函数奇偶性的归纳总结(同名1076)

函数的奇偶性的归纳总结

教学过程：

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.

3、奇偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或

()()

1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；

对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()

1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称；

②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。