计量经济学PPT课件
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计量经济学课件PPT课件
非线性模型转换方法
多项式回归
通过引入自变量的高次项，将非线性关系转化为线性 关系进行处理。
变量变换
对自变量或因变量进行某种函数变换，以改善模型的 拟合效果。
非参数回归
不假定具体的函数形式，通过数据驱动的方式拟合非 线性关系。
实例分析：金融时间序列预测
数据准备
收集金融时间序列数据，如股票 价格、交易量等，并进行预处理。
模型选择依据
Hausman检验，LM检验等。
实例分析：经济增长收敛性问题研究
研究背景
探讨不同国家或地区间经济增长差异及其收 敛性。
模型构建
选择合适的面板数据模型，设定经济增长收 敛假设。
实证分析
收集相关数据，运用计量经济学软件进行回 归分析，检验收敛性假设是否成立。
结论与政策建议
根据实证结果得出结论，提出促进经济增长 收敛的政策建议。
机器学习算法与计量经济学模型结合
将机器学习算法与传统计量经济学模型相结合，形成更具解释性和预测能力的混合模型。
大数据背景下计量经济学挑战与机遇
01
大数据背景概述
数据量巨大、类型多样、处理速度快等 特点。
02
计量经济学面临的挑 战
数据质量、计算效率、模型可解释性等 问题。
03
计量经济学面临的机 遇
利用大数据技术挖掘更多信息，提高模 型预测精度和政策评估效果；同时推动 计量经济学理论和方法的发展创新。
Geary's C指数
与Moran's I指数类似，也是用于检验全局空间自相关。
LISA集聚图 用于检验局部空间自相关，可以直观展示空间集聚或异常 值区域。
空间滞后和空间误差模型选择
空间滞后模型（SLM）
计量经济学课件(庞浩版)
劳动经济学
劳动经济学中经常运用联立方程模型来研究劳动力市场中 的各种问题，如工资决定、就业与失业、劳动力流动等。 例如，可以构建一个包含工资方程和就业方程的联立方程 模型，以分析最低工资制度对就业和工资水平的影响。
06
CATALOGUE
面板数据计量经济学模型
面板数据基本概念与特点
面板数据定义
面板数据是指在时间序列上取多个截面，在这些截面上同时选取样本观测值所构成的样 本数据。
面板数据模型估计方法及应用举例
估计方法
面板数据模型的估计方法主要有最小二乘法 、广义最小二乘法和极大似然法等。
应用举例
面板数据模型在经济学、金融学、社会学等 领域有广泛的应用，如经济增长、劳动力市 场、金融市场、环境经济学等问题的研究。 例如，可以利用面板数据模型研究不同国家 经济增长的影响因素，或者分析某个政策对 不同地区或不同群体的影响效果。
模型设定
多元线性回归模型是描述多个自变量与一 个因变量之间线性关系的模型，形式为 Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+u。
假设ห้องสมุดไป่ตู้验
对各个自变量的回归系数进行假设检验， 判断其是否显著不为零。
参数估计
通过最小二乘法等方法对模型中的参数进 行估计，得到各个自变量的回归系数估计 值。
多重共线性问题
采用逐步回归法、岭回归法、主成分分析法等方法对多重 共线性进行修正，同时也可以通过增加样本容量或收集更 多信息来缓解多重共线性的影响。
04
CATALOGUE
时间序列计量经济学模型
时间序列基本概念与性质
时间序列定义
按时间顺序排列的一组数据，反映现象随时间 变化的发展过程。
劳动经济学中经常运用联立方程模型来研究劳动力市场中 的各种问题，如工资决定、就业与失业、劳动力流动等。 例如，可以构建一个包含工资方程和就业方程的联立方程 模型，以分析最低工资制度对就业和工资水平的影响。
06
CATALOGUE
