30°、45°、60°角的三角函数值
九年级数学《30°,45°,60°角的三角函数值》
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2 2a 2
tan 45 a 1 a
60° 45°
归纳总结 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角 三角 a 函数
sin a
cos a
tan a
30°
1 2
45°
60°
两点反思
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系. （互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或 减小）而 _增__大__（__或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _减__小__（__或增大）.
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB.
C
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∠A=30°，
sin A CD 1， AC 2
A
D
B
cos A AD 3 ， AC 2
tan B CD 3 ， BD 2
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC 7 , AC 21,
当堂练习
1. 3tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ D ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
2.在△ABC中，若 sin A．30° B．60°
A 1 2
C．90°
cos B 3 2
D．120°
，
0则∠C=（
D
）
3.已知cosα
北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》
= −+
=2 −
课堂练习
6.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至
顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼
离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
解：由已知得DC=EB=20m
∵tan∠ADC=tan45°=
∴AC=DC∙tan45°
°
（3）
+°
+
°
课堂练习
解： (1)1－2 sin30°cos30°
=1-2× ×
=1-
°
(3)
+°
=
+
+
+
=2- +
=2
°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
=3×
−+×
O
C
B
A
D
答：最高位置与最低位置的高度差约为0.34m。
随堂练习P12
8
驶向胜利
的彼岸
八仙过海,尽显才能
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,
B
扶梯的长度是多少?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
老师期望:
sin30°=
sin60°=
=
2a
2
2a
a
3a 3
1
=2
cos30°=
2.2_30度_45度_60度角的三角函数值
特殊角的三角函数值表 三角函数 锐角α 300 450 600 正弦 sinα 余弦 cosα
驶向胜利 的彼岸
正切 tanα
驶向胜利 的彼岸
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
300
要能记 住有多 好
450 600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
1．计算： (1)sin60°－tan45°； (2)cos60°＋tan60°； (3)sin45°＋sin60°－2cos45°．
达标测试
2.求下列各式中锐角A的值; 1 CosA= tanA= 3 sinA＝ 2
3 2
3 3
1
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系?
例1 计算:
(1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450. 解: (1)sin300+cos450 老师提示: 1 2 1 2 . 2600表示 Sin 2 2 2 0 2 (2) sin2600+cos2600-tan450 (sin60 ) ,
A
B c
a
b ┌ C
课内探究
（一）探索45°角的三角函数值．结合 图2-5 sin45°=------- cos45°=-----tan45°=-------可以和同伴交流你是怎样想的？
课内探究
（二）探索30°，60°角的三角函数 值．结合图2-6 Sin30°=------- cos30°=-----tan30°=-------Sin60°=------- cos60°=-----tan60°=--------
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
┌
┌
做一做
⑴ 60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得 到的? ⑵ 45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得 到的? ⑶ 完成下表:
三角函数值 三角函数
sinα cosα tanα
1 2
2 2 3 2
角α
30° 45° 60°
3 2
2 2
3 3
1
1 2
3
例1 计算 ⑴ sin30°＋cos45°; ⑵ sin260°＋cos260°－tan45°. 解: 1 ⑴ sin30°＋cos45°＝ 2 ＋
1.2
30°，45°，60°角 的三角函数值
⒈经历探索30°,45°,60°角的三角函数值 的过程. ⒉能够进行含有30°,45°,60°角的三角函 数值的计算. ⒊能够根据30°,45°,60°角的三角函数值 说出相应的锐角的大小.
观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等 于多少度? ⑴ sin30°等于多少? 你是怎样得到的?与同伴进行 交流. ⑵ cos30°等于多少? tan30°呢?
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5.计算2sin30°-sin245°+tan30°的结果 是（ B ）
1 A． 3 3 2
C．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3 B． 2 3
D．1 -
3 2
3 2
2
3 3-2 1 1 2 3 解：（ 1 ）原式 -1 （2）原式 3 2 2 2 2
（3）原式 2 2 3 2 - 2 2 2 2 2
1 3 - 2 2 2 1 3 - 2 2 2
⒉某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°, 高为7m.扶梯的长度是多少?
