电路(第8章)
第八章 电路
i , Im , I
§8. 3 相量法基础
两个正弦量的相加
i1 = 2 I1 co ω t +ψ1 ) s(
i2 =
2 I2 co ω t +ψ2 ) s(
角频率： 角频率： ω 有效值： 有效值：
u, i i1 I1
i1 0
ω
i2
i2 I2
i1+i2 →i3 i3 ω I3 ωt
初相位： 初相位： Ψ 1
不能比较相位差
(4) i1(t) = 5cos(100 t − 30 ) π
0
i2(t) = 3cos(100 t −1500 ) π
ϕ = −300 −(−1500 ) = 1200
i2(t) = −3cos(100 t + 30 ) π
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 且在主值范围比较。 号，且在主值范围比较。
jθ
A= a + jb
A=| A| e =| A| ∠ θ
jθ
A=| A| e
A=| A| e jθ =| A| (cosθ + j sinθ ) = a + jb
3)两种表示法的关系： 两种表示法的关系： 两种表示法的关系
Im b
A |A|
A=a+jb A=|A|ejθ =|A| θ
直角坐标表示 极坐标表示 0 或
R
交流i 交流
R
W = RI T
2
W = ∫ R (t)dt i
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I= ∫0 i (t )dt T
def
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
孙惠英 shy@
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
《 电路》第8章 相量法
0
1 UC 5. j C I C jC
3. I m j CUm Um
6. U L j LI L
di L 7. u C dt
UL Um 4. X L IL I m
返 回
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例5
A
已知 UAB 50V, UAC 78V, 问：UBC ?
1
i2 (t ) 3 cos(100 π t 300 )
返 回 上 页 下 页
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u . 解
I 10030 A,
o
U 220 60o V
例2
解
已知 I 5015 A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
i 50 2cos( 314t 15 ) A
返 回
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例1 试判断下列q
F Re
返 回
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例
解
已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t ) 100 cos( t ) 10 t 0 50 100 cos
3
100 50 o
i
π 3
π 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
I +
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
邱关源《电路》第八章相量法2
17
例1: 已知: R1 1000 , R2 10 , L 500mH , C 10F , BUCT
U 100V , 314rad / s , 求:各支路电流。
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1
I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
_ U
Z1
Z2
jL
解：画出电路的相量模型
0.5770
A
瞬时值表达式为：
i1 0.6 2 sin(314 t 52.3 ) A i2 0.181 2 sin(314t 20 ) A i3 0.57 2 sin(314 t 70 ) A
解毕！
20
9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联
一． RLC串联电路
用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。
2I R
.
.
1 UR UC
24
BUCT
练习：P188 8—11 12
25
作业
BUCT
习题：8-16 9-1 (b)、(f) 9-5 预习：第9章
26
j
G 导纳三角形
（二） R、L、C 元件的阻抗和导纳
（1）R：ZR R , YR 1 R G
（2）L：Z L jL jX L ,
1
1
YL
j
jL
L
jBL
（3）C：ZC
j 1
C
jX C ,
YC jC jBC
15
（三）阻抗和导纳的等效互换
º R
Z
18
I1
I2 R1
邱关源《电路》第五版 第八章 相量法
电力系统简介
HVDC Rectifier(整流器)
相量法
Inverter(逆变器)
Power Line(输电线) Power Plant Generator 电厂(发电机) Transformer 变电站（变压器）
第八章 复数（自学） 正弦量 相量法的基础 电路定律的相量形式
相量法
§8-1 复数（自学）
Charles Proteus Steinmetz
(1865～1923)
§8-3 相量法的基础
一、正弦量的相量
i 2I cos(t i )
设有一个复指数函数
2 Ie j( t i )
2 Ie j( t i ) 2 I cos( t i ) j 2 I sin( t i ) Re[ 2 Ie j( t i ) ] 2 I cos( t i ) i
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
2 I m cos2 ( t i )dt
Im 0.707 I m 2
I m 2I
i I m cos( t i ) 2I cos(t i )
§8-2 正弦量
四、同频正弦量的相位差 同频正弦量相角之差称为相位差。用 表示。
i
u
反 相
t
u
正 交 0
i t 0
1 2
i
t
电 压 超 前 电 流
§8-3 相量法的基础
The notion of solving ac circuits using phasors
was first introduced by Charles Proteus Steinmetz
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
