1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
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Ch1-5 事件的独立性和伯努力概型
所以，Φ与Ω 独立且互斥。 不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,„, An 相互独立, 则
P( A1∪…∪An ) 1 P( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
k =0,1,2,…,n 证明与前面的例3类似
小概率事件
—— 若P(A) 0.01 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不
会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
女士品茶的故事
• 那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一 群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户 外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称： 把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的 味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的 “胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象， 仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化 学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴 上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个 问题很感兴趣。 • 他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策 划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被 奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加 奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0， 2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件 A1 , A2 ,„, An 相互独立, 则
P( A1∪…∪An ) 1 P( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
k =0,1,2,…,n 证明与前面的例3类似
小概率事件
—— 若P(A) 0.01 则称A为小概率事件
小概率原理
——一次试验中小概率事件一般是不
会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
女士品茶的故事
• 那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一 群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户 外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称： 把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的 味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的 “胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象， 仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化 学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴 上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个 问题很感兴趣。 • 他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策 划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被 奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加 奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。
概率论与数理统计课件(1-4)独立性
0.8 0.7 0.8 0.7 0.94 .
或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.94.
或者 P A B P AB A B AB
P AB P A B AB 0.94 .
A、B独立
概率的性质
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B独立 练习： B与 A独立
定理 以下四事件等价： (1) 事件A、B相互独立；
(2) 事件A、B相互独立；
(3) 事件A、B相互独立； (4) 事件A、B相互独立。
解：由题意
P( AB) P( AB)
A与B独立，则 A与B ；与B也独立 A
P( A) P(B) P( A) P(B)
P ( A)1 P ( B) 1 P ( A)P ( B)
1 P ( A) P ( B ) 3
练习 设两个相互独立的事件A与B都不发生的 概率为1/9， A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P(A)=( 2/3 )
解：由题意
P( AB) P( AB)
P ( A) P ( B)
上一题 结论
2
A与B独立，则 A与B 也独立
P( AB) P( A) P(B) 1 P( A)
2 P ( A) 3
例 设0<P(A)<1,则 A与B相互独立 P(B | A) P(B) P(B | A) P(B)
可见
P(A)= P(A|B)
, 即事件A、B独立.
或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.94.
或者 P A B P AB A B AB
P AB P A B AB 0.94 .
A、B独立
概率的性质
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B独立 练习： B与 A独立
定理 以下四事件等价： (1) 事件A、B相互独立；
(2) 事件A、B相互独立；
(3) 事件A、B相互独立； (4) 事件A、B相互独立。
解：由题意
P( AB) P( AB)
A与B独立，则 A与B ；与B也独立 A
P( A) P(B) P( A) P(B)
P ( A)1 P ( B) 1 P ( A)P ( B)
1 P ( A) P ( B ) 3
练习 设两个相互独立的事件A与B都不发生的 概率为1/9， A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P(A)=( 2/3 )
解：由题意
P( AB) P( AB)
P ( A) P ( B)
上一题 结论
2
A与B独立，则 A与B 也独立
P( AB) P( A) P(B) 1 P( A)
2 P ( A) 3
例 设0<P(A)<1,则 A与B相互独立 P(B | A) P(B) P(B | A) P(B)
可见
P(A)= P(A|B)
, 即事件A、B独立.
