湖南省长郡中学高考数学模拟试卷(二)理(扫描版,含解析)
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期二模数学试题含解析
长郡中学2024届高考适应性考试（二）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,2,1xA xx x B y y x =--<==<∣∣，则A B ⋂=（）A.(),3∞- B.()0,2 C.()1,2- D.()2,32.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2023a =（）A.2B.-2C.-1D.123.已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（）A.5,4- B.5,16- C.4,16D.4,44.蒙古包（Mongolianyurts ）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64π平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）A.(112π+平方米B.(80π+平方米C.(112π+平方米D.(80π+平方米5.儿童玩具纸风车（图1）体现了数学的对称美.取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，纸风车的主体部分就完成了（图2）.则（）A.OC OE =B.0OA OB ⋅>C.2OA OD OE+=D.0OA OC OD ++=6.已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A.()π5π2π,2π66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z B.()5π2π2π,2π33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦Z C.()4ππ2π,2π33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦Z D.()π2π2π,2π33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z 7.已知1sin cos ,0π5ααα-=≤≤，则πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.50-B.50 C.50-D.508.已知复数12,z z 满足112881i 1i z z z p p p p ⎛⎫+-+-+==+++ ⎪⎝⎭，（其中0,i p >是虚数单位），则12z z -的最小值为（）A.2B.6C.2D.2+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中最小值为2的是（）A.223y x x =++ B.1sin sin y x x=+C.122x xy -=+ D.1ln ln y x x=+10.若,x y 满足28()23x y xy +-=，则（）A.y x -≥B.2y x -<C.32xy >D.34xy ≥-11.在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为11A D 的中点，F 是正方形11BB C C 内部一点（不含边界），则（）A.平面1FBD ⊥平面11AC DB.平面11BB C C 内存在一条直线与直线EF 成30 角C.若F 到BC 边距离为d ，且221EF d -=，则点F 的轨迹为抛物线的一部分D.以11AA D 的边1AD 所在直线为旋转轴将11AA D 旋转一周，则在旋转过程中，1A 到平面1AB C 的距离的取值范围是,3535-+⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20，则实数m 的值为__________.13.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()1212f x f x f x x =，且当0x >时，()0f x >.若()()33f f a ='，则()f x 在点11,33f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为__________.（用含a 的表达式表示）14.已知双曲线22:13y C x -=的左､右焦点分别为12,F F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于,A B 两点（其中点A 在第一象限内），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =__________；1ABF 内切圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中4,sin a C c A ==-.（1）求A ；（2）已知直线AM 为BAC ∠的平分线，且与BC 交于点M ，若223AM =，求ABC 的周长.16.（本小题满分15分）如图，已知ABCD 为等腰梯形，点E 为以BC 为直径的半圆弧上一点，平面ABCD ⊥平面,BCE M 为CE 的中点，2,4BE AB AD DC BC =====.（1）求证：DM ∥平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面DCE 所成角的余弦值.17.（本小题满分15分）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ，求{}n a 的前n 项和;n S （3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值.18.（本小题满分17分）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的蒙日圆的面积为13π，该椭圆的上顶点和下顶点分别为12P P ､，且122PP =，设过点10,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线1l 与椭圆E 交于,A B 两点（不与12,P P两点重合）且直线2:260l x y +-=.（1）证明：12,AP BP 的交点P 在直线2y =上；（2）求直线122,,AP BP l 围成的三角形面积的最小值.19.（本小题满分17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,m n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111m m nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，且满足：()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++''''='='== .（注：()()()()()()()()()()()()()''''454,,,,;n f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''''⎦'''''⎡⎤====⋯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎣⎦⎦'⎣为()()1n f x -的导数）已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1axR x bx=+.（1）求实数,a b 的值；（2）比较()f x 与()R x 的大小；（3）若()()()()12f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,∞+上存在极值，求m 的取值范围.长郡中学2024届高考适应性考试（二）数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试试题 数学(理)【含解析】
湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，则 （ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的元素，从而求出A 的补集即可．或者将分别代入检验.【详解】解法1：，故 ，所以选C. 解法2：将分别代入检验，可得，故，所以选C.【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式解法，是基础题．2.若为第二象限角．则复数 （为虚数单位）对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应复平面的点，然后判断对应三角函数的符号即可得到答案. 【详解】解：因为为第二象限角．所以，即复数的实部为负数，虚部为正数，所以对应的点在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数对应的复平面的点的相关概念，难度较小.3.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.条件，条件，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【答案】A【解析】试题分析：条件等价于，条件等价于集合，因为，且，所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．考点：充分必要条件．5.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过判断原函数单调性和奇偶性脱离f，建立不等式关系解出即可.【详解】解：根据题意，函数，则，即函数为偶函数，当时，易得为增函数，则，变形可得：，解可得或，即的取值范围为故选：D．【点睛】本题主要考查函数的单调性，奇偶性以及通过函数性质解不等式问题，难度中等.6.如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何概型先求出，，再由条件概率公式求出．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形阴影部分内”，则，，．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.8.已知，则的展开式中的系数为（）A. B. 15 C. D. 5【答案】D【解析】由题意得，故求的展开式中的系数．∵，展开式的通项为．∴展开式中的系数为．选D．9.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数的图象，并且的图象如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点的坐标，根据可得，再利用两点间距离得出关于方程，从而解得渐近线方程.【详解】解：设因为点关于渐近线的对称点为，不妨设渐近线方程为，故有，解得，因为，所以，根据两点间距离可得，，即，即，即，即，可得，所以，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程、两点间距离公式等知识，解题时需要有较强的运算能力.