经济学模型的核心是对经济体各个部门之间的相互作用关系进行建模。
通过建立各个部门之间的决策方程、供给方程和需求方程，可以模拟经济体的发展轨迹。
这些方程通常基于经济学理论和历史数据，通过经验估计的方式确定各个参数的值。
二、应用领域动态经济学模型在经济学研究中有着广泛的应用。
它可以用于预测经济增长率、通货膨胀率、失业率等宏观经济变量的未来趋势，为政府制定经济政策提供决策依据。
同时，它也可以用于研究资源配置、市场竞争、产业结构调整等微观经济问题，为企业的战略决策提供支持。
在金融学领域，动态经济学模型可以用于研究资产定价、投资组合选择等问题。
通过对资产价格、利率等变量的建模，可以预测投资组合的收益和风险，为投资者提供指导。
此外，动态经济学模型还可以应用于环境经济学、教育经济学、劳动经济学等领域。
它可以帮助研究人员分析环境政策对环境污染和资源利用的影响，评估教育政策对人力资本的投资效果，以及分析劳动力市场的变动和劳动力供求关系。
三、未来发展趋势随着计算机技术和数据处理能力的提高，动态经济学模型在建模和预测方面的能力将不断增强。
大数据和机器学习的应用将为模型的改进和参数估计提供更多的信息，使得模型的预测能力更加准确和精细化。
同时，随着经济研究的深入和理论的发展，动态经济学模型也将不断完善。
在建模时，可以引入更多的因素和变量，提高模型的解释力和适用性。
宏观经济学分析方法系列：(课堂放映版、11硕已讲)微分与差分动力(dynamic)系统
================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：微分方程或差分方程动力（动态）系统（10、11硕已讲，精细订正版）经济分析中常常涉及大量的微分方程与差分方程，如Solow 经济中描述资本存量运动的Solow 方程，以及随后涌现出来的各种描述跨时变量运动的方程等等。
微分方程或差分方程的求解方法和解的性质是很重要的，是理解经济动态（特别是经济增长理论）的必要数学基础。
零、逆矩阵的求法对于一个矩阵A ，其逆矩阵1-A 是指满足关系A A I AA 11--==的惟一矩阵．注意只有当A 为方阵且非奇异时，逆矩阵1-A 才存在．逆矩阵乘上原矩阵简化为单位矩阵，所以，逆矩阵在线性代数中起着普通代数中的倒数的作用．求逆矩阵的公式为AdjA AA 11=-例1 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=413132514A 求其逆矩阵1-A ． 解：1．检查A 是否为方阵，因为只有方阵才可能有逆存在．这里A 为33⨯维的，A 是方矩阵．2．计算A 的行列式以确信0≠A ，因为只有非奇异矩阵才可能有逆存在．98351152)]3(3)1)(2)[(5()]3(1)4)(2[(1)]1(1)4(3[4≠=++=----+-----=AA 为非奇异的；3)(=A ρ．3．求A 的余子式矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=14616731171113321412541351131443544151133243124113C转置余子式矩阵以得到共轭矩阵．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='=14776311116113C AdjA4．以98/1/1=A 乘共轭矩阵，得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1429.00714.00714.00612.03163.01122.01633.00102.01327.0711********9831981198169819813147763111161139811A 5．作乘法1-AA 或A A 1-以检验答案的正确性．如果答案正确，两个积均应为单位矩阵I ．零、矩阵的特征根与特征向量到目前为止，我们能够利用主子式来检验海赛行列式和二次型的符号定性．符号定性也可以利用矩阵的特征根来检验．给定矩阵A ，如果能够找到一向量0≠V 及标量c ，使得 cV AV = (12．4) 则，标量c 称为特征根，向量V 称为特征向量．方程(12．4)也可表示为cIV AV =整理，得0)(=-cIV AV0)(=-V cI A (12．5)其中cI A -称为A 的特征矩阵．由于假设0≠V ，则特征矩阵cI A -必为奇异的，从而其行列式必为零．如果A 为33⨯矩阵，则0333231232221131211=---=-ca a a a c a a a a ca cI A在(12．5)中，由于0=-cI A ，则(12．5)有无穷个解V ．可以通过标准化V 的元素i v ，即要求i v 满足12=∑i v ，以得到惟一解．见例9． 如果1) 所有特征根c 为正的，则A 为正定的． 2) 所有特征根c 为正的，则A 为正定的．3) 所有的c 为非负的，且至少有一个0=c ，则A 为半正定的．4) 所有c 为非正的，且至少有一个0=c ，则A 为半负定的． 5) 有些c 为正，而另一些则为负，则A 为符号不定的．例8 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=6336A 求A 的特征根． 解：由于特征矩阵cI A -的行列式必为零，所以cc cI A ----=-6336 （12．6）390)3)(9(027120)3)(3()6)(6(212-=-==++=++=-----c c c c c c c c 由于二个特征根均为负，则A 为负定的．注意：(1) 21c c +必等于A 的对角线上的元素之和，(2)21c c 一定等于行列式A 的值．例9 继续例8，求第一个特征根91-=c 的特征向量： 解：将9-=c 代入(12．6)，033330)9(633)9(62121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------v v v v （12.7）由于系数矩阵为线性相关的，则(12．7)有无穷多个解，矩阵与向量相乘得到两个完全相同的方程，03321=+v v以1v 求解2v 得12v v = (12. 8)再标准化(12．8)的解，使得12221=+v v (12．9)将12v v -=代入(12．9)，得到1)(2121=-+v v所以，1221=v ，2121=v . 取正平方根，5.0211==v ，由(12．8)，12v v -=.因此5.02-=v ，则第一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5.05.01V求第二个特征根32-=c 的特征向量： 将32-=c 代入(12．6)，03333)3(633)3(62121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------v v v v乘积为03321=+-v v03321=-v v所以，21v v =.标准化12221=+v v 1)(2222=+v v 1222=v5.02=v 5.01=v所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.02v一、联立微分方程的矩阵解(I) （重点！10、11硕，讲）设有一个由n 个一阶自控线性微分方程所组成的方程组，其中任何一个导数都不是其他导数的函数．并且为了便于简化记号，这里我们限定2=n ．“自控”，就是指所有的ij a 和i b 都是常数。
