代数拓扑的主要内容及其历史
高等数学中的代数拓扑及其研究方向
代数拓扑是高等数学中一个重要且有趣的研究领域。
它将抽象的代数理论与几何的拓扑学相结合，旨在研究代数结构与拓扑空间之间的相互关系。
它包括了代数和代数拓扑的交集部分，研究了一些代数结构在拓扑空间上的表示以及拓扑空间上的代数运算。
在代数拓扑中，最核心的研究内容是代数结构的拓扑表示。
代数结构可以是群、环、域等，拓扑表示则是将这些代数结构嵌入到拓扑空间中，并研究它们之间的关系。
例如，我们可以将群的元素与拓扑空间中的点对应起来，通过定义适当的拓扑，并研究群操作在该拓扑空间中的表现，从而研究群在拓扑空间上的表示。
这种拓扑表示的研究有助于我们深入理解代数结构的性质，并为解决一些代数问题提供了新的视角和工具。
此外，代数拓扑还研究了拓扑空间上的代数运算。
在传统的代数学中，我们通常将运算定义在代数结构的元素上，而在代数拓扑中，我们将运算扩展到拓扑空间上。
这样做的好处是，我们可以通过拓扑空间上的代数运算来研究拓扑性质。
例如，我们可以定义拓扑空间上的群运算，研究这些运算在拓扑空间上的连续性和可逆性。
这种拓扑上的代数运算研究为我们提供了不同于传统代数学的思维方式，也为研究和解决一些与代数结构相关的问题提供了新的思路。
除了上述核心研究内容外，代数拓扑还涉及到一些重要的研究方向。
其中之一是同调论。
同调论研究了代数结构在拓扑空间上的表示与它们的几何性质之间的关系。
通过引入同调群等代数结构，我们可以通过拓扑空间的代数性质来推断其几何性质，从而可以解决一些与形状、连通性等相关的问题。
另一个重要的研究方向是复几何。
复几何研究了复数域上的拓扑空间，并通过代数方法来描述和研究这些拓扑空间的性质。
复几何在拓扑学、代数学和几何学的交叉领域中发挥了重要作用，如代数几何、代数拓扑等都可以归为复几何的研究范畴。
此外，代数拓扑还涉及到同伦论、奇点论、代数K理论等多个研究方向。
这些研究方向都以代数结构与拓扑空间之间的关系为主题，旨在提供更深入、更全面的理解和研究。
代数拓扑的主要内容及其历史
王涛 2010110676代数拓扑的主要内容及其历史拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（J.B.listing，1808-1882），拓扑是topology的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（L.Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。
拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。
20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。
诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。
数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。
一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。
代数拓扑是现代数学的主流。
法国布尔巴基学派的迪厄多内(J.Dieudonne,1906-1998)说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。
陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。
这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。
代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。
毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。
本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。
拓扑学发展史
拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英topology]举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
数学中的拓扑学分支
数学中的拓扑学分支数学是一门广泛而深奥的学科，涵盖了许多分支和领域。
其中，拓扑学作为数学的一个重要分支，主要研究集合和空间的性质及其之间的映射关系。
在本文中，我们将深入探讨数学中拓扑学的几个分支，包括点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学。
一、点集拓扑学点集拓扑学是拓扑学的最基础、最基本的分支，它研究的是点集及其子集的性质。
