高考数学选择填空题专项练习(八)
高考数学必考点专项第8练 导数与函数的单调性(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第8练 导数与函数的单调性习题精选一、单选题1. 函数21()9ln 2f x x x =-在区间上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A.B. C.D.2. 若函数()sin()sin(2)cos()2f x x x a x πππ=+---在区间(0,]2π上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (,1]-∞-B. (-∞C. D. [1,)+∞3. 若函数在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A. 1a <或4a >B. 4aC. 14a <<D. 14a4. 若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A. (-,-2]∞B. 1(-,+)8∞C. 1(-2,-)8D. (-2,+)∞5. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有2()()0f x xf x +'>成立，则( )A. 4(2)9(3)f f -<B. 4(2)9(3)f f ->C. 2(3)3(2)f f >-D. 3(3)2(2)f f -<-(2,1)m m +(0,1)(0,2)6. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()10xf x '+>，(3)=-ln 3f ，则不等式()+0x f e x >的解集为( )A. 3(,+)e ∞B. 3(0,)eC. (ln 3,)+∞D. 3(ln 3,)e7. 已知函数，若存在1[,2]2x ∈，使得()()0f x xf x +'>，则实数b 的取值范围是( )A.B. 9(,)4-∞C. (,3)-∞D. (,2)-∞8. 已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c b a <<B. b c a <<C. b a c <<D. a b c <<9. 已知是函数的导数，且，当0x 时，，则不等式的解集是( )A.B.C.D.10. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()2f x f x x =-+，当0x >时，()2 1.f x x '>+若(1)()21f a f a a +-++，则实数a 的取值范围是( )A. 1[,)2-+∞B. 3[,)2-+∞C. [1,)-+∞D. [2,)-+∞二、填空题11. 函数2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为__________12. 设函数()x x f x e ae -=+ (a 为常数)，若()f x 为奇函数，则a =__________；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是__________.13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.()f x '()f x①；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．三、解答题14. 已知函数2()sin sin 2.f x x x =(1)讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； (2)证明：33|()|8f x ； (3)设*n N ∈，证明：222sin sin 2sin 4x x x (2)3sin 2.4nnn x15. 已知0a >且1a ≠，函数()(0).ax x f x x a =>(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围.16. 已知函数()2ln 1af x x x x=--+，()(2ln ).x g x e x x =- (1)若函数()f x 在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)求()g x 的单调区间．17. 已知函数21()ln (1)(0).2f x a x a x x a =-++->(1)讨论()f x 的单调性； (2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求实数ab 的最大值．18. (本小题12.0分)已知函数2().xf x e ax x =+-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性; (2)当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围.19. 已知函数(1)令，讨论的单调区间；(2)若2a =-，正实数12,x x 满足，证明1251.2x x -+()g x 1212()()0f x f x x x ++=20. 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--，().a R ∈(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A解：()f x 的定义域是(0,)+∞，9(3)(3)()x x f x x x x+-'=-=， 令()0f x '>，解得：3x >，令()0f x '<，解得：03x <<， 故()f x 在(0,3)递减，在(3,)+∞递增， 若函数21()9ln 2f x x x =-在区间(2,1)m m +上单调递减， 则20m 且013m <+且21m m <+，解得：01m <， 故选：.A2.【答案】A解：因为1()sin()sin(2)cos()cos sin cos sin 2cos 22f x x x a x x x a x x a x πππ=+---=+=+在(0,]2π上是增函数，所以当(0,]2x π∈时，，即212sin sin 0x a x --，因为当(0,]2x π∈时，sin (0,1],x ∈所以12sin sin a x x-+， 令1()2sin sin g x x x =-+，(0,],2x π∈则22cos 1()2cos cos (2)0sin sin x g x x x x x '=--=--<，所以()g x 在(0,]2π单调递减，所以，即(,1],a ∈-∞-故选.A3.【答案】A解：求导可得，()f x ∴在其定义域上不单调等价于方程有两个解，，解得1a <或 4.a >故选.A4.【答案】D解：根据题意得1()2f x ax x'=+， ()f x 在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则()0f x '在内有解，，故min 21()2a x-，，令21()=-2g x x ，，则()g x 在1(,2)2单调递增，1()(2,)8g x ∈--， 故-2.a > 故选.D5. 【答案】A解：1()||f x x =时，3(3)1f -=，2(2)1f -=，可以排除D ； ()||f x x =时，2(3)6f =，3(2)3(2)6f f -==，可排除C ；设2()()g x x f x =，22()(())2()()(2()())g x x f x xf x x f x x f x xf x '='=+'=+'，0x >时，2()()0f x xf x +'>，0x ∴>时()0g x '>，()g x 为(0,)+∞上的单调增函数；(2)(3)g g ∴<，4(2)9(3)f f ∴<，又()f x 为偶函数，4(2)9(3)f f ∴-<，A ∴对，A ，B 矛盾，故B 错，故选.A6.【答案】C解：令()()ln g x f x x =+，(0,).x ∈+∞ 在(0,)+∞上的函数()f x 满足()10xf x '+>，1()1()()0xf x g x f x x x'''+∴=+=>，∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，(3)(3)ln 30g f =+=，而不等式，所以3x e >，即ln3x >，∴不等式()0x f e x +>的解集为(ln3,).+∞故选.C7.【答案】B解：，，∴，∴，存在，使得，即，∴，设，∴.而，当时，解得：，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，因为，所以，∴，故选：.B8.【答案】B解： 令ln ()xf x x=，0x >， 则21ln (),0xf x x x-'=>， 令()0f x '>，得0x e <<，令()0f x '<，得x e >， 所以()f x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 又3e π>>， 所以()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<， 所以3ln ln 3ππ<， 又4ln 3a π=，34ln c π=， 所以a c >， 又由()f x 的单调性得ln 4ln 4ππ<，即4ln 4ln ππ<， 因为343ln 4,4ln 3ln b c πππ===， 所以b c <， 综合得.b c a << 故选.B9.【答案】D解：设，则因为当0x 时，，所以当0x 时，，即在上单调递增. 因为，所以，所以是偶函数. 因为，所以，即，，则，解得1.2x <故选.D10.【答案】A解：设()()g x f x x =-，则()()()[()]0g x g x f x x f x x --=---+=，()()g x g x ∴=-，()g x ∴是偶函数，当0x >时，()()1g x f x '='-，而()21f x x '>+，则()()120g x f x x '='->>，()g x ∴在(0,)+∞上是增函数， (1)()21f a f a a +-++， (1)(1)()()f a a f a a ∴+-+---，即(1)()g a g a +-，|1|||a a ∴+-，()g x ()g x即12a -， 故选：.A11.【答案】(2,)+∞解：()f x 定义域为(0,)+∞，242(2)2(2)(1)()22x x x x f x x x x x---+'=--==，故当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 故()f x 的单调递增区间为(2,).+∞ 故答案为(2,).+∞12.【答案】1-(,0]-∞解：根据题意，函数()xxf x e ae-=+，若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 即()xx x x eae e ae --+=-+，变形可得1a =-，经检验，1a =-满足()f x 为奇函数，()f x 是R 上的增函数，()0f x '∴对x R ∀∈恒成立，即0x xae e -对x R ∀∈恒成立，2()x a e ∴恒成立． 2()0x e >，0.a ∴故答案为1-；(,0].-∞13.【答案】2()(f x x =答案不唯一，均满足)解：取2()f x x =，则22212121212()()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①，()2f x x '=，0x >时有，满足②，()2f x x '=的定义域为R ，又()2()f x x f x ''-=-=-，故是奇函数，满足③. 故答案为：2()(f x x =答案不唯一，均满足)14.【答案】解：23(1)()sin sin 22sin cos f x x x x x ==，222222()2sin (3cos sin )2sin (34sin )2sin [32(1cos 2)]f x x x x x x x x ∴'=-=-=--22sin (12cos 2)x x =+，令()0f x '=，解得，3x π=，或23x π=， 当(0,)3x π∈或2(,)3ππ时，()0f x '>，当2(,)33x ππ∈时，()0f x '<， ()f x ∴在(0,)3π，2(,)3ππ上单调递增，在2(,)33ππ上单调递减．证明：(2)(0)()0f f π==，由(1)可知2()()3f x f π==极小值()()3f x f π==极大值()0f x '>()f x 'max 33()8f x ∴=，min 33()8f x =-， ，()f x 为周期函数，33|()|8f x ∴； (3)由(2)可知322333sin sin 2()84x x =，322333sin 2sin 4()84x x =，32232333sin 2sin 2()84x x =，…，3212333sin 2sin 2()84n nx x -=， 334sin sin 2sin 4x x x ∴……313233sin 2sin 2sin (sin sin 2sin 4n n x x x x x x -=……331223sin 2sin 2)sin 2()4nn nnx x x -，222sin sin 2sin 4x x x ∴……23sin 2.4nnn x15.