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，，因此1字节可存放从至共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】将符合题意的二进制数列出，转化为十进制，然后相加得出结果.【详解】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为，，，，，，，共个.转化为十进制并相加得，故选B.【点睛】本小题主要考查二进制转化为十进制，阅读与理解能力，属于基础题.12.已知函数有唯一零点，则a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量满足，且，则在方向上的投影为_____．【答案】1【解析】【分析】通过向量的数量积及投影的相关概念建立方程即可得到答案.【详解】解：向量满足，且，则在方向上的投影为：．故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量的数量积，及投影的相关概念，难度较小.14.设满足约束条，则目标函数的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，通过目标函数表示的斜率式观察图像即可得到答案.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数的几何意义为区域内的动点到定点的斜率，由图象知的斜率最大，由得，此时的斜率，即的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划问题，在于考查学生的作图能力及转化能力，此题只需将目标函数化为斜率式即可得到答案.15.已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则_____．【答案】【解析】【分析】画出几何图像，建立几何关系，通过建立方程即可得到答案.【详解】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线的焦点，准线．又直线过定点，因为，所以为中点，连接，所以．设，所以，．作，则垂足为的中点，设，则，，求得、，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及学生的计算能力，难度中等.16.某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点在侧面的中线上．∵正四面体棱长为，∴，，，∴，设圆柱的底面半径为，高为，则．由三角形相似得：，即，圆柱的体积，∵，当且仅当即时取等号．∴圆柱的最大体积为．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知分别是的三个内角的对边，若，角是最小的内角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积为42，求的值．【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .【解析】【分析】(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理可得，结合，整理可得，又，利用同角三角函数基本关系式可求的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角形的面积公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求的值．【详解】(Ⅰ) 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又的面积为42，且，从而有，解得，又角是最小的内角，所以，且，得，由余弦定理得，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想。
2019届湖南省长郡中学高考模拟押题试卷(二)数学(理科)含答案
绝密★启封前2019届湖南省长郡中学高考模拟押题试卷（二）数学（理）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.(2019·郑州一模)设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()U AB =ð（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,3,4D ．{}2,3,4 2.(2019·保定市一模)设z 为复数12z i =-的共轭复数，则()2016z z -=（ ）A ．20162B ．20162- C ．20162i D ．i -3.（2019·河南八市质检）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-4.（2019·太原一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线方程为（ ）A ．22126x y -= B ．22162x y -= C.2213y x -= D ．2213x y -= 5.（2019·咸阳市二模）如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC.22π D ．221π-6.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．3± C.3 D ．3- 7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ） A ．4 B ．5 C.2 D ．38.（2019·海口市调研）cos104sin 80sin10-=（ ）A ．．39.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，下列命题中正确的是（ ）A ．(),x y D ∀∈，21x y +≤-B ．(),x y D ∀∈，22x y +≥-C ．(),x yD ∀∈，23x y +≤ D ．(),x y D ∀∈，22x y +≥10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ）A ．83 B ．52C.3 D ．2 11.（2019·昆明市统测）设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,-+∞ D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45-B ．35- C.35 D ．45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为60，则向量12e e +与212e e -的夹角为 ．14.（2019·东北四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 ．15.（2019·海口市调研）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a = ．16.（2019·山西四校联考）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1c o s c o s 2a Bb A c-=， 当()tan A B -取最大值时，角B 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （2019·成都市二诊）已知数列{}n a 中，11a =，又数列()2n n N na *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是首项为2、公差为1的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有 甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不 超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19. （2019·邯郸模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △ 是边长为30CBD CDB ∠=∠=，E 为棱PA 的中点.（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PB ==，求二面角P BC E --的余弦值.20. （2019·河南九校联考）已知椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的离心率为2，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ，使得3PQ AP=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. (2019·唐山市二模)设函数()()21ln 2x f x k x k x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若k 为正数，且存在0x 使得()2032f x k <-，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM △面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；（2）已知a ，b ，c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++≥++. 试卷答案一、选择题1-5：AADCA 6-10：DABBA 11、12：DD二、填空题13.23π 14.丙 15.2 16.6π 三、解答题17.解析：（1）∵数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， ∴()2211nn n na =+-=+， 解得()21n a n n =+.（2）∵()211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.∴11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 18.