矢量分析
第1章(矢量分析)
矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。
矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。
矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。
如：温度、质量、角度、长度等。
如：力、速度、电场强度、力矩等。
矢量的模：矢量的大小。
矢量的模记为：或。
A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。
即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。
FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。
能不能平移？下面只讨论自由矢量。
如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。
U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。
R A A e A 三个：、和。
R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。
ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。
e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。
第1章矢量分析
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
矢量分析
矢 量 分 析一：定义标量：只有大小，没有方向的物理量。
如质量，时间，温度等矢量：即有大小，又有方向的物理量。
如力，位移，速度等 二：矢量表示法线段的长度表示矢量的大小箭头的指向表示矢量的方向 记为：A或x o三：矢量的模和单位矢量模： 矢量的大小，记为A单位矢量：若矢量0A的模为1，且方向与 A 相同,则称0A 为A方向上的单位矢量。
有A =A0A----大小和方向分离表示四：矢量运算相等：两个大小相等且方向相同的矢量相等。
平移：矢量平移后，大小和方向均保持不变。
负矢量：大小相等，方向相反的矢量，记为-A加法：既矢量合成，服从平行四边形法则=A+ BA可演化成三角形法则多矢量合成服从多边形法则减法：既矢量的分解，是加法的逆运算)(BABAC-+=-=大小Am数乘：AmAm=⨯方向: m＞0 与A同向m＜0 与A反向五：矢量的坐标表示222ZY X Z Y X A A A A kA j A i A A ++=++= 令 两矢量kB j B i B B kA j A i A A Z Y X Z Y X++=++=则有kmA j mA i mA k A j A i A m A m k B A j B A i B A B A z y x z y x z z y y x x ++=++=±+±+±=±)()()()( B A = 当且仅当 z z y y x x B A B A B A===六：标积（点积）两矢量相乘得到一个标量A B Cos B A B A C⋅==⋅=θ c由定义可知当θ=0时 C οS θ=1 BA B A=⋅ B当θ=π/2时 C οS θ=00=⋅B A七：矢积（叉积）A两矢量相乘得到一个矢量B A C⨯= 大小: ),(B A Sin B A Sin B A =θ方向: 右手系由定义可知当θ=0时 Sin θ=0 0=⨯B A当θ=π/2时 Sin θ=1 B A B A=⨯)(A B B A⨯-=⨯ 不服从交换律八：矢量的求导令存在矢量 k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=则有:k dtt dA j dt t dA i dt t dA dt t A d z y x)()()()(++=例： 一人字原点出发，先向东走了30米，又向南走了10米，再向西北走了18米，求合位移的大小和方向。
矢量分析报告
第一章 矢量分析
静电场的基本方程是
(1-52) 对于各向同性的媒质, 电通量密度和电场强度的关系为
D=εE, 因而式(1-52)可改写为
假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散 度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令
第一章 矢量分析
由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度, 根据矢量场由其 散度和旋度唯一确定, 那么矢量g应该为零矢量, 也就是矢量 F 与矢量G是同一个矢量。
因为▽·F= ▽ ·G, 所 以
同样由于▽ ×G= ▽ ×F, 所 以
拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式为
第一章 矢量分析
例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中, 当距 r>>l离时, 其空间电位的表达式 为
求其电场强度E(r, θ, φ)。 解: 在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为
第一章 矢量分析
因为
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的简单表达是: 若矢量场F在无限空间中处处单 值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度 和一个矢量函数的旋度之和， 即
图 1-6 例 1-11 图
第一章 矢量分析
解: 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。
第一章 矢量分析
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点 M(1，0 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
解: 矢量场A的旋度
运动学中的矢量分析方法
运动学中的矢量分析方法运动学是物理学中研究物体运动规律的一个重要分支，而矢量分析则是运动学中的一种基本工具。
矢量分析方法能够提供关于物体位置、位移、速度和加速度等方面的详细信息，为我们深入理解运动提供了有力的支持。
本文将介绍运动学中常用的矢量分析方法，并探讨其应用。
一、位置矢量的表示和分析方法在运动学中，我们常常需要描述物体的位置。
为了准确地表示物体的位置，我们引入了位置矢量的概念。