【答案】解：(1)2a =时，2()2x x f x =，222ln 2()222ln 2(2ln 2)ln 2()(2)22x x x xxx x x x x x f x ⋅-⋅-⋅-'===， 当2(0,)ln 2x ∈时，()0f x '>，当2(,)ln 2x ∈+∞时，()0f x '<， 故()f x 在2(0,)ln 2上单调递增，在2(,)ln 2+∞上单调递减． (2)由题知()1f x =在(0,)+∞有两个不等实根，ln ln ()1ln ln a x x af x x a a x x a x a=⇔=⇔=⇔=， 令ln ()x g x x =，21ln ()xg x x-'=，()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 1()()g x g e e==， 又(1)0g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<，即0()()g a g e <<，解得1a >且a e ≠， 所以a 的取值范围是(1,)(,).e e ⋃+∞16.【答案】解：(1)由题意得0x >，22()1af x x x'=-+，由函数()f x 在定义域上是增函数得，()0f x '， 即222(1)1(0)a x x x x -=--+>恒成立， 因为2(1)11(x --+当1x =时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1,).+∞2(2)()(2ln 1)x g x e x x x'=---+，由(1)得2a =时，2()2ln 1f x x x x=--+， 此时()f x 在定义域上是增函数，又(1)0f =， 所以，当(0,1)x ∈时，()0f x <， 当(1,)x ∈+∞时，()0.f x > 所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '>， 当(1,)x ∈+∞时，()0.g x '< 所以()g x 的单调递增区间是(0,1)，()g x 的单调递减区间是(1,).+∞17.【答案】解：，(0,0)a x >>，①1a =时，，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减；②01a <<时，由()0f x '>，解得：1a x <<，()f x ∴在(,1)a 上单调递增，在(0,)a ，(1,)+∞上单调递减；③1a >时，同理()f x 在(1,)a 上单调递增，在(0,1)，(,)a +∞上单调递减；21(2)()2f x x ax b -++恒成立，ln 0a x x b ∴-+恒成立，令()ln g x a x x b =-+，则()a xg x x-'=， ()g x ∴在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．max ()()ln 0g x g a a a a b ∴==-+，ln b a a a ∴-，22ln ab a a a ∴-，令22()ln (0)h x x x x x =->，则()(12ln )h x x x '=-，()h x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，max ()2e h x h e e ∴==-=， .2e ab∴ 即ab 的最大值为.2e18.【答案】解：(1)当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，记()()g x f x ='，因为()20xg x e '=+>，所以()()21xg x f x e x ='=+-在R 上单调递增， 又(0)0f '=，得当0x >时()0f x '>，即2()xf x e x x =+-在(0,)+∞上单调递增； 当0x <时()0f x '<，即2()xf x e x x =+-在(,0)-∞上单调递减. 所以2()xf x e x x =+-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.(2)①当0x =时，a ∈R ；②当0x >时，31()12f x x +即32112xx x e a x++-， 令32112()x x x e h x x++-=，231(2)(1)2()x x e x x h x x ----'= 记21()12x m x e x x =---，()1x m x e x '=-- 令()1xq x e x =--，因为0x >，所以()10xq x e '=->，所以()()1xm x q x e x '==--在(0,)+∞上单调递增，即()1(0)0xm x e x m ''=-->=所以21()12x m x e x x =---在(0,)+∞上单调递增，即21()1(0)02x m x e x x m =--->=， 故当(0,2)x ∈时，()0h x '>，32112()xx x e h x x ++-=在(0,2)上单调递增； 当(2,)x ∈+∞时，()0h x '<，32112()xx x e h x x++-=在(2,)+∞上单调递减；所以2max7[()](2)4e h x h -==，所以274e a -，综上可知，实数a 的取值范围是27[,).4e -+∞19.【答案】(1)解：21()()(1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =--=-+-+，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=，当0a 时，因为0x >，所以()0.g x '> 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数；当0a >时，1()(1)()a x x a g x x--+'=， 令()0g x '=，得1x a=， 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a+∞是减函数，综上，当0a 时，()g x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a >时，()g x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,).a+∞(2)证明：当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>，由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=-，令12t x x =，则由()ln t t t ϕ=-，得1()t t tϕ-'=，0t >， 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)1t ϕϕ=，所以21212()()1x x x x +++，解得12512x x -+或12512x x --+， 又因为10x >，20x >，因此12512x x -+成立．20.【答案】解：(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，(i)若0a ，则在(,)x ∈-∞+∞时()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． (ii)若0a >，则由()0f x '=得ln .x a =-当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增．(2)(i)若0a ，由(1)知，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故()f x 至多有一个零点，不合题意．(ii)若0a >，由(1)知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln .f a a a-=-+①当1a =时，由于(ln )0,f a -=故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0.f a -< 又422(2)(2)2220f aea e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()(2)n n f n e ae a n =+-- 000020.n n e n n >->-> 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1).。
高考备考数学直线与圆选择填空专题练习(含答案)
一、选择题1．已知直线l ：20ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．2或1D ．2-或12．若点102⎛⎫⎪⎝⎭,到直线():300l x y m m ++=>m =（ ）A ．7B ．172C ．14D ．173．若直线l 过点()12-,且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ） A ．3210x y +-= B ．2310x y +-= C ．3210x y ++=D ．2310x y --=4．已知直线310x y -+=的倾斜角为α，则1sin 22α=（ ）A ．310 B ．35C ．310-D ．1105．点()23A -,关于直线1y x =-+的对称点为（ ） A ．()3,2-B ．()4,1-C ．()5,0D ．()3,16．若直线20ax y a --=与以()3,1A ，()1,2B 为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-7．已知直线l ：y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．⎡-⎣B ．(1-⎤⎦C ．⎡⎣D ．(⎤⎦8．已知点()2,0A -，()0,2B ，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC △面积的最大值是（ ）A ．6B ．8C ．3D ．3+9．过点()1,3A -，()3,1B -，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为（ ） A ．()()22114x y +++= B ．()()221116x y +++= C ．()22113x y -+=D ．()2215x y -+=10．已知()0,4A -，()2,0B -，()0,2C 光线从点A 射出，经过线段BC (含线段端点)反射，恰好与圆()()22925x a y a -+-=相切，则（ ）A ．11a -≤≤B ．115a ≤≤C ．115a ≤≤D ．11a -≤≤ 11．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+．当实数[]0,6b ∈时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离为1的概率为（ ）A B C ．12D ．1312．t ∀∈R ，[]t 表示不大于t 的最大整数，如[]0.990=，[]0.11-=-，且x ∀∈R ，()()2f x f x =+，[]1,1x ∀∈-，()[]()221,,4D x y x t y ⎧=-+≤⎨⎩[]}1,3t ∈-．若(),a b D ∈，则()f a b ≤的概率为（ ）A B C D13．已知直线()2350t x y -++=不通过第一象限，则实数t 的取值范围__________． 14．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．15．分别在曲线ln y x =与直线26y x =+上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为__________． 16．已知直线0x y b -+=与圆229x y +=交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且2OA OB AB +≥，则实数b 的取值范围是________________．参考答案： 1．【答案】D【解析】当0a =时，直线方程为2y =，显然不符合题意， 当0a ≠时，令0y =时，得到直线在x 轴上的截距是2aa+，令0x =时，得到直线在y 轴上的截距为2a +， 根据题意得22aa a+=+，解得2a =-或1a =，故选D ． 2．【答案】B【解析】=∴3102m +=±，∵0m >，∴172m =．故选B ． 3．【答案】A【解析】∵2340x y -+=的斜率23k =，∴32k '=-，由点斜式可得()3212y x -=-+，即所求直线方程为3210x y +-=，故选A ． 4．【答案】A【解析】直线310x y -+=的倾斜角为α，∴tan 3α=，∴22211sin cos tan 33sin 22sin cos 22sin cos tan 19110a αααααααα=⋅====+++，故选A ． 5．【答案】B【解析】设点()23A -,关于直线1y x =-+的对称点为(),P a b ，则()312AP b k a --==-，∴5a b -=，①，又线段AP 的中点23,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =-+上，即32122b a -+=-+，整理得3a b +=，②， 联立①②解得4a =，1b =-．