24.1.4圆内接四边形课件PPT
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圆内接四边形的性质与判定ppt课件
性质定理1
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶 点共圆.
性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角 的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角，那么它的四个顶点共圆.
性质定理的逆命题成立吗？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)如果点D在⊙O内部。 则∠B+∠E=180°
∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC
同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。
综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。 A D
E O
B
C
（2）
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
A
E
D
证明：(1)如果点D在⊙O外部。 则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180° B
得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意
O
C
（1）
不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o 圆 1与
圆o2都经过A,B两点。经过点A
的直线CD与圆o1交于点C,与圆o2交与点经过点B
的直线EF与圆o1交于点E,与圆o2交与点F.
求证：CE//DF. 证明：连接AB
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶 点共圆.
性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角 的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角，那么它的四个顶点共圆.
性质定理的逆命题成立吗？
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
(2)如果点D在⊙O内部。 则∠B+∠E=180°
∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC
同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。
综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。 A D
E O
B
C
（2）
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
A
E
D
证明：(1)如果点D在⊙O外部。 则∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180° B
得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意
O
C
（1）
不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o 圆 1与
圆o2都经过A,B两点。经过点A
的直线CD与圆o1交于点C,与圆o2交与点经过点B
的直线EF与圆o1交于点E,与圆o2交与点F.
求证：CE//DF. 证明：连接AB
圆内接四边形.ppt
课件说明
• 圆内接四边形的性质是圆周角定理的应用．利用圆周 角定理，可以把圆内接四边形的四个内角（圆周角） 和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性 质．圆内接四边形的性质在圆中探究角相等或互补关 系时经常用到，也是研究四点共圆的基础．
课件说明
• 学习目标： 1．掌握圆内接四边形的概念和性质； 2．会运用圆内接四边形的性质证明和计算一些问题．
A DEOF NhomakorabeaB
C
3．利用性质解决问题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E．
求证：AD 的延长线平分∠CDE．
A DE
O
F
B
C
3．利用性质解决问题
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC．
C D
• 学习重点： 圆内接四边形的概念和性质．
1．提出问题
什么叫圆内接三角形？ 什么叫圆内接四边形？
2．性质探究
观察圆内接四边形对角之间有什么关系． 如何验证你的猜想呢？
A DE
O
F
B
C
圆内接四边形的对角互补，并且任何一角的外角都 等于它的内对角．
2．性质探究
在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个圆上． （1）请指出图中圆内接四边形的外角． （2）∠ADC 的内对角是哪一个角，∠DCB 呢？ （3）与∠DCB 互补的角是哪个角？
E
A
B
4．课堂小结
（1）本节课主要学习了哪些内容？ （2）本节课学到了哪些思想方法？
① 构造圆内接四边形； ② 一题多解，一题多变．
• 圆内接四边形的性质是圆周角定理的应用．利用圆周 角定理，可以把圆内接四边形的四个内角（圆周角） 和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性 质．圆内接四边形的性质在圆中探究角相等或互补关 系时经常用到，也是研究四点共圆的基础．
课件说明
• 学习目标： 1．掌握圆内接四边形的概念和性质； 2．会运用圆内接四边形的性质证明和计算一些问题．
A DEOF NhomakorabeaB
C
