高中数学第二讲参数方程2.1曲线的参数方程练习(含解析)新人教A版选修44
高中数学第二讲参数方程2.1曲线的参数方程练习（含解析）新人教
A版选修44
课时过关·能力提升
基础巩固
1方
A.(2,7)
B
C
解析y=cos2θ=1-2sin2θ,
又sinθ=x,所以y=1-2x2(-1≤x≤1).
令x y
答案C
2下列方程可以作为x轴的参数方程的是()
A
B
C
D
解析因为x轴上的点的纵坐标为0,横坐标可以为任意实数,所以选D.
答案D
3将参数方
A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)
解析转化为普通方程y=x-2,x∈[2,3],y∈[0,1],故选C.
答案C
4曲
A.在直线y=2x上
B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上
D.在直线y=x+1上
解析由已知
消去参数得(x+1)2+(y-2)2=1.
所以其对称中心为(-1,2).
显然该点在直线y=-2x上.故选B.
答案B
5由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是() A.一个定点 B.一个椭圆
C.一条抛物线
D.一条直线
解析方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0可变形为(x-2t)2+(y-t)2=4,
所以这组圆的圆心坐标为(2t,t).
⇒x-2y=0.
答案D
6将参数方
解析由x=t x2=t2
∵y=t2
∵t2≥2,当且仅当t2=1时,取等号.
∴y≥2.
故普通方程为x2-y=2(y≥2).
答案x2-y=2(y≥2)
7已知圆的参数方程≤θ<2π),若圆上一点P对应的参数θ
解析当θ,x=2+4co P的坐标是(0,-
答案(0,-
8在平面直角坐标系中,圆C的参数方程
解析由圆C的参数方程知其普通方程为x2+(y-2)2=4,则圆心C的坐标为(0,2).故所求距离为2.
答案2
9曲
解析∵sin t∈[-1,1],∴y∈[0,2].
∴方x=1(0≤y≤2).令x=1,由x2+y2=4,得y2=3.
∵0≤y≤2,∴y(1
答案(1
10已知质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀角速运动,角速度
解如图,
在运动开始时,质点位于点A处,此时t=0,设动点M(x,y),其对应的时刻为t,
由图可
又θs为单位),
故所求的参数方程为
,t≥0).
能力提升
1若P(2,-1)为圆O≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线l的方程是()
A.x-y-3=0
B.x+2y=0
C.x+y-1=0
D.2x-y-5=0
解析因为圆心O(1,0),
所以k PO=-1,即k l=1.
故直线l的方程为x-y-3=0.
答案A
2与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程是()
A
B
C
D
答案D
3(2018·北京石景山区一模)已知圆C的参数方程
解析由直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,
可知其直角坐标方程为y+x=1.
由圆C的参数方程),
可知其普通方程为x2+(y-2)2=1,
其圆心C(0,2),半径r=1.
直线l截圆C所得的弦长
答案
★4曲线
C
解析因x2+(y+1)2=1.
由于圆与直线有公共点,则圆心到直线的距离d≤1,
解得1≤a≤1
答案x2+(y+1)2=1[1
5已知曲线C的参数方程
解因为x2=t x2+2=t≥6,当且仅当t=1时取等号.故曲线C的普通方程为3x2-y+6=0(y≥6).
6求圆x2+y2=9上的动点P与定点(1,1)之间距离的最小值.
解设P(3cosθ,3sinθ),则点P到定点(1,1)的距离为
d(θ)
当si,d(θ)取最小
7已知点M(x,y)在圆x2+y2=1上移动,求点P(x+y,xy)的轨迹.
解设点M(cosθ,sinθ)(0≤θ<2π),点P(x',y'),
①2-2×②,得x'2-2y'=1,
即x'2=
因为x'=cosθ+sinθθsinθ2θ,所以
|x'|≤
故所求点P的轨迹为抛物线x2=
★8在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极
坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈
(1)求半圆C的参数方程;
(2)设点D在半圆C上,半圆C在点D处的切线与直线
l:y
解(1)半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得半圆C的参数方程
,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知半圆C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为半圆C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD的斜率与l的斜率相同,即tan t
故点D的直角坐标。
人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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5
【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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6
2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-4 第二节 参 数 方 程 Word版含答案
姓名，年级：时间：第二节参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y）都在这条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程,t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0）且倾斜角为α的直线的参数方程为错误!(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段错误!的数量。
3．圆的参数方程圆心为(a，b），半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为错误!(α为参数)α∈[0，2π）.4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的参数方程为错误!（θ为参数），θ∈［0,2π）.1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t）的值域,即x和y的取值范围。
2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为:|t｜是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0）的距离。
一、走进教材1．（选修4－4P26T4改编）在平面直角坐标系中，曲线C：错误!(t为参数）的普通方程为________。
解析消去t，得x－y＝1,即x－y－1＝0。
答案x－y－1＝02．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l：错误!(t为参数）过椭圆C：错误!（φ为参数）的右顶点，求常数a的值。
解直线l的普通方程为x－y－a＝0,椭圆C的普通方程为错误!＋错误!＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为（3，0)，若直线l过(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.二、走出误区微提醒：①不注意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致错。
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程
x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1
α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
人教版高数选修4-4第2讲：参数方程(学生版)
参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则yx 的取值范围为______.练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B ．221C.29D ．2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．6．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π22．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________．8.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．011．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．12.在平面直角坐标系xOy中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．13.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．14.(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．课程顾问签字： 教学主管签字：。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（ ） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是 （ ）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ， 则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】根据参数的几何意义求解即可。
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
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在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
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三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
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2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
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高中数学 第2讲 参数方程 2 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高中选修4-
二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图221，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图221【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图222所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图222【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
高中数学 第二章 参数方程 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程教学案 新人教A版选修4-4-
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。