随机过程电子科大考博试题
随机过程复习题及答案1
kh da
w.
co
m
2-69(P99)
2-70(P99)设 X [ n] 为独立同分布随机变量序列，定义离散时间随机过程
M [n] =
试求 M [ n] 的均值、方差和协方差。
课 后
X [1] + X [2] + ... + X [n] n
答
案
网
ww w.
kh da
w.
co
m
2-71(P100)
P{ X < Y } = ∫ P{ X − Y } = ∫
0 ∞
∫ ∫
0
2e − x e − 2 y dxdy =
y +10
0
0
课 后
P{ X 2 < Y } = ∫
∞
0
∫
0
2 2e − x e −2 y dxdy = 1 − e −10 3 1 y π 8 2 2e − x e − 2 y dxdy = 2 + e ( 2crf ( ) − 2 ) 4 4
2.5(P93) 已知集合S={1，2，3，4，5}，试给出三个定义于集合S上的Borel集。 解：根据Borel集的定义，可以在S上定义如下Borel集：
_
B1 = {∅ , S} B2 = {∅ , S, {1}, {2, 3, 4, 5}}_ B3 = {S的所有子集}
其中集合B3一共有32个元素，包括空集和全集。 2.17(P94) 某实验室从A B C三个芯片制造商处购得某芯片，数量比为1：2：2.已知ABC三个芯 片制造商的芯片次品率分别为0.001，0.005和0.01。若该实验室随机使用的某芯片是次品，向该 次品芯片购自制造商Z或C的概率分别是多少？ 解：用符号D表示芯片为次品这个事件，ABC分别表示芯片购自ABC三个芯片制造商，由Bayes 共识知道
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (6)
§2.2 维纳过程维纳过程是最基本、最简单同时又是最重要的随机过程, 而且许多过程可以看成是它在某种意义下的推广, 现已广泛应用于物理、经济、通信、生物、管理科学与数理统计中.维纳过程的研究成果应用于计量经济学，使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用于非平稳的经济过程，如变化激烈的金融商品价格的研究等.12将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以的概率向左或向右移动一格.21EX.1(高尔顿钉板模拟试验)演示随机游动数学模型3⎩⎨⎧−=.1;,1)(层向左位移一格在第，层向右位移一格在第k k k X P {X (k )=i }－1 1X (k )2/12/1{X (k ), k ∈N +}是一个独立随机过程,令∑==n k k X n Y 0),()(小球在第n 次碰撞后所处位置{Y(n),n ∈N +}是一个平稳独立增量过程.4(),0][)]([1==∑=nk k X E n Y E 均值函数为,)]([)]([1∑===nk n k X D n Y D 方差函数为由独立同分布中心极限定理知)()()(1y y n k X P y n n Y P n k Φ→⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=∞→n as ",2,1,)()(*==n nn Y n Y 即依分布收敛于标准正态分布随机变量.2.2.1 维纳过程的数学模型及定义维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗在观察漂浮在液面的花粉运动—布朗运动规律时建立的随机游动数学模型.在一条直线上的简单对称的随机游动.设一粒质点(花粉)每隔时间Δt, 随机地以概率p =1/2向右移动Δx(>0), 以概率q =1/2向左移动一个Δx, 而且每次移动相互独立. 56x t x t +Δxx t －Δx p =1/2q =1/2",2,1.,1,,1=⎩⎨⎧−=i i i X i ，次向左移动第次向右移动第记则t 时刻质点的位置为)(][21t t t X X X x X ΔΔ+++="取整运算()0,i E X =因()0,t E X =故2()()[]t t D X x t =ΔΔ2()()1,1,2i i D X E X i ==="7][)()(,0)(2tt x X D X E t t ΔΔ==故实际粒子的不规则运动是连续进行的, 考虑的情形.0→t Δ由物理实验结论,可假定0).x t c Δ=Δ>为常数(1)有并令代入上式0,→t Δt c tt t c t t x X D t t t t 220200][lim ][)(lim )(lim ===→→→ΔΔΔΔΔΔΔ0)(lim 0=→t t X E Δ和显然X 0= 0.(2)8又因由泛函中心极限定理, 对任意的有对任意t >0 )(][21t t t X X X x X ΔΔ+++="可看为个相互独立同分布的随机变量之和,][t tΔ(3)0,[]t t tΔ→→∞Δ时0,>∈t R x }0,{>t X t 故过程是平稳独立增量过程.)