1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt
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正弦、余弦函数的图像和性质PPT优质课件
作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,s正in弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到 直3 角查坐表标y系内s，i从n3而确0.8定对6应6的0点 (x,sinx).
y
描点 (3 ,0.866)0
1-
y
P
-Hale Waihona Puke 023 2
2
x
1 -
3
O M 1x
2020/12/10
9
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
2020/12/10
10
四川省天全中学数学组
2005.03
2020/12/10
11
余弦曲线
-
-
y-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
由于 ycox scosx)(sin [(x) ]sin x()
几何法：作三角函数线得三角函数值，描点(x,sinx),连线
如: x
3
作
3
的正弦线 MP ,
平移定点 (x, MP)
2020/12/10
5
函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
y
作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
1-
P1
p
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11A
o 6
3
正 弦 函 数、余 弦 函数的图象和性质
2020/12/10
1
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件
最小值：当 x 2 k 时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合：
k
8 ，0)，k Z
4
.
28
(2)求
y
cos(
1 2
x
4
)
函数的对称轴和对称中心:
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
∴函数 y＝－2sinx－4π的单调增、单调减区间分别由下 面的不等式确定
2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)① 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π(k∈Z)② 解①得，2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， 解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π(k∈Z)．
故函数 y＝2sin4π－x的单调增区间、单调减区间分别为 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋34π(k∈Z)．
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 课件(共21张PPT)
解析：如图所示．
答案：2
栏目 导引
第一章 三角函数
方法感悟
作三角函数图象 (1)已知 y＝sin x 的图象求作 y＝cos x 的图象，只需把 y＝sin x 的图象向左平移π2即可得到 y＝cos x 的函数图象． (2)已知 y＝sin x 的图象求作 y＝|sin x|的图象，只需把 y＝sin x 在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即可得到 y＝|sin x|的图象． (3)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精确度不 高的情况下常用此法，要切实掌握好．
第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
利用正弦线作正弦 函数图象的方法
―掌―握→
正、余弦函数的图象， 知道它们之间的关系
重点难点 重点：会用“五点法”画正、余弦函数的图象． 难点：能根据正弦、余弦函数的图象观察、归纳出正弦函 数、余弦函数的图象特征及图象间的关系．
如何利用规律实现更好记忆呢？
栏目 导引
超级记忆法--场景法
第一章 三角函数
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
栏目 导引
第一章 三角函数
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
第一章 三角函数
【名师点评】 作形如 y＝asin x＋b(或 y＝acos x＋b)，x∈[0,2π] 的图象时，可由“五点法”作出，其步骤是：①列表取 x＝0，π2， π，32π，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．
答案：2
栏目 导引
第一章 三角函数
方法感悟
作三角函数图象 (1)已知 y＝sin x 的图象求作 y＝cos x 的图象，只需把 y＝sin x 的图象向左平移π2即可得到 y＝cos x 的函数图象． (2)已知 y＝sin x 的图象求作 y＝|sin x|的图象，只需把 y＝sin x 在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，即可得到 y＝|sin x|的图象． (3)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精确度不 高的情况下常用此法，要切实掌握好．
第一章 三角函数
1．4 三角函数的图象与性质 1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
利用正弦线作正弦 函数图象的方法
―掌―握→
正、余弦函数的图象， 知道它们之间的关系
重点难点 重点：会用“五点法”画正、余弦函数的图象． 难点：能根据正弦、余弦函数的图象观察、归纳出正弦函 数、余弦函数的图象特征及图象间的关系．
如何利用规律实现更好记忆呢？
栏目 导引
超级记忆法--场景法
第一章 三角函数
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
栏目 导引
第一章 三角函数
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
第一章 三角函数
【名师点评】 作形如 y＝asin x＋b(或 y＝acos x＋b)，x∈[0,2π] 的图象时，可由“五点法”作出，其步骤是：①列表取 x＝0，π2， π，32π，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．
正弦函数、余弦函数的图象ppt课件
2.描点(在坐标系中描出五个关键点)
3.连线(用光滑的曲线从左到右顺次连接五个点)
说明：已经获得了正弦函数曲线的图像了，在精确
度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的
简图.
余弦函数：如何由正弦函数图像得到余弦函数图像？
y
1
-4
-3
-2
o
-
3
2
4
5
-1
正弦曲线
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ 2 ),
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函
数值将重复出现.