∴点()23A -,关于直线1y x =-+的对称点P 点的坐标为()4,1-，故选B ． 6．【答案】D【解析】直线20ax y a --=可化为2y ax a =-，∵该直线过点()3,1A ，∴3120a a --=，解得1a =； 又∵该直线过点()1,2B ，∴220a a --=，解得2a =-；又直线20ax y a --=与线段AB 没有公共点，∴实数a 的取值范围是()2,1-．故选D ． 7．【答案】B【解析】根据题意，可得曲线x =y x m =+表示平行于y x =的直线，其中m 表示在y 轴上的截距，作出图象，如图所示，从图中可知1l ，2l 之间的平行线与圆有两个交点，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1-， ∴实数m 的取值范围是(1-⎤⎦，故选B ．8．【答案】D【解析】∵AB 为定值，∴当C 到直线AB 距离最大时，ABC △面积取最大值， ∵点C 是圆2220x y x +-=，()2211x y -+=上任意一点，∴C 到直线AB 距离最大为圆心()1,0到直线AB ：20x y -+=距离加半径1，11=+，从而ABC △面积的最大值是1132⎫+⨯+⎪⎪⎝⎭D ． 9．【答案】B【解析】过AB 的直线方程为2y x =-+，A 、B 的中点为()1,1，∴AB 的垂直平分线为y x =，∴圆心坐标为210y x x y =⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即圆心坐标为()1,1--，半径为4r =，∴圆的方程为()()221116x y +++=；故选B ．10．【答案】D 【解析】如图，A 关于BC 对称点()6,2D -，要使反射光线与圆()()22925x a y a -+-=相切， 只需使得射线DB ，DC 与圆相切即可，而直线DB 的方程为220x y ++=，直线DC 为2y =．=22a -=1a =-，15，111a -≤≤．故选D ．11．【答案】A【解析】圆C 的圆心坐标为()0,0O ，半径为2，直线l 为：0x y b -+=．3=，即b =1，1=，即b =时，圆上恰有3个点到直线距离为1．∴当b ∈时，圆上恰有2个点到直线l 的距离为1，故概率为63=．故选A ．12．【答案】D【解析】由x ∀∈R ，()()2f x f x =+得函数()f x 的周期为2T =．函数()f x 的图像为如图所示的折线部分，事件()f a b ≤对应的区域为图中的阴影部分，D 13．【解析】由题意得直线()2350t x y -++=恒过定点()0,5-，且斜率为()23t --， ∵直线()2350t x y -++=不通过第一象限，∴()230t --≤，解得故实数t 的取值范围是14．【答案】660x y -+=或660x y --= 【解析】设直线l 的方程为1x y a b +=，∴132ab =，且16b a -=，解得6a =-，1b =或6a =，1b =-，∴直线l 的方程为16x y +=-或16xy -=，即660x y -+=或660x y --=．． 答案：660x y -+=或660x y --=．15．【答案】(7ln 25+【解析】由()ln 0y x x =>，得1y x '=，令12x =，即12x =，1ln ln 22y ==-， 则曲线ln y x =上与直线26y x =+平行的切线的切点坐标为1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由点到直线的距离公式得(7ln 25d +==，即(7ln 25MN +=．16．【答案】(6,32⎡-⎣【解析】设AB 的中点为D ，则2OA OB OD +=，故2OD AB ≥，即2218OD AB ≥，再由直线与圆的弦长公式可得：2AB =（d 为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d r <3b <⇒-<根据2218OD AB ≥，2AB ⎡=⎣得23OD ≥，由点到线的距离公式可得222b OD =，即要232b b ≥⇒≥b ≤综合可得：b 的取值范围是(6,32⎡-⎣．。
高考数学选择填空压轴题45道(附答案)
,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考
高考复习—高考数学专项练习与试卷：单元质检卷八 平面解析几何
单元质检卷八平面解析几何(时间:120分钟满分:100分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020四川宜宾第四中学高三月考)若点P(1,2)在双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线上,则该双曲线的离心率为()A.√32B.√52C.√3D.√52.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为()A.-1B.1C.±1D.03.点A(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-4=0的距离的最大值为()A.15B.45C.1D.954.(2020福建高三月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6,则|AB|=()A.5B.7C.10D.145.(2020广西桂平第五中学高三月考)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=60°,若坐标原点O到直线PF1的距离为√3a8,且椭圆C的焦距为2√7,则a=()A.8B.2C.4D.166.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP7.(2020四川棠湖中学高三月考)已知F为双曲线G:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,l1,l2为双曲线的两条渐近线,过点F且垂直于l1的直线与l1,l2分别交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积S△AOB=2ab,则双曲线G的离心率为()A.√153或√213B.√62或√2C.√62或√102D.√6或√1028.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l1:y=kx+t与抛物线C交于A,B两点(点A在点B右侧),直线l2:y=kx+m(m≠t)与抛物线C交于M,N两点(点M在点N右侧),直线AM与直线BN交于点E,点E的横坐标为2k,则抛物线C的方程为()A.x2=yB.x2=2yC.x2=3yD.x2=4y二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是()A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°B.对任意的k,l1与l2都有公共点C.对任意的k,l1与l2都不重合D.对任意的k,l1与l2都不垂直10.已知P为椭圆E:x 28+y24=1上一点,F1,F2为椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.点P的纵坐标为3B.∠F1PF2>π2C.△F1PF2的周长为4(√2+1)D.△F1PF2的内切圆的半径为32(√2-1)11.(2020海南高三大联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线经过点M(-1,1),过抛物线C的焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则下列结论正确的是()A.p=2B.|AB|+|DE|的最小值为16C.四边形ADBE的面积的最小值为64D.若直线l1的斜率为2,则∠AMB=90°12.(2020山东高三联考)已知F1,F2是双曲线C:y 24−x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是()A.双曲线C的渐近线方程为y=±√2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±√2D.△MF1F2的面积为2√3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线l:y=2x+10过双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为.14.(2020湖北高三月考)如图,AB是平面α的斜线段,A为斜足,点C满足|BC|=λ|AC|(λ>0),且在平面α内运动,则以下几个说法:①当λ=1时,点C的轨迹是抛物线;②当λ=1时,点C的轨迹是一条直线;③当λ=2时,点C的轨迹是圆;④当λ=2时,点C的轨迹是椭圆;⑤当λ=2时,点C的轨迹是双曲线.其中正确的是.(将所有正确说法的序号填到横线上)15.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有学生在平面直角坐标系中用三个圆组成“动漫鼠”的形象,如图,M(0,-2)是圆M的圆心,坐标原点O在圆M上,点P,Q均在x轴上,圆P与圆Q的半径都等于1,且圆P,圆Q均与圆M外切.(1)若直线l过点(0,-1),且圆Q均与直线l相切,则圆M被直线l所截得的弦长为;(2)若直线l过原点,且圆P,圆Q,圆M被直线l所截得的弦长均为d,则d=.16.已知椭圆C1:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=b2,若椭圆C1上存在点P,过点P作圆C2的两条切线PA,PB(A,B为对应的切点),且满足∠APB=60°,则椭圆最圆时的离心率e=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020陕西绥德中学高三月考)设椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,右焦点到直线p:x a +yb=1的距离d=√217,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点O,求点O到直线l的距离.18.(12分)(2020湖南株洲二中高三月考)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,-√3),离心率为12.(1)求椭圆E的方程;(2)设A,F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆E于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点).19.(12分)(2020安徽高三月考)已知M为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,且|F1F2|=2,∠F1MF2=π3,△F1MF2的面积为√3.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l过椭圆C的右焦点F2,交椭圆C于A,B两点,AB的中点为Q,射线OQ交椭圆C于点P,记△AOQ的面积为S1,△BPQ的面积为S2,若S2=3S1,求直线l的方程.20.(12分)(2020江西高三月考)已知动点P 到定直线l :x=4的距离与到定点F (1,0)的距离之比为2. (1)求点P 的轨迹C 的方程.(2)已知点A (-2,0),在y 轴上是否存在一点M ,使得曲线C 上另有一点B ,满足|MA|=|MB|,且MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2516若存在,求出所有符合条件的点M 坐标;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2020河南高三月考)已知O 为坐标原点,点F (0,1),M 为坐标平面内的动点,且2,|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OF⃗⃗⃗⃗⃗ 成等差数列. (1)求动点M 的轨迹方程.(2)设点M 的轨迹为曲线T ,过点N (0,2)作直线l 交曲线T 于C ,D 两点,试问在y 轴上是否存在定点Q ,使得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求出定点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2020云南昆明高三一模)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图①所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN|=4,D 为旋杆上的一点,且在M ,N 两点之间,且|ND|=3|MD|,当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动,滑标N 在滑槽GH 内随之运动时,将笔尖放置于D 处可画出椭圆,记该椭圆为C.