(Φ}0{lim }{lim 2][0020x x tc X x P x t c X P i t t i t t t =≤−=≤∑=→→ΔΔΔΔ即当时, X t 趋于正态分布N (0, c 2t ).0→t Δ(4)9定义2.2.1若随机过程满足}0,{≥t W t (1) 平稳独立增量过程;(2) 对任意t >0, );0(),0(~2>σ，σt N W t 1}0{)3(0==W P 称{W t ,t ≥0}是参数为σ2的维纳过程.D (W t )随时间的推移而增大特别当σ=1，称{W t ,t ≥0}是参数为σ2的标准维纳过程.101.一维分布：W t ～N (0,σ2t )；2.增量分布：W t －W s ～N (0,σ2|t －s |);设t ＞s,因W 0=0, 且W t 是平稳独立增量过程，故有相同分布N (0,σ2(t－s )).2.2.2 维纳过程的分布及性质ss s t s t W W W W −=−+−0t s t sW W W −−−=与11证设维纳过程{ W ( t ),t ≥0}的参数是σ2，,121n t t t n <<<≥"及任取nk W W X W X k k t t k t ,,3,2,ˆ,ˆ111"=−==−n k t t N X k k k ,,2,1)),(,0(~12"=−−σX 1, X 2…, X n 相互独立, 且k t X X X W k +++="21则有独立增量过程是可加过程定理2.2.1维纳过程是正态过程.分析需证对任意的,0121n t t t n <<<<≥"及T t t t nW W W ),,,(21"服从n 为联合正态分布.12⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=000O #⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=−)()(B 1212212n n t t t t t σσσ%随机向量可表示为T t t t n W W W ),,,(21"T n X X X ),,,(21"的满秩线性变换:其中故服从n 维联合正态分布N (O,B). T n X X X ),,,(21"13⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n t t t W W W #21⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111001110001100001#####⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n X X X #21由正态分布的线性变换不变性可知Tt t t n W W W ),,,(21"或CXW =满秩矩阵是非退化n 维正态随机向量.14由维纳过程的定义可得1. E (W t )=0, D (W t ) =σ2t ;2. C (s, t )=R (s,t )=σ2min (s,t )维纳过程是平稳独立增量过程(性质1.3.1)根据定理2.1.3之推论1可知的均值向量为CO=O, 协方差矩阵为Tt t t n W W W ),,,(21"ΓW = CBC T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n t t t t t t t t t 22212222212121212σσσσσσσσσ"#%##""维纳过程的数字特征15故维纳过程的n 维联合概率密度为=),,,(21,,,21n t t t x x x f n ""⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−X X 1W 21W2Γτ21exp Γ2π1n 其中.),,,(21T n x x x "=X 一维概率密度为R x t x t x f t ∈−=},2exp{21)(22σσπ16EX.2设{W (t ), t ≥0}是参数为σ2的维纳过程, 求下列过程的均值函数和相关函数.1) X (t )=W 2(t ), t ≥0；.0),1()()2>=t t tW t X 解1）m X (t )=E [X (t )]=E [W 2(t )]=D [W (t )]+{E [W (t )]}2= σ2t.)]()([)]()([),(22t W s W E t X s X E t s R X ==})]()()()[({22s W s W t W s W E +−=( s <t )17)]}()()[({2)]([})]()()[({3422s W t W s W E s W E s W t W s W E −++−=)]([})]()({[)]([422s W E s W t W E s W E +−=独立增量)),(min 2(),(24t s st t s R X +σ=故)2(3)(242422s st s s t s +=+−=σσσσ)]()([)]()([),(22t W s W E t X s X E t s R X ==})]()()()[({22s W s W t W s W E +−=( s <t )另因若X ～N (0,σ2), 有⎪⎩⎪⎨⎧=−−σ=="""6,4,2,1)3)(1(,5,3,1,0)(n n n n X E n n18.0,0)]1([)]([)()2>===t t W tE t X E t m X )]1()1([)]1()1([),(t W s W stE t tW s sW E t s R X ==).,min()1,1min(22t s t s st σσ==EX.2设{W (t ), t ≥0}是参数为σ2的维纳过程, 求下列过程的均值函数和相关函数.1) X (t )=W 2(t ), t ≥0；.0),1()()2>=t ttW t X19定理2.2.2 (判断正态过程是否为维纳过程的充分必要条件)0),,min()(2>=C t s C W W E t s 且轨道连续, 则{Wt , t ≥0}是维纳过程, 反之亦然.