1-5事件的独立性与伯努利概型
例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道 工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是 互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一 个元件失效,该系统就失效.因此串联系 统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设 三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中 飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的 概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落 的概率. 解 设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情 况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统 如图1所示, 元件的可靠性分 别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,
1.5_伯努利(Bernoulli)概型
k =3 7
k 5
( 0.4 ) ( 0.6 ) ( 0.4 ) ( 0.6 )
k
5− k
(3) P ( X ≥ 4 ) = ∑ C
k =4
k 7
7−k
由此可知第一种方案对系队最为有利(此时， 由此可知第一种方案对系队最为有利 此时，对校队 此时 最为不利)． 最为不利 ．
2011年10月23日星期日 7
Pk = pq
2011年10月23日星期日
k −1
1 1 k −1 = (1 − ) . m m
8
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内容小结
2011年10月23日星期日
9
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习题A 习题
2011年10月23日星期日
10
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解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
k 10 − k
1 4 P( X = k ) = C 5 5
k 10
5 5 k 10
1 4 P ( X ≤ 5) = ∑ P ( X = k ) = ∑ C 5 5 k =0 k =0
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24】 把外形相同的钥匙， 【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家， 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 把钥匙中随便拿一只去开门， 次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？ 把门打开的概率多大？
2011年10月23日星期日
4
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22】 台同类型的机床， 【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 千瓦，已知每台机床工作时， 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 分钟， 均每小时实际开动 12 分钟 ， 且开动与否是相互独立 现因当地电力供应紧张， 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 台机床， 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？ 概率为多大？
k 5
( 0.4 ) ( 0.6 ) ( 0.4 ) ( 0.6 )
k
5− k
(3) P ( X ≥ 4 ) = ∑ C
k =4
k 7
7−k
由此可知第一种方案对系队最为有利(此时， 由此可知第一种方案对系队最为有利 此时，对校队 此时 最为不利)． 最为不利 ．
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Pk = pq
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k −1
1 1 k −1 = (1 − ) . m m
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习题A 习题
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解 设 10 台机床中正在开动着的机床台数为 X ，则
k 10 − k
1 4 P( X = k ) = C 5 5
k 10
5 5 k 10
1 4 P ( X ≤ 5) = ∑ P ( X = k ) = ∑ C 5 5 k =0 k =0
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24】 把外形相同的钥匙， 【例 24】 某人有一串 m 把外形相同的钥匙，其中只有 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家， 一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每 把钥匙中随便拿一只去开门， 次从 m 把钥匙中随便拿一只去开门，问该人在第 k 次才 把门打开的概率多大？ 把门打开的概率多大？
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22】 台同类型的机床， 【例 22】 金工车间有 10 台同类型的机床，每台机床配 千瓦，已知每台机床工作时， 备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平 分钟， 均每小时实际开动 12 分钟 ， 且开动与否是相互独立 现因当地电力供应紧张， 的．现因当地电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦 台机床， 的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的 概率为多大？ 概率为多大？
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.7 0.6 0.7 0.88;
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
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时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
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概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。
概率论与数理统计0105
成立，则称事件 A 与 B 相互独立
注1 如果二事件A与B独立，则 A与B, A与B, A与B 也是独立的.
注2 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立是指对其中的任意
k个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n
等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 总成立 2
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm ( p 1 p)n 1
m0
m0
例4 设N件产品中有K 件是次品，N K 件是正品，现从 N
件中任意抽取1件产品，在检查过它是正品或是次品后再放回.
这样共抽取了 n 次，求事件 A { n 件产品中恰有 k 件次品}
的概率， k 0,1, 2, , n
另解 P(A B) 1 P(A B) =1 P( AB)
=1 P( A)P(B) 1 (1 0.9)(1 0.8)
=0.98.
3
例2 验收100件产品的方案如下：从中任取3件进行独立地测试， 如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收该批产品，设一 件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试 后被断定为正品的概率为0.99. 并已知这100件产品中恰有4件 次品，求该批产品能被接收的概率.
二、独立试验序列
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm (m 0,1,n)
1
§1.5 事件的独立性
一、事件的独立性 如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概
率，则称它们是相互独立 的. 即
P(A | B) P(A)
定义 设 A 和 B 是两个事件，如果等式
P(AB) P(A)P(B)
1
C2nnΒιβλιοθήκη 1 22n98
注1 如果二事件A与B独立，则 A与B, A与B, A与B 也是独立的.
