范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(消费者剩余)

第10章 消费者剩余

1．假设效用函数是拟线性的，证明间接效用函数是价格的凸函数。

Suppose that utility is quasilinear. Show that the indirect utility function is a convex function of prices.

证明：假设效用函数具有()01x u x +的形式，考虑效用的下面形式的最大化问题：

将预算约束代进目标函数，把此问题变成无约束的最大化问题：

()1

111max x u x m p x +- 这有明显的一阶条件()11u x p '=。

这只要求物品1消费的边际效用等于它的价格。通过检查一阶条件可知，物品1的需求仅仅是物品1价格的函数，所以把需求函数写成()11x p 。物品0的需求可由预算约束

()0111x m p x p =-决定。把这些需求函数代进效用函数得间接效用函数：

()()()()()()()()1111111111111V p m u x p m p x p v p m

v p u x p p x p =+-

=+=-，其中（）

拟线性效用函数的间接效用函数可以写成：

()()V p m v p m =+，

由于支出函数是间接效用函数的反函数，因此得到支出函数为：

()()e p u u v p =-，

支出函数必然是价格的凹函数，这意味着()v p 是价格的凸函数。

2．埃尔斯沃思（Ellsworth ）的效用函数是(){}min U x y x y = ，，。埃尔斯沃思有150美元。x 和y 的价格都是1。他的老板想派他去另一个城市，那里x 的价格是1，y 的价格是2。老板不提高支付。埃尔斯沃思完全理解补偿和等价变动，他很是抱怨。他说虽然他不介意搬动本身,并且新城和老城一样愉快，但是搬家就像减少A 美元薪水那样坏。他又说如果他获得B 美元加薪的话他不介意搬家，求A 和B 。

Ellsworth ’s utility function is (){}min U x y x y = ，，. Ellsworth has ＄150 and the price of x and the price of y are both 1. Ellsworth ’s boss is thinking of sending him to another town where the price of x is 1 and the price of y is 2. The boss offers no raise in pay. Ellsworth, who understands compensating and equivalent variation perfectly, complains bitterly. He says that although he doesn’t mind moving for its own sake and the new town is just as pleasant as the old, having to move is as bad as a cut in pay of ＄A. He also says he wouldn ’t mind moving if when he moved he got a raise of ＄B. What are A and B equal to? 答：由效用函数(){}min U x y x y = ，，可以看出，x 和y 是互补的，这是里昂惕夫技术。由埃尔斯沃思的效用函数及预算约束可以解出，他对x 物品和y 物品的需求函数如下：

150x y

x y p p ==+ 将其代入效用函数求得间接效用函数为：

()150x y x y

U p p p p =+，， 由题意：原价格下减少A 美元的薪水后的效用与收入不变价格变动时的效用一样，因此，有如下表达式：

1501501112

A -=++。 同理，新价格下加薪

B 美元后的效用与原来效用一样，因此，有表达式：1501501112

B +=++。 解得：50A =，75B =。