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================= ================= 附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数)(x y y =，最优点*x 的一阶条件是0)(='*x y .在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线)(t x *．这个最大化的积分定义为独立变量t 、函数)(t x 及它的导数dt dx /的函数F 下的面积。
简言之，假设时间区域从00=t 到T t =1，且用x &表示dt dx /，我们寻找最大化或最小化⎰Tdt t x t x t F 0)](),(,[& （20.1）这里假定F 对t 、)(t x 、)(t x &是连续的，且具有对x 和x&的连续偏导数． 将形如(20．1)，对每一个函数)(t x 对应着一个数值的积分称为“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”． 极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类)(t x ． （讲！）例1 一家公司当希望获得从时间0=t 到T t =的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dt dp /。
假设成本是固定的，并且每个p 和dt dp /是时间的函数，p&代表dt dp /，公司的目标可以作如下数学表示 另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平)(t x 和生产的变化率xdt dx &=/．假设这个公司希望最小化成本，且x 和x &是时间t 的函数，公司的目标可以写成 满足这些初始和终值约束称为端点条件． 例2 Ramsey 经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式)(c U U =出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey 问题”—找出一条消费路径)(t c ，使家庭终生效用函数)(c U U =最大化： 二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函 连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线)(t x x **=是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F & (20．2a)称之为欧拉方程．尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为)],,([),,(x x t F dtdx x t F x x &&&=(20．2b) 然后，用链式法则求x F &关于t 的导数，并且省略自变“量”，得)()(x F x F F F xx x x t x x &&&&&&&++= (20．2c) 这里，22/dt x d x =&&下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。
图20-2证明：（重点！09、10、11硕，已讲）设)(t x x **=是图20-2中连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线，并且它使下面泛函取得最大值⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F & (20．3)即)(t x x **=为极值曲线，欧拉方程(20．2a)是)(t x x **=为极值曲线的一个必要条件．取)()(ˆt mh t x X +=*是)(t x x **=的相邻曲线，这里m 是任意常数，)(t h 是一个任意函数．为了使曲线Xˆ也通过点),(00x t 和),(11x t ，则X ˆ也满足端点条件：0)(0)(10==t h t h (20．4)一旦取定)(t x *和)(t h 之后，因)(t x *和)(t h 固定，则积分值⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F &仅为m 的函数，不妨改写成⎰++=**1)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g && (20．5)由于)(t x *使(20．3)中的泛函⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F &实现最优化，所以(20．5)中的函数)(m g 仅当0=m 时（因为0=m 时的⎰++=**1)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g &&才能还原为⎰1)](),(,[t t dt t x t x t F &）实现最优化，即有00==m dmdg (20．6)对(20．5)即⎰++=**1)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g &&用链式法则求m F ∂∂/．由于F 是x 和x&的函数，依次又是m 的函数，代入(20．7)得 由于h m mh x =∂+∂*)(且h m h m x &&&=∂+∂*)(，用条件(20．6)即00==m dmdg，有0)()(100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎰=dt t h x F t h x F dmdgt t m && (20．