面板数据计量经济学模型
面板数据基本概念与特点
面板数据定义
面板数据是指在时间序列上取多个截面，在这些截面上同时选取样本观测值所构成的样 本数据。
面板数据模型估计方法及应用举例
估计方法
面板数据模型的估计方法主要有最小二乘法 、广义最小二乘法和极大似然法等。
应用举例
面板数据模型在经济学、金融学、社会学等 领域有广泛的应用，如经济增长、劳动力市 场、金融市场、环境经济学等问题的研究。 例如，可以利用面板数据模型研究不同国家 经济增长的影响因素，或者分析某个政策对 不同地区或不同群体的影响效果。
模型设定
多元线性回归模型是描述多个自变量与一 个因变量之间线性关系的模型，形式为 Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+u。
假设ห้องสมุดไป่ตู้验
对各个自变量的回归系数进行假设检验， 判断其是否显著不为零。
参数估计
通过最小二乘法等方法对模型中的参数进 行估计，得到各个自变量的回归系数估计 值。
多重共线性问题
采用逐步回归法、岭回归法、主成分分析法等方法对多重 共线性进行修正，同时也可以通过增加样本容量或收集更 多信息来缓解多重共线性的影响。
04
CATALOGUE
时间序列计量经济学模型
时间序列基本概念与性质
时间序列定义
按时间顺序排列的一组数据，反映现象随时间 变化的发展过程。
《计量经济学入门》PPT课件
Q i 0 1 P i 2 P 0 i 3 Y i 4 T i u i
其中
Q i ——某种商品需求量；
.
13
P i——该商品的价格 ；
P0 i ——可替代商品的价格；
Y i ——消费者收入 ；
T i ——消费者偏好； u i ——影响商品需求量的其他因素和随机因素
0 ~ 4 ——需求函数的回.归系数。
14
参考书目
基础书： 高等数学、西方经济学、 概率论与数理统计
专业书： 1、《经济计量学》（第四版），张保法 编著，经济科学出版社，2000年版。 2、《计量经济学—理论、方法与模型》， 唐国兴，复旦大学出版. 社，1988年版。 15
❖ 3、《计量经济学》（第三版），李子奈，高等 教育出版社，2010年3月版。
的变化情况。 ❖ 截面数据的时间是固定的。
.
26
GDP growth rate：
平面数据 年份 中国 美国
（Panel Data） 1994 11.8 4.08
❖ 平面数据是 时间序列数据
1995 10.5 2.7 1996 9.6 3.61 1997 8.8 4.47
与截面数据的 1998 7.8 4.32
2001.1
8.1
2001.2
7.9
2001.3
7.6
2001.4
7.3
2002.1
7.6
2002.2
8.0
2002.3
7.9
2002.4
8.0
2003.1
9.9
2003.2
. 8.2
25
截面数据 （Cross-Sectional Data）
❖ 截面数据又俗称横向数据，是一批发生在同 一时间 截面上的调查数据。研究某个时点上
其中
Q i ——某种商品需求量；
.
13
P i——该商品的价格 ；
P0 i ——可替代商品的价格；
Y i ——消费者收入 ；
T i ——消费者偏好； u i ——影响商品需求量的其他因素和随机因素
0 ~ 4 ——需求函数的回.归系数。
14
参考书目
基础书： 高等数学、西方经济学、 概率论与数理统计
专业书： 1、《经济计量学》（第四版），张保法 编著，经济科学出版社，2000年版。 2、《计量经济学—理论、方法与模型》， 唐国兴，复旦大学出版. 社，1988年版。 15
❖ 3、《计量经济学》（第三版），李子奈，高等 教育出版社，2010年3月版。
的变化情况。 ❖ 截面数据的时间是固定的。
.
