谓词逻辑的性质及前束范式
第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
第二章 谓词逻辑
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chapter2
13
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例4】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题： (1)所有的病人都相信医生。 (2)有的病人相信所有的医生。 (3)有的病人相信某些医生。 (4)所有的病人都相信某些医生。 解: 设F(x)：x是病人，G(y)：y是医生，H(x，y)：x相信y。 (1)x(F(x)→y(G(y)→H(x，y))) (2) x(F(x)∧y(G(y)→H(x，y))) (3) xy (F(x)∧G(y)∧H(x，y)) (4) x (F(x)→y(G(y)∧H(x，y)))
【例2】将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题 (a) 没有不犯错误的人。 (b) 人总是要犯错误的。 解：设F(x)：x犯错误，M(x)：x是人。则上句符号化为： (a) ┒(x)(M(x)⋀┒F(x)) (b) x(M(x)→F(x)) 【例3】尽管有人聪明但未必一切人都聪明。 解：设P(x)：x聪明，M(x)：x是人。则上句符号化为： x(M(x)⋀P(x))⋀┒(x(M(x)→P(x)))
Predicate Logic 谓词逻辑
7、多重量词 对于多元谓词，需用多个量词对其中不同
的变元加以约束。
如：u={a1,a2,…,an} xyP(x,y) x(yP(x,y))
x(P(x,a1)∨P(x,a2)∨…∨P(x,an)) (P(a1,a1)∨P(a1,a2)∨…∨P(a1,an))∧
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15
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例6】将“不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。”符号 化
7谓词逻辑
第七章 谓词逻辑
在命题逻辑中,主要研究命题和命题演算,其基本组 成单位是原子命题,并视为不可再分解. 命题逻辑中的推理有很大的局限性. 例如:著名的苏格拉底三段论: 所有的人都是要死的; 苏格拉底是人; 所以苏格拉底是要死的.
在命题逻辑中的符号化:
用P、Q、R分别表示以上三个命题,
则可用
P Q R表示这一推理过程.
谓词逻辑的任务: 对原子命题作进一步的分析,研究其内部的逻辑结构,并 在此基础上更深入地刻画推理.
第七章
§7.1 谓词与量词
谓词逻辑
§7.2 谓词公式与变元约束 §7.3 谓词演算的等价式与永真蕴含式
左到右的顺序读出.
习题:P178
1、2
§7.2 谓词公式与变元约束
引入命题演算合式公式:为了使命题的符号化更准确 和规范,以及正确进行谓词演算和推理. 定义7.2.1 设 R( x1 , x2 ,, xn ) 是n元谓词,其中 x1 , x2 ,, xn 是个体变元,则 R( x1 , x2 ,, xn ) 称为谓词演算的原子公式. 定义7.2.2 谓词演算的合式公式定义如下:
0 元谓词:不含个体变元的谓词,如:原子命题
谓词 P ( x1 , x2 ,, xn ) 不是命题,真值无法确定,只有当以
n个个体常元代替变元后,才有确定的真值,从而成为命 题.
注:命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中仍然可用且含
义不变.
二、量词: 谓词逻辑中表示数量的词.
例:所有的人都是要死的,有些人是要死的 两个命题中的个体词和谓词均相同,区别在于“所有 的”和“有些”两个量词. 量词可分为:全称量词和存在量词 全称量词:对应自然语言中的“一切”、“所有的” 、 “任意的”等,表示对个体域中的所有个体,用符号“ ” 表示.