正弦函数
＝ ， ∈
＝ ， ∈ ,
缩小范围、以小见大，利用特性画出全部的图像
新知讲解
问题1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在[,]
上任取一个值0 ，如何借助单位圆确定正弦函数值0 ，并画出点
正弦函数:＝ ，∈；(把点P的纵坐标叫做α的正弦函数)
余弦函数:＝ ，∈；(把点P的横坐标x叫做α的余弦函数)
正切函数:＝ ，≠/＋(∈)．
（把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数）
新课导入
回顾2 类比指数、对数函数的知识，我们是怎么研究它们的？
(0 , 0 ).
点T.gsp
新知讲解
问题3 我们学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数＝ ，
∈[,]的图象？你能想到什么方法？
若把轴上从0到2π这一段分成12等份，使 的值分别为： ， ， ， ⋅⋅⋅ ，2
6
3
2
正弦函数
引入新知 ： 如何得到函数 y=sinx x∈R在[2π，4π]的图像
3.连线(用光滑的曲线从左到右顺次连接五个点)
说明：已经获得了正弦函数曲线的图像了，在精确
度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的
简图.
余弦函数：如何由正弦函数图像得到余弦函数图像？
y
1
-4
-3
-2
o
-
3
2
4
5
-1
正弦曲线
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ 2 ),
公式一说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函
数值将重复出现.
正弦函数
＝ ， ∈
＝ ， ∈ ,
缩小范围、以小见大，利用特性画出全部的图像
新知讲解
问题1 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在[,]
上任取一个值0 ，如何借助单位圆确定正弦函数值0 ，并画出点
正弦函数:＝ ，∈；(把点P的纵坐标叫做α的正弦函数)
余弦函数:＝ ，∈；(把点P的横坐标x叫做α的余弦函数)
正切函数:＝ ，≠/＋(∈)．
（把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数）
新课导入
回顾2 类比指数、对数函数的知识，我们是怎么研究它们的？
(0 , 0 ).
点T.gsp
新知讲解
问题3 我们学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数＝ ，
∈[,]的图象？你能想到什么方法？
若把轴上从0到2π这一段分成12等份，使 的值分别为： ， ， ， ⋅⋅⋅ ，2
6
3
2
正弦函数
引入新知 ： 如何得到函数 y=sinx x∈R在[2π，4π]的图像
1.4正弦函数,余弦函数的性质ppt
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
x o y x o 6π 12π 4π 8π
3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
求下列函数的周期：
(1) y 3 cos x, x R (2) y sin 2 x, x R 1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6
-
o
· · · ·
2 3 4
结合图像：在定义域内任取一个 ， 由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
x
f ( x 2k ) f ( x) 正弦函数y sin x( x R)是周期函数，周期是 2k
即
思考3：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？ 由诱导公式可知：
（3）已知函数 y sin(x ), 0 的周期为 3 ，则 3 6 ___
(4)函数
y cos (1 x) 的最小正周期是 2
4
练习题.
求下列函数的周期： x (2) y cos (1) y sin 3x 3 T 6 2 T
3
x (3) y 3 sin 4
解:(1) ∵对任意实数
x
有
f ( x) 3 sin x 3 sin(x 2 ) f ( x 2 )
cos x 是以2π 为周期的周期函数.
(2)
sin(2 x) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) , y sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.
周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。
正弦函数 余弦函数的图像和性质ppt
1
1
0 0
0
y
2 1 -
1
0
1
1 -
o
2
3 2
2
x
作函数 y= sinx + 小值
y= sinx+
1 2
1 2
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
解：用辅角公式化简函数
3 cosx 2
= sinxcos 3 + cosxsin 3 = sin(x+ 3 )
X+ 3
0 －
3
o
1-
x
6
-
4
-
2
2
-1 -
4
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 4 , y ……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
2
1 2
1
1
1
0
0 1
1 -
o
2
3 2
2
x
练习 : 作函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的草图
作函数 y= sinx + 小值
1 2
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
练习：作函数y= －cosx,x∈[0,2π]的草图 解: 列表
X
0
2
1
3 2
2
1
cosx -cosx
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线.