如图②所示,设EF 与GH 交于点O ,以EF 所在的直线为x 轴,以GH 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 1,A 2是椭圆C 的左、右顶点,P 为直线x=6上的动点,直线A 1P ,A 2P 分别交椭圆C 于Q ,R 两点,若四边形A 1QA 2R 面积为3√3,求点P 的坐标.参考答案单元质检卷八 平面解析几何1.D由题意可知ba =2,则e=c a=√1+b2a 2=√5.故选D .2.A 方程x 2+y 2+2k 2x+2y+4k=0可化为(x +k 2)2+(y+1)2=k 4-4k+1,故圆心坐标为(-k 2,-1).因为圆x 2+y 2+2k 2x+2y+4k=0关于直线y=x 对称,所以直线y=x 经过圆心,所以-k 2=-1,解得k=±1.当k=1时,k 4-4k+1<0,不合题意,舍去.所以k=-1.故选A .3.D 点A (cos θ,sin θ)到直线3x+4y-4=0的距离d=√3+4=|5sin (θ+φ)-4|5,其中φ满足tan φ=34.当sin(θ+φ)=-1时,d 取得最大值,最大值为95.故选D . 4.C 由题意可知抛物线C :y 2=4x 的焦点F (1,0),直线AB 的斜率一定存在,故设直线AB 的方程为y=k (x-1),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y 2=4x ,y =k (x -1),得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2k 2+4k 2=2+4k2, 故AB 中点的横坐标为x 1+x 22=1+2k 2,|AB|=x 1+x 2+p=4+4k2.由已知得(|AB |2)2=32+1+2k22,即2+2k22=32+1+2k22,解得k 2=23.所以|AB|=10.故选C .5.C 分别过点O ,F 2作直线PF 1的垂线,垂足分别为A ,B (图略),则OA ∥F 2B.由题意可知|OA|=√3a 8,又O 为F 1F 2的中点,所以|F 2B|=√3a4. 在Rt △PBF 2中,因为∠F 1PF 2=60°,所以|PF 2|=|F 2B |sin60°=a2.由椭圆的定义知|PF 1|=3a 2,在△PF 1F 2中,由余弦定理得,(2c )2=3a 22+a 22-2×3a2×a2×cos 60°,化简得16c 2=7a 2.又椭圆C 的焦距为2√7,所以c=√7,所以a=4.故选C .6.B 如图所示,因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P.7.C 不妨令直线l 1的方程为y=ba x ,直线l 2的方程为y=-ba x ,设过点F 且垂直于l 1的直线方程为y=-ab (x-c ),由{y =ba x ,y =-ab (x -c ),解得{x =a 2c ,y=ab c ,则点A a 2c ,ab c .同理点B a 2c a 2-b 2,abcb 2-a 2.当b>a>0时,如图①,S △AOB =S △BOF -S △AOF =12c ·abc b 2-a 2−12c ·abc =2ab ,整理得5a 2=2c 2,所以e=ca =√102.当a>b>0时,如图②,同理可得e=√62.故选C .8.D 由{x 2=2py ,y =y x +t ,消去y ,得x 2-2pkx-2pt=0,则x A +x B =2pk.同理x M +x N =2pk.设AB 的中点为P ,MN 的中点为Q ,所以x P =x Q =pk.由题意可知直线PQ 过点E ,所以x E =pk=2k ,所以p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=4y.故选D .9.BD 对于动直线l 2:(k+1)x+ky+k=0(k ∈R ),当k=0时,斜率不存在,倾斜角为90°,故A 错误;联立{x -y -1=0,(k +1)x +ky +k =0,可得(2k+1)x=0,当k ≠-12时,此方程有解;当k=-12时,方程组有无数组解,此时l 1与l 2重合, 可得对任意的k ,l 1与l 2都有交点,故B 正确,C 错误;由于直线l 1:x-y-1=0的斜率为1,动直线l 2的斜率为k+1-k =-1-1k ≠-1(k ≠0),当k=0时,显然l 1与l 2不垂直,故对任意的k ,l 1与l 2都不垂直,故D 正确.故选BD . 10.CD 由已知得a=2√2,b=2,c=2,不妨设P (m ,n ),m>0,n>0,则S △F 1PF 2=12×2c×n=3,∴n=32,故A 错误;∵点P 在椭圆E 上, ∴m 28+(32)24=1,解得m=√142,∴P√142,32,∴|PF 1|2=√142+22+94=394+2√14,|PF 2|2=√142-22+94=394-2√14.∴|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=394×2-16=72>0,∴cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|>0,∴∠F 1PF 2<π2,故B 错误;由椭圆定义,可知△F 1PF 2的周长为2a+2c=4√2+4,故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为r ,则12r·(4√2+4)=3,∴r=32(√2-1),故D 正确.故选CD . 11.ABD 由题可知p2=1,所以p=2,故A 正确.设直线l 1的斜率为k (k ≠0),则直线l 2的斜率为-1k .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1:y=k (x-1),直线l 2:y=-1k (x-1).联立{y 2=4x ,y =k (x -1)消去y ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,所以x 1+x 2=2k 2+4k2,x 1x 2=1.所以|AB|=x 1+x 2+p=2k 2+4k2+2=4+4k2.同理|DE|=x 3+x 4+p=2×1k 2+41k2+2=4+4k 2,从而|AB|+|DE|=8+41k2+k 2≥16,当且仅当k=±1时,等号成立,故B 正确.因为S 四边形ADBE =12|AB|·|DE|=81+1k2(1+k 2)≥32,当且仅当k=±1时,等号成立,故C错误.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=x 1x 2+x 1+x 2+1+y 1y 2-(y 1+y 2)+1, 将x 1+x 2=3,x 1x 2=1,y 1+y 2=2,y 1y 2=-4代入上式,得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以∠AMB=90°,故D 正确.故选ABD . 12.ACD由双曲线方程y 24−x 22=1知a=2,b=√2,焦点在y 轴上,渐近线方程为y=±ab x=±√2x ,故A 正确;因为c=√a 2+b 2=√6,所以以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=6,故B 错;由{x 2+y 2=6,y =√2x 得{x =√2,y =2或{x =-√2,y =-2,由对称性知点M 的横坐标是±√2,故C 正确;S △MF 1F 2=12|F 1F 2||x M |=12×2√6×√2=2√3,故D 正确.故选ACD .13.x 25−y 220=1由题意得{b a=2,-2c +10=0,c 2=a 2+b 2,解得a 2=5,b 2=20,∴双曲线的方程是x 25−y 220=1.14.②③ 当λ=1时,|BC|=|AC|,过AB 的中点作线段AB 的垂面β,则点C 在α与β的交线上,即点C 的轨迹是一条直线;当λ=2时,|BC|=2|AC|,设B 在平面α内的射影为D ,连接BD ,CD , 设|BD|=h ,|AD|=2a ,则|BC|=√CD 2+ℎ2.在平面α内,以AD 所在直线为x 轴,以AD 的中垂线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系,设C (x ,y ),则有A (-a ,0),D (a ,0),则|CA|=√(x +a )2+y 2,CD=√(x -a )2+y 2, |CB|=√(x -a )2+y 2+ℎ2, 所以√(x -a )2+y 2+ℎ2 =2√(x +a )2+y 2, 化简得x+53a 2+y 2=16a 29+ℎ23.所以点C 的轨迹是圆.15.(1)2√3或8√23 (2)43 由题意圆P 与圆Q 关于原点对称,设Q (a ,0)(a>0),则√a 2+22=1+2,a=√5,即Q (√5,0),所以P (-√5,0).(1)设直线l 的方程为y+1=kx ,即kx-y-1=0,由√5k √k +1=1得k=0或k=√52,则l 的方程为y=-1或y=√52x-1,当l 的方程为y=-1时,圆心M 到l 的距离为1,所以弦长为2√22-12=2√3;当l方程为y=√52x-1时,圆心M到l的距离为√(√5)2+(-2)=23,所以弦长为2√22-(23)2=8√23.故圆M被直线l所截得的弦长为2√3或8√23.(2)因为直线l过原点,所以设直线l方程为kx-y=0,点M到直线l的距离为√1+k,直线截圆M所得弦长为d=2√4-41+k2=√1+k,点P到直线l的距离为√5k√1+k,直线截圆P所得弦长为d=2√1-5k 21+k2=2√1-4k21+k2,由题意√1+k=2√1-4k21+k2,解得k2=18,所以d=2√1-4×181+18=43.16.√32连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,∵∠APB=60°,∴∠APO=∠BPO=30°,在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,∴cos∠AOP=b|OP|=12,∴|OP|=2b,又b<|OP|≤a,∴2b≤a,∴4b2≤a2,由a2=b2+c2,即4(a2-c2)≤a2,∴3a2≤4c2,即e≥√32,又0<e<1,∴√32≤e<1,∴椭圆C的离心率的取值范围是√32≤e<1.∴椭圆最圆时的离心率e=√32.17.解(1)∵e=12,∴ca=12,∵右焦点(c,0)到直线xa+yb=1的距离d=√217,∴√a2+b =√217,又b2+c2=a2,∴a2=4,b2=3,∴椭圆C 的方程是x 24+y 23=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则{3x 2+4y 2-12=0,y =kx +m ,(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0, x 1+x 2=-8km4k 2+3,x 1·x 2=4m 2-124k 2+3.∵直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,以AB 为直径的圆过原点O ,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,∴(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,(k 2+1)(4m 2-12)4k 2+3+-8k 2m 24k 2+3+m 2=0,化简得m 2k 2+1=127,即√k +1=2√217,故点O 到直线l 的距离为2√217.18.解(1)将点(0,-√3)代入椭圆方程0a 2+3b2=1,得b 2=3,又离心率c a =12,a 2=b 2+c 2,∴a 2=4,椭圆E 的方程为x 24+y 23=1;(2)设直线CD 方程为x=ky+1,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),联立{x 24+y 23=1,x =ky +1,化简得(3k 2+4)y 2+6ky-9=0,∴y 1+y 2=-6k 3k 2+4,y 1y 2=-93k 2+4,四边形OCAD 面积为S=S △OCA +S △ODA =12×2×|y 1|+12×2×|y 2|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√k 2+13k 2+4,令t=√k 2+1(t ≥1),∴S=12t 3t 2+1=123t+1t, ∵t ≥1,y=3t+1t 在[1,+∞)上单调递增,∴y ≥4, 故S=123t+1t≤3,当且仅当t=1,即k=0时,等号成立.故四边形OCAD 面积的最大值为3.19.解(1)因为|F 1F 2|=2,所以c=1,设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,m+n=2a ,因为∠F 1MF 2=π3,△F 1MF 2的面积为√3,所以S=12mn sin π3=√3,所以mn=4.在△MF 1F 2中,由余弦定理得4=m 2+n 2-2mn cos π3, 即4=(m+n )2-3mn ,解得m+n=4,所以a=2,b 2=3,所以椭圆C 的方程是x 24+y 23=1.(2)因为S 2=3S 1,所以12|QP||QB|sin ∠BQP=3×12|QA||QO|sin ∠AQO ,所以|QP|=3|QO|, 所以|OP|=4|OQ|. 