高数6极限存在准则PPT课件

)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
sin
2 x
lim [
x
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
]
2 x
e
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π 2
)
1
由定理 1 知 lim sin 1 不存在 . x0 x
目录 上页 下页 返回 结束
2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
即 亦故即有
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
π 2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求 lim tan x . x0 x
0 x x0 时, 有 f (x) A .
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且 xn x0 ( n ) ,
对上述 , N , 当 n N 时, 有 0 xn x0 ,
于是当 n N 时 f (xn ) A .
故
lim
n
f
( xn
)
A
“ ”可用反证法证明. (略)
使
lim
n
f
(xn )
不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
目录 上页 下页 返回 结束
例1.
证明
lim
x0
sin
1 x
不存在
.
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
源自文库
1 2n π
及
xn
2n
1 π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
1
sin t
1
t
目录 上页 下页 返回 结束
例4.
求
lim 1
x0
cos x2
x
.
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
1 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2 sin
π n
cos
π n
n
证明: lim
n
An
π
R2
.
证:
lim
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
x x0 (x )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
目录 上页 下页 返回 结束
二、 两个重要极限
1. lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
x
1 x
)
x
lim (1
t
1t )t
lim
t
1 (1 1t )t
1 e
说明
：若利用 lim (1
(x)
(1x)) (x)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
目录 上页 下页 返回 结束
例7.
求
lim (sin
x
1 x
cos
1x )
x
.
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
解:
lim tan x0 x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求 lim arcsin x . x0 x
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t lim t0 sin t t0
第六节
第一章
极限存在准则及
两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
二、 两个重要极限
目录 上页 下页 返回 结束
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
x x0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
目录 上页 下页 返回 结束
定理1. lim f (x) A
x x0
xn: xn x0 , f (xn )
有定义, 且
xn
x0
(
n
)
,
有 lim
n
f (xn ) A.
证：“ ”设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当
x x0
n
f
(xn ) 不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
目录 上页 下页 返回 结束
2. 两个重要极限
(1) lim sin 1
y
A
O x0 x
目录 上页 下页 返回 结束
定理1. lim f (x) A
x x0
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义
(x )
且 xn (xn
x0 ( n )
)
,
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n ) ,
t 11)(t 1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
1
说明: 此极限也可写为 lim(1 z) z e
z0
目录 上页 下页 返回 结束
例6.
求
lim (1
x
1 x
)
x
.
解: 令 t x , 则
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)
n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
目录 上页 下页 返回 结束
当 x 时, 令 x (t 1), 则 t , 从而有
lim (1
x
1 x
)
x
lim (1
t
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
π
R2
R
n
说明: 计算中注意利用 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
目录 上页 下页 返回 结束
2.
lim (1
x
1 x
)
x
e
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1 x
)
x
(1
1n ) n 1
lim (1