3．利用性质解决问题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E．
求证：AD 的延长线平分∠CDE．
A DE
O
F
B
C
3．利用性质解决问题
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC．
C D
• 学习重点： 圆内接四边形的概念和性质．
1．提出问题
什么叫圆内接三角形？ 什么叫圆内接四边形？
2．性质探究
观察圆内接四边形对角之间有什么关系． 如何验证你的猜想呢？
A DE
O
F
B
C
圆内接四边形的对角互补，并且任何一角的外角都 等于它的内对角．
2．性质探究
在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个圆上． （1）请指出图中圆内接四边形的外角． （2）∠ADC 的内对角是哪一个角，∠DCB 呢？ （3）与∠DCB 互补的角是哪个角？
E
A
B
4．课堂小结
（1）本节课主要学习了哪些内容？ （2）本节课学到了哪些思想方法？
① 构造圆内接四边形； ② 一题多解，一题多变．
人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角(第二课时)说课课件(共21张PPT)
圆周角（第二课时）说课稿
说课内容
1 2 3 4 5
教材分析 教学目标 重点难点 教学过程 反思生成
教材分析
1. 本节课在教材所处的地位和作用：
圆内接四边形是在研究圆周角之 后的学习内容，从圆内接四边形 的四个角都是圆周角引入，它是 在圆中探求角的相等或互补时常 用的一个重要定理，是学生后续 学习的基础。
教学重点和难点
教学重点
教学难点
圆内接四边形的性质探索及应用
圆内接四边形的性质探索
教法与学法
教法：演示法，引
导启发式教学法
学法：观察、操作与数
学思考归纳相结合；自 主学习与小组合作探究 相结合
教学过程
1
课前热身，引入新知 2 合作探究，获取新知 3 师生合作，应用新知 4 课堂小结，提炼新知 5 课堂检测，体验成功
教学目标
教学目标
知识目标
技能目标
情感目标
通过观察图形认识圆 内接多边形和多边形 的外接圆；探索圆内 接四边形的性质定理 并运用它探求角之间 的关系．
经历圆内接四边形性 质定理的探索过程， 体会从特殊到一般、 数形结合、分类、归 纳、转化等数学思想 方法，发展学生的推 理能力．
鼓励学生敢于实践， 勇于发现，大胆探索， 认识数学的内在联系， 增强学习数学的兴趣。
四边形的外接圆： 图，△ABC是⊙O的 △ABC的外角平分线并
圆内接四边形的性质内：接三角形。 （1）若AD是
交⊙O于点D，连接BD， CD，上述结论还成立吗？
∠BAC的角平分线, 请你补全图形，若结论
交⊙O于点D．
成立，则给出证明；若
求证：BD=CD 结论不成立，则说明理
由。
反思
成功之处：本节课从回顾圆周角定理及推论入手，引入圆
说课内容
1 2 3 4 5
教材分析 教学目标 重点难点 教学过程 反思生成
教材分析
1. 本节课在教材所处的地位和作用：
圆内接四边形是在研究圆周角之 后的学习内容，从圆内接四边形 的四个角都是圆周角引入，它是 在圆中探求角的相等或互补时常 用的一个重要定理，是学生后续 学习的基础。
教学重点和难点
教学重点
教学难点
圆内接四边形的性质探索及应用
圆内接四边形的性质探索
教法与学法
教法：演示法，引
导启发式教学法
学法：观察、操作与数
学思考归纳相结合；自 主学习与小组合作探究 相结合
教学过程
1
课前热身，引入新知 2 合作探究，获取新知 3 师生合作，应用新知 4 课堂小结，提炼新知 5 课堂检测，体验成功
教学目标
教学目标
知识目标
技能目标
情感目标
通过观察图形认识圆 内接多边形和多边形 的外接圆；探索圆内 接四边形的性质定理 并运用它探求角之间 的关系．
经历圆内接四边形性 质定理的探索过程， 体会从特殊到一般、 数形结合、分类、归 纳、转化等数学思想 方法，发展学生的推 理能力．
鼓励学生敢于实践， 勇于发现，大胆探索， 认识数学的内在联系， 增强学习数学的兴趣。
四边形的外接圆： 图，△ABC是⊙O的 △ABC的外角平分线并
圆内接四边形的性质内：接三角形。 （1）若AD是
交⊙O于点D，连接BD， CD，上述结论还成立吗？
∠BAC的角平分线, 请你补全图形，若结论
交⊙O于点D．
成立，则给出证明；若
求证：BD=CD 结论不成立，则说明理
由。
反思
成功之处：本节课从回顾圆周角定理及推论入手，引入圆
24.1.4 圆内接四边形 正式稿3
2
课本89页第6题
6. 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是 合格的？为什么？
解：第二个（即中间的）工件是合格的，因为 90° 的圆周角所对的弦是直径.
1.画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行 四边形有什么特点？
O
请同学们尝试画一个圆内接平行四边形：
1、画一个圆；
2、任意画一条弦AD；
课本89页第15题
15. 如图，AB 和 CD 分别是 ⊙O 上的两条弦，圆心 O 到 它们的距离分别是 OM 和 ON，如果 AB＞CD，OM 和 ON 的大小有什么关系？为什么？
解：OM＜ON．理由如下：
如图，连接 OA，OC，则 OA = OC．
∵ OM⊥AB，ON⊥CD，
∴ CN = 1 CD，AM = 1 AB．
小结： 圆内接菱形是正方形。
探究圆内接梯形
A
D
O
B
C
圆内接梯形是等腰梯形。
课本89页第14题 14. 如图，A，P，B，C 是 ⊙O 上的四个点，∠APC
=∠CPB = 60°．判断△ABC 的形状，并证明你的 结论．
课本89页第14题 14. 如图，A，P，B，C 是 ⊙O 上的四个点，∠APC
圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
注意：解决圆周长的问题时，弦的条件要转化为弧的条件。 圆周角的条件要转化为圆心角的条件。
课本89页第5题
5. 如图，⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB = 50°，求 ∠ADC 的度数.