所以x P =4x Q ,当直线l 的斜率不存在时,S 2=S 1,不合题意,当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y=k (x-1),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,两式作差,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-34,即k AB ·k OP =-34,故直线OP 的方程为y=-34k x ,联立{y =-34k x ,x 24+y 23=1,解得x P 2=16k23+4k 2,联立{y =-34k x ,y =k (x -1),解得x Q =4k23+4k2,因为x P =4x Q ,√3+4k =4×4k23+4k2,即k 2=14,解得k=±12,所以直线l 的方程为y=±12(x-1). 20.解(1)设P (x ,y ),由题可得√(x -1)+y 2=2,化简得3x 2+4y 2=12,即x 24+y 23=1,所以曲线C 的方程为x 24+y 23=1.(2)假设在y 轴上存在符合题意的点M ,则点M 在线段AB 的中垂线上,由题意知直线AB 的斜率显然存在.当直线AB 的斜率为0时,则A (-2,0),B (2,0). 设M (0,t ),则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-t ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-t ).由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4+t 2=-2516,解得t=±√394,此时M 0,±√394.当直线AB 的斜率不为0时,设直线AB 的方程为y=k (x+2).联立{y =k (x +2),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-12=0,则-2·x B =16k 2-123+4k2,解得x B =6-8k23+4k2,即B6-8k23+4k2,12k 3+4k2.AB 的中点为-8k 23+4k2,6k 3+4k2.线段AB 的中垂线的方程为y-6k3+4k2=-1k x+8k23+4k2,令x=0,得y=-2k 3+4k2,即M 0,-2k 3+4k2.所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,2k3+4k2,MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-8k23+4k2,14k 3+4k2,所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =64k 4+28k 2-36(3+4k 2)2=-2516.解得k 2=14,此时M 0,±14.综上可得M 0,±√394或M 0,±14.21.解(1)设M (x ,y ),由条件知|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以√x 2+(y -1)2=1+y (y ≥-1).两边平方,得x 2+y 2-2y+1=y 2+2y+1,所以x 2=4y ,满足y ≥-1, 所以点M 的轨迹方程为x 2=4y.(2)由题意知直线l 的斜率存在.设l 的方程为y=kx+2,与x 2=4y 联立,得x 2-4kx-8=0, 所以Δ=16k 2+32>0,设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8. 又设Q (0,y 0), 则QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1-y 0),QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2-y 0),所以QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1-y 0)(y 2-y 0) =x 1x 2+(kx 1+2-y 0)(kx 2+2-y 0)=(k 2+1)x 1x 2+k (2-y 0)(x 1+x 2)+(2-y 0)2=-8(k 2+1)+4k 2(2-y 0)+(2-y 0)2=(2-y 0)2-8-4y 0k 2为定值,从而得y 0=0,所以存在定点Q (0,0),使得QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值-4. 22.解(1)由题得|MD|=1,|ND|=3,所以椭圆C 的长半轴长为3,短半轴长为1,故椭圆C 的方程为x 29+y 2=1.(2)当t>0时,设点P (6,t ),则直线A 1P 的方程为y=t 9(x+3),直线A 2P 的方程为y=t3(x-3).设Q (x 1,y 1),R (x 2,y 2).由{x 29+y 2=1,y =t9(x +3)消去x ,得(9+t 2)y 2-6ty=0,由于y A 1=0,则y 1=6t9+t 2.由{x 29+y 2=1,y =t3(x -3)消去x ,得(1+t 2)y 2+2ty=0,由于y A 2=0,则y 2=-2t1+t 2.所以四边形A 1QA 2R 的面积为S=12|A 1A 2|·|y 1-y 2|=36t 9+t 2+2t 1+t 2=24t (t 2+3)(9+t 2)(1+t 2)=24t (t 2+3)(t 2+3)2+4t 2=24t 2+3t +4t t 2+3.由于t>0,m=t 2+3t≥2√3,当且仅当t=√3时,等号成立,故S=24m+4m=3√3.解得m=2√3或m=2√33(舍去),即t=√3.当t<0时,由对称性可得t=-√3.综上,当点P (6,√3)或P (6,-√3)时,四边形A 1QA 2R 面积为3√3.。
高考数学试题-立体几何选择填空含答案解析
选填训练4答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，在四面体O −ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则log 3|xyz|等于 ( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】A 解：连结AG ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =y =z =13， 则log 3|xyz|=log 3127=−3．2. 在△ABC 中A =30°，AC =4，BC =a ，若△ABC 仅一个解时，则a 的取值范围是( )A. a ≥4B. a =2C. a ≥4或a =2D. 无法确定【答案】C解：当a =ACsin30°=4×12=2时，以C 为圆心，以a =2为半径画弧，与射线AD 只有唯一交点， 此时符合条件的三角形只有一个，当a ⩾4时，以C 为圆心以a 为半径画弧时，在从垂足到A 点之间得不到交点，交点只能在垂足外侧，三角形也是唯一的， ∴a ≥4或a =2，故选C ．3. 设两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足|e 1⃗⃗⃗ |=2，|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 之间的夹角为60°，若向量2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ 与向量e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是( )A. (−7,−12)B. (−7,−√142)∪(−√142,−12) C. (−7,−√142)D. (−√142,−12)【答案】B解：由题意知(2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ )·(e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ )<0，即2t 2+15t +7<0，解得−7<t <−12．又由2t ·t −7≠0，得t ≠±√142，∴t ∈(−7,−√142)∪(−√142,−12). 故选B ．4. 已知向量a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ·b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=5√2，b ⃗ 方向上的单位向量为e⃗ ，则向量a ⃗ 在 向量b ⃗ 上的投影向量为( ) A. 12e ⃗ B. 2e ⃗ C.125e⃗ D. 52e⃗ 【答案】B解：由a ⃗ =(1,2)可得：|a ⃗ |=√12+22=√5，由|a ⃗ +b|⃗⃗⃗ =5√2两边平方得：|a ⃗ |2+2a ⃗ ·b ⃗ +|b⃗ |2=(5√2)2=50，即：5+2×10+|b⃗ |2=50，解得：|b ⃗ |=5， 设a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ·b ⃗|a ⃗ |·|b⃗ |=10√5×5=2√55， 所以向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量为：|a ⃗ |cosθ·b⃗ |b ⃗ |=√5×2√55e ⃗ =2e ⃗ ．故选B ．5. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =3,AC =AA 1=4，一只蚂蚁由顶点A 沿棱柱侧面经过棱BB 1爬到顶点C 1，蚂蚁爬行的最短距离为( )A. 4B. 4C.D.+【答案】B解：如图所示，把侧面展开，矩形对角线即为蚂蚁爬行的最短距离，∵AB ⊥AC ，AB =3，AC =AA 1=4，∴BC =√AB 2+AC 2=√32+42=5，由题已知AA 1=CC 1=4，∴蚂蚁爬行的最短距离=√(AB +BC )2+(CC 1)2=√(3+5)2+42=4√5，所以最小值为4√5，故选B ．6.在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A. B. C. D.【答案】A解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，设AB的中点为N，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD，又PA⊂侧面PAD，所以AB⊥PA，根据题目条件可知△PAN≌△CBN，∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线是一直线.故选A．7.如图，直角梯形ABCD，AB//CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′−ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为( )A. 12B. √3−1 C. √22D. √63【答案】C解：直角梯形ABCD ，AB//CD ，∠ABC =90°，CD =2，AB =BC =1，E 是边CD 中点，△ADE 沿AE 翻折成四棱锥D′−ABCE ，当D′E ⊥CE 时，点C 到平面ABD′距离取最大值，∵D′E ⊥AE ，CE ∩AE =E ，CE ，AE ⊂平面ABCE ，∴D′E ⊥平面ABCE ， 以E 为原点，EC 为x 轴，EA 为y 轴，ED′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面ABD′的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，∴点C 到平面ABD′距离的最大值为d =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1√2=√22．故选C ．8. 在△ABC 中，有正弦定理：asinA =bsinB =csinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径．如图所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )A. λ先变小再变大B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值C. λ先变大再变小D. λ是一个定值【答案】D解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，由正弦定理可得R 1=12×DE sin∠DME，R 2=12×DFsin∠DMF ，又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ， 可得R 1=R 2，可得λ=1．故选D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
高三数学选择填空题8