轨道连续: 过程的样本函数是连续函数.结论维纳过程{W t ,t ≥0}几乎所有样本函数都是连续的. 即存在A Ω, P (A )=1, 使ω∈Ω时,W t (ω)在[0, ∞)上连续.⊂设{W t , t ≥0}是正态过程, W 0= 0, 对任意t , s >0 有E (W t )= 0 及20思考题设是参数为σ2的维纳过程，a 为一正常数，令}0),({≥t t W 0)()()(≥−+=t t W a t W t X 试讨论是否为正态过程, 是否为维纳过程.}0),({≥t t X21泛函中心极限定理(functional central limit zheorem) 设随机变量序列{X t ,t =1,2, …}是相互独立同分布的，且满足：;0)()1=t X E ;)()()222∞<==σt t X E X D 设r 为闭区间[0, 1]上的任一正实数，则统计量∑==][1)(Tr t tT X r R ).()(,r W r R T as T 弱收敛于∞→r满足：rW其中]1,0[),(∈（1）W(0)=0;（2）E{W(t)}=0;（3）W(t)～N(0,σ2t ), (σ＞0).（4）具有独立平稳增量;22。
西安电子科技大学2011秋研究生随机过程试题
课程编号： 0721001 考试日期：考试日期： 2012 年 1 月 4 日考试时间： 150 分) 任课教师：任课教师：任课教师： 班号班号-saa a a a wE X l.i.ml.i.m X X lim )2C T T t -ò))22C TTTT-=-òò(2) 求状态5的首达概率(2)55f 和(5)55f以及计算511j jjm =å。
七. （12 分） 设j 为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为d ，则一定有，则一定有()lim nd jjn jjdp m ®¥=，其中jj m 为状态j 的平均返回时间。
的平均返回时间。
证明下面的问题：证明下面的问题：(1) 状态j 为零常返当且仅当()lim 0n jjn p®¥=。
(2) 状态j 为遍历的当且仅当()1lim 0n jjn jjpm®¥=>。
八. （12 分）分）设齐次马尔可夫链设齐次马尔可夫链{},0,1,2,...n X X n ==的状态空间{1,2,3,4,5,6}S =，且其且其 一步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵为0.60.400.6000.400.10.10.10.10.50.1 00.20.20.40.2 0 00.2 0 00.8 00.4 0 0 0 00.6P éùêúêúêú=êúêúêúêúëû （1）试对状态空间进行分解。
）试对状态空间进行分解。
（2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布。
（3）设初始分布0(), i P X i i S p ==Î，其中{}1261111,,...,,,0,0,,4634p p p ìü=íýîþ，求概率，求概率(1)?, =1,2,n P X n ==和概率1(1,2)?, =1,2,3,...=1,2,3,...n n P X X n +===。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第三章作业
(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2
2014西安电子科技大学随机过程考试
西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：随机过程考试日期：2015年1月13日考试时间：150分考试方式：（闭卷）任课教师：班号：学生姓名：学号：一．（10分）在华为公司上班的小吉某日（t=0）开通了支付宝账户，在时间段[0,t]内他向该账户内转了N t次账。
假设N={N t:t≥0}是参数为λ的Poisson过程，每次转账的金额相互独立，转账次数和转账金额也独立。
根据经验，一次转账为1000元、1200元和1500元的概率分别为1/2、1/3和1/6。
若Y t表示到t时刻为止小吉转入支付宝账户的总金额。
求（1）Y t的特征函数φt(u)。
（2）Y={Y t:t≥0}的均值函数m Y(t)。