注2 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立是指对其中的任意
k个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n
等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 总成立 2
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm ( p 1 p)n 1
m0
m0
例4 设N件产品中有K 件是次品，N K 件是正品，现从 N
件中任意抽取1件产品，在检查过它是正品或是次品后再放回.
这样共抽取了 n 次，求事件 A { n 件产品中恰有 k 件次品}
的概率， k 0,1, 2, , n
另解 P(A B) 1 P(A B) =1 P( AB)
=1 P( A)P(B) 1 (1 0.9)(1 0.8)
=0.98.
3
例2 验收100件产品的方案如下：从中任取3件进行独立地测试， 如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收该批产品，设一 件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试 后被断定为正品的概率为0.99. 并已知这100件产品中恰有4件 次品，求该批产品能被接收的概率.
二、独立试验序列
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm (m 0,1,n)
1
§1.5 事件的独立性
一、事件的独立性 如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概
率，则称它们是相互独立 的. 即
P(A | B) P(A)
定义 设 A 和 B 是两个事件，如果等式
P(AB) P(A)P(B)
1
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则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
.
由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是
1
8
这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，
AB包含了3个基本事件.
P(AB)= 3
8
,
P(A)=
6 8
3 4
,
P(B)=
4 8
1 2
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立.
2)多个事件的独立性
定义1.5.2 设三个事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
独立.事件的独立性可以推广到多个随机事件的情形.
定义1.5.3 对 n 个事件 A1, A2, A n 若对于所有
可能的组合1 ijkn有 P(Ai Aj ) = P(Ai)p(Aj ) ； P(Ai Aj Ak ) = P(Ai)p(Aj)p(Ak) ;
……
P(A1A2An)= P (A 1)p(A 2)p(A n)
验证：
Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝
A=｛（正、正）（正、反）｝, B=｛（反、正）（正、正）｝, AB=｛（正、正）｝,
P(A)=P(B)= 1 , P(AB)= 1 = P(A)P(B).
2
4
所以A、B是相互独立的.
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的” 相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现 正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响， 因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠.
i 1,2,,100可以认 Nhomakorabea A1,A2,,A100相互独立，所求的概率为
P (A 1 A 2 A 10 )=01 P(A1)P(A2)P(A100)
=1 0.996100
= 0.33.
虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后， 则有很大的概率.在实际工作中，这类效应值得充分 重视.
例1.5.7 张、王、赵三同学各自独立地去解一道 数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求 （1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率.
解: 设 A i（i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学 解出难题这三个事件，
由题设知 A1, A2, A3相互独立. 1. 令A={三人中恰有一人解出难题}
则A= A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 P(A)= P( A1 A2 A3) +P( A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3)
例1.5.3 一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩 和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男孩， 又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝.
对下述两种情形，讨论A和B的独立性.
1）家庭中有两个小孩 ；2）家庭中有三个小孩.
解: 1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为： Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝ A=｛(男、女),(女、男)｝ B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝
:
用数学归纳法可以证明
定理1.5.2 设 A1,A2,,An 相互独立，则将其中任意
m 个（1mn）换成其对立事件，则所得
n 个事件也相互独立.特别地，若A1,A2,,An
相互独立，则 A1, A2,, An 也相互独立.
3.事件独立性的应用
相互独立事件至少发生其一的概率的计算 设 A1,A2,,An相互独立，则 P (A 1 A 2 A n)= 1 P(A1A2An)
§1.5 独立性与伯努利概型
一、事件的独立性
独立性是概率论中一个重要的概念， 利用独立性可以简化事件概率的计算.下面 先讨论两个事件的独立性，然后再讨论多 个事件的独立性.
例1.5.2 分别掷两枚均匀的硬币，令A=｛硬币甲出现 正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件 A,B是相互独立的.
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立. 由三个事件的独立性可知，若A、B、C相互独立，
则它们两两相互独立，反之不一定成立.
