【原创】行列式计算7种技巧7种手段

行列式计算7种技巧7种手段

编者:Castelu

【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读

一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T

111211121121222122221

212n

n n n n n nn

n

n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a =

技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号

111212122221222111211

21

2n

n n n

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-

技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

111112111112122122222212221

121

2n

n

n

n n n

i n n n n n nn

n n nn

b a b a b a a a a b a b a b a a a a b

b a b a b a a a a ==

∏

技巧4:行列式具有分行(列)相加性

11121111211112111221

21

21

2

1

21

2n n

n

t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn

n n nn n n nn

a a a a a a a a a

b

c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+

技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变

1112111

12112112212121

21

2

n n s s sn s t s t sn tn

t t tn t t tn n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=

技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积

111111111111111111

11000

m m n m mm m n m mm n nn

n nm

n nn

a a a a

b b a a

c c b b a a b b c c b b =

技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

1

1

(1,2,,)(1,2,,)n n

ik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑

二.7种手段:

【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式 手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算

1112

112212212122

a a a a a a a a =-,

111213

21222311223312233113213211233212213313223131

32

33

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---

手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)

定义:

12121211

12121222()121

2(1)n n n

n

n p p p p p np p p p n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

运用数学软件Matlab 按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A =

[ a, b, c, d] [ e, f, g, h] [ i, j, k, l] [ m, n, o, p] >> det(A) ans =

a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c *l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g

手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式

11121222100

n n

n ii i nn

a a a a a a a ==∏ ,

11212211

2000n

ii i n n nn

a a a a a a a ==∏

,

1

2

12()n n

λλλλλλ=

其余未写出元素均为零,

1

(1)2

2

12(1)

()n n n n

λλλλλλ-=-

其余未写出元素均为零

手段4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零

0a a e i b b f j

c c g k d

d

h

l

=

手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零

00000a e i b f j

c g k

d h l

=