5谓词逻辑基本概念
10
一、谓词的概念及表示法
将下列命题用0元谓词符号化，并讨论它们的真值。 将下列命题用 元谓词符号化，并讨论它们的真值。 元谓词符号化 (1) 2是素数且是偶数 是素数且是偶数 (2) 如果 大于 ，则2大于 如果2大于 大于3， 大于4 大于 解：(1)设一元谓词F(x)：x是素数；一元谓词G(x)：x (1) F(x) x G(x) x 是偶数；a：2。 则(1)中命题符号化为0元谓词的合取式： F(a) ∧G(a)。 (2) 设二元谓词L(x, y)：x大于y；a：2；b：3；c：4. 命题符号化为L(a,b) → L(a,c)
一阶逻辑(谓词逻辑）
1
内容要点： 谓词和个体 CH4 量词 CH4
一阶逻辑公式 CH4 一阶逻辑等值式 CH5 置换规则 CH5 一阶逻辑前束范式CH5
推理理论
CH5
2
引 言
整除， 例：凡偶数都能被2整除， 凡偶数都能被 整除 6是偶数。 是偶数。 是偶数 所以， 能被 能被2整除 所以，6能被 整除 将它们命题符号化： 将它们命题符号化： p：凡偶数都能被2整除 ：凡偶数都能被 整除 q： 6是偶数 ： 是偶数 r： 6能被 整除 ： 能被 能被2整除 则推理的形式结构符号化为： 则推理的形式结构符号化为： (p∧ q) → r ∧
11
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
3.2前束范式谓词推理
1/11/2011
discrete math
前束合取范式
Logic 一阶逻辑
定义：一个谓词公式A如果具有如下形式 如果具有如下形式， 定义：一个谓词公式 如果具有如下形式， 则称为前束合取范式： 则称为前束合取范式： 前束合取范式 (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)[(A11∨A12∨…∨ 1k1)∧( ∨…∨A ∧ A21∨A22∨…∨ 2k2)∧…∧(Am1∨Am2∨…∨ mkm)] ∨…∨A ∧ ∨…∨A 其中Q 为客体变元， 其中 i (1≤i≤n）为∃或∀，xi为客体变元， ） Aij是原子变元或其否定。 是原子变元或其否定。
1/11/2011 discrete math
谓词演算的推理理论
Logic 一阶逻辑
在谓词逻辑中，如果A 在谓词逻辑中，如果 1∧A2∧…∧An→B ∧ 是逻辑有效式，则称B是 是逻辑有效式，则称 是A1, 效结论， 效结论，记作 A1∧A2∧…∧An⇒B ∧ A⇒B 当且仅当 A→B是重言式 ⇒ → 是重言式 例如： 例如： ∀xF(x) ⇒∃xF(x) A2, …，An的有 ，
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discrete math
前束范式例子
Logic 一阶逻辑
(3) ∀x∀y (∃z(P(x,z)∧P(y,z))→∃z Q(x,y,z)) ∀ ∃ ∧ ∃ ⇔∀x∀y (┐∃z(P(x,z)∧P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ∨ ⇔∀x∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀ ∀y(∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀x∀y (∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃u Q(x,y,u)) ⇔∀ ∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀x∀ ⇔∀ ∀y ∀z∃u (┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u)) ∃ ∨ ∨ （或⇔∀x∀y ∀z∃u (P(x,z)∧P(y,z)→Q(x,y,u))） ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ）
离散数学第二章谓词逻辑2-6前束范式
离散数学第⼆章谓词逻辑2-6前束范式在命题演算中，常常要将公式化成规范形式，对于谓词演算，也有类似情况，⼀个谓词演算公式，可以化为与它等价的范式。
定义2-6。
1 ⼀个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作⽤域，延伸到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。
前束范式可记为下述形式：（□v1）（□v2）…（□v4）a，其中□可能是量词或量词ヨ，v i（i=1，2，3，…，n）是客体变元，a是没有量词的谓词公式。
例如（"x）（"y）（$z）（q（x，y）®r（z）），（"y）（"x）（øp（x，y）®q（y））等都是前束范式。
定理2-6.1 任意⼀个谓词公式，均和⼀个前束范式等价。