位置矢量是从参考点（原点）指向物体位置的矢量，通常用符号r表示。
位置矢量可以用坐标表示，比如在直角坐标系中，位置矢量可以表示为r = xi + yj + zk，其中i、j、k为分别指向坐标轴x、y、z正方向的单位矢量，x、y、z为物体在各坐标轴上的坐标。
利用位置矢量，我们可以方便地研究物体的位移、速度和加速度等性质。
例如，给定物体的两个不同时刻的位置矢量r1和r2，物体的位移矢量可以表示为Δr = r2 - r1。
而物体的平均速度矢量可以表示为vav = (Δr) / Δt，其中Δt为物体在两个时刻之间的时间间隔。
二、速度和加速度的矢量分析方法速度和加速度是描述物体运动快慢和变化快慢的重要概念。
在矢量分析中，我们通过对位置矢量的微分来定义速度和加速度。
具体地说，物体的速度矢量可以表示为v = dr/dt，而物体的加速度矢量可以表示为a = dv/dt。
通过对速度和加速度进行矢量分析，我们可以得到更多有关物体运动的信息。
例如，给定物体的速度矢量v，我们可以分解它为沿着各坐标轴方向的分速度，即v = vxi + vyj + vzk。
这样，我们可以得到物体在各方向上的速度大小和方向。
类似地，给定物体的加速度矢量a，我们也可以进行类似的分解。
三、相对运动的矢量分析方法在研究物体的相对运动时，矢量分析方法同样发挥了重要作用。
相对运动是指两个物体相对于彼此的运动情况。
在相对运动分析中，我们通常采用相对速度和相对加速度等概念。
相对速度是指两个物体之间的速度差，可以表示为vrel = va - vb，其中va和vb分别表示两个物体的速度矢量。
矢量分析在物理中的应用
矢量分析在物理中的应用矢量分析作为现代数学的一个重要分支，广泛应用于物理学的各个领域。
它不仅帮助我们理解物理现象，还提供了强有力的工具来进行计算和分析。
在这篇文章中，我们将探讨矢量分析在物理中的多个应用，包括运动学、电磁学、流体力学和场理论等方面。
矢量及其基本概念在开始之前，我们需要了解什么是矢量。
矢量是具有大小和方向的数学对象，常用来表示物理量，例如速度、力和加速度等。
每个矢量都有一个起点和终点，可以用坐标系统中的坐标对来表示。
在三维空间中，一个矢量可以用来表示，其中、和是其在三个坐标轴上的投影。
矢量运算在物理中，矢量的运算非常重要。
常见的运算有：矢量加法：两个或多个矢量相加，可以按分量相加或者使用平行四边形法则。
矢量减法：两个矢量相减，实质上是将第二个矢量取反后与第一个矢量相加。
标量乘法：一个矢量与一个标量相乘，会改变其大小但不改变其方向。
矢量内积：两个矢量的内积是一个标量，表示它们之间的夹角以及它们的大小。
矢量外积：两个矢量的外积是一个新的矢量，其方向垂直于这两个矢量所定义的平面，大小与这两个矢量所夹角的正弦成正比。
这些基本运算使我们能够简洁地描述复杂的物理现象。
运动学中的应用在运动学中，矢量分析被用来描述物体的运动状态，比如位移、速度和加速度。
位移位移是描述一个物体从初始位置到最终位置变化情况的矢量。
假设一个物体从点 A 移动到点 B，那么位移可以通过：这里是物体结束时的位置向量，而是开始时的位置向量。
速度速度是位移对时间的导数，它同样是一个矢量。
若一个物体在时间运动到，则平均速度表达为：而瞬时速度则由以下公式给出：加速度加速度是描述速度变化率的矢量，其定义为速度对时间的导数。
若定义为加速度，则可以表达为：针对恒定加速情况，可以采用以下公式进行计算：这里和分别为最终和初始速度，而是时间。
电磁学中的应用在电磁学中，许多现象也可以用矢量分析来描述。
例如，电场、磁场和电势等。
电场电场描述的是电荷对周围空间产生的影响，表征单位正电荷所受到的力。
矢量分析报告
矢量分析报告简介矢量分析是地理信息系统（GIS）中常用的一种分析方法，通过对矢量数据进行处理和分析，从中提取有用的信息并得出结论。
本文档将介绍矢量分析的基本概念和方法，并以实际案例解释如何应用矢量分析来解决各种问题。
什么是矢量数据？在GIS中，矢量数据是用于表示现实世界中的地理对象的一种数据模型。
它利用矢量空间来描述和存储地理对象，在计算机中以点、线和面的形式表示。
矢量数据具有以下特点： - 离散性：矢量数据以离散的点、线和面对象形式存储。
- 拓扑性：矢量数据中的要素之间具有拓扑关系，可以通过空间关系进行分析。
- 位置和属性：矢量数据不仅包含地理位置信息，还包含与之相关的属性数据。
矢量数据的基本属性矢量数据包含两个基本属性：几何属性和属性数据。
几何属性几何属性描述了地理对象的位置和形状。
在矢量数据中，几何属性可以是点、线或面。
•点（Point）：在地理空间中的一个离散位置。
点没有长度或面积，仅有一个坐标位置。
•线（Line）：由一系列连接的点组成的几何对象。
线可以表示道路、河流或边界等。
•面（Polygon）：由一系列闭合的线组成的几何对象。
面可以表示土地使用类型、行政区划等。
属性数据属性数据是与几何对象相关联的数据。
它描述了地理对象的特征和属性。
属性数据可以是任何类型的信息，如名称、面积、人口数量等。
这些属性数据通常以表格的形式存储，其中每一行代表一个地理对象，每一列代表一个属性。
矢量分析方法矢量分析基于矢量数据进行，可以帮助我们理解和解释地理现象，从而做出决策。
以下是常用的矢量分析方法：缓冲区分析缓冲区分析用于确定距离某个地理对象一定范围内的其他地理对象。
它可以帮助我们分析空间关系、评估风险和规划用地。
缓冲区分析的步骤如下：1.选择要进行缓冲区分析的对象。
2.指定缓冲区的半径或距离单位。
3.进行缓冲区分析并可视化结果。
叠加分析叠加分析用于确定两个或多个矢量对象之间的空间关系。
通过叠加分析，我们可以识别出重叠、相交、包含和邻近等关系。
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
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在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
体元： dV rdrd dz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R, , )，如图，做一微分体元。 线元： dl dRaR Rd a R sin da 面元： 2 dSR R sin d daR dS R sin dRda
ˆ ˆ ˆ cos ax cos a y cos az
Ax
o
Ay
y
x
方向角与方向余弦： , ,
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆ ˆ ˆ A B C ( Ax Bx Cx ) ax ( Ay By C y )a y ( Az Bz Cz ) az
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