在点集拓扑学中，我们关注的是集合中的点及其之间的关系，而不考虑度量和距离。
通过引入开集、闭集、连通性等概念，点集拓扑学研究了集合的性质，如连通性、紧致性、分离性等。
例如，欧几里得空间中的开集是指任意一点存在一个足够小的邻域，使得该邻域中的所有点仍然属于该集合。
闭集则是指集合包含了所有其极限点。
通过对开集和闭集的研究，我们可以推导出许多重要的性质，如集合的交、并、差运算、闭包、内部等。
二、代数拓扑学代数拓扑学是拓扑学中的另一个重要分支，它结合了拓扑学和代数学的方法和思想，研究了在拓扑空间上定义的代数结构。
代数拓扑学的研究内容主要包括群论、环论、域论等代数结构与拓扑空间之间的关系。
代数拓扑学的一个重要应用是同伦论，它是研究拓扑空间中连续变形的方法。
同伦论通过引入同伦等价的概念，研究了拓扑空间之间的变形和形状不变性。
例如，同伦论可以用来研究环面和球面是否同胚，即它们是否具有相同的形状。
三、微分拓扑学微分拓扑学是拓扑学中应用最广泛的分支之一，它结合了微积分和拓扑学的知识，研究了光滑流形和向量场等对象的性质。
微分拓扑学主要关注的是流形及其上的微分结构和微分同胚。
光滑流形是一个具有光滑结构的拓扑空间，它可以用来描述现实世界中的各种物理现象。
微分拓扑学通过引入切空间、切丛和微分同胚等概念，研究了流形的性质，如维度、切空间的结构、流形的切向量场等。
微分拓扑学的一个重要结果是斯托克斯定理，它建立了微分形式在流形上的积分与边界的关系，是微分几何和微分拓扑学的基础。
总结起来，数学中的拓扑学分支涵盖了点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学三个重要方向。
代数拓扑学
代数拓扑学1. Algebraic Topology. (2013) by S. R. Finley2. Introduction to algebraic topology (2002). by J. A. Armstrong一、什么是代数拓扑学代数拓扑学是一门结合数学，物理和工程的学科，主要研究的是各种数量的多维形状的特性和变化。
研究的主要内容包括实数空间的多维形状，圆柱体，球体和属于一类的复合结构，以及研究动态的几何结构的改变与变化。
代数拓扑学是数学的一门重要分支，运用代数发现和研究形状的解析，可以为计算机科学领域，几何学领域，物理学和工程技术提供重要理论框架和计算数学工具。
二、代数拓扑学的历史起源于古希腊时期。
当时几何学家埃克塞特等提出了许多研究形状和拓扑关系的关键思想，并创建了拓扑学。
1932年，计算机科学家Salomon Bochner发现，代数研究复合形状的拓扑结构具有唯一的优势，这些结构可以用有限的数学符号表示。
1935年，在里程点和拉马努金的指导下，美国科学家John Woole发明了拓扑学的代数化，使拓扑学步入了现代数学的发展阶段。
三、代数拓扑学的应用1、几何学：代数拓扑学用于系统地描述许多几何学对象，如各种几何图形，变换，投影，维数，面积等。
2、数学物理学：代数拓扑学在物理学上的研究有助于提供更精确的理论描述，并帮助我们更好地了解物理世界的运作方式。
3、工程技术：诸如统一计算机视觉和机器学习，机器人，模拟计算机体系等，均需要深入研究几何结构和拓扑结构，应用代数拓扑学可以解决许多工程问题。
四、代数拓扑学的学习资源1、书籍资源：S. R. Finley 《Algebraic Topology》（2013），J. A. Armstrong 《Introduction to algebraic topology》（2002）等学习课本，对于新手对拓扑学的基本知识有较全面的介绍。
2、网络资源：“Math Overflow”、“Math Stack Exchange”等论坛及数学社区，“MathWorld”、“Wikipedia Foundations of Algebraic Topology”等网站提供精彩的解答和说明文献资源。
数学中的代数拓扑与几何分析
● 03
第3章 微分几何基础
流形的定义
在微分几何中，流形是指一个局部与欧几里德空 间同胚的空间结构。流形具有平滑性质，刻画了 空间的光滑曲线特性。切空间和余切空间是流形 上的重要概念，用于描述局部切向量和余切向量 的集合。切空间是切向量的集合，余切空间是切 向量对偶空间的切向量集合。
点集拓扑与微分 结构
本课题的重点内容总结
01 代数拓扑
代数结构与拓扑空间的关系
02 几何分析
微分几何与函数分析的联系
03 拓扑群
群论在拓扑空间中的应用
代数拓扑、几何分析未来发展趋势
数据分析中 的应用
代数拓扑与几何 分析在数据分析 领域的前沿研究
量子计算
代数拓扑、几何 分析与量子计算
的关联
应用数学研 究
代数拓扑、几何 分析在应用数学
研究中的应用
机器学习与 人工智能
代数拓扑、几何 分析在机器学习 和人工智能方面
的发展
学习路径建议和自学资料推 荐