解析:（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=， 两人都付40元的概率为2121233P =⨯=，两人都付80元的概率为311121111142634624p ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=. （2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，()11104624P ξ==⨯=，()121114043264P ξ==⨯+⨯=，()11121158046234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1112112026434P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=，ξ的分布列为()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解析：（1）证明：如图，取AB 的中点F ，连接EF 、DF ，∴//EF PB ，∵30CBD FDB ∠=∠=，ABC △为正三角形， ∴//DF BC ，∵EF DF ⊂、平面DEF ，PB BC ⊂、平面PBC ， ∴平面//DEF 平面PBC ，∵DE ⊂平面DEF ， ∴//DE 平面PBC . （2）∵2PA PB ==， ∴PF AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ， ∴PF ⊥平面ABCD ，且1PF =，连接DF ，分别取FB ，FD ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则点()A ，)B，)2,0C，()0,3,0D ，()0,0,1P ，122E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面BCP 的法向量为(,m x y =，则()0,2,0BC =，()BP =， ∴0m BC ⋅=，0m BP ⋅=，0y =，1x =即(m =，设平面BCE 的法向量为(,n a b =，122BE ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴13a =，0b =，∴13n ⎛= ⎝.∴57cos ,m n m n m n⋅<>==⋅20.解析：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，令0y =，得4x =±，所以4a =，又离心c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=，所以W 的方程为221164x y +=. （2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()224,1,164y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得到()2222143264160k x k x k +++-=，因为4-为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+，所以214AP k =+.因为圆心到直线AP的距离为d =，所以AQ ===， 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-，代入得到222221433113111PQk k AP k k k+=-=-==-+++， 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=.21. 解析：（1）()()()()2111x k x k x x k k f x x k x x x+--+-'=+--==，（0x >），①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0k >时，()0,x k ∈，()0f x '<；(),x k ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增.（2）因为0k >，由（1）知()232f x k +-的最小值为()2233ln 222k f k k k k k +-=+--， 由题意得23ln 022k k k k +--<，即31ln 022k k k +--<. 令()31ln 22k g k k k =+--，则()222113230222k k g k k k k -+'=-+=>， 所以()g k 在()0,+∞上单调递增，又()10g =， 所以()0,1k ∈时，()0g k <，于是23ln 022k k k k +--<； ()1,k ∈+∞时，()0g k >，于是23ln 022k k k k +-->.故k 的取值范围为01k <<. 22. 解析：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），所以普通方程为()()22344x y -++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得()()22cos 3sin 44ρθρθ-++=，化简可得圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=.（2）点(),M x y 到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM △的面积12cos 2sin 9924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM △面积的最大值为9+23.证明：（1）∵a b ≠，∴0a b -≠，∴2220a ab b -+>，∴22a ab b ab -+>，而a ，b 均为正数，∴0a b +>，∴()()()22a b a ab b ab a b +-+>+，∴3322a b a b ab +>+成立. （2）∵a ，b ，c 都是正数，∴222222a b b c acb +≥，222222a b c a bca +≥，222222c a b c abc +≥，三式相加可得()()22222222a b b c c a abc a b c ++≥++， ∴()()222222a b b c c a abc a b c ++≥++，∴222222a b b c c a abc a b c++≥++.。
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷(二)理科数学试题(解析版)
2018届湖南省长沙市长郡中学高考模拟卷（二）理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用集合并集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，由结合并集的定义可得.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2. 若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标即可得结论.详解：由，得，复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3. 设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合指数函数的单调性可得，利用“特值法”可判断，错误，利用指数函数性质可得正确.详解：因为，所以由指数函数的单调性可得，因为的符号不确定，所以时可排除选项；时，可排除选项，由指数函数的性质可判断正确，故选D.点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x|x2﹣4x+3≤0，x∈N}，则∁U A＝（）A．{1，2，3}B．{3，4，5}C．{4，5}D．{x|x＜0 或x＞3}2．（5分）若θ为第二象限角．则复数z＝cosθ+i sinθ（i为虚数单位）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100B．99C．98D．974．（5分）条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件5．（5分）设函数f（x）＝ln（x2+1），则使f（2x）＞f（x+1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．D．6．（5分）如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知，则的展开式中x4的系数为（）A．﹣15B．15C．﹣5D．59．（5分）把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，并且g（x）的图象如图所示，则f（x）的表达式可以为（）A．f（x）＝2sin（x+）B．f（x）＝sin（4x+）C．f（x）＝sin（4x﹣）D．f（x）＝2sin（4x﹣）10．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±x11．（5分）电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte）”是更大的存储单位，1Byte＝8bit，因此1字节可存放从00000000（2）至11111111（2）共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（）A．254B．381C．510D．76512．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．﹣B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量，满足＝2，且＝（1，），则在方向上的投影为．14．（5分）•设x，y满足约束条，则目标函数的最大值为．15．（5分）已知直线y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为C 的焦点，若|F A|＝2|FB|，则k＝．16．（5分）某工厂现将一棱长为的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4a sin B+3b cos A．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为42，求b的值．18．（12分）如图，在多而体ABCDE中，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD＝CD＝，AE＝2．（1）证明：平面EBD⊥平面BCD；（2）求平面BED与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆C ：＝l（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设A、B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值．20．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：12345包裹重量（单位：kg）包裹件数43301584公司对近60天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～50050150250350450包裹件数（近似处理）天数6630126以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣m（m∈R）．