如: x 查表 y sin 3 0.8660 3 ) 描点 ( ,0.8660 3
1.4正弦、余弦、正切函数的图象与性质-4节课
正弦曲线：y sin x x R y
1
-1
x
最值： 当 x 2k 时，ymax 1
2
当x 2k 时，ymin 1
2
正弦曲线：y sin x x R y
1
-1
x
余弦曲线：y cos x x R y
1
-1
例如正弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z,k≠0)都 是它的周期，最小正周期是2kπ
正弦曲线：y sin x x R y
1
-1
x
对称性：
对称轴： x k , k Z
2
对称中心： (k , 0) k Z
奇偶性： 奇函数 sin(－x) =－sinx
周期性： 正弦函数是周期函数，2k (k Z, 且k 0) 都是它的周期，
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
1
-1
x
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有
f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期。
如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小的 正 数就叫做f(x)的最小正周期。
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c os z
的对称中心为
(
2
k ,0),k
z
z
2xk2,k12x,k
4
2
k
Z
2
对称中心为
2
(2k
,0), k
Z
我练我掌握
2
课堂小结：
1.正弦函数 y sin x, x R
（1）对称轴： x , Z
2
（2）对称中心： ( , 0), Z （3）奇函数 2.余弦函数 y cos x, x R
26
26
2
sin
1 2
(
x
4
)
6
,
y 2sin(1 x )
26
是以４π为周期的周期函数．
函数
周期
2
y 3cosx
T 2
1
y sin 2x
T
2
2
y 2sin(1 x )
26
T 4
2
1
2
y Asin(x )
T ?
2
探求:函数y Asin(x ), x R的周期公式
的周期。
• 2. y sin x与y cos x(x R)周期是 2
最小正周期T=2
• 3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？
f (x) f(x)，偶函数的图像关于y轴对称
• 什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？ f (x) -f(x),奇函数的图像关于原点对称
探究
一.奇偶性
y
1
3 5
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
即 f (x 2k ) f (x)
☺正弦函数y sin x(x R)是周期函数，周期是2k
思考2：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？
由诱导公式可知： cos(x 2k ) cosx
3
解（1）令
z 2x
3
则 y sin(2x ) sin z
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
即 f (x 2k ) f (x)
性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx 都是周期函数，且它们的周期为2k (k z, k 0) 最小正周期是 2
例：求下列函数的周期：
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R
(3) y 2sin(1 x ), x R
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由 减1 小到 。1
归纳：正弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数在每个闭区间[ 2k , 2k ](k Z )
2
2
都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数的图象
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
26
解:(1) ∵对任意实数 x有
f (x) 3sin x 3sin(x 2 ) f (x 2 )
cos x 是以2π为周期的周期函数.
(2) Q sin(2x) sin(2x 2 )
sin2(x ),
y sin 2x 是以π为周期的周期函数.
(3) Q 2sin( 1 x ) 2sin( 1 x 2 )
解： Q f x Asin x
Asinx 2
Asin x 2
Asin
x
2
f
x
2
T
2
归纳:
一般地，函数y Asin(x ), x R及函 数y Acos(x ), x R(其中A,,为常 数,且A 0, 0)的周期为 : T 2 .
课堂练习：
（其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的周
期是:
T 2
；( 0)
(4)求周期的方法：定义法、公式法
课外作业：
P46 习题1.A组 第3题
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
§1.4.2正弦余弦函数的性质(2)
奇偶性、对称性
复习回顾
• 1.周期函数的意义:
•
若f(x+T)=f(x)，则f(x)就是周期函数，T就是它
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
f ( x) cos x, x R 为偶函数
二、对称性
y
正弦函数的图象
1P
3 5
2
2 3
2
O
P' 2 1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x L 5 , 3 , 1 , 1 , 3 L
（3）单调性、最值
复习：正弦函数对称性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴：x k , k Z
2
对称中心： (k , 0) k Z
复习：余弦函3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x k , k Z
对称中心： ( k , 0) k Z
增函数：上升
减函数：下降
观察正余弦函数的图象，探究其单调性
探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间… [ 5 , 3 ]、[ ， ]、[3 ，5 ]…上时， 2 2 22 2 2
曲线逐渐上升，sinα的值由 增1大到 。1
当x在区间 … [ 7 , 5 ]、[ 3 ， ]、[ ，3 ]、[5 , 7 ] … 2 2 2 2 22 2 2
归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
2 2 222
x k , k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
3 5
2
P'
2 3
2
y
1
O
2
1
余弦函数的图象
P
3 2
5 3
x
2
2
2
对称轴： x L , 0, , 2 L
x k , k Z
对称中心： L ( , 0), ( , 0), ( 3 , 0), ( 5 , 0)L
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
余弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、三角函数的周期y 性:y=sinx(x∈R)
x
-2
0X
2 X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
y
o
4π
x 8π
y
x
o
6π
12π
正弦函数 y sin x(x R)
y
· · -2
非零常数T叫做这个函数的周期
最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就 叫做f(x)的最小正周期。
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
知识回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 思考1：正弦曲线、余弦曲线有周期现象吗？
零点：x k (k Z )