26
GDP growth rate：
平面数据 年份 中国 美国
（Panel Data） 1994 11.8 4.08
❖ 平面数据是 时间序列数据
1995 10.5 2.7 1996 9.6 3.61 1997 8.8 4.47
与截面数据的 1998 7.8 4.32
2001.1
8.1
2001.2
7.9
2001.3
7.6
2001.4
7.3
2002.1
7.6
2002.2
8.0
2002.3
7.9
2002.4
8.0
2003.1
9.9
2003.2
. 8.2
25
截面数据 （Cross-Sectional Data）
❖ 截面数据又俗称横向数据，是一批发生在同 一时间 截面上的调查数据。研究某个时点上
2024版计量经济学(很好用的完整)ppt课件
贝叶斯计量经济学的定义
基于贝叶斯定理和概率分布理论进行计量分析的经济学分支。
贝叶斯先验分布的设定
根据历史数据、专家经验等因素设定参数的先验分布，作为后续推 断的基础。
贝叶斯计量模型的估计方法
包括马尔科夫链蒙特卡罗方法、变分贝叶斯方法等，用于估计模型 参数和进行统计推断。
机器学习在计量经济学中应用
机器学习算法在计量经济学中的应用场景
广义线性模型介绍
1
定义
广义线性模型是一类用于回归分析的统计 模型，它扩展了线性模型的框架，允许响 应变量遵循非正态分布，并且可以通过一 个链接函数与解释变量建立线性关系。
2
组成
广义线性模型由三部分组成——随机成分、 系统成分和链接函数。随机成分指定响应 变量的分布类型和参数，系统成分描述解 释变量与响应变量之间的线性关系，链接 函数则将随机成分和系统成分连接起来。
06
计量经济学软件应用
EViews软件介绍及操作指南
01
EViews软件概述
EViews是一款功能强大的计量 经济学软件，广泛应用于数据 分析、模型估计和预测等领域。
02
数据导入与预处理
介绍如何在EViews中导入数据、 进行数据清洗和预处理等操作。
03
模型估计与检验
详细讲解EViews中线性回归模 型、时间序列模型等模型的估 计方法，以及模型的检验和诊 断。
THANKS
包括变量选择、模型诊断、预测等。
监督学习在计量经济学中的应用
通过训练数据集学习模型，然后利用测试数据集评估模型性能。
非监督学习在计量经济学中的应用
通过聚类、降维等技术发现数据中的潜在结构和模式。
深度学习在计量经济学中的应用
计量经济学(共33张PPT)
假定3>2，其几何意义：
问题：
虚拟变量为何只选“0”, ‘1“，选择0，1，2 等 可以吗
同一种属性，两个变量能够表示几种状态？ 思考，如果在模型中引入季节效应？月份效应？
（3）多个虚拟变量的引入——多种因素
例：研究学历（本科及以上，本科以下），性别（男、女）对员工工资的 影响。
在例1基础上，再引入代表学历的虚拟变量D2：
离散选择模型（离散被解释变量）
D （2）多个虚拟变量的设定和引入 0 女职工本科以上学历的平均薪金：
本科以下
当回归模型有截距项时，只能引入 m-1 个虚拟变量
注意:加法方式引入虚拟变量，考察了截距的不同。
交互作用的引入方法：在模型中引入相关变量的乘积。
反映性别的虚拟变量可取为： 女职工本科以下学历的平均薪金：
几何意义：
•两个函数有相同的斜率，说明男女职工平均薪金对工龄的变 化率是一样的。
•如果2>0，表明两个函数截距不相同，且男职工平均薪金比 女职工高，两者平均薪金水平相差2。 •如果2<0，表明两个函数截距不相同，且男职工平均薪金比女 职工低，两者平均薪金水平相差2。 •如果2＝0，表明两个函数截距相同，即男职工，女职工的平
均薪金没有显著差异。
可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性进行 检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是否有 显著差异。
2
0
（2）多个虚拟变量的设定和引入
——一种因素多种状态（水平）：
例：研究收入和教育水平（分为高，中，低三类）对个人保健支出的影响。
教育水平考虑三个层次：
低学历：高中以下，
中等学历：高中，及大中专 高学历：大学及其以上。
2、基本概念
定量因素——可直接测度，数值性的因素 定性因素——属性因素，表征某种属性存在
李子奈计量经济学课件完整版
回归诊断与异常值处理
回归诊断