为了更好地学习代数拓扑和几何分析，建议从基 础概念开始学习，逐渐深入理解相关定理和应用。 推荐的自学资料包括《代数拓扑导论》、《几何 分析入门》等书籍，以及相关网站上的学习资源 和视频教程。不断实践和思考是提升数学能力的 关键，希望大家在学习中有所收获。
感谢观看
THANKS
特征类及其性质
向量丛的特 征类性质及应用
微分形式的外微分
外微分是微分几何中的重要概念，它具有独特的 定义和性质。外微分在黎曼几何、微分几何等领 域有着广泛的应用，帮助我们理解空间的曲率和 变化。
代数拓扑与几何分析的交叉应 用
01 代数拓扑与几何分析的交叉领域
流形上的梯 度下降算法
数学中的代数拓扑及其应用
数学中的代数拓扑及其应用代数拓扑是数学中的重要分支之一，它将代数与拓扑相结合，探讨代数结构的拓扑性质。
它涉及了代数学、拓扑学和几何学等多个领域，被广泛应用于计算机科学、物理学、生物学等诸多领域。
代数拓扑的研究范围涉及到了拓扑空间的代数结构。
例如，拓扑空间可以通过原像与像之间的反变函子与代数运算相结合，从而得到群、环、域和模等代数结构。
同时，代数拓扑还研究代数结构的拓扑性质，特别是拓扑空间上的代数结构，如拓扑群、拓扑环和拓扑域等。
代数拓扑的研究对象是传统拓扑学中特定代数结构上的连续映射。
代数拓扑研究的重点之一是同调理论。
同调理论是研究拓扑空间上的连续映射在拓扑学中所构成的同调群（或同调模）之间的关系的数学工具。
同调理论最初是从欧拉数（或彼拉连恩数）的研究开始的，它通过拓扑空间中的简单形式化方法来构建局部不变量，进而推广到整个空间的形式。
同调理论的基本思想是，在拓扑空间中寻找保持不变的代数或同伦性质。
同调群可以用于描述拓扑空间的欧拉数、剩余类、拓扑幺模等性质，具有广泛的应用价值。
例如，同调理论在流形拓扑、代数几何、K理论等多个领域中都发挥着关键作用。
在计算机科学中，代数拓扑的研究正在成为关键技术之一。
代数拓扑理论及其相应的数据结构被广泛地应用于计算机科学领域的任务，如运行测试、自动机理论和机器学习等。
在计算机绘图和计算机动画领域，代数拓扑的应用也变得日益重要。
另外，代数拓扑还被广泛应用于物理学和生物学领域。
例如，在物理学中，代数拓扑被用于描述拓扑序和拓扑态物理学中的量子物理现象；而在生物学领域，代数拓扑被用于研究分子生物学和蛋白质结构等问题。
总之，代数拓扑是一门重要的数学分支，它将代数与拓扑相结合，探讨代数结构的拓扑性质。
它在计算机科学、物理学、生物学等领域中都有广泛应用，对于推动人类社会的发展和进步，具有非常重要的意义。
拓扑学发展史
拓扑学发展史及其应用【摘要】【关键字】拓扑学、【正文】一、什么是拓扑学拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。
中文名称起源于希腊语Τοπολογ的音译。
Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。
发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。
起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
学科方向由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。
在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑拓扑学已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。
现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。
后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。
数学的一个分支，研究几何图形在连续改变形状时还能保持不变的一些特性，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的距离和大小。
[英topology]举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。
拓扑学由来几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。
那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
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代数拓扑的主要内容及其历史拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。
拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。
20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。
诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。
数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。
一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。
代数拓扑是现代数学的主流。
法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。
陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。
这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。
代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。
毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。
本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。
那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。
本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。
代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。
然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。
并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。
1庞加莱（H.poincare,1854-1912）庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。
庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。
庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。
庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。
（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）从上面我们已经看出，庞加莱以一般流形以及把它们三角剖分之后构成的复合形为拓扑学的研究对象。
并把欧拉公式推广到庞加莱公式，建立了庞加莱对偶定理。
庞加莱还留下了一系列猜想，最著名的是庞加莱猜想和主猜测。
庞加莱猜想一直吸引着其后数学家的注意，并最终以俄罗斯数学家佩雷尔曼解决而画上圆满的符号。
佩雷尔曼也因此获得了2006年数学界最高的荣誉---菲尔兹奖。
组合拓扑学的最主要的拓扑不变量是贝蒂数和挠系数，对此庞加莱已经明了。
因为庞加莱对偶定理明确告知我们：对于可定向的n维闭流形，k维挠系数=n-k维挠系数。
庞加莱的另一个大贡献是他引入一个非数值的拓扑不变量---基本群，在区分单连通上很有作用，基本群其实是一维同伦群。
本文不讨论它们，因为我对此几乎一无所知。
那么后来的同调群这个非数值的拓扑不变量引入组合拓扑，似乎也就没什么大惊小怪了。
因为早在1895年庞加莱就定义了基本群，而同调群的引入是埃米•诺特提醒了拓扑学家，她这样认为：为什么非要把不变量看做数呢？苏联的数学家亚历山大洛夫和瑞士的霍普夫大受影响，从而开始了代数拓扑真正开始---群进入拓扑学。
群进入拓扑学没什么大不了的，当时的哥廷根大学是世界的数学中心，以埃米•诺特的为首的抽象代数学派如日中天，抽象代数的思维迅速的进入了数学的各个领域并且占有了它，拓扑、数论、几何都由于获得了新思路而生机勃勃，其后代数拓扑，代数数论，代数几何一直是数学的主流。
代数拓扑就是在这个大背景下形成的。
那么我们看一下复形的同调群是怎么定义的。
单形一个单形只不过是一个n维的三角形，也就是说0维的单形只不过是一个点，以为单行是一条线段，二维单形是一个三角形，三位单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个定点的广义的四面体。
一个单形较低维的面还是单形。
复形一个复形是具有下述性质的一组有限个单形：组中任何两个单形的交，如果有的话，是一个公共的面，并且组中每一个单形的面也是组中的单形。
即单形要规则相处。
在引入同调群的过程中，最重要的是单形定向和边缘运算这两个概念。
对于一组顶点，当选定过顶点的一个顺序，就给了它一个定向。
一个单形的边缘由这个单形所包含的低一维的单形组成。
一个二维单形的边缘由三个一维的单形组成。
边缘其实就是其顺向面的组合。
