高等数学上下册精品课程
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.1 函数
对数函数 = ( > 0, ≠ 1)的定义域为(0, +∞)，值域为(−∞, +∞).
⑸ 三角函数
函数 = , = , = , = , = , = 依次叫做
正切函数 = 在区间
− ,
2 2
上的反函数称为反正切函数，记作 = .
余切函数 = 在区间 0, 上的反函数称为反余切函数，记作 = .
2．复合函数
函数 = ( 1 + 2 )是基本初等函数吗？
定义
设函数 = (), = (), ∈ . 存在的某个非空子集1 ，对于每
偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
例如，函数 = () = 0, ∈ 就是一个既是奇函数又是偶函数的函数；
= 2 和 = 都是偶函数； = 3 和 = 都是奇函数； = 既
不是奇函数也不是偶函数.
2．函数的周期性
定义4
2 )是复合函数.
根据定义我们知道Y = [()]是由函数 = ()与 = ()复合而成，
那[()]和 是否相同？
显然是不相同的，例如() = 与() = 2 复合，如若将()看成外
值，记作|=0 = (0 ). 当取遍定义域内的所有值，对应的函数值
的集合 = {| = (), ∈ }称为函数 = ()的值域.
函数 = ()中的符号“”表示与之间的对应法则，它也可以
用其它字母表示，如 = (), = ℎ(), = (), = ()等.
2
5
有意义，必有5 2 + 2 ≠ 0，解得 ≠ 0且 ≠ − .
高等数学(同济第六版)D8-4名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
高等数学教材系列目录
高等数学教材系列目录引言：高等数学作为大学本科的基础课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。
为了满足学生对高等数学教材的需求，本文将探讨高等数学教材系列的目录，并介绍每本教材的内容和特点。
第一册：微积分导论1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 函数的极限及其计算方法1.3 极限存在准则与极限运算法则1.4 极限的无穷性与无穷小2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 导数的计算法则2.4 高阶导数与隐函数的导数3. 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理与罗尔定理3.2 导数的应用之极值与最值3.3 导数的应用之曲线的凹凸性与拐点 3.4 泰勒公式与函数的近似计算第二册：多元函数与微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的极限的定义与性质1.2 二重极限的计算方法1.3 多元函数的连续性与连续函数的性质1.4 多元函数的间断点与可去间断点2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数与偏导数的计算 2.2 高阶偏导数与混合偏导数2.3 多元复合函数的偏导数与链式法则2.4 全微分与全微分近似计算3. 多元函数的极值与条件极值3.1 多元函数的极值与最值的概念3.2 多元函数的极值判定条件3.3 条件极值与拉格朗日乘数法3.4 多元函数的条件极值的应用第三册：重积分与曲线积分1. 二重积分与三重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标） 1.3 三重积分的概念与性质1.4 三重积分的计算方法（直角坐标与柱面坐标）2. 重积分的应用2.1 质量、质心与转动惯量2.2 二重积分中的面积与变量替换2.3 三重积分中的体积与变量替换2.4 重积分在物理问题中的应用3. 曲线积分与曲面积分3.1 第一类曲线积分与第二类曲线积分3.2 曲线积分的计算方法3.3 曲面积分的概念与性质3.4 曲面积分的计算方法（参数表示与一般参数）结语：高等数学教材系列的目录旨在系统地介绍高等数学的各个分支领域，帮助学生全面理解数学的概念与方法，并培养分析问题与解决问题的能力。
同济高等数学第六版上册市公开课金奖市赛课一等奖课件
第9页
已知 f ( x) 存在，且 f ( x) 0, y ln[ f ( x)],
求
d2y dx2 .
解
dy f ( x)
dx f ( x)
d 2 y f ( x) f ( x) [ f ( x)]2
dx2
f 2(x)
第10页
设ƒ(x)含有任意阶导数, 且 f '( x) e f ( x) , f (0) 1 , 则求 f (n)(0). 解 f '( x) e f ( x)
x0
x
f (n) ( x) lim f (n1) ( x x) f (n1) ( x)
x0
x
定义1 普通地,假如函数 y =ƒ(x)n-1 阶导数仍可导时, 则 函数 y =ƒ(x) n –1阶导数导数称为函数 y =ƒ(x)n 阶导数, 即
并记为
y(n) [ y(n1) ]
y(n) ,
y
''
(1
1 x)2
,
y
'''
(1
2! x)3
,
y(4)
(1
3! x)4
,
,
(
y )( n )
(1)n1
(n 1)! (1 x)n
尤其地
(ln
x )( n )
(1)n1
(n 1)! xn
第7页
(4) (sin x) cos x sin( x )
2
(sin x) [sin( x )]
f
(n)
(
x),
dny dx n
,
dn dx
f
n
.