回归诊断是对回归模型进行检验和评估的过程，包括残差分析、模型假设检验等，以判断模 型是否满足假设条件、是否存在异常值等。
异常值处理
在回归分析中，异常值可能对模型估计和预测产生较大影响。常用的异常值处理方法包括删 除异常值、使用稳健回归方法等。
实际应用
回归诊断和异常值处理是回归分析中不可或缺的步骤，有助于提高模型的准确性和可靠性。 例如，在经济学研究中，通过对回归模型进行诊断和异常值处理，可以得到更准确的经济预 测和政策建议。
模型检验
拟合优度检验、显著性检验、 异方差性检验等。
预测与决策
利用回归模型进行预测和决策 分析。
假设检验与置信区间
假设检验基本原理
原假设、备择假设、检验统计量、显著性水 平等。
假设检验与置信区间的关系
联系与区别。
置信区间构建
点估计、区间估计、置信水平等。
常用的假设检验方法
t检验、F检验、卡方检验等。
季节性调整方法
包括基于移动平均的季节性调整、基于回归的季节性调整以及基于 时间序列分解的季节性调整等。
ARIMA模型构建及预测应用
01
ARIMA模型基本概念
ARIMA是自回归移动平均模型的简称，是一种用于时间序列预测的统
计模型。
02
ARIMA模型构建步骤
包括模型识别、参数估计、模型检验和预测等步骤。
04
非线性回归模型及转换技巧
常见非线性回归模型介绍
指数回归模型
用于描述因变量与自变量之间的 指数关系，如人口增长、放射性
衰变等现象。
对数回归模型
适用于因变量变化范围较大，且 自变量与因变量的对数之间存在 线性关系的情况。
计量经济学ppt课件(完整版)
注意事项
在进行模型选择与比较时，需要注意避免过拟合和欠拟合问题，以及确保模型的稳定性和可靠性。此外 ，还需要关注模型的异方差性、共线性等问题，以确保模型的准确性和有效性。
04
时间序列分析及应用
时间序列基本概念及性质
01
时间序列定义
按时间顺序排列的一组数据，反映 现象随时间变化的发展过程。
时间序列类型
03
广义线性模型与非线性模型
广义线性模型介绍
定义
广义线性模型是一类用于描述响 应变量与一组预测变量之间关系 的统计模型，其特点在于响应变 量的期望值通过一个连接函数与 预测变量的线性组合相关联。
连接函数
连接函数是广义线性模型中一个 关键组成部分，它将响应变量的 期望值与预测变量的线性组合连 接起来。常见的连接函数包括恒 等连接、对数连接、逆连接等。
模型的统计性质
深入探讨多元线性回归模型的统计性质，包括无偏性、有效性和一致性等，并解释这些 性质在多元回归分析中的重要性。
多重共线性问题
详细讲解多重共线性的概念、产生原因、后果以及诊断和处理方法，如逐步回归、岭回 归等。
回归模型检验与诊断
模型的拟合优度 介绍衡量模型拟合优度的指标， 如可决系数、调整可决系数等， 并解释这些指标在实际应用中的 意义。
微观计量经济学在因果推断和政策评 估方面发挥着重要作用。目前，研究 者们关注于如何运用实验设计、工具 变量、双重差分等方法识别和处理内 生性问题，以更准确地估计因果关系 和评估政策效果。
高维数据处理与机器 学习
随着大数据时代的到来，高维数据处 理成为微观计量经济学面临的新挑战 。目前，研究者们正在探索如何将机 器学习等先进的数据分析技术应用于 微观计量经济学中，以处理高维数据 和挖掘更多的有用信息。
在进行模型选择与比较时，需要注意避免过拟合和欠拟合问题，以及确保模型的稳定性和可靠性。此外 ，还需要关注模型的异方差性、共线性等问题，以确保模型的准确性和有效性。
04
时间序列分析及应用
时间序列基本概念及性质
01
时间序列定义
按时间顺序排列的一组数据，反映 现象随时间变化的发展过程。
时间序列类型
03
广义线性模型与非线性模型
广义线性模型介绍
定义
广义线性模型是一类用于描述响 应变量与一组预测变量之间关系 的统计模型，其特点在于响应变 量的期望值通过一个连接函数与 预测变量的线性组合相关联。
连接函数
连接函数是广义线性模型中一个 关键组成部分，它将响应变量的 期望值与预测变量的线性组合连 接起来。常见的连接函数包括恒 等连接、对数连接、逆连接等。
模型的统计性质
深入探讨多元线性回归模型的统计性质，包括无偏性、有效性和一致性等，并解释这些 性质在多元回归分析中的重要性。
多重共线性问题
详细讲解多重共线性的概念、产生原因、后果以及诊断和处理方法，如逐步回归、岭回 归等。
回归模型检验与诊断
模型的拟合优度 介绍衡量模型拟合优度的指标， 如可决系数、调整可决系数等， 并解释这些指标在实际应用中的 意义。