例1.5.4 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，
第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同时染上
红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出
现红、白、黑颜色的事件，
则P(A)=P(B)=P(C)= 2 1
42
P(AB)=P(BC)=P(AC)=
1 4
,P(ABC)=
1 4
故A、B、C两两相互独立.但不能推出
P A B C P A P B P C .也就是说由A、B、C两两
相互独立不能推出A、, B、C相互独立.同样地由
P A B C P A P B P C .不能推出A、B、C两两相互
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
.
由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是
1
8
这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，
AB包含了3个基本事件.
P(AB)= 3
8
,
P(A)=
6 8
3 4
,
P(B)=
4 8
1 2
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立.
2)多个事件的独立性
定义1.5.2 设三个事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
独立.事件的独立性可以推广到多个随机事件的情形.
定义1.5.3 对 n 个事件 A1, A2, A n 若对于所有
可能的组合1 ijkn有 P(Ai Aj ) = P(Ai)p(Aj ) ； P(Ai Aj Ak ) = P(Ai)p(Aj)p(Ak) ;
……
P(A1A2An)= P (A 1)p(A 2)p(A n)
验证：
Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝
A=｛（正、正）（正、反）｝, B=｛（反、正）（正、正）｝, AB=｛（正、正）｝,
P(A)=P(B)= 1 , P(AB)= 1 = P(A)P(B).
2
4
所以A、B是相互独立的.
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的” 相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现 正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响， 因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠.
i 1,2,,100可以认 Nhomakorabea A1,A2,,A100相互独立，所求的概率为
P (A 1 A 2 A 10 )=01 P(A1)P(A2)P(A100)
=1 0.996100
= 0.33.
虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后， 则有很大的概率.在实际工作中，这类效应值得充分 重视.
例1.5.7 张、王、赵三同学各自独立地去解一道 数学题，他们的解出的概率为1/5，1/3，1/4，试求 （1）恰有一人解出的概率；（2）难题被解出的概率.
解: 设 A i（i=1，2，3）分别表示张、王、赵三同学 解出难题这三个事件，
由题设知 A1, A2, A3相互独立. 1. 令A={三人中恰有一人解出难题}
则A= A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 P(A)= P( A1 A2 A3) +P( A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3)
例1.5.3 一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩 和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男孩， 又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝.
对下述两种情形，讨论A和B的独立性.
1）家庭中有两个小孩 ；2）家庭中有三个小孩.
解: 1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为： Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝ A=｛(男、女),(女、男)｝ B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝
:
用数学归纳法可以证明
定理1.5.2 设 A1,A2,,An 相互独立，则将其中任意
m 个（1mn）换成其对立事件，则所得
n 个事件也相互独立.特别地，若A1,A2,,An
相互独立，则 A1, A2,, An 也相互独立.
3.事件独立性的应用
相互独立事件至少发生其一的概率的计算 设 A1,A2,,An相互独立，则 P (A 1 A 2 A n)= 1 P(A1A2An)
§1.5 独立性与伯努利概型
一、事件的独立性
独立性是概率论中一个重要的概念， 利用独立性可以简化事件概率的计算.下面 先讨论两个事件的独立性，然后再讨论多 个事件的独立性.
例1.5.2 分别掷两枚均匀的硬币，令A=｛硬币甲出现 正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件 A,B是相互独立的.
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立. 由三个事件的独立性可知，若A、B、C相互独立，
则它们两两相互独立，反之不一定成立.
例1.5.4 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，
第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同时染上
红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出
现红、白、黑颜色的事件，
则P(A)=P(B)=P(C)= 2 1
42
P(AB)=P(BC)=P(AC)=
1 4
,P(ABC)=
1 4
故A、B、C两两相互独立.但不能推出
P A B C P A P B P C .也就是说由A、B、C两两
相互独立不能推出A、, B、C相互独立.同样地由
P A B C P A P B P C .不能推出A、B、C两两相互