二．（20分）设W={W t:t≥0}是一个标准布朗运动，即初值为0，具有平稳独立增量性，t(t>0)时刻的状态W t:N(0,t)。
若设X t=e−αW t（实常数α≠0），称X={X t:t≥0}是几何布朗运动。
（1）求X的自协方差函数C x(s,t)(s<t)。
（2）问X是否具有平稳增量性，并给出证明。
三．（20分）1.设某天文台观察到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。
试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率。
（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数。
2.设脉冲到达计数器的规律符合到达率为λ的泊松过程。
每个到达的脉冲被记录的概率为p，且脉冲是否被记录是相互独立的。
令X t表示直到t(t≥0)时刻已被记录的脉冲数。
（1）计算P(X t=k),k=0,1,2,⋯。
（2）X={X t,t≥0}是否为泊松过程？若是请给出证明。
四．（20分）设实平稳过程X={X t,t≥0}的均值函数为零，相关函数为R x(τ)=e−|τ|,τ∈(−∞,+∞)。
令Y t=X t+cos(ωt+θ)，其中ω为常数，θ是与随机过程X独立的且服从[0,2π]上均匀分布的随机变量。
2004年秋季电子科技大学考博英语真题试卷(题后含答案及解析)
2004年秋季电子科技大学考博英语真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. Structure and V ocabulary 2. Reading Comprehension 3. Cloze 4. English-Chinese Translation 5. WritingStructure and V ocabulary1．Obviously these are all factors affecting smooth operation, but the underlying problem is still to be identified.A．operationalB．fundamentalC．operatingD．underneath正确答案：B解析：本题中，underlying的意思是“在下面的，根本的，潜在的”。
四个选项中，fundamental的意思是“基础的，根本的”，如：a fundamental difference between their aims(他们目标的根本差异)。
operational的意思是“操作的”；operating的意思是“运行的，操作的”；underneath的意思是“下面的”。
只有B 项符合题意。
2．If you can convince the interviewer of your special qualifications, your chance of being accepted will be greatly enhanced.A．appreciatedB．encouragedC．frustratedD．increased正确答案：D解析：本题中，enhanced的意思是“提高，增强”。
四个选项中，increased 的意思是“增强的”，如：My wages have increased this year．(我的工资今年增加了)。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第四章作业
为独立增量过程 Y (n )
∴ Y (n ) 为马氏链
Y (0 ) = 0
Pij (m , k ) = P { Y (m + k ) = j Y (m ) = i } = P{ Y (m + k ) − Y (m ) = j − i Y (m ) − Y (0 ) = i } m+k = P ∑ X (i ) = j − i i= m +1
16 8 ) λ (17 41 , 41 , 41 放在 A 处好
1 1
1 1
习题十三
1 1 2 3 4 5 . . ∞
1 2
习题十四
2
1 1 2 2
3 0
1 1 2 2
4 0 0
1 1 2 2
5 0 0 0
1 1 2 2
6 0 0 0 0
1 2
7 ........
∞
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
1
=
1
2
p
a −1
+
p
a +1
p (a + b ) − p (a + b − 1 ) = p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) = p (a + b − 2 ) − p (a + b − 3 . p (a . p( 1 ) − p (0
0 0 0
+ + +
0 0 0 0 0 0
1 1 1
3 3 3
× 60 × 10 × 10
7 7 7 30 30 30
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (1)
5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。