（1）若函数f（x）有两个零点，求m的取值范围；（2）证明：当m≥﹣3时，关于x的不等式f（x）+（x﹣2）e x＜0在上恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2a cosθ（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为（2，π），，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：A＝{x|x2﹣4x+3≤0，x∈N}＝{x|1≤x≤3，x∈N}＝{1，2，3}，则∁U A＝{4，5}，故选：C．2．【解答】解：因为θ为第二象限角．所以cosθ＜0，sinθ＞0，即复数z的实部为负数，虚部为正数，所以z对应的点在第二象限．故选：B．3．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，故选：C．4．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选：A．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（x2+1），则f（﹣x）＝ln[（﹣x）2+1]＝ln（x2+1）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，当x≥0时，易得f（x）为增函数，则f（2x）＞f（x+1）⇒f（|2x|）＞f（|x+1|）⇒|2x|＞|x+1|，变形可得：3x2﹣2x﹣1＞0，解可得x＜﹣或x＞1，即x的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）故选：D．6．【解答】解：如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF（阴影部分）内”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝＝．故选：B．7．【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：P A⊥底面ABCD，AC＝，CD＝，PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△P AB，△PBC，△P AD．故选：C．8．【解答】解：由已知＝﹣cos x＝2，所以＝（+1）2（x﹣1）5＝（x+2+1）（x5﹣x4+x3﹣x2+x﹣1），所以x4＝5，故选：D．9．【解答】解：设g（x）＝2sin（ωx+φ），∵由图象可得g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ＝，∴φ＝+2kπ，k∈Z，或φ＝+2kπ，k∈Z（舍去），则g（x）＝2sin（ωx+）．由五点法作图可得•ω+＝2π，∴ω＝2，故g（x）＝2sin（2x+）．由题意可得，把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin （4x+），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数f（x）的图象，即f（x）＝2sin（4x﹣4•+）＝2sin（4x﹣）＝2sin（4x+），故选：B．10．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝x，F2的对称点为A（m，n），即有＝﹣，且•n＝•，解得m＝，n＝，A满足∠F1AO＝∠AOF1，可得|AF1|＝|OF1|＝c，即有（+c）2+＝c2，结合c2＝a2+b2，化为c＝2a，即b＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．11．【解答】解：根据题意，可知符合题意的数为：11（2），110（2），1100（2），…11000000（2）共7个，化成十进制数后，它们可以构成以3为首项，2为公比的等比数列，故计算结果为3×＝381．故选：B．12．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1+）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a＝，符合条件；综上所述，a＝，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：向量，满足＝2，且＝（1，），则在方向上的投影为：||cosθ＝＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．目标函数的几何意义为区域内的动点（x，y）到定点D（﹣1，﹣3）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由得A（0，1），此时AD的斜率z＝＝4，即z的最大值为4．故答案为：4．15．【解答】解：由题意利用定义，结合其他几何性质可得抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线x＝﹣1．又直线y＝k（x+1）过定点P（﹣1，0），因为|F A|＝2|FB|，所以B为AP中点，。
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞15．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.1517．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC ＝8，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|x＜3}．故选：B．2．（5分）若iz＝﹣1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵iz＝﹣1+i，∴z＝，∴，则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：C的方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即充分性成立，双曲线﹣x2＝1的渐近线方程也是y＝±2x，即必要性不成立，故“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）若2m＞2n＞1，则（）A．B．C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＞1【解答】解：∵2m＞2n＞1，∴m＞n＞0，∴，m＜，ln（m﹣n）与0的大小关系不确定，πm﹣n＞1．因此只有D正确．故选：D．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故选：D．6．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126B．3.144C．3.213D．3.151【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的两个数x，y，求x2+y2≤1的概率，∵x∈（0，1），y∈（0，1），对应的平面区域面积为：1×1＝1，而x2+y2＜1对应的平面区域的面积为：π，故由题意可得：＝，解得：π＝3.144，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T＝π，所以ω＝＝4，所以f（x）＝sin（4x+φ）；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝sin（4x﹣），令4x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；k＝0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．8．（5分）《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．144种B．48种C．36种D．72种【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，②，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有＝36（种），故选：C．9．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，点M与直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6＝|AF|+|BF|＝|AF′|+|AF|＝2a，∴a＝3；取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥2；∴e＝＝＝≤＝，∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故选：B．10．（5分）已知变量x，y满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．1C．D．【解答】解：变量x，y满足条件的可行域如图：目标函数的几何意义是，分母是可行域内的点与坐标原点的距离，分子是直线x﹣y＝u，如图中的红色线，当红色线经过D时目标函数取得最大值．最大值为：＝．故选：C．11．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin60°×＝，AO1＝＝＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝6BE，∴DE＝2.5，在△DEO1中，O1E＝＝，∴OE＝＝＝，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为＝，最小面积为π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且对任意的实数x都有f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x）（e是自然对数的底数），且f（0）＝1，若关于x的不等式f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣e，0]B．[﹣e2，0）C．[﹣e，0）D．（﹣e2，0]【解答】解：∵f'（x）＝e﹣x（2x+3）﹣f（x），∴e x[f（′x）+f（x）]＝2x+3，∴e x f（x）＝x2+3x+c，∵f（0）＝1，∴1＝0+0+c，解得c＝1∴f（x）＝（x2+3x+1）e﹣x，∴f′（x）＝﹣（x2+x﹣2）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x+2）e﹣x．令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，可得：x＝1时，函数f（x）取得极大值，x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，∵f（1）＝，f（﹣2）＝﹣e2＜0，f（﹣1）＝﹣e，f（0）＝1＞0，f（﹣3）＝e3＞0∴﹣e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有两个整数恰有两个整数﹣1，﹣2．故m的取值范围是（﹣e，0]，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中的常数项是﹣11．