解：连接 OC. ∵ OA⊥BC， ∴ AC = AB ． ∴∠AOC =∠AOB = 50°． ∴∠ADC = 1∠AOC = 25°．
课本89页第6题
6. 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是 合格的？为什么？
解：第二个（即中间的）工件是合格的，因为 90° 的圆周角所对的弦是直径.
1.画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行 四边形有什么特点？
O
请同学们尝试画一个圆内接平行四边形：
1、画一个圆；
2、任意画一条弦AD；
课本89页第15题
15. 如图，AB 和 CD 分别是 ⊙O 上的两条弦，圆心 O 到 它们的距离分别是 OM 和 ON，如果 AB＞CD，OM 和 ON 的大小有什么关系？为什么？
解：OM＜ON．理由如下：
如图，连接 OA，OC，则 OA = OC．
∵ OM⊥AB，ON⊥CD，
∴ CN = 1 CD，AM = 1 AB．
小结： 圆内接菱形是正方形。
探究圆内接梯形
A
D
O
B
C
圆内接梯形是等腰梯形。
课本89页第14题 14. 如图，A，P，B，C 是 ⊙O 上的四个点，∠APC
=∠CPB = 60°．判断△ABC 的形状，并证明你的 结论．
课本89页第14题 14. 如图，A，P，B，C 是 ⊙O 上的四个点，∠APC
圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
注意：解决圆周长的问题时，弦的条件要转化为弧的条件。 圆周角的条件要转化为圆心角的条件。
课本89页第5题
5. 如图，⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB = 50°，求 ∠ADC 的度数.
解：连接 OC. ∵ OA⊥BC， ∴ AC = AB ． ∴∠AOC =∠AOB = 50°． ∴∠ADC = 1∠AOC = 25°．
圆的内接四边形课件
04
圆的内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
性质研究
圆的内接四边形具有一系列独特的性 质，如对角和定理、外角定理等，这 些性质在几何证明和解题中有着广泛 的应用。
图形变换
通过圆的内接四边形的性质，可以实 现图形的对称、旋转、平移等变换， 有助于解决复杂的几何问题。
在建筑设计中的应用
Hale Waihona Puke 建筑设计构思圆的内接四边形PPT课件
目 录
• 圆的内接四边形的定义和性质 • 圆的内接四边形的判定定理 • 圆的内接四边形的面积和周长计算 • 圆的内接四边形的实际应用 • 圆的内接四边形的拓展知识
01
圆的内接四边形的定义和性质
定义
总结词
圆的内接四边形的定义
详细描述
圆的内接四边形是指四个顶点都在同一个圆上的四边形。
性质
总结词
圆的内接四边形的性质
详细描述
圆的内接四边形具有一些特殊的性质，如对角互补、外角等于内对角等。这些性 质在解题时可以发挥重要的作用。
分类
总结词
圆的内接四边形的分类
详细描述
根据四边形的不同性质，可以将圆的内接四边形分为不同的类型，如矩形、正方形等。不同类型的内接四边形具 有不同的性质和特点，在解题时需要根据具体情况进行分析。
参加数学竞赛有助于提高对圆的内接 四边形的理解和应用能力。
实践应用
通过解决实际问题，加深对圆的内接 四边形的理解。
THANKS
感谢观看
圆的内接四边形可以作为建筑设计的 基本构图元素，通过调整四边形的形 状和角度，可以创造出富有创意和美 感的建筑结构。
建筑结构稳定性分析
利用圆的内接四边形的性质，可以对 建筑结构的稳定性进行分析和优化， 提高建筑的安全性和耐久性。
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
圆内接四边形课件
圆内接四边形ppt课件
四边形可以是任何有四条边的几何形状。内接四边形是一个特殊的四边形， 它的四个顶点都位于同一个圆上。
四边形的定义
1 什么是四边形？
四边形是一个几何形状， 它由四条边和四个顶点组 成。
2 四边形的特征
3 四边形的种类
四边形的特征包括四条边、 四个顶点以及四个内角。
常见的四边形种类有矩形、 正方形、平行四边形等。
内接四边形的周长 = 边1 + 边2 + 边3 + 边4
应用
内接四边形的周长计算在解决几 何问题中非常有用。
意义
通过计算内接四边形的周长，我 们可以得出一些几何上的结论。
例题解析和练习
通过例题的解析和练习，我们可以加深对内接四边形的理解和应用。
内接四边形的概念
内接四边形是一个特殊的四边形，它的四个顶点都位于同一个圆上。
圆
圆是由一条曲线组成的，它的所 有点到圆心的距离都相等。
四边形
四边形是一个具有四条边的几何 形状。
内接
内接表示两个几何形状之间存在 接触，且没有其他几何形状嵌套 其中。
内接四边形的性质
1 内接四边形的特征
内接四边形的四个顶点位于同一个圆上，因 此它具有一些特殊的性质。
2 对角线的性质
内接四边形的对角线相交于圆的中心点。
3 内角和的性质