30°、45°、60°角的三角函数值1
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值结论：(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ； 2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ； 3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33（C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
鲁教版初中数学九年级上册《30°,45°,60°角的三角函数值》参考教案
§2.2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺、多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢?[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2. CD ＝33a.则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD，则CD=atan30°，岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[生]sin30°＝21.sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a , tan60°＝33=a a . [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°－60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°－60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a ，则另一条直角 边也为a ，斜边2a.由此可求得 sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.2.例题讲解(多媒体演示)[例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin260°+ sin230°－tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+,(2) sin 260°+ sin 230°－tan45° =0141431)21()23(22=-+=-+. [例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA ＝OD=2.5 m ， ∠AOD ＝21×60°＝30°， ∴OC=OD·cos30° =2.5×23≈2.165(m). ∴AC ＝2.5－2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算：(1)sin60°－tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3)22sin45°+sin60°－2cos45°.解：(1)原式＝23－1=223-；(2)原式=21+23213+=(3)原式=22×22+23=22231-+ 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)， 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23；cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21；tan30°=33，tan45°＝1，tan60°=3. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业习题2.3第1、2、3题 Ⅵ.活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高? (精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中，BE=DB·tan30°＝24×33=83m. ∵DF ＝BE ，∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30－13.84≈16.2(m). 板书设计§2.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形. 2.30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 三、实际应用 备课资料 参考练习1.计算：13230sin 1+-︒. 答案：3－32.汁算：(2+1)－1+2sin30°－8 答案：－23.计算：(1+2)0－｜1－sin30°｜1+(21)－1.答案：254.计算：sin60°+︒-60tan 11答案：－21 5.计算；2－3－(0032+π)0－cos60°－211-. 答案：－283+。
30度_45度_60度角的三角函数值
0 0 0 30 ,45 ,60 角的三角函数值
学习目标： 1．经历探索30°、45°、60°角的三 角函数值的过程，能够进行有关的推理， 进一步体会三角函数的意义． 2．能够进行30°、45°、60°角的三 角函数值的计算． 3．能够根据30°、45°、60°的三角 函数值说明相应的锐角的大小． 学习重点：同上 学习难点：进一步体会三角函数的意 义．
300
2
450
450
2 1
600
3
┌
┌
1
1
你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能 来个重新认识和评价.
做一做P11 4
洞察力与内秀
探寻规律：第一列的正弦值随角度的增大而 特殊角的三角函数值表 第二列的余弦值随角度的增大而 第三列的正切值随角度的增大而
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
友情提示: sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数 的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以 掌握,则将有益于智力开发.
b
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对 边分别是a,b,c. B 求证:sin2A+cos2A=1
0
(2)cos300等于多少?
(3)tan300等于多少?
2
450
450
2
1
600
3
1
┌
1
┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10
3
知识在于积累
(4)sin450,sin600等于多少?
30,45,60,90度正弦,余弦,正切值
30, 45, 60, 90度正弦, 余弦, 正切值在数学中，三角函数是非常重要的概念，而正弦、余弦和正切值则是三角函数中的基本内容之一。
它们分别代表着角度的不同变化和对应的数值关系。
今天，我们将深入探讨30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值，以使我们更好地理解这些数学概念。
1.30度让我们来看看30度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，30度角是一个相对较小的角度，其正弦、余弦和正切值分别为1/2、√3/2和1/√3。
这些数值表示了30度角的边长比例关系，可以帮助我们在实际问题中求解各种三角形相关的数值。
2.45度接下来，我们来考虑45度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，45度角是一个特殊的角度，其正弦、余弦和正切值均为1/√2。
这意味着在45度角的直角三角形中，两条直角边的长度相等时，斜边的长度为其平方根的一半。
3.60度让我们关注60度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，60度角是一个相对较大的角度，其正弦、余弦和正切值分别为√3/2、1/2和√3。
这些数值的变化显示了60度角的特性，可以帮助我们更好地理解等边三角形和正六边形等图形的性质。
4.90度我们来看看90度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，90度角是一个直角，其正弦、余弦和正切值分别为1、0和不存在。
这意味着在直角三角形中，直角边的长度与斜边的长度之间的关系。
总结通过对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值的分析，我们可以更深入地理解三角函数中角度和边长之间的关系。
这些数学概念不仅在学校的数学课程中有重要的应用，还在日常生活和工程技术中发挥着重要作用。
个人观点从个人观点来看，三角函数中的正弦、余弦和正切值是非常有趣且实用的数学概念。
它们不仅帮助我们理解三角形的性质，还能够在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛的应用。
我们应该深入学习和理解这些数学概念，以便更好地应用于实际问题的求解和解决。
通过本文的分析和总结，相信读者已经对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值有了更深入的理解。
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B
b a
九下数学§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
主备人：参与人：
【学习目标】能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.会进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.【重点】进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
【难点】记住30°、45°、60°角的三角函数值
【学习过程】
一、温故而知新
如图，Rt△ABC中，∠C=90°。
（1）a、b、c三者之间的关系是，∠A+∠B= 。
tanA= 。
（3）若A=30
二、情境引入
为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；
②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
三、初生牛犊不怕虎，让我来探索：
探究一：1、（1）sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
（2）cos30°等于多少?tan30°呢?
2、（1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?（2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?
（3）完成下表：
探究二：【例1】计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.
解：
【例2】一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动
时，
摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至
最低位置时的高度之差(结果精确到0.01 m).
四、我的课堂我做主
1.计算：(1)sin60°-tan45°；(2)cos60°+tan60°；(3) 2
2sin45°+sin60°-2cos45° 2、某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?
五、看我有多棒
1、（1）已知∠A 是锐角，且cosA = 2
1，则∠A = °，sinA = ； （2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °；
（3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3 = 0，则∠A = °；
2．在 △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，则tanA ＝
3．在△ABC 中，若cosA=
21，tanB=3
3，则∠C = 4．计算
(1)3sin60°-cos30° (2)sin30°tan60° (3)2sin30°-3tan45°+4cos60°
六、海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
(甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AE ＝CF=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙
楼上有多高?
(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)
七、作业。