微观计量经济学在因果推断和政策评 估方面发挥着重要作用。目前，研究 者们关注于如何运用实验设计、工具 变量、双重差分等方法识别和处理内 生性问题，以更准确地估计因果关系 和评估政策效果。
高维数据处理与机器 学习
随着大数据时代的到来，高维数据处 理成为微观计量经济学面临的新挑战 。目前，研究者们正在探索如何将机 器学习等先进的数据分析技术应用于 微观计量经济学中，以处理高维数据 和挖掘更多的有用信息。
2024版计量经济学教案李子奈版ppt课件
计量经济学发展历史与现状
发展历史
计量经济学的发展大致可分为三个阶段，即初创时期、 经典时期和现代时期。初创时期主要代表人物有弗里希、 丁伯根等，他们为计量经济学的产生和发展做出了重要 贡献。经典时期主要代表人物有克莱因、戈德菲尔德等， 他们进一步完善了计量经济学的理论和方法体系。现代 时期则是在计算机技术广泛应用的基础上，计量经济学 的研究领域和方法得到了极大的拓展和深化。
THANKS
感谢观看
计量经济学教案李子 奈版ppt课件
目录
• 计量经济学导论 • 经典线性回归模型 • 广义线性回归模型 • 时间序列分析 • 面板数据分析 • 非参数和半参数估计方法 • 计量经济学应用实例分析
01
计量经济学导论
计量经济学定义与性质
计量经济学定义
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为 主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。
归系数的估计值。
无偏性
样本回归系数的期望值等于总体 回归系数。
一致性
随着样本量的增加，样本回归系 数趋近于总体回归系数。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘 估计量的方差最小。
经典线性回归模型假设条件及检验
线性关系假设
因变量与自变量之间存在线性关系。
误差项独立同分布假设
误差项之间相互独立且服从同一正态 分布。
计量经济学性质
计量经济学是一门经济学科，是经济学的一个分支，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科。
计量经济学研究对象与方法
研究对象
计量经济学以一定的经济理论和统计资料为基础，以建立经济计量模型为主要手段，对经济活动中的各种 因素进行数量分析。
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生产函数 Y AK L
道格拉斯生产函数考虑 1 时的情况。
Y 1 2 X 2 k X k u
假设线性约束 H 0 : R r 式中 R 已知 q k 矩阵，r 已知 q 1 已知矩阵, 且 r R q 。
§3.5 参数估计的分布性质
AT A
A2 A
§3.4模型的离差形式和决定系数
对于 令 Y Xb e X X1, X 2
其中：X 1为X 的第一列，X 2为剩余的(k 1)列构成的矩阵 1 X 1 i 1 b1 令：b b2
§3.4模型的离差形式和决定系数
1 1 T T T T var b E X X X UU X X X
X X X E UU
T 1 1 T
X X X
T
T
X X X X X X I
T T T 1 2
1
2I X T X
2 e t
nk E S2 2
§3.4模型的离差形式和决定系数
证明：由残差定义 e Y Xb Y X X X X 'Y
' 1
I X X X X' Y
' 1
MY 其中M I X X X X '
' 1
有性质：M ' M
T e e nk 2 R 1 T Y AY n 1
称为调整（修正）后的决定系数。见教材p63-64
§3.4模型的离差形式和决定系数
1 k n 1 2 R R nk nk n 1 1 1 R2 nk 有 R2 ≥ R 2
2
类似一元模型，多元模型中误差项方差的估计量为： S2 且
Y1 1 u1 1 X 21 X k1 Y u 1 X X 22 k2 其中：Y 2 2 X U 2 1 X 2 n X kn Yn k un
其中b1为截距（intercept） ,b 2为斜率（slope coefficient） 则 而 所以 Y X 1b1 X 2b2 e X1 i Ai 0 AY AX 2b2 e （*）
（*）为模型的离差形式
T （*）两端同时乘以X 2
则