高三数学选择填空题8一、选择题（本大题共12小题：每小题5分：共60分.在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的）1．z i z 则,215+==（ ） A ．i 31035-- B ．i 31035+- C ．1－2i D ．1+2i 2．函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 3．设)2tan(,21)tan(),2(53sin βαβππαπα-=-<<=则的值等于（ ） A ．－724 B ．－247 C ．724 D ．247 4．正方形ABCD ：沿对角线BD 折成直二面角后不会成立的结论是（ ）A ．AC ⊥BDB ．△ADC 为等边三角形 C ．AB 、CD 所成角为60°D ．AB 与平面BCD 所成角为60° 5．已知向量)()53(,2||,3||,60,b a m b a b a b a -⊥+==若夹角为 ：则m 的值为（ ）A ．2332B ．4223C ．4229D ．29426．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ ） A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 7．关于直线a ,b,c 以及平面M ：N ：给出下面命题：①若a //M ：b//M, 则a //b ②若a //M, b ⊥M ：则b ⊥a ③若a ⊂M ：b ⊂M,且c ⊥a ：c ⊥b,则c ⊥M ④若a ⊥M, a //N ：则M ⊥N ：其中正确命题的个数为 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．用四种不同颜色给正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面涂色：要求相邻两个面涂不同颜色：则共有涂色方法（ ）A ．24种B ．72种C ．96种D ．48种9． 已知a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 各项都大于零的数列：命题①a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8不是等比数列：命题②：a 1+a 8<a 4+a 5则命题②是命题①的（ ）A ．充分且必要条件B ．充分但不必要条件C ．必要但不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．袋中有编号为1：2：3：4：5的五只小球：从中任取3只球：以ξ表示取出的球的最大号码：则E （ξ）的值是（ ）A ．5B ．C ．4.5D ．411．点P 的曲线323+-=x x y 上移动：在点P 处的切线的倾斜角为α：则α的取值范围是（ ）A ．]2,0[πB ．),43[)2,0[πππC ．),43[ππD ．]43,2(ππ 12．直线3x+4y －12=0与椭圆C ：191622=+y x 相交于A 、B 两点：C 上点P ：使得△PAB 的面积等于3：这样的点P 共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4个小题：每小题4分：共16分）13．若不等式|ax +2|<6的解集为（－1：2）：则实数a 等于14．把直线133+-=x y 绕点（1：1）顺时针旋转：使它与圆x 2+y 2－2x =0相切：则直线转动的最小正角是15．已知9)222(-x 的展开式的第7项为421：)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 则的值为 16．对于定义在R 上的函数f (x )：有下述命题：①若f (x )是奇函数：则f (x －1)的图象关于点A （1：0）对称②若对x ∈R ：有f (x +1)= f (x －1)：则f (x )的图象关于直线x =1对称③若函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称：则f (x )为偶函数④函数f (1+x )与函数f (1－x )的图象关于直线x =1对称其中正确命题的序号为1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．B 12．B13．－4 14．3π 15．41- 16．①③。
高考数学选择题填空题冲刺练习(含答案解析)(8)
高考数学选择题填空题冲刺练习（含答案解析）（8）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}312,log 1||A x x B x x =-≤≤=≤，则A B = ( )A. {|12}x x -≤≤B. {|02}x x <≤C. {|12}x x ≤≤D. {|1x x ≤-或2}x >【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合{03}B x x =<≤，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为3{|log 1}B x x =≤可得{03}B x x =<≤，集合{|12}A x x =-≤≤， 所以{|02}A B x x ⋂=<≤ 故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.2.已知复数z满足(1)1z i +=+，则复平面内与复数z 对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【详解】由()11z i =+，得()(1111111344i i z i +-++====++，∴复数z），在第四象限．故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图，下面结论正确的是（）A. 甲、乙成绩的中位数均为7B. 乙的成绩的平均分为6.8C. 甲从第四次到第六次成绩的下降速率要大于乙从第四次到第五次的下降速率D. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差【答案】D【解析】【分析】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，求出中位数为7.5；在B中，求出乙的成绩的平均分为7；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应的点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同；在D中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差.【详解】在A中，将乙十次的成绩从小到大排列，为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，∴中位数为787.52+=，故A错误；在B中，乙的成绩的平均分为：110（2+4+6+7+7+8+8+9+9+10）＝7，故B错误；在C中，从折线图可以看出甲第6次所对应点与乙第4次和第5次所对应的点均在同一条直线上，故下降速率相同，故C错误；在D 中，从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大， ∴甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ）A. ()2ln xf x x=B. ()2ln x f x x=C. ()211f x x =-D.()11f x x x=-【答案】B 【解析】 对于A ，()2ln xf x x=为奇函数，图象显然不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，()211f x x =-在()1∞+，上单调递减，不符合题意； 对于D ，()11f x x x=-在()1∞+，上单调递减，不符合题意； 故选B点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．5.已知双曲线2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．若OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）．C. 2【答案】A【解析】【分析】由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到,a b关系，进而求得,a c关系，利用cea=求得结果.【详解】OMN∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C的渐近线为：y x=±即1ba=c∴==cea∴==本题正确选项：A【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.6.已知点P在圆224x y+=上，(2,0)A-，(2,0)B，M为BP中点，则sin BAM∠的最大值为( ) A.14B. C.13D.12【答案】C【解析】【分析】由圆的特征可确定BAM∠为锐角，因此只需求出BAM∠的正切值的最大值即可.【详解】设(),P x y，因为为BP中点，所以2M,22x y+⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan2622yyBAMx x∠==+++，因为点P在圆224x y+=上，则22x-≤≤,不妨令0y>，则tan6yBAMx∠====+令111t,684x⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM∠==所以当且仅当316t=时，tan BAM∠取最大值4，故1sin3BAM∠=.故选C.【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.7.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是（ ）．A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. (1,1)-C. (0,2]D. (1,2]-【答案】D 【解析】 【分析】首先利用函数的图象和性质求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换求出()g x 的函数的关系式，进一步求出函数的值域．【详解】由函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，得最小正周期22T ππ=⨯=． 又因为0>ω，所以2ππω=，解得2ω=．将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 因为函数()g x 为偶函数，所以232ππϕπ+=+k ，k Z ∈． 由||2ϕπ<，解得6πϕ=-， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(1,2]-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数关系式恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 8.已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）A. 22B. 2C.2 D. 1【答案】B 【解析】 【分析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出122x x d -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值.【详解】如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -=， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，10122d -+==12max 222x x ∴-==，故选B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题错误的是（ ）．A. (0,)x ∃∈+∞，1123x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. (0,1)x ∃∈，1123log log x x >C. (0,)x ∀∈+∞，121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数性质对各个选项进行判断．【详解】由指数函数的性质可知，当(0,)x ∈+∞时，1321213xx x⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，1123x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，A 错误； 由对数函数的性质可知，当(0,1)x ∈时，13log 0x >，13113221131333log 1log log 211log 311log log log 2log 2xx x x ====>，1123log log x x>恒成立，B 正确；对于C ，当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 1x =，则121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；对于D ，当13x =时，13log 1x =，由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确． 