【解答】解：∵＝（2x+1）•（1﹣+﹣+﹣+），故它的展开式中的常数项是1﹣12＝﹣11，故答案为：﹣11．14．（5分）已知数列{a n}的首项为3，等比数列{b n}满足，且b1009＝1，则a2018的值为3．【解答】解：等比数列{b n}满足，∴lna n+1﹣lna n＝lnb n，∴lna2018﹣lna2017＝lnb2017，lna2017﹣lna2016＝lnb2016，……，lna2﹣lna1＝lnb1，∴lna2018﹣lna1＝ln（b1•b2•……b2017）＝ln＝ln1＝0，∴a2018＝a1＝3．故答案为：3．15．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠D＝150°，AB＝2BC＝8，则四边形ABCD的面积为．【解答】解：如图，连接AC，可得∠DCB＝105°在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BC2+BA2﹣2BCBA cos60°＝48．∴AB2＝AC2+BC2，∴∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∠DCA＝∠DAC＝15°．∴tan15°．∴四边形ABCD的面积为12×）+8＝24﹣4．故答案为：24﹣4．16．（5分）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成，λ、μ∈R的形式，则λ+μ的取值范围为[﹣1﹣，1+]．【解答】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON＝，OM＝1，∴＝+，此时λ+μ＝1+；同理可得：＝+＝﹣﹣，此时λ+μ＝﹣1﹣；∴λ+μ的最大值为1+，最小值为﹣1﹣．故答案为：[﹣1﹣，1+]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．18．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，P A＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3（1）求证：平面P AB⊥面ABCD（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3．∴OC＝，OD＝，CD＝，∵OD2＝OC2+DC2＝10，∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，∴CD⊥PO．∵P A＝PB＝AB，O为AB中点，∴PO⊥AB，∴PO⊥底面ABCD，∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥面ABCD…（6分）（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．在Rt△OCD中，CM＝＝，在Rt△PCD中，CN＝＝，所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…（12分）19．（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20，30），[30，40），…，[80，90），并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[20，30），[30，40），[40，50）内的学生人数比为2：3：5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40）内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20，30）内的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）100﹣100×10×（0.04+0.02×2）＝20（人）（Ⅱ）由已知条件可知：[20，50）内人数为：100﹣100×10×（0.04+0.02+0.02+0.01）＝10；[20，30）人数为2人，[30，40）人数为3人，[40，50）人数为5人．X的可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝P（X＝1）＝P（X＝2）＝，所以X的分布列为．（Ⅲ）第五组．20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若△BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为△P AC的重心，探求△P AC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，由△BF1F2为等腰直角三角形可得b＝c，直线BF1：y＝x+b被圆x2+y2＝b2所截得的弦长为2，即BF1＝2，所以a＝2，，所以椭圆的方程为．（2）若直线l的斜率不存在，则．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），即则，，，由题意点O为△P AC重心，设P（x0，y0），则，，所以，，代入椭圆，得，整理得，设坐标原点O到直线l的距离为d，则△P AC的面积＝＝＝．综上可得△P AC的面积S为定值．21．（12分）设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．【解答】解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）＝1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）＝f（x）﹣ax3＝x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）＝，令h（x）＝，则h′（x）＝，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）＝0，则x ≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）＝0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a＝，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x＝（）2n，则＜（）2n，∴请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是，∴，∴直线l的极坐标方程是，由，消参数得x2+（y﹣2）2＝4，∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4sinθ．…5分（Ⅱ）将θ＝β分别带入ρ＝4sinθ，，得|OP|＝4sinβ，，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是．…10分[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷(二)数学(理)试卷及答案解析
湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷(二)数学(理)试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知}*|3A x N x =∈≤，{}2|40B x x x =-≤，则A B =（ ）A.{}1,2,3B.{}0,1,2,3C.(]0,3D.[]0,32.下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中假命题为（ ）A.z = B.22z i = C.z 的共轭复数为1i +D.z 的虚部为-13.如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率4.数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ）A.35 B.35C.5D.-55.(101-的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A.220-B.90-C.90D.06.已知三个数a 、b 、c ，其中13log 2a =-，21log 33b =，122log 3c =，则a 、b、c 的大小关系是（ ） A.c a b << B.a b c <<C.a c b <<D.c b a <<7.已知2sin()cos()33ππαα+=+，则sin 2α=（ ） A.1-B.1C.12D.08.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A.378B.306C.268D.1989.设不等式组12200x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域为M ，在M 内任取一点(),P x y ，1x y +≤的概率是（ ）A.17B.27C.15D.2510.已知圆x 2+y 2=r 2(r >0)与抛物线y 2=2x 交于A,B 两点，与抛物线的准线交于C,D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于 ( )A. √22 B. √2 C. √52 D. √511.已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A.6B.C.D.912.如图，α，β，γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角l αβ--大小为60°，γ在二面角l αβ--内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α，β内的射影分别为椭圆1C ，2C .记椭圆1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的取值范围是（ ）A.13,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.15,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.15,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________． 14.已知向量,a b ，满足：(1,3)a =，||2b =，()a b b -⊥，则向量,a b 的夹角为______.15.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________． ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件三、解答题（题型注释），B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若满足22()(2a b c bc =-+-．（1）求角A 的大小；（2）若1cos 21cos 2A aB b-=-，且ABCS=c ．