内接四边形的内角和等于360度。
4 周长和面积的性质
内接四边形的周长和面积可以通过特定的公 式计算。
内接四边形的构造方法
1
圆心法
通过圆心和四个顶点的连线，构造内接四边形。
2
直径法
通过圆的直径，构造内接四边形。
3
中垂线法
通过四边形的边的中垂线，构造内接四边形通过特定的公式计算。
四边形可以是任何有四条边的几何形状。内接四边形是一个特殊的四边形， 它的四个顶点都位于同一个圆上。
四边形的定义
1 什么是四边形？
四边形是一个几何形状， 它由四条边和四个顶点组 成。
2 四边形的特征
3 四边形的种类
四边形的特征包括四条边、 四个顶点以及四个内角。
常见的四边形种类有矩形、 正方形、平行四边形等。
内接四边形的周长 = 边1 + 边2 + 边3 + 边4
应用
内接四边形的周长计算在解决几 何问题中非常有用。
意义
通过计算内接四边形的周长，我 们可以得出一些几何上的结论。
例题解析和练习
通过例题的解析和练习，我们可以加深对内接四边形的理解和应用。
内接四边形的概念
内接四边形是一个特殊的四边形，它的四个顶点都位于同一个圆上。
圆
圆是由一条曲线组成的，它的所 有点到圆心的距离都相等。
四边形
四边形是一个具有四条边的几何 形状。
内接
内接表示两个几何形状之间存在 接触，且没有其他几何形状嵌套 其中。
内接四边形的性质
1 内接四边形的特征
内接四边形的四个顶点位于同一个圆上，因 此它具有一些特殊的性质。
2 对角线的性质
内接四边形的对角线相交于圆的中心点。
3 内角和的性质
内接四边形的内角和等于360度。
4 周长和面积的性质
内接四边形的周长和面积可以通过特定的公 式计算。
内接四边形的构造方法
1
圆心法
通过圆心和四个顶点的连线，构造内接四边形。
2
直径法
通过圆的直径，构造内接四边形。
3
中垂线法
通过四边形的边的中垂线，构造内接四边形通过特定的公式计算。
24.1.4圆周角 教学课件(共33张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
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共15张 1
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角叫圆周角, 问题2 圆周角定理及推论
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900
的圆周角所对的弦是直径。
共15张 2
新课讲解：
2 A D O B
.
C
C O A B
11
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
共15张
9. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
1 证明：Q ACB AOB, 2
共15张 9
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
C O
（ C）
A 115° B 130°
B D 50°
A
D
C 65°
C
P B
6.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， A P是AB上的一点，则∠APB= 120°.
共15张
10
7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° . 8.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是
第二十四章
学习目标
所有多边形都有外接圆．
圆
24.1.4 圆内接四边形
24.1 圆的有关性质
1、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是
2．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决
简单的计算和证明等问题． 重点 圆内接四边形的性质的运用． 难点 圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加 辅助线．
1 BAC BOC , 2
O A B C
∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
共15张 12
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? » DE » (2)求证： . BD
A
解:BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， D B ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
» DE » （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. BD
共15张
E C
13
课堂小结
本节课所学的内容可概括为四个“一”.