8) 方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分， （注：分部积分公式即)(),(t v v t u u udv vu vdu bt a t bt a t ba ==-=⎰⎰====令 所以， ）由(20．4)知，0)()(10==t h t h ，从而0)()(10==t h t h &&，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂==100)(0t t m dt t h x F dt d x F dmdg& （20．9) 由于)(t h 是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x F dt d x F & 或 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F &这就是欧拉方程．定理证毕。
三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F ，即),,(x x t F F &=．2、求F 对x 和x &的偏导数，记x x F x F F x F &&=∂∂=∂∂/,/．3、代入欧拉方程(20．2a)或(20．2b)．4、求x F &关于t 的导数．由于x F &是t ，x x &和的函数，且x x &和又是t 的函数，因此，需要用链式法则．5、如果没有导数项(x x &&&和)，立即解出x ；如果有xx &&&和项，直到作出所有导数的积分，然后求出x 。
在例3，例4中，给出了这个方法的例子．例3 设⎰+Tt dt x t e x 032)46(&，试用(20. 4)中所列程序及(20．2a)的记号，最优化这个泛函如下：1、设 x t e x F t &4632+=2、则t xFxe x Ft 4,123=∂∂=∂∂& 3、代入欧拉方程(20．2a)，有)4(123t dtdxe t =4、但4/)4(=dt t d ，代入上式，4123=t xe5、由于没有x &和x&&项，所以可直接求出x ，将这个解表成)(t x ， 这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线．所以有必要使用充分条件检验。
见下一节． 例4 泛函 满足求上述泛函的候选极值曲线，现在用(20．2b)的记号．1、设 t xt x F 51242-+=&2、则 x F t F x x &&812==且3、代入欧拉方程(20．2b)，4、记dtdxx =&，且x dt x d dt dx dt d &&==⎪⎭⎫ ⎝⎛22，5、由于有x&&，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数． 再积分， 解出x ， 代入边值条件， 代入式中，得解： 四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的．1、如果泛函)](),(,[t x t x t F &在xt x &),(是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。
2、如果泛函)](),(,[t x t x t F &在xt x &),(是联合凸的，则对于最小值情况，必要条件是充分的．联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定．给定判别式： 1、(a)如果，01<=xx F D ，且02>=D D ，D 是负定的，F 是严格凹的，得到一个全局最大的极值曲线．(b)如果，01≤=xx F D ，且02≥=D D ，检验变量所有可能的次序，D 是半负定的，F 是简单凹的，则得到局部最大的极值曲线． 2、(a)如果01>=xx F D ，且02>=D D ，D 是正定的，F 是严格凸的，从而得到一个全局最小的极值曲线．(b)如果01≥=xx F D ，且02≥=D D ，检验变量所有可能的次序，D 是半正定的，F 是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线．例5 下面是例3的充分条件的例子，这里泛函是x t e x F t &4632+=，t x xe F 312=，t F x 4=&1D 不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的．对每个变量的两种可能的顺序，D D D ,0,021≥≥是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件．用完全的相似的方式，可检验出例4的充分条件． 五、泛函约束的动态优化（已讲）求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分⎰Tdt xt x t F 0]),(,[& (20．10) 满足积分约束k dt xt x t G T=⎰0]),(,[& (20．11) 这里，k 是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束(20．11)乘以λ，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：⎰+TdtG F 0)(λ (20．12)对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充分条件G F H xH dt d x H λ+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂这里& (20．13)例6 泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大．这样的问题称为等周问题，且通常将泛函记为)(t y ，而不是)(t x ．调整这个记号，求包含最大区域A 的给定长度k 的曲线Y ，这里曲线的长度是像20．6节解释的，建立拉格朗日函数dx y y y x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-1021)(21&&λ (20．14)设H 等于(20．14)的被积函数，则欧拉方程是 从(20．14)， 代入欧拉方程，两边直接积分，然后整理，方程的两边平方，解出y&， 两边积分得两边平方，然后整理，可以表示成一个圆 这里，1c ，2c 和λ由0x ，1x 和k 决定。