17.已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程． 18.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若()()11h x f x ex=+-，求证：()h x 有且只有两个零点； （2）不等式()()112mm gx x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+ ⎪⎣⎦⎝⎭对0x >恒成立，求实数m 的取值范围． 19.在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中01a <<，01b <<．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X （单位：元）． （i ）设5500X =时的概率为m ，求当m 取最大值时，利润X 的分布列和数学期望； （ii ）设某数列{}n x 满足10.4x =，n x a =，12n x b +=，若0.25n x <对任意n t ≥恒成立，求整数t 的最小值．20.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为{x =a −√22ty =1−√22t（t 为参数，a∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+3cosθ−ρ=0.（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）求已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |=3|PB |，求实数a 的值. 21.已知函数f (x )=|x +1|.（1）求不等式f (x )<|2x +1|−1的解集M ；（2）设a,b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )−f (−b ).四、新添加的题型22.十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：11a =，21a =，12n n n a a a --=+()3,n n N *≥∈，记其前n 项和为n S ，（1）2n n a S +-___________()1,n n *≥∈N ．（2）设2020a x =，2021a y =（x ，y 为常数），1232020a a a a +++⋯+=___________．参考答案1.A【解析】1.首先可以确定集合{}1,2,3A =，然后通过求解240x x -≤得出集合{}|04B x x =≤≤，最后通过交集的相关性质即可得出结果. 因为{}*|3A x N x =∈≤，所以{}1,2,3A =，因为240x x -≤，即()40x x -≤，解得04x ≤≤， 所以{}|04B x x =≤≤，{}1,2,3A B =，故选：A ． 2.C【解析】2.利用复数的乘除运算可得211z i i==---+，根据复数模的求法可判断A ；利用复数的乘法运算可判断B ；利用共轭复数的概念可判断C ；利用复数的概念可判断D. 由211z i i==---+，对于A ，z ==A 为真命题；对于B ，由1i z =--，则()2212z i i =--=，故B 为真命题； 对于C ，z 的共轭复数为1i -+，故C 为假命题； 对于D ，由1i z =--，z 的虚部为-1，故D 为真命题. 故选：C 3.D【解析】3.根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解. 由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：对于A 中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A 正确； 对于B 中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；对于C 中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；对于D 中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了988858844-=， 2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=， 显然753744>，故D 错误. 故选：D . 4.B【解析】4.根据已知条件，由等差中项的性质1532222111a a a +=⨯+++得到关于5a 的方程，求解即得.由于数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以1532222111a a a +=⨯+++， 又11a =，313a =-，∴52222111113a +=⨯++-+，解得535a ， 故选：B. 5.D【解析】5.由题意利用二项展开式的通项公式，求出x 的系数与4x 的系数，再求其差即可.∵(101-的二项展开式中，通项公式为()21101r rr r TC x +=⋅-，故x 的系数与4x 的系数之差为2810100C C -=， 故选：D . 6.D【解析】6.本题首先可以将13log 2a =-转化为3log 2a =，根据1323>得出113a <<，然后将21log 33b =转化为2log 313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据2log 31>得出103b <<，最后根据2c <-即可得出结果. 因为133log 2log 2a =-=，83>，所以1323>，113a <<，因为222log 3log log 3311333b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2log 31>，所以103b <<， 因为1222log 32log 32c ==-<-，所以c b a <<，故选：D . 7.A【解析】7.利用两角和的正弦和余弦公式求出tan α的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出sin 2α的值.2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11cos sin cos 2222αααα∴-=-，可得)(1cos 1sin αα=，tan 1α∴=-.因此，()222212sin cos 2tan sin 22sin cos 1sin cos tan 12ααααααααα⨯-=====-++. 故选：A. 8.D【解析】8.分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可. 解：分两种情况讨论.①若选两个国内媒体一个国外媒体,有21263290C C A 种不同提问方式；②若选两个外国媒体一个国内媒体,有123633108C C A 种不同提问方式. 所以共有90108198种提问方式.故选：D 9.A【解析】9.本题首先可以绘出不等式组所表示的平面区域并求出其面积，然后找出满足1x y +≤的平面区域并求出其面积，最后两者相除，即可得出结果.如图，绘出不等式组12200x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎪⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域M ，如图所示，平面区域M 即四边形OABC ，1,0A ，()0,1C ，()4,3B ， 面积1117342433222S ， 因为在M 内任取一点(),P x y 且满足1x y +≤， 所以满足条件的区域为OAC ，其面积2111122S =⨯⨯=， 则在M 内任取一点(),P x y 且满足1x y +≤的概率21112772S PS ， 故选：A ． 10.C【解析】10.画出图形，由四边形ABCD 是矩形可得点A,D 的纵坐标相等．根据题意求出点A,D的纵坐标后得到关于r 方程，解方程可得所求． 由题意可得，抛物线的准线方程为x=−12．画出图形如图所示．在x 2+y 2=r 2(r >0)中，当x =−12时，则有y 2=r 2−14．① 由y 2=2x 得x =y 22，代入x 2+y 2=r 2消去x 整理得y 4+4y 2−4r 2=0．②结合题意可得点A,D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等， 由①②两式消去y 2得(r 2−14)2+4(r 2−14)−4r 2=0， 整理得16r 4−8r 2−15=0，解得r 2=54或r 2=−34（舍去）， ∴r=√52．故选C ． 11.D【解析】11.设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点,则11////EF B D NH ,1////MN B A FG ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因此,结合题中所给数据即可求出六边形MEFGHN 的面积2EFGH S S 梯形.如图所示,设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点, 则11////EF B D NH ,1////MN B A FG ,所以//NH 平面11AB D ,//MN 平面11AB D , 又NHMN N =,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部, 因为2AB AD ==,14AA =,所以EF HN ==EM MN FG GH ====GM =E 到GM 2=,所以六边形MEFGHN 的面积22922EFGH S S +==⨯⨯=梯形, 故选:D. 12.C【解析】12.显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设2AB =，在平面α内的投影为11A B ，平面β内的投影为22A B ，设MOH θ∠=，πθ0,3则3MON πθ∠=-，根据锐角三角函数表示出11A B ，22A B ，再利用三角恒等变换及三角函数的性质求出取值范围.解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2，要求椭圆的离心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设2AB =，在平面α内的投影为11A B ，平面β内的投影为22A B ，设MOH θ∠=，πθ0,3则3MON πθ∠=-则11cos 2cos A B AB θθ==，222cos 3A B πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以222221221cos c a b e a a θ-===-，222222221cos 3c a b e a a πθ-⎛⎫===-- ⎪⎝⎭2222121cos 1cos 3e e πθθ⎛⎫-+-- ⎪⎝+=⎭∴222131cos 1cos cos sin 424θθθθθ-+---=251cos sin cos 422θθθ--=1sin 2261πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭52,666πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭1sin 2,162πθ⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦113sin 2,26241πθ⎛⎫⎡⎫-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭∴即221213,24e e ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭故选：C13.2【解析】13.