高数6极限存在准则PPT课件

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高数课件-极限的存在准则

注意：上面极限中的 e 在当时只是极限值的记号，而现在
已经成为重要的数值。
以 e 为底的对数称为自然对数.记作 ln x ，即 ln x loge x . 函数 y ln x 与函数 y ex 互为反函数.
e 为无理数，其值为 e=2.718281828459045…。
在第
13
章中将有
e
n0
证 ①由 xn1 xn
2 xn
2 xn1
xn xn1
，
2 xn 2 xn1
知 xn1 xn 与 xn xn1 同号，以此类推， xn1 xn 与
x2 x1 2 2 2 0 同号， {xn} 单调增加。
22-22
续证 ② x1 2 2, x2 2 x1 2 2 2, ，一般地， xn 2 xn1 2 2 2 ，
由第一重要极限的推广形式得 lim x0
2 1 x
2
1 cos
故 lim x0
x2
x
1 2
(lim x0
sin x 2 )2
x
1 2
12
1. 2
2
22-12
例 2.5.5
求
lim
x x0
sin
x x
sin x0
x0
.
解
lim sin x sin
x0
lim
2 sin
x x0 2
cos
x x0 2
1 n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
.
22-24
证明思路:
⑴先利用均值不等式证明数列{(1 1)n} 单增且有上界；然 n
后由单调有界准则知数列{(1 1)n} 收敛，即极限lim(1 1)n

极限存在准则与两个重要极限.ppt

a,
lim
n
zn

a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
目录上一页下一页退出
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n

N
时恒有
2
zn

a

,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
4、1 ； 3
8、1 ； e
4、e 1 ；
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lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn

2
.
目录上一页下一页退出
二、函数极限与数列极限的关系
定理2
目录上一页下一页退出
目录上一页下一页退出
三、柯西收敛准则
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn

1
1
1 2!

1 n!

1

1

1 2

1 2n1

3

1 2n1

3,
x 是有界的; n
1! n 2! n2

第六节极限存在准则

第六节极限存在准则两个重要极限
一、准则I 第一重要极限二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节极限存在准则两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节极限存在准则两个重x要极限
于112是l例例解解例llxixiximm由m034040 s1复令ai求求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运存s2xi2xn在1x算23.例准解例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节极限存在准则两个重要极限
第一重要极第六限节极限存在准则两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,

《高等数学极限》课件

THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的几何特性等方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行运算和求导。

大学高等数学极限运算法则知识课件PPT

定理 2 . 若
则有
说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
为无穷小
(详见P44)
定理 3 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理 , 得
为无穷小,
定理4: 若
且
则
例1. 设 n 次多项式
试证
证:
x = 3 时分母为 0 !
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例3.
若
例4 . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
一般有如下结果：
为非负常数 )
第一章
一、极限的四则运算法则
二、复合函数的极限运算法则
ห้องสมุดไป่ตู้第五节
极限运算法则
一、极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由上节定理 2可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
定理 1 . 若
说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
( 如P46 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
三、复合函数的极限运算法则

高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件

2023
高数第-章极限存在准则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研究多元函数在某一点或某一区域内的极限行为。
2023
PART 03

高等数学课件--D1_6极限存在准则

(1 n1 1)
n 1
n
1 n1 1
n
e
(P53~54)
n
lim (1 1 ) n
x
n 1
lim [(1 1 ) （ 1） e 1 n ] n
n
x
2012-10-12
lim (1 1 ) e x
高等数学课件
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( x)
( x )
e, 则
原式 lim
2012-10-12
x
(1 1x ) x 1 e 1
高等数学课件
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例7. 求
解: 原式 =
2 lim [(sin 1 cos 1 ) ] 2 x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
2012-10-12 高等数学课件
第七节目录上页下页返回结束
2 sin x
2
2 2 x 2
x0
sin lim x 2 x0 2
1
x 2
1 2 1 2
2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R π cos π n n
π n
R
证明: 证: lim An lim π R 2
n
sin π n
π n
n
1 sin 2
x
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x

高数极限ppt课件

第二章极限
数列的极限函数的极限无穷小量与无穷大量极限的运算极限存在定理两个重要极限无穷小量的比较
结束
1
第二节函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限二. x x0 时, f (x) 的极限三. 函数极限的性质四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的值也越小.

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即亦故即有
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
π 2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
π
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
注目录上页下页返回结束
例2. 求 lim tan x . x0 x
n
f
(xn ) 不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
目录上页下页返回结束
2. 两个重要极限
(1) lim sin 1
1
sin t
1
t
目录上页下页返回结束
例4.
求
lim 1
x0
cos x2
x
.
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
1 2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
π
An
n R2 sin
π n
cos
π n
n
证明: lim
n
An
π
R2
.
证:
lim
0 x x0 时, 有 f (x) A .
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义 , 且 xn x0 ( n ) ,
对上述 , N , 当 n N 时, 有 0 xn x0 ,
于是当 n N 时 f (xn ) A .
故
lim
n
f
( xn
)
A
“ ”可用反证法证明. (略)
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
sin
2 x
lim [
x
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
]
2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
第六节
第一章
极限存在准则及
两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
二、两个重要极限
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一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
1. 函数极限与数列极限的关系
定理1.
lim f (x) A
x x0
x
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义,
xn x0 (n ), 有 lim f (xn ) A
解:
lim tan x0 x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求 lim arcsin x . x0 x
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t lim t0 sin t t0
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
x x0
xn: xn x0 , f (xn )
有定义, 且
xn
x0
(
n
)
,
有 lim
n
f (xn ) A.
证：“ ”设 lim f (x) A, 即 0, 0, 当
x x0
lim sin
n
1 xn
lim sin(2n π
n
π 2
)
1
由定理 1 知 lim sin 1 不存在 . x0 x
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2. 函数极限存在的夹逼准则
定理2. 当 x U (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
t 11)(t 1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
x
1 x
)
x
e
1
说明: 此极限也可写为 lim(1 z) z e
z0
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例6.
求
lim (1
x
1 x
)
x
.
解: 令 t x , 则
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
(P53~54)
lim (1
n
1 n
)
n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
目录上页下页返回结束
当 x 时, 令 x (t 1), 则 t , 从而有
lim (1
x
1 x
)
x
lim (1
t
x
1 x
)
x
lim (1
t
1t )t
lim
t
1 (1 1t )t
1 e
说明
：若利用 lim (1
(x)
(1x)) (x)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
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例7.
求
lim (sin
x
1 x
cos
1x )
x
.
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
使
lim
n
f
(xn )
不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
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例1.
证明
lim
x0
sin
1 x
不存在
.
证: 取两个趋于 0 的数列
xn
1 2n π
及
xn
2n
1 π
π 2
(n 1, 2,)
有 lim sin 1 lim sin 2n π 0 n xn n
y
A
O x0 x
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定理1. lim f (x) A
x x0
xn: xn x0 , f (xn ) 有定义
(x )
且 xn (xn
x0 ( n )
)
,
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n ) ,
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
x x0 (x )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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二、两个重要极限
1. lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
n
An
lim π
n
R2
sin
π n
π
cos
π n
π
R2
R
n
说明: 计算中注意利用 lim sin (x) 1 (x)0 (x)
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2.
lim (1
x
1 x
)
x
e
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1 x
)
x
(1
1n ) n 1
lim (1