(北师大版)初中数学《图形的全等》典型例题1

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1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。

专题01 全等图形与全等三角形之四大考点(解析版)

专题01 全等图形与全等三角形之四大考点【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一全等图形识别】 (1)【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】 (3)【考点三全等三角形的概念】 (6)【考点四全等三角形的性质】 (7)【过关检测】 (9)【典型例题】【考点一全等图形识别】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据全等图形的定义和性质，即可得出答案．【详解】解：∵全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形；全等图形的性质：全等图形的形状相同，大小相等∴A选项大小不相等，不合题意；B选项大小不相等，不合题意；C选项形状相同，大小相等，是全等图形，符合题意；D选项形状不同，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查全等图形的知识，解题的关键是掌握全等图形定义和性质．【变式训练】1．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形【答案】D【分析】全等图形：能够完全重合的平面图形。

特点是形状、大小相同．【详解】解：A、形状相同的两个图形，大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意；B、周长相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意；C、面积相等的两个图形，形状、大小不一定相同，故此选项错误，不符合题意；D、能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查全等图形的定义．掌握相关结论是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据全等图形的概念判断即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形是全等图形”是解题的关键．【考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和】例题：（2023春·七年级课时练习）如图，在33´的正方形网格中标出了1Ð和2Ð，则12Ð+Ð=___________度．【答案】135【分析】作辅助线，使ADB 为等腰直角三角形，根据全等三角形DFB BEC ≌，可得到2DBF Ð=Ð，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接AD 、BD ，90ADB Ð=°，AD BD BC ==，45DAB DBA Ð=Ð=°，由图可知，在DFB △和BEC 中，90DF BE DFB BEC FB EC =ìïÐ=Ð=°íï=î，()SAS DFB BEC \ ≌，2DBF \Ð=Ð，45DBA =°ÐQ ，12118045135DBF \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，故答案为：135．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．【变式训练】1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中，123Ð+Ð+Ð=__________度．【答案】90【分析】证明ABC DEF≌△△，DCG CEB≌得出2145Ð+Ð=°,根据网格的特点可知345Ð=°，即可求解．【详解】解：如图，在ABC与DEF中，AC DFACB DFEBC EF=ìïÐ=Ðíï=î，∴ABC DEF≌△△，∴14Ð=Ð，∵FD CG∥，∴2FDCÐ=Ð，同理可得DCG CEB≌，∴EC ED=，2BECÐ=Ð，∵90BEC ECB Ð+Ð=°，∴290EBC Ð+Ð=°，∴90ECD Ð=°，∴ECD 是等腰直角三角形，∴45CDE Ð=°，即