试题令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2．14.4π【解析】14.根据()a b b -⊥，利用平面向量的数量积运算求得=2a b ⋅，然后结合(1+a =，||2b =，由夹角公式cos ,a b a b a b⋅=⋅求解.因为(1,3)a =， 所以(1+a =，又因为()a b b -⊥，所以2()==0a b b a b b -⋅⋅-， 解得=2a b ⋅，所以cos ,222a b a b a b⋅===⋅⋅， 因为[],0,a b π∈， 所以a,b 4π=，故答案为：4π 15.②④【解析】15.根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,P A P A P A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断. 因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故④正确； 因为()()()123523,,101010P A P A P A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故②正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=， 故①③错误. 故答案为：②④ 16.（1）6A π=；（2）c =．【解析】16.（1）根据余弦定理公式即可求出；（2）根据正弦定理和二倍角公式即可求出a b =，再根据三角形的面积公式求出a ，再根据余弦定理即可求出边长c ．（1）由22()(2a b c bc =-+-得222a b c =+，∴222cos 2b c A bc a +===-， ∵0A π<<， ∴6A π=；（2）∵1cos 21cos 2A a B b -=-，∴222sin 2sin A a B b =，即22a ab b=，∴1a b =，即a b =； ∴6B A π==，2()3C A B π=π-+=；又2112sin sin 223ABC S ab C a π===△2a =； ∴2222222cos 22222cos123c a b ab C π=+-=+-⨯⨯=，解得边长c =． 17.（1）22142x y +=；（2）220x y ++=.【解析】17.（1）根据题意，先得到椭圆焦点坐标，再由2PQ =，得到222b a=，根据焦点坐标得到2222c a b =-=，两式联立，求出24a =，22b =，即可得出结果；（2）先由题意，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，联立直线与椭圆方程，求出点B 坐标，根据对称性，得到M 的坐标，再由直线斜率公式，即可求出结果. （1）因为抛物线2:C y =的焦点为)，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为()),，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a =，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=. 18.（1）证明见解析；（2）2m e≥．【解析】18.（1）先研究()h x 的单调性得()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，再根据零点的存在性定理分别研究()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且只有唯一零点即可； （2）将问题转化为()()221ln 1ln mxmx ee x x +≥+恒成立，再研究函数()()()1ln 0F x x x x =+>的单调性得()F x 在()0,∞+上单调递增，故有2mx e x ≥，变形在研究()ln H x xx=的最大值即可. （1）证明：函数()1ln 1h x x ex=+-，a R ∈，其定义域为()0,∞+． 所以()22111'0ex h x x ex ex -=-==,解得1=x e， 所以()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 又11ln 1110e e h ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，223311ln 140e e h e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭， 所以()h x 在311,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，且在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭也有且只有唯一零点， 同理10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2211ln 10h e e e e =+-=>，∴()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点． 所以()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点，且在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，因此()h x 有且只有两个零点．（2）不等式1()12()mm g x x f x x ⎛⎫⎡⎤+≥+⎪⎣⎦⎝⎭对0x >恒成立． 即()112ln mxm e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，()()2211ln mx mx e x x +≥+，即()()221ln 1ln mxmx ee x x +≥+．令()()()1ln 0F x x x x =+>，()1'1ln F x x x=++． 令()11ln G x x x =++，()22111'x G x x x x-=-=， 可得：1x =时，函数()G x 取得极小值，()120G =>．∴()'0F x >，∴()F x 在()0,∞+上单调递增，∴2mx e x ≥． 两边取对数可得：2ln mx x ≥，即ln 2m x x ≥．令()ln H x xx =，()0,x ∈+∞． ()21ln 'xH x x-=，可得x e =时，函数()H x 取得极大值即最大值． ∴()()1H x H e e ≤=．∴12m e ≥．即2m e≥． 19.（1）0.432；（2）（i ）分布列见解析，数学期望为4900；（ii ）4．【解析】19.（1）由3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”计算概率；（2）（i ）X 的值分别为4000，4500，5000，5500，6000，利用基本不等式求出当5500X =时的概率的最大值及此时的a 、b 的值，列出分布列并求数学期望；（ii ）由所给等式通过变形求出数列{}0.2n x -的通项公式，从而求得数列{}n x 的通项公式，代入不等式组12(0.35,0.6)n b x +=∈、0.25n a x =<，即可求得满足条件的t 的最小值. （1）由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”. 所以30.4(10.4)(10.4)0.432P =⨯⨯-⨯-=.（2）（i ）由题可得X 的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.(4000)0.40.40.16P X ==⨯=，(4500)20.40.8P X a a ==⨯⨯=，22(5000)20.40.8P X a b a b ==+⨯⨯=+，(5500)2P X ab ==，2(6000)P X b ==，所以20.36(5500)220.1822a b P X ab +⎛⎫==≤⨯== ⎪⎝⎭，取最大值的条件为0.3a b ==， 所以分布列为：40000.1645000.2450000.3355000.1860000.094900E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）由题可得120.6n n x x a b ++=+=，所以110.32n n x x +=-+， 化简得()110.20.22n n x x +-=--，即{}0.2n x -是等比数列，首项为10.20.2x -=，公比为12-，所以110.2(0.40.2)2n n x -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，化简得110.212n n x -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.由题可知：①1120.41(0.35,0.6)2n n b x +⎡⎤⎛⎫==+-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦111822n ⎛⎫⇒-<-< ⎪⎝⎭，解得2n =或3n >； ②111110.210.25224n n n a x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-<⇒-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n 为偶数时，上述不等式恒成立；当n 为奇数时，11124n -⎛⎫-<⎪⎝⎭，解得5n ≥；综上所述，t 的最小值为4. 20.（1）x −y −a +1=0,y 2=3x （2）712或1348.【解析】20.（1）利用参数方程、普通方程与极坐标方程的转化方法，求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程.