故选：AC ．【点睛】本题考查全称命题和特称命题的的真假判断，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键． 10.已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）． A. 函数()f x 是以2为周期的周期函数 B. 函数()f x 是以4为周期的周期函数 C. 函数(1)f x -为奇函数 D. 函数(3)f x -为偶函数【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项,A B ，分析得到函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可知选项A 错误，选项B 正确；对于选项C ,证明函数()(1)F x f x =-为奇函数，所以选项C 正确；对于选项D ,由题意不妨取满足条件的函数()cos2f x x π=，则(3)sin2f x x π-=-为奇函数，所以选项D 错误．【详解】对于选项,A B ,∵函数()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=． ∵()(2)0f x f x +-=， ∴()(2)0f x f x -++=，则()(2)0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可知选项A 错误，选项B 正确； 对于选项C ,令()(1)F x f x =-，则()(1)(1)F x f x f x -=--=+． 在()(2)0f x f x ++=中，将x 换为1x -，得(1)(1)0f x f x -++=， ∴(1)(1)f x f x +=--，∴()(1)()F x f x F x -=--=-， 则函数()(1)F x f x =-为奇函数，所以选项C 正确． 对于选项D ,由题意不妨取满足条件的函数()cos 2f x x π=，则3(3)cos(3)cos sin 2222f x x x x ππππ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭为奇函数， 所以选项D 错误． 故选：BC.【点睛】本题主要考查函数的周期的判定，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知正项数列{}n a 满足：12n n a a +>，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中错误的是（ ）A. 112nn a a +>B. ()212kk kS S>+⋅C. 12(2)n n S a a n <-≥D. 1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】D 【解析】【分析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知112kk a a +> ，222k k a a +>，……22k k k a a >，得到12212...2...k k k kka a a a a a +++++>+++，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到123123 (2222)n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---=++++<+++++，再求和证明；D.设数列{}n a 是公比为4的等比数列，说明结论. 【详解】A.0n a >，根据已知可知231121222......2n n n n n a a a a a +-->>>>，112n n a a +∴>，故A 正确；B.0n a >，()()12122212.........k k k k k k ka a a a a a S S a a a +++++++++=+++12212...1...k k kka a a a a a +++++=++++ ，由A 可知112k k a a +> ，222k k a a +>，……22kk k a a >,12212...2...k k k kka a a a a a +++++∴>+++，()221212k k kk k kS S S S ∴>+⇒>+，故B 正确； C.由A 可知1122n n n n a a a a -->⇒<……,222222n n n n a a a a -->⇒<111122n n n n a a a a -->⇒<()2n ≥， 123123......2222n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---∴=++++<+++++ 1211......122n n n a --⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1112211212n n n n a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭122n n n aa -=- ，由A 可知112nn aa -> ，()2n ≥ 11222n n n n aa a a -∴-<- ，12n n S a a ∴<- ()2n ≥，故C 成立；D.若数列{}n a 是正项等比数列，并且公比4q =，则142n na a +=>，此时1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，不是递增数列，故D 不正确. 故选：D【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.12.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）．A. ||||OM ON +≥B. 以MN 为直径的圆的面积大于4πC. 直线MN 过定点(2,0)D. 点O 到直线MN 的距离不大于2【答案】CD 【解析】 【分析】通过MN x ⊥轴时的特殊情况，判断A 、B 选项不正确；当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 直线方程，通过推理论证，得出直线过定点(2,0)Q ，进而得出点O 到直线MN 的距离最大值即为O 、Q 两点间的距离，进而得出CD 正确.【详解】不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN x ⊥轴时，OM ON k k =-，由12OM ON k k ⋅=-，得2OM k =，2ON k =-， 所以直线OM ，ON的方程分别为：2y x =和2y x =-．与抛物线方程联立，得M，(2,N ，所以直线MN 的方程为2x =，此时||||OM ON +=， 以MN 为直径的圆的面积2S π=，故A 、B 不正确． ②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN方程为y kx m =+，与抛物线方程联立消去x ，得20ky y m -+=，则140km ∆=->．设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k =． 因为12OM ON k k ⋅=-，所以121212y y x x ⋅=-， 则222121122y y x x y y =-=-，则122y y =-，所以2m k=-，即2m k =-， 所以直线MN 的方程为2y kx k =-，即(2)y k x =-．综上可知，直线MN 为恒过定点(2,0)Q 的动直线，故C 正确；易知当OQ MN ⊥时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2，即原点O 到直线MN 的距离不大于2．故D 正确．故选：CD【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论和数形结合思想，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部频率组距介于13分钟到18分钟之间．现将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13,15)之间的选手可获奖，则这50名参赛选手中获奖的人数为________．【答案】11【解析】【分析】由频率分布直方图的性质，求得成绩在[13,15)之间的频率，进而求得这50名参赛选手中获奖的人数，得到答案.【详解】由频率分布直方图的性质，可得成绩在[13,15)之间的频率为1(0.380.320.08)10.22P =-++⨯=，所以这50名参赛选手中获奖的人数为500.2211⨯=．故答案为：11.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及其应用，其中解答中根据频率分布直方图的性质求得相应的概率是解答的关键，着重考查运算与求解能力.14.在ABC 中，2AB =，33BC =，30ABC ︒∠=，AD 为BC 边上的高．若AD AB AC λμ=+，则λμ-=________．【答案】13【解析】【分析】根据题意画出图象，根据条件求出3BD =，从而可得出11()33BD BC AC AB ==-，根据向量加法的几何意义并进行向量的数乘运算得出2133AD AB AC =+，从而根据平面向量基本定理求出λ，μ的值，即可求得答案． 【详解】根据题意画出图象，如图AD 为BC 边上的高∴AD BC ⊥，2AB =，30ABC ︒∠=，则3BD =∴13BD BC =， ∴1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．又AD AB AC λμ=+，∴23λ=，13μ=，故13λμ-=． 故答案为：13． 【点睛】本题解题关键是掌握向量的线性表示，根据系数相等求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．15.在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质：（1）对任意a ，b ∈R ，a b b a *=*；（2）对任意a ∈R ，0a a *=；（3）对任意a ，b ∈R ，()()()()5a b c c ab a c b c c **=*+*+*-. 则函数()10y x x x =*>的最小值为_______. 【答案】3【解析】【分析】根据题中给出的对应法则,可得113y x x=++≥,利用基本不等式求最值可得 12x x+≥,当且仅当1x =时等号成立,由此可得函数1y x x =*的最小值为. 【详解】解:对任意a ,b ∈R ,()()()()5a b c c ab a c b c c **=*+*+*=,令0c .代入得()()()()0000a b ab a b **=*+*+*,由a b b a *=*可得()()()()0000a b ab a b **=*+*+*,由0a a *=可得a b ab a b *=++, 所以111y x x x x=*=++,因为0x >, 由均值不等式可得113y x x =++≥（当且仅当1x x=,即1x =时,等号成立）. 所以1y x x =*（0x >）的最小值为3. 故答案为:3【点睛】本题给出新定义,求函数()f x 的最小值.着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则BC =________，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．【答案】 (1). 6 (2). 57π【解析】【分析】 （1）设直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，先求出PQ的最小值为AQ即点A 到BCBC 的值；（2）取ABC 的外接圆的圆心为O '，则圆O '的半径r =OO '，作OM PA ⊥于点M，即得22235724R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即得解. 【详解】设直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，如图所示，则30sin PA PQ PQ θ<==≤，所以PQ ≥PQ的最小值为AQA 到BC，所以3BAQ π∠=． 因为23BAC π∠=， 所以3CAQ π∠=，所以AB AC ==，所以2222222cos23BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅=+-⨯1362⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 所以6BC =．取ABC 的外接圆的圆心为O '，则圆O '的半径1622sin 3r π=⨯= 连接OO '，作OM PA ⊥于点M ， 则点M 为PA的中点，所以2222235724R OA OP ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭， 故三棱锥P ABC -的外接球O 的表面积2457S R ππ==．故答案为：6；57 .【点睛】本题主要考查空间角的计算，考查几何体外接球的问题的处理，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