T T T X2 AY X 2 AX 2b2 X 2 e
1
Rb r
q
F q, n k
§3.5 参数估计的分布性质
第三章:多元线性回归模型
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 模型的假定 最小二乘估计 最小二乘估计的性质 模型的离差形式和决定系数 参数估计的分布性质 多重共线性
§3.1 模型的假定
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
矩阵形式：Y X U
这是因为 iT Y iT Xb e n n b1 Y 1, X 2 , X 3 X k b k 总离差平方和：
§3.4模型的离差形式和决定系数
TSS Yt Y AY
T 2
AY Y T AY T T b2 X2 A eT AX 2b2 e
AA X
T T
T
X
1
AA A A A
A A
A
T
A A A A
T
A A
T
§3.4模型的离差形式和决定系数
一元模型： Yt X t ut ˆ a bX Y
t t
ˆ et Yt Y t ˆ e a bX e Yt Y t t t t 离差形式： Yt Y a bX t et a bX 0 b X t X et
T T b2 X2 AX 2b2 eT e
ESS RSS “上式中交叉项部分=0?
T 利用性质 Ae e和X 2 e0
§3.4模型的离差形式和决定系数
定义决定系数
T T b X AX 2b2 AX 2b2 AX 2b2 b2 X2 AY R T T Y AY Y AY Y AY AY AX 2b2 e 2 T 2 T 2 T T
§3.2最小二乘估计
X T AX 2 AX aT X a, a为列向量
X X 残差向量e Y - Xb，b为的估计，则残差平方和：
2 T e e t e Y - Xb Y - Xb T
Y T Y - Y T Xb - bT X T Y bT X T Xb Y T Y - 2bT X T Y bT X T Xb
T
AX 2 b2
§3.4模型的离差形式和决定系数
上式称为离差形式的正规方程，和一般形式的正规方程类似。
T T X X b X Y
利用b2求b1： b1 Y bi X i
i 2 k
其中X i 为X 2中k 1个列向量每一列的算术平均。
§3.4模型的离差形式和决定系数
eT e Z T I P T P I Z ZT I Z
2 Z k21 Z n
§3.5 参数估计的分布性质
显然 ∴ 即
Zi
N 0,1
eT e 2 2 n k
RSS
2
2 n k
T 1
§3.3最小二乘估计的性质
3.有效性：
T var b E b b
b X X X TY
T 1
X X X T X U
T 1
X X X TU
T 1
§3.3最小二乘估计的性质
2
X X
T
1
假设d AY 是的任意线形无偏估计，A是一k n的常数矩阵。 有效性即： var d - var b 0
§3.3最小二乘估计的性质
由无偏性 则 AX I var d = Avar Y AT A 2 I AT 2 AAT 讨论下面的矩阵是否半正定？
ti bi i
2 aii
n k S 2 2 n k
b i t n k S aii
式中 aii 为 X X
T
1
主对角线上的第 i 个元素。
2
t 统计量要求分子分母相互独立，上式用到 S 与
b 分布独立的性质，见教材 p58-59。
§3.5 参数估计的分布性质
2 分析： U N 0, I
而P P I
T
PT U N 0, 2 PT P
§3.5 参数估计的分布性质
单一系数的显著性检验
Yt 1 2 X 2 t k X kt ut H 0 : i 0 H1 : i 0
§3.5 参数估计的分布性质
MTM M
MX 0
§3.4模型的离差形式和决定系数
则 e M X U MU 上式给出残差和误差的关系。
e
2 t
e e MU
T
T
MU
U T MU E eT e E U T MU
§3.4模型的离差形式和决定系数
T E U T MU E tr U MU
E tr MUU T
trE MUU T trME UU T trM 2 I
§3.4模型的离差形式和决定系数
M I X X 'X X '
1
tr M trI tr X X ' X X '
1
n tr nk
式中C是一等幂矩阵，且存在一正交变换矩阵P 使
1 1 T P CP 0 0