（2）先将曲线C 1的方程转化为标准参数方程，然后将其代入曲线C 2的直角坐标方程中，因曲线C 1和曲线C 2有两个交点，所以整理后的关于t 的二次方程Δ>0，初步确定a 的范围，再根据参数方程的几何意义可知|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，引入已知|PA |=3|PB |，分类讨论，求实数a 的值. （1）C 1的参数方程{x =a −√22ty =1−√22t，消参得普通方程为x−y −a +1=0，C 2的极坐标方程化为ρ2cos 2θ+3ρcosθ−ρ2=0即y 2=3x ；（2）将曲线C 1的参数方程标准化为{x =a +√22ty =1+√22t（t 为参数，a∈R ）代入曲线C 2:y 2=3x 得t2−√2t +2−6a =0，由Δ=(−√2)2−4×1(2−6a )>0，得a> 14设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|=3|t 2|即t 1=3t 2或t 1=−3t 2，当t 1=3t 2时，{t 1=3t 2t 1+t 2=√2t 1t 2=2−6a，解得a =1348> 14，当t 1=−3t 2时，{t 1=−3t 2t 1+t 2=√2t 1t 2=2−6a解得a =712，综上：a=712或1348.21.(1)M ={x | x <−1或 x >1}；(2)证明见解析.【解析】21.试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明|ab +1|>|a +b |，再两边平方，因式分解转化为证明(a 2−1)(b 2−1)>0，最后根据条件a 2>1,b 2>1确定(a 2−1)(b 2−1)>0成立.试题解析：（1）∵f (x )<|2x +1|−1，∴|x +1|−|2x +1|+1<0.当x <−1时，不等式可化为−x −1+(2x +1)+1<0，解得x <−1，∴x <−1；当−1≤x ≤−12,不等式可化为x +1+(2x +1)+1<0，解得x <−1， 无解； 当x>−12时，不等式可化为x +1−(2x +1)+1<0，解得x >1，∴x >1.综上所述，A ={x |x <−1 或x >1}.（2）∵f (a )−f (−b )=|a +1|−|−b +1|≤|a +1−(−b +1)|=|a +b |， 要证f (ab )>f (a )−f (−b )成立，只需证|ab +1|>|a +b |，即证|ab +1|2>|a +b |2，即证a 2b 2−a 2−b 2+1>0,即证(a 2−1)(b 2−1)>0.由（1）知，A ={x |x <−1 或x >1}，∵a 、b ∈A ，∴a 2>1,b 2>1，∴(a 2−1)(b 2−1)>0成立.综上所述，对于任意的a 、b ∈A 都有f (ab )>f (a )−f (−b )成立.22.1 1x y +-【解析】22.由斐波那契数列{}n a 满足以下关系12n n n a a a --=+，利用迭代法可得2112311n n n n n a a a a a a a S ++=+=+++++=+，从而可得()*211,n n a S n n N +-=≥∈；利用迭代法可知奇数项的和为1201811a S x x +=+-=，偶数项的和为2019202111S a y =-=-，进而可求解.因为斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+， ∴312a a a =+；423121a a a a a =+=++；5341231a a a a a a =+=+++；…2112311n n n n n a a a a a a a S ++=+=+++++=+；故()*211,n n a S n n N+-=≥∈．所以2018202011S a x =-=-， 因为13520191123420172018a a a a a a a a a a a ++++=+++++++1201811a S x x =+=+-=． 24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++2019202111S a y ==-=-．故答案为：1，1x y +-．。
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考高考数学二模试卷 理(含解析)
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6}2．（6分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．64．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣10077．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6}D．{x|3≤x＜6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．解答：解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．（6分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使得B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∀x∈R，e x＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．解答：解：A．∀x∈R，e x＞0，因此是假命题；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则，∴a=6．故体积．故答案为C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能．4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数y=f（x+1）为偶函数，故A、B、C都不正确，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率．解答：解：已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：=，故选A．点评：本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算能力．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．7．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p考点：分段函数的应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．．故选B．点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．10．（6分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【选做题】11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD•AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答：解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD•AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．【【选做题】12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．解答：解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|===≥=．当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．【选做题】13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈R，f（x）≥f（3）=f（4）都成立，则k的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之和，即：即2≤k≤3成立，求解即可．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|，∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立，∴根据绝对值的几何意义得出：即2≤k≤3．故答案为：点评：本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设a=（sinx+cosx）dx，则二项式的展开式的常数项是﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．解答：解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，则二项式=，它的展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•，令3﹣r=0，求得 r=3，故展开式的常数项是﹣=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，取最小值，最小值为1，∈．∴===2﹣，∵∈．∴的最大值为：．故答案为：．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．三．解答题17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X 的分布列和X的数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1﹣P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X 1 2 3 4PX的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．点评：本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab 的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在上的单调递减区间为；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥B D，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．解答：解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．点评：题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足S n＞0的所有正整数n．解答：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=﹣3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣，故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．解答：解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在上为增函数，故f′（x）的值域为，即．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．。