A B | A | | B | cos
B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A
ˆ A B | A | | B | sin ac
ˆ ac
B
•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组 成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者 符合右手螺旋法则。
A B B A 推论1：不服从交换律： A B B A, 推论2：服从分配律： A ( B C ) A B A C
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z),其中 为角度，
，可见拉梅系数为： 其对应的线元 rd a
dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 ˆ ˆ 线元： dlx dxax 面元： dS x dydzax ˆ dS y dxdza y ˆ dl y dya y ˆ dS z dxdyaz ˆ dlz dzaz 体元： dV dxdydz ˆ ˆ ˆ dl dxax dyay dzaz
y
ˆ ˆ ˆ ( Ay Bz Az By )ax ( Az Bx Ax Bz )ay ( Ax By Ay Bx )az
两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z)，如图，做一微分体元。 线元：
dl drar rda dzaz
面元： dS rddza r r dS drdza dSz rddraz
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义： A B C | A || B || C | sin cos
ˆ ay
ˆ az
1 ˆ ˆ ˆ ˆ an (3ax 2a y 6az ) 7
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例4： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
和 ， b a
z
a
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
，则 c
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
Az
z
A
A Ax Ay Az
其中：
Ax
o
Ay
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax Ax ax , Ay Ay ay , Az Az az
所以： A Ax ax Ay a y Az az ˆ ˆ ˆ
中的标量 a、b、c。
求： r4 ar1 br2 cr3
ˆ ˆ ˆ 解： 3ax 2ay 5az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a(2ax ay az ) b(ax 3ay 2az ) c(2ax ay 3az )
ˆ ˆ ˆ (2a b 2c)ax (a 3b c)a y (a 2b 3c)az
A (B C) A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ ax ay 0, ˆ ˆ ax ax 1, ˆ ˆ ax az 0, ˆ ˆ ay ay 1, ˆ ˆ ay az 0 ˆ ˆ az az 1
C A B
C
B
A
A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示:
A B ˆ an A B
ˆ ˆ ˆ A B 2 6 3 15ax 10a y 30 az 4 3 1
| A B | 152 (10) 2 302 35
ˆ ˆ ˆ B 4ax 3a y az
ˆ ax
有两矢量点积：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( Ax ax Ay ay Az az ) (Bx ax By ay Bz az )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
ˆ ax
ˆ ay By Cy
ˆ az Bz Cz
Cx
b.矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设
ˆ x a y az , r2 ax 3a y 2az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r1 2a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r3 2ax a y 3az , r4 3ax 2a y 5az
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则
三、矢量微分元：线元，面元，体元
四、标量场的梯度
五、矢量场的散度
六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
则： 2a b 2c 3
a 2 b 1 c 3
a 3b c 2 a 2b 3c 5
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3： 已知 A 2ax 6ay 3az ˆ ˆ ˆ
求：确定垂直于 A 、B 所在平面的单位矢量。 解： 已知 A B 所得矢量垂直于 A、 B 所在平面。
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
ˆ 6a x
图示法：
y
ˆ 6ax
x
力的图示法：
FN
F
Ff
F FN Ff
G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
推论：三个非零矢量共面的条件。
A (B C) 0
A
C
B
在直角坐标系中：
ˆ ˆ ˆ A ( B C ) ( Ax ax Ay a y Az az ) Bx
Ax A ( B C ) Bx Cx Ay By Cy Az Bz Cz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆ ˆ ˆ 矢量： A Ax ax Ay a y Az az
z
Az
模的计算： | A | A2 A2 A2 x y z
A
单位矢量：
A A A A ˆ x ax y a y z az ˆ ˆ ˆ a | A| | A| | A| | A|
电磁场与电磁波