§3.5 参数估计的分布性质
令Z P U
T
Z 对 U 作一正交变换，则
为正态分布，且
E Z 0
则
E ZZ T 2 I
§3.2最小二乘估计
eT e b 上式为正规方程，包含k 个方程式 则最小二乘估计 b X X X TY
T 1
2 X T Y 2 X T Xb 0
由假设条件可以证明X T X 是正定的，即X T X 0
§3.3最小二乘估计的性质
1.线形特性：b X X X T Y
X 'X X 'X
1
§3.5 参数估计的分布性质
b X X X TY
T 1
b N ,
又
2
X X
1
1
e I X X X XT U
T 1
I C U P I PT U P I Z
§3.5 参数估计的分布性质
T 1
2.无偏性：E b
1 T E b E X X X TY 1 T E X X X T X U
X X X T E X U
T 1
X X XTX 0
§3.1 模型的假定
模型假设： E u1 （1）E U 0 即对每一个元素取期望 E u n （2）E UU T 2 I 协方差矩阵 （3）X 为一确定性变量 （4）r X k k n （5）U N 0, 2 I
道格拉斯生产函数考虑 1 时的情况。
Y 1 2 X 2 k X k u
假设线性约束 H 0 : R r 式中 R 已知 q k 矩阵，r 已知 q 1 已知矩阵, 且 r R q 。
§3.5 参数估计的分布性质
AT A
A2 A
§3.4模型的离差形式和决定系数
对于 令 Y Xb e X X1, X 2
其中：X 1为X 的第一列，X 2为剩余的(k 1)列构成的矩阵 1 X 1 i 1 b1 令：b b2
§3.4模型的离差形式和决定系数
1 1 T T T T var b E X X X UU X X X
X X X E UU
T 1 1 T
X X X
T
T
X X X X X X I
T T T 1 2
1
2I X T X
2 e t
nk E S2 2
§3.4模型的离差形式和决定系数
证明：由残差定义 e Y Xb Y X X X X 'Y
' 1
I X X X X' Y
' 1
MY 其中M I X X X X '
' 1
有性质：M ' M
T e e nk 2 R 1 T Y AY n 1
称为调整（修正）后的决定系数。见教材p63-64
§3.4模型的离差形式和决定系数
1 k n 1 2 R R nk nk n 1 1 1 R2 nk 有 R2 ≥ R 2
2
类似一元模型，多元模型中误差项方差的估计量为： S2 且
Y1 1 u1 1 X 21 X k1 Y u 1 X X 22 k2 其中：Y 2 2 X U 2 1 X 2 n X kn Yn k un
其中b1为截距（intercept） ,b 2为斜率（slope coefficient） 则 而 所以 Y X 1b1 X 2b2 e X1 i Ai 0 AY AX 2b2 e （*）
（*）为模型的离差形式
T （*）两端同时乘以X 2
则
T T T X2 AY X 2 AX 2b2 X 2 e
1
Rb r
q
F q, n k
§3.5 参数估计的分布性质
第三章:多元线性回归模型
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 模型的假定 最小二乘估计 最小二乘估计的性质 模型的离差形式和决定系数 参数估计的分布性质 多重共线性
§3.1 模型的假定
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
矩阵形式：Y X U
这是因为 iT Y iT Xb e n n b1 Y 1, X 2 , X 3 X k b k 总离差平方和：
§3.4模型的离差形式和决定系数
TSS Yt Y AY
T 2
AY Y T AY T T b2 X2 A eT AX 2b2 e
AA X
T T
T
X
1
AA A A A
A A
A
T
A A A A
T
A A
T
§3.4模型的离差形式和决定系数
一元模型： Yt X t ut ˆ a bX Y
t t
ˆ et Yt Y t ˆ e a bX e Yt Y t t t t 离差形式： Yt Y a bX t et a bX 0 b X t X et
T T b2 X2 AX 2b2 eT e
ESS RSS “上式中交叉项部分=0?