第3页
注1 二阶和二阶以上导数为高阶导数.为了以便, 记 f (x) f (0)(x)
大一高等数学教材2-6省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
t t
cos t sin t
在t
2
处的法线方程________.
4、已知 x y
et et
cos t ,则dy sin t dx
=______；dy dx
t
3
=______.
5、设 xy e x y ,则dy =________. dx
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7 不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2,
求 (1)炮弹在时刻 t0的运动方向 ;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切线方向
0
,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt
2
)
v0
sin
gt
dx
(v0t cos )
v0 cos
dy dx
t t0
v0 sin gt0 v0 cos
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
高等数学系列教材目录
高等数学系列教材目录第一册：微积分基础1.数集与函数1.1 数集的表示与运算1.2 函数的定义与性质1.3 常用函数及其图像2.极限与连续2.1 数列与极限2.2 函数的极限2.3 连续函数与间断点3.导数与微分3.1 导数的定义与计算3.2 微分的概念与应用3.3 高阶导数与高阶微分4.一元函数的应用4.1 函数的单调性与极值4.2 函数的凹凸性与拐点4.3 泰勒公式及其应用第二册：多元函数微积分1.二元函数与偏导数1.1 二元函数的定义与性质1.2 偏导数与全微分1.3 隐函数与参数方程求导2.多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值2.2 隐函数极值与参数方程极值2.3 条件极值与拉格朗日乘子法3.重积分3.1 二重积分的计算3.2 三重积分的计算3.3 积分次序与坐标变换4.曲线与曲面积分4.1 曲线积分的计算4.2 曲面积分的计算4.3 斯托克斯定理与高斯公式第三册：级数与常微分方程1.级数的收敛性与性质1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的审敛法1.3 交错级数与绝对收敛2.幂级数与函数展开2.1 幂级数的收敛域与收敛半径 2.2 幂级数的运算与逐项求导2.3 函数的泰勒级数展开3.常微分方程基础3.1 微分方程的基本概念3.2 一阶线性微分方程3.3 高阶线性微分方程4.常微分方程应用4.1 古典物理问题的建模与求解 4.2 生物、经济与工程领域的应用4.3 相图与稳定性分析第四册：向量与解析几何1.向量代数基础1.1 向量的定义与运算1.2 向量的线性相关性与线性无关性1.3 向量的内积与外积2.空间直线与平面2.1 三维空间的点、直线与平面2.2 直线的方向向量与法向量2.3 空间直线与平面的位置关系3.空间曲线与曲面3.1 曲面的参数方程与一阶偏导数 3.2 流形与曲率3.3 空间曲线、曲面与切线法向第五册：数学分析基础1.度量空间与拓扑1.1 度量空间的定义与性质1.2 拓扑空间的概念与特征1.3 开集、闭集与连通性2.泛函分析2.1 功能空间与泛函空间2.2 线性算子与线性泛函2.3 无穷维空间与紧性理论3.微分流形3.1 流形的定义与性质3.2 曲线与曲面的切空间3.3 切向量场与流形上的积分4.测度论基础4.1 测度空间的定义与测度函数4.2 测度的可测性与测度的完备性4.3 测度函数与积分运算这是《高等数学系列教材》的目录，详细介绍了每一册的章节内容。
高等数学39省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点 D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.
D 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处旳曲率半径与曲线在该点处旳 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处旳曲率半径越大,曲线在该点 处旳曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
(2) 圆上各点处旳曲率等于半径旳倒数,且 半径越小曲率越大.
2.曲率旳计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,
y
ds 1 y2dx. k
3.
(1 y2 )2
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy (t) , dx (t)
y
单调增函数 s s( x). 设N ( x x, y y), 如图，
o
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
1 Rl
x0
1l Rl
1, R
故在终端A的曲率为
1
kA
y
3
(1 y2 )2
x x0
(1
R l2
4R2
3
)2
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
高等数学32省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
二、用洛必达法则求下列极限：
1、
lim
x
(
ln sin x 2x)2
；
2
ln(1 1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
2 x2
1
x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、 lim ( 1 )tan x ； x x0
x0
x0
例11：lim x
2
arctan
x
x
1
lim
x
exp
x
ln
2
arctan
x
0
exp
0 0
lim
x
ln(2
/
) ln 1/ x
arctan
x
exp
lim
x
1
/
(arctan x(1 1/ x2
x
2
))
exp
lim
x
1 arctan
x
x2 1 x2
2
解 原式 lim x sin x x0 x sin x
lim 1 cos x 0. x0 sin x x cos x
3. 00 ,1 ,0 型
环节: 00
0 ln 0
1
取对数
ln1
0 .
0
0 ln
例9 解
求 lim x x . x0
( 00 )
ln x
lim
x0
1
原式
x e x
解解：： lliimm xxx
xxnnn eexxx