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F +1
Fe j 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不
变。故把 ej 称为旋转因子。当F除以旋转因子时，
相当于F顺时针旋转一个角度θ ，模不变。
几种特殊值时的旋转因子
,
2
j
e2
c
2
Im
+jF F
0
Re
-F -jF
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
第8章 相量法
重 点： 1. 正弦量的表示、相位差；
2. 正弦量的相量表示; 3. 电路定理的相量形式. 难 点：
电路的相量图
8.1 复 数
1.复数F的表示形式
代数形式 F=a+jb (j 1 为虚数单位)
+j b
F
+j
复平面形式 b
F
|F|
0
a
+1
0
a
+1
三角形式 F F cos j sin
若 F1=F2 则 a1 a2 b1 b2
图解法
2.复数的运算
(1)加减运算——采用代数形式
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
+j F2
0
F1 +1
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
(2) 乘法运算——采用指数形式或极坐标形式
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。即：一个复数乘以j，相当于把
该复数在复平面上逆时针旋转 ;一个复数乘以–j （或除以j ），
2
相当于把该复数在复平面上顺时针旋转
;一个复数乘以-1，相当
于该复数在复平面上反向。
2
8.2 正 弦 量
正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流。
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。
由于最大值发生在计时起点之后
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
3
3
t1＝1033 ＝1.047ms
3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+θu), i(t)=Imcos(w t+θi)
则 相位差 ： = (w t+θu)- (w t+θi)= θu-θi
等于初相位之差
规定： | | (180°)。
>0， u超前I 角，或i 落后u 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
θu θi
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
= (180o ) ，反相：
＝ 0， 同相：
u, i
u
i(t)=Imcos(w t+)
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率w
相位变化的速度， 反映正弦量变化的快慢。
w 2 f 2 T
(3) 初相位
单位：弧度 / 秒，符号，rad/s ，
i
T
反映正弦量的计时起点。 指正弦量在t=0时刻的相 位。用弧度或度表示。
通常取180 ~ 180之间
Im
/w O
欧拉公式 e j cos j sin
指数形式 F F e j
极坐标形式 F F e j F
两种表示法的关系：
+j
F=a+jb
直角坐标表示 b
F
F=|F|ej =|F|
极坐标表示
| F |
a2 b2
模
θ arctg b a
幅角
或
|F|
0
a
+1
a | F | cos
b | F | sin
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 +j
F ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ 0
| |
F1 F2
| |
1
2
除法：模相除，角相减。
例1 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
2 twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i 一般规定：|θ | 。
O
t
θ=0 θ=-/2
θ=/2
例
i
100
50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)的表达式。 （2）求最大值发生的时间t1。
t 解 i(t) 100cos(103 t )
t 0 50 100cos
1.正弦量
i
T
波形：
瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w O
周期T 和频率f : 周期T 和频率f 的关系 :
t
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：秒，符号，s，
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：赫(兹) ，符号Hz，
2.正弦量的三要素 (1) 幅值 (振幅、 最大值)Im
i2(t) 10cos(100 t 2) 2 5 4 3 4
(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2 (t) 10cos(100 t 1050 )
i2(t) 10sin(100 t 150 )
300 (1050 ) 1350
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
u, i
u
0
i
0
wt
u, i
u
= /2，
u 超前 i /2, 不说 u 落后 i 3/2；
i 落后u /2, 不说 i 超前u 3/2。
i 0
iw t wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1(t) 10cos(100 t 3 4) 3 4 ( 2) 5 4 0
则: F1 F2 F1 e j1 F2 e j2 F1 F2 e j(12 )
F1 F2 (1 2 ) 乘法：模相乘，角相加。
(3) 除法运算——采用指数形式或极坐标形式
F1 F2
| F1 |θ1 | F2 |θ2
| F1 | ejθ1 | F2 | ejθ2
| F1 | ej(θ1θ2 ) | F2 |
w1 w2
不能比较相位差
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100t 1500 )
i2(t) 3cos(100 t 300 )