数学物理方法考试模拟试题答案

一 1D 2B 3D 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10D

二（10分）已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数。 .解：

y e y u y e x u x x cos sin ==∂∂∂∂（2分）

由C -R 条件，有x u y v ∂∂∂∂=，y

u x v ∂∂∂∂-=，（2分） ∴. )(cos sin x y e ydy e dy x u dy y v v x x ϕ∂∂∂∂+-====⎰⎰⎰

（2分） 再由y e y

u x y e x v x x cos )(cos -=-='+-=∂∂ϕ∂∂， 得,)(,0)(C x x =='ϕϕ于是

∴C y e v x +-=cos （2分）

)()cos (sin )(C e i C y e i y e z f z x x +-=+-+=(2分)

三 求解一维无界弦的自由振动，设弦的初始位移为φ（x ），初始速度为-a φ’(x)。 解：定解问题为：

分）

（分）分）2)sin()]sin())[sin((21)]sin()[sin(212()(21)]()([21),(6()

cos()

sin(0002at x at x at x a a

at x at x d a at x at x t x u x a u x u u a u at x at

x t t t xx tt -=--+-+-++=+-++=⎪⎩⎪⎨⎧-===-⎰+-==ξξψϕϕ

四 定解问题为 u tt -a 2u xx =0

u │x=0=0, u x │x=l =0

u │t=0=0

u t │t=0=v o （8分）

用分离变量法求解本征值为 λn =(2n+1/2l)2π2 n=0,1,2,。

。。。。。 本征函数为X n =sin(2n+1/2l)πx

u(x,t)=A 0+B 0t+x l n l at n B l at n A n n n πππα

212sin ))2/1(sin )2/1(cos (1

++++∑= （6分） 由u │t=0=0得 A 0 +x l n A n n πα212sin 1

+∑==0 （1分） 由u t │t=0=v o 得B 0+x l n B l a n n n ππα212sin )2/1(1++∑==v o （1分） 将右边展为傅立叶级数得 An=2/l ξπξξφd l

n l

⎰0sin )(=0 （1分） Bn=2/(n+1/2)πa ξπξξψd l n l ⎰+0)2/1(sin )(=-a n l V 220)2

1(2π+ （1分） u(x,t)= x l n l at n B n n ππα212sin ))2/1(sin 1++∑= 五 （20分）半径为0ρ，高为L 的圆柱体，下底和侧面保持零度，上底温度分布为2)(f ρρ=，求解柱体内各点的稳恒温度分布。

边界条件中与ϕ无关，所以m=0

解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。 ⎪⎩⎪⎨⎧===<<<=∆===分）

（分）（分）（分）（定解问题为：2|2,0|2,0|20,,02000ρρρρρL z z u u u L z u 分）（3)sin cos ()]()()][[1ϕϕρρm F m E k N D k J C e B e A u n n n n m n n m n z k n z k n n n +∙++=∑∞=-分）（有限由2)sin cos ()()][10ϕϕρρm F m E k J C e B e A u u n n n n m n z k n z k n n n +∙+=→∑

∞=-→分）（由上下底条件得：2)

()()()(001201⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-∞=∞=∑∑ρρρn L k n n L k n n n n n k J e B e A k J B A n n 分）（，根据完备性可求出：1n n B A 分）（2/0)0(ρn n x k =分）（2)()][0

0∑∞=-+=n n z k n z k n k J e B e A u n n ρ得由00==ρρu