对于一个给定的复形，可以做它的q维定向单形的线性组合，系数我们一般取整数。
这样一个线性组合我们称之为链。
经过我们验证，所有的这样的链组成一个群，我们叫做k维链群，记作(,)C K J。
这其实是一个自由Abel群。
q一个边缘为零的链叫做一个闭链。
所以有些链是闭链，这样的闭链组合在一起也构成一个群，我们叫做q维闭链群，记作(,)Z K J。
闭链之中有些是其他链q的边缘我们把它叫做q维边缘链，我们把闭链群中边缘链组合起来，发现也构成一个群，我们把这样的群叫做q维边缘链群，记作(,)B K J。
q而k 维闭链群和k 维边缘链群的商群()()q q Z K B K 就是这个复形的同调群，记作(,)q H K J ！ 这里只不过是用群的语言进行了一下描述，前面已经说过，庞加莱已经定义了贝蒂数和挠系数，而整同调群的结构定理恰恰告诉我们，告诉了我们同调群就知道了贝蒂数和挠系数，二者是一样的！整同调群的结构：n 维的有限复形K 的q 维整同调群能唯一分解成下述直和：1q ()q H K J J J J J θθ=++++++…………。
前面为q R 个J 的直和，q R 就是前面所述的贝蒂数，i ϑ就是前面所述的挠系数。
同调群（贝蒂数，挠系数）可以取自不同的系数群。
美国数学家维不仑和亚历山大引进了模2同调群，模2同调群的优点是不用区分方向。
同为美国数学家的莱夫谢兹用有理数做链的系数，而苏联数学家庞特亚里金则更加广泛，直接用交换群作为链的系数。
这些都是对同调群的推广。
同调群反映了复形的几何性质。
例如n 维有限复形的零维贝蒂数等于复形的连通分支的个数。
庞加莱公式：欧拉得出了多面体的欧拉公式，即V-E+F=2。
而单形和复形是多面体的推广，庞加莱把它推广到n 维复形，其中q 维单形的个数是q a ，q 维贝蒂数是q R ，则庞加莱示性数为0(1)nn q q a =-∑，它等于0(1)n n q q R =-∑。
这是复形的一个拓扑不变量。
关于如何计算同调群，庞加莱用关联矩阵给出了算法，当时还没有计算机，这在现代情形下可以用计算机来机械完成。
至此我们大致说清楚了同调群。
庞加莱的思想太过超前，且注意直觉思维的重要性。
当时，大多数法国数学家把自己限制在狭小的范围内研究函数论，而没有关注庞加莱的拓扑学思想。
实际上，庞加莱的思想广博深刻，大大超越了时代，庞加莱的工作在法国后继无人，关于关同调群的拓扑不变性的严密证明（实际上是贝蒂数和挠系数不变性）庞加莱也没有完成。
虽然法国没人继承，但是拓扑学的思想已经生根开花，世界范围内涌现出一大批拓扑学家。
尤其著名的是布劳威尔，霍普夫，后来更是形成了苏联和美国两大拓扑学派。
在为代数拓扑注入了严密基础的数学家中，有一个人不得不提，他就是直觉主义的另一旗帜人物—布劳威尔。
2布劳威尔布劳威尔是荷兰伟大的数学家和哲学家，直觉主义的坚定拥护者。
在1909-1913年短短的5年里，他创立了单形逼近方法来证明拓扑不变形，其中尤为著名的是维数的拓扑不变性。
我们在这里提两个重要的概念和定理，一是单形逼近，二是不劳威尔不动点定理。
我们重点关注一下同调群的拓扑不变性是如何证明的。
如果两个多面体作为拓扑空间同胚，那么它们的同调群有什么关系呢？答案是同构。
本学期所学习的课程从重心重分开始，从复形K 的链群到重心重分SdK 的链群建立了链映射，并诱导出了同调群的同态，进而证明了同调群的重分不变性，并用重分不变性证明了拓扑不变性。
最后提到了伦型不变性，虽然伦型不变性包括了前两者，但是作为历史，我们有必要看一下这个思想过程。
复形K 和L 之间的链群(),()q q C K C L 存在一序列的同态q f ，那么它们的同调群(),()q q H K H L 有什么关系呢？答案是什么也没有。
链映射：但是当这组同态q f 满足1q q q q f f -∂=∂时，称为复形K 到复形L 的一个链映射，这时则链映射可诱导出同调群的同态。
由此不同的链映射可诱导出不同的同调群(),()q q H K H L 的同态，但是什么时候诱导出的同态相同呢？当两个链映射同伦时，诱导出相同的同调群之间的同态。
链同伦：q D ：1()()q q C K C L +−−→，满足11q q q q q q D D g f +-∂+∂=-。
D 叫做从f 到g 的连轮移。
到底复形K 和复形L 之间能否建立链映射呢？这点通过单纯映射得到了保证。
我发现，代数拓扑的所有定义都是从单形开始定义，然后定义复形，进而定义到链，这是否是一个规律呢？单纯映射既有明显的几何直观，又自然诱导出一个链映射。
在同调群的重分不变性的证明中，关键的两个概念是重分链映射和标准链映射，分别是K 到SdK 的链映射和SdK 到K 的链映射，我们可以证明这两个链映射诱导出的同调群的同态互逆，从而一举证明了同调群的重分不变性。
在同调群的拓扑不变性的证明中，我们证明了任何一个映射都可以由单纯映射来“逼近”，我觉得这点和非线性函数由线性函数逼近，不连续函数由连续函数逼近类似。