T 利用性质 Ae e和X 2 e0
§3.4模型的离差形式和决定系数
定义决定系数
T T b X AX 2b2 AX 2b2 AX 2b2 b2 X2 AY R T T Y AY Y AY Y AY AY AX 2b2 e 2 T 2 T 2 T T
§3.2最小二乘估计
X T AX 2 AX aT X a, a为列向量
X X 残差向量e Y - Xb，b为的估计，则残差平方和：
2 T e e t e Y - Xb Y - Xb T
Y T Y - Y T Xb - bT X T Y bT X T Xb Y T Y - 2bT X T Y bT X T Xb
T
AX 2 b2
§3.4模型的离差形式和决定系数
上式称为离差形式的正规方程，和一般形式的正规方程类似。
T T X X b X Y
利用b2求b1： b1 Y bi X i
i 2 k
其中X i 为X 2中k 1个列向量每一列的算术平均。
§3.4模型的离差形式和决定系数
eT e Z T I P T P I Z ZT I Z
2 Z k21 Z n
§3.5 参数估计的分布性质
显然 ∴ 即
Zi
N 0,1
eT e 2 2 n k
RSS
2
2 n k
T 1
§3.3最小二乘估计的性质
3.有效性：
T var b E b b
b X X X TY
T 1
X X X T X U
T 1
X X X TU
T 1
§3.3最小二乘估计的性质
2
X X
T
1
假设d AY 是的任意线形无偏估计，A是一k n的常数矩阵。 有效性即： var d - var b 0
§3.3最小二乘估计的性质
由无偏性 则 AX I var d = Avar Y AT A 2 I AT 2 AAT 讨论下面的矩阵是否半正定？
ti bi i
2 aii
n k S 2 2 n k
b i t n k S aii
式中 aii 为 X X
T
1
主对角线上的第 i 个元素。
2
t 统计量要求分子分母相互独立，上式用到 S 与
b 分布独立的性质，见教材 p58-59。
§3.5 参数估计的分布性质
2 分析： U N 0, I
而P P I
T
PT U N 0, 2 PT P
§3.5 参数估计的分布性质
单一系数的显著性检验
Yt 1 2 X 2 t k X kt ut H 0 : i 0 H1 : i 0
§3.5 参数估计的分布性质
MTM M
MX 0
§3.4模型的离差形式和决定系数
则 e M X U MU 上式给出残差和误差的关系。
e
2 t
e e MU
T
T
MU
U T MU E eT e E U T MU
§3.4模型的离差形式和决定系数
T E U T MU E tr U MU
E tr MUU T
trE MUU T trME UU T trM 2 I
§3.4模型的离差形式和决定系数
M I X X 'X X '
1
tr M trI tr X X ' X X '
1
n tr nk
式中C是一等幂矩阵，且存在一正交变换矩阵P 使
1 1 T P CP 0 0
§3.5 参数估计的分布性质
令Z P U
T
Z 对 U 作一正交变换，则
为正态分布，且
E Z 0
则
E ZZ T 2 I
§3.2最小二乘估计
eT e b 上式为正规方程，包含k 个方程式 则最小二乘估计 b X X X TY
T 1
2 X T Y 2 X T Xb 0
由假设条件可以证明X T X 是正定的，即X T X 0
§3.3最小二乘估计的性质
1.线形特性：b X X X T Y
X 'X X 'X
1
§3.5 参数估计的分布性质
b X X X TY
T 1
b N ,
又
2
X X
1
1
e I X X X XT U
T 1
I C U P I PT U P I Z
§3.5 参数估计的分布性质
T 1
2.无偏性：E b
1 T E b E X X X TY 1 T E X X X T X U
X X X T E X U
T 1
X X XTX 0
§3.1 模型的假定
模型假设： E u1 （1）E U 0 即对每一个元素取期望 E u n （2）E UU T 2 I 协方差矩阵 （3）X 为一确定性变量 （4）r X k k n （5）U N 0, 2 I