证明⾸先利⽤量词转化公式，把否定深⼊到命题变元和谓词填式的前⾯，其次利⽤（"x）（aúb（x））ûaú（"x）b（x）和（$x）（aùb（x））ûaù（$x）b（x）把量词移到全式的最前⾯，这样便得到前束范式。
例题1 把公式（"x）p（x）®（$x）q（x）转化为前束范式。
解（"x）p（x）®（$x）q（x）û（$x）øp（x）ú（$x）q（x）û（$x）（øp（x）úq（x））例题2 化公式（"x）("y)(($z)(p(x,y)ùp(y,z))®($u)q(x,y,u))为前束范式。
解原式û（"x）（"y）（ø（$z）（p（x，z）ùp（y，z））ú（$u）q（x，y，u））û（"x）（"y）（（"z）（øp（x，z）úøp（x，z））ú（$u）q（x，y，u））û（"x）（"y）（"z）（$u）（øp（x，z）úøp（x，y）úq（x，y，u））例题3 把公式ø（"x）{（$y）a（x，y）®（$x）（"y）[b（x，y）ù（"y）（a（y，x）®b（x，y））]}化为前束范式。
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
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第七讲
谓词逻辑的性质及前束范式
1.在命题逻辑中成立的基本等价式（详见第三讲）可以推广到谓词逻辑中：
例如：
幂等律在谓词逻辑中表述为：
x A（x）∧x A（x）x A（x）
蕴涵律在谓词逻辑中表述为：
x（A（x）→B）x（┓A（x）∨B）
2.量词和否定的交换：
┓x A（x）x ┓A（x）
┓x A（x）x ┓A（x）
3.量词辖域的扩张和收缩
【这里注意x（A（x）→B）和xA（x）→B 的区别：
比如A（x）: x遵纪守法B：社会和谐
xA（x）→B表述为：只要人人遵纪守法，社会就会和谐
x（A（x）→B）表述为：对于每一人，只要他遵纪守法，社会就会和谐】
以下是等价公式：
（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B
（2）x（A（x）∧B）xA（x）∧B
（3）x（A（x）∨B）xA（x）∨B
（4）x（A（x）∧B）xA（x）∧B
（5）x（A（x）→B）xA（x）→B
该公式看上去难以理解，所以证明如下：
x（A（x）→B）x（┓A（x）∨B）蕴涵律
x┓A（x）∨B
┓xA（x）∨B 否定的交换
xA（x）→B 蕴涵律
（6）x（B→A（x））B→xA（x）
（7）x（A（x）→B）xA（x）→B （证明类似公式（5））
（8）x（B→A（x））B→xA（x）
4.量词和联结词的关系的等值式
xA（x）∧xB（x）x(A（x）∧B（x）)
xA（x）∨xB（x）x(A（x）∨B（x）)
5.量词和联结词的重言蕴含式
xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））
x（A（x）∧B（x））xA（x）∧x B（x）
后者是不能推出前者的，比如对于第一个公式：
x有两个取值，x取0时，A（x）为True, B（x）为False; x取0时，A（x）为False, B（x）为True. 此时，前者能推出后者，后者不能推出前者。
利用以上规则及前面命题逻辑中相应的公式，我们可以进行公式的等价性证明.
举例来说：
证明┓xy（F（x）∧G(y) →H(x,y)）xy（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）
证：┓xy（F（x）∧G(y) →H(x,y)）
x ┓（y（┓（F（x）∧G(y)）∨H(x,y)））
xy┓（┓（F（x）∧G(y)）∨H(x,y)）
xy（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）
6.前束范式
所谓前束范式，通俗来讲，就是将命题公式中所有的量词提到最前面。
举例来说：
x F（x）∧┓x G(x)
化为前束范式：x F（x）∧┓x G(x)
x F（x）∧x ┓G(x)
x （F（x）∧┓G(x)）
有时，我们需要变换变元的名称：
比如：(x F（x，y）→yG(y)) →x H（x，y）
(x F（x，y）→zG(z)) →t H（t，y）
(┓x F（x，y）∨zG(z)) →t H（t，y）
┓(┓x F（x，y）∨zG(z)) ∨t H（t，y）
(x F（x，y）∧┓zG(z)) ∨t H（t，y）
(x F（x，y）∧z┓G(z)) ∨t H（t，y）
xz t (( F（x，y）∧┓G(z)) ∨H（t，y）)
这里需要注意：我们看到在x F（x，y）→yG(y) 中，量词的作用范围只局限在其后面一个谓词，所以尽管后面yG(y)含有y,但此y不是F（x，y）中的y. 所以yG(y)可以变为zG(z)；但是x H（x，y）中的y,由于前面没有量词来约束y,所以此y和F（x，y）中的y是同一个y.。