一个概念：圆的内接四边形；
顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形,该圆叫四边形的外接圆。
一个定理：圆的内接四边形的性质定理； 圆的内接四边形的对角互补。
一个推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
一 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这
个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆.
共15张 3
探究性质 如图，四边形ABCD为的内接四边形，⊙O为四 边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 ， 的关系为： ∠A+ ∠C=180º ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？
共15张
6
例1：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交 ⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据．
归纳总结 B
D
O
C E
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内 对角.
共15张 5
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，
∠B=80°，则∠C= 70º ，∠D= 100º .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，
（1）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= 90º . （2）∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.则 ∠D=___ 112.5°
C
O
8
∠ABC=47°, 则∠AOB= 166° ．
共15张
A
B
4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于
点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准
确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理.
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 符号表达： ∵ 四 边 形 ABCD 是 ⊙O 的 同理∠B＋∠D＝180°， 内接四边形， 归纳总结 ∴ ∠A+∠C=180° 共15张 推论：圆的内接四边形的对角互补 . ∠B+∠D=180° 4
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A＋∠C＝180°， A 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
一个例题：利用圆内接四边形性质求角之间的关系。
共15张 14
作业布置
教材第91页 习题第17题． 2.已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个 外角，并且BD=DC． 求证：AD平分∠EAC 3.已知：如图，四边形ABCD是圆的内 接 四边形，且ABCD是平行四边形。
4.(1)圆内接平行四边形一定是______形。 (2)圆内接菱形一定是 _________ 形。
共15张 7
练一练
1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A ) A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. 2.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ） 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
共15张
求证：四边形ABCD是矩形。
A
O
B C
15
D
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角叫圆周角, 问题2 圆周角定理及推论
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900
的圆周角所对的弦是直径。
共15张 2
新课讲解：
2 A D O B
.
C
C O A B
11
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
共15张
9. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
1 证明：Q ACB AOB, 2
共15张 9
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
C O
（ C）
A 115° B 130°
B D 50°
A
D
C 65°
C
P B
6.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， A P是AB上的一点，则∠APB= 120°.
共15张
10
7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° . 8.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是
第二十四章
学习目标
所有多边形都有外接圆．
圆
24.1.4 圆内接四边形
24.1 圆的有关性质
1、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是
2．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决
简单的计算和证明等问题． 重点 圆内接四边形的性质的运用． 难点 圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加 辅助线．
1 BAC BOC , 2
O A B C
∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
共15张 12
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? » DE » (2)求证： . BD
A
解:BD=CD.理由是:连接AD, ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， D B ∵AB=AC， ∴BD=CD. ∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
» DE » （同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）. BD
共15张
E C
13
课堂小结
本节课所学的内容可概括为四个“一”.
一个概念：圆的内接四边形；
顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形,该圆叫四边形的外接圆。
一个定理：圆的内接四边形的性质定理； 圆的内接四边形的对角互补。
一个推论： 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
一 圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这
个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆.
共15张 3
探究性质 如图，四边形ABCD为的内接四边形，⊙O为四 边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 ， 的关系为： ∠A+ ∠C=180º ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？
共15张
6
例1：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交 ⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关 系的重要依据．
归纳总结 B
D
O
C E
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内 对角.
共15张 5
练一练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，
∠B=80°，则∠C= 70º ，∠D= 100º .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，
（1）∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= 90º . （2）∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.则 ∠D=___ 112.5°
C
O
8
∠ABC=47°, 则∠AOB= 166° ．
共15张
A
B
4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于
点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准
确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理.
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 符号表达： ∵ 四 边 形 ABCD 是 ⊙O 的 同理∠B＋∠D＝180°， 内接四边形， 归纳总结 ∴ ∠A+∠C=180° 共15张 推论：圆的内接四边形的对角互补 . ∠B+∠D=180° 4
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？ ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A＋∠C＝180°， A 延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
一个例题：利用圆内接四边形性质求角之间的关系。
共15张 14
作业布置
教材第91页 习题第17题． 2.已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个 外角，并且BD=DC． 求证：AD平分∠EAC 3.已知：如图，四边形ABCD是圆的内 接 四边形，且ABCD是平行四边形。
4.(1)圆内接平行四边形一定是______形。 (2)圆内接菱形一定是 _________ 形。
共15张 7
练一练
1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A ) A．120° B．100°C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. 2.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ） 3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
共15张
求证：四边形ABCD是矩形。
A
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B C
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D