高考数学复习常考知识点专项练习8 全称量词与存在量词
高考数学复习常考知识点专项练习8全称量词与存在量词一、选择题1．下列不是全称量词的是(D)A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多解析：很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．2．下列不是存在量词的是(D)A．有些B．至少有一个C．有一个D．所有解析：A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D.3．下列命题：(1)今天有人请假；(2)中国所有的江河都流入太平洋；(3)中国公民都有受教育的权利；(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育；(5)有人既能写小说，也能搞发明创造；(6)任何一个数除0都等于0.其中是全称量词命题的个数是(D)A．1B．2C．3D．4解析：(2)(3)(4)(6)都含有全称量词．4．将“x2＋y2≥2xy对任意实数x恒成立”改写成符号形式为(A) A．∀x，y∈R，x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy解析：由全称量词命题的形式，知选A.5．“对x∈R，关于x的不等式x2>0有解”等价于(A)A．∃x∈R，使x2>0成立B．∃x∈R，使x2≤0成立C．∀x∈R，有x2>0成立D．∀x∈R，有x2≤0成立解析：对x ∈R ，关于x 的不等式x 2>0有解，等价于不等式x 2>0在实数范围内有解，所以与命题“∃x ∈R ，使x 2>0成立”等价．6．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是( D )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ∈R ，x 2＝xD ．所有的等边三角形都相似解析：A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，所以A 是假命题．B 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是存在量词命题．故选D.7．有下列四个命题，其中真命题是( B )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<nD ．∀n ∈R ，n 2<n解析：对于选项A ，令n ＝12即可验证其不正确；对于选项C 、选项D ，令n ＝－1，即可验证其均不正确，故选B.8．下列命题中，是真命题的是( A )A ．∀x ∈R ，x 2＋2>0B ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－2C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0解析：对于A 选项：∀x ∈R ，x 2＋2>0恒成立，A 正确；对于B 选项：因为x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0恒成立，所以不存在x ∈R ，使x 2＋x ＝－2，B 错误；对于C 选项：因为x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，存在x ＝12，使x 2－x ＋14＝0，C 错误；对于D 选项：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋2<0，D 错误．二、填空题9．对每一个x 1∈R ，x 2∈R ，且x 1<x 2，都有x 21<x 22是全称量词(填“全称量词”或“存在量词”)命题，是假(填“真”或“假”)命题．解析：令x 1＝－1，x 2＝0.10．下列命题中，全称量词命题是①②③；存在量词命题是④.(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”，是全称量词命题；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．三、解答题11．用符号“∀”或“∃”改写下面的命题，并判断真假．(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在实数x，y，使2x－y＋1<0成立；(3)直角三角形满足勾股定理．解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”．改写后命题为∀x∈R，x2≥0，是真命题．(2)改写后命题为∃x∈R，y∈R，使得2x－y＋1<0，是真命题．如x＝0，y＝2时，2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)是全称量词命题，所有直角三角形都满足勾股定理．改写后命题为∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，都有a2＋b2＝c2，是真命题．12．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．解：若x >0，由|x |>ax 得a <|x |x ＝1，若x <0，由|x |>ax 得a >|x |x ＝－1，若对于一切x ∈R 且x ≠0，都有|x |>ax ，则实数a 的取值范围是－1<a <1.13．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的表述方法的有( ABD )A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立解析：C 选项是全称量词命题，A ，B ，D 选项符合题意．故选ABD.14．“∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5解析：“∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≤0”为真命题，可化为∀x ∈{x |1≤x ≤2}，a ≥x 2恒成立，即只需a ≥(x 2)max ＝4，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C 符合题意．故选C.15．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是真命题，则实数a的取值范围是a≤1.解析：当a<0时，y＝ax2＋2x＋1开口向下，必然存在x使ax2＋2x＋1≤0；当a＝0时，原不等式为2x＋1≤0，解得x≤－1 2；当a>0时，令Δ＝4－4a≥0，得a≤1.故a的取值范围为a≤1.16．已知命题p：“至少存在一个实数x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，求参数a的取值范围．解：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在{x|1≤x≤2}上有解，令y＝x2＋2ax ＋2－a，则只需在x＝1时，y>0或x＝2时，y>0即可，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.整理得a>－3或a>－2.即a>－3.故参数a的取值范围为{a|a>－3}．。
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专项练习(八)空间几何体的三视图、表面积与体积
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()
A．1 B．2
C．3 D．6
2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图(也称主视图)是()
3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()
A．2B．2＋42
C．4＋42D．4＋6 2
3题图4题图5题图
4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为()
3335．某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的侧面积为( )
A ．40 cm 2
B ．56 cm 2
C ．60 cm 2
D ．76 cm 2
6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )
A.3172 B ．210 C.13
2 D ．310
7．某底面为正方形的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为( )
A ．2
B ．2＋ 2
C ．3＋ 3
D ．3＋ 2
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．18
B ．24
C ．32
D ．36
9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
3399
10．某正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是( )
A.10
B.11
C ．410
D ．411
11．如图为某几何体的三视图，且其体积为π＋4
3，则该几何体的高x 为( )
A ．3
B ．5
C ．4
D ．2 12．如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )
A.83
B.43
C.823
D.423
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
13．若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm 的正方形，则圆柱的体
积为________ cm3.
14．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
15．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的体积是________ cm3.
16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
小题专项练习(八)空间几何体的三视图、表面积与体积
1.B由三视图可知，该几何体表示四棱锥，底面为矩形，长为2，宽为3，高为1，
∴V＝1
3×2×3×1＝2，故选B.
2．A如图所示，过A，E，C1的平面为AEC1M，M为DD1的中点，则剩余的几何体为ADM－C1EBC，正视图为A.
3．C
由三视图可知该直三棱柱的底面为等腰直角三角形，如图所示，S侧＝2×2×2＋2×2＝42＋4，故选C.
4．C三棱锥A－BCD的直观图如图所示
∴V A
－BCD ＝
1
3×
1
2×4×4×4＝
32
3，故选C.
5.
B该几何体是直四棱柱，其直观图如图所示：
其中底面ABCD是直角梯形，DC＝1，AB＝4，AD＝4，且AD ⊥AB，DC∥AB，AA1＝4，
∴S侧＝4×(AB＋BC＋DC＋AD)
＝4×(4＋5＋1＋4)＝56 (cm2)．
6．C如图，由球心作平面ABC的垂线，垂足为BC的中点M，
BC ＝AB 2＋AC 2＝5，
AM ＝12BC ＝52，
OM ＝1
2AA 1＝6，
∴球O 的半径R ＝OA ＝AM 2
＋OM 2
＝13
2，故选C. 7．B
由三视图可知，该四棱锥的直观图如图所示，其中AB ⊥底面BCDE ，
AB ＝1，BC ＝1，
∴S △ABC ＝S △ABE ＝12×1×1＝1
2，
∵BC ⊥DC ，DC ⊥AB ，∴DC ⊥平面ABC ，∴DC ⊥AC ，AC ＝2，
∴S △ACD ＝S △ADE ＝12×AC ×DC ＝12×2×1＝2
2，
∴S 底＝1，∴S 表＝12×2＋2
2×2＋1＝2＋2，故选B. 8．B
该几何体的直观图如图所示：
其中△ABC 是直角三角形，AB ＝4，AC ＝3， AD ∥CE ∥BF ，
CE ＝AD ＝5，BF ＝2，
∴V ABC －DEF ＝12×3×4×5－12×3×4×3×1
3＝24，故选B.
9．D 由三视图可知该几何体是圆锥的一部分，扇形的圆心角
为120°，
∴V ＝13·13π4·4＝16π
9，故选D. 10．B
由题可知，该几何体的直观图如图所示， AC ＝22，PO ＝3，
∴P A ＝PO 2＋AO 2＝9＋2＝11，故选B.
11．D 由三视图可知该几何体是半个圆柱和一个四棱锥，
V ＝π×122·x ＋13·x ·2·1 ＝π2x ＋23x ＝π＋43， ∴x ＝2，故选D. 12．A
该几何体为四棱锥A －BCDE ，如图所示 底面BCDE 的面积为2×5＝25， 高为点A 到直线BE 的距离，设为h ， ∴12h ·BE ＝12AB ×2， 12h 5＝12×2×2，∴h ＝455，
∴V ＝13×25×455＝8
3，故选A. 13.16π
解析：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝4，∴r ＝4
2π，又圆柱的高为4，
∴圆柱的体积V ＝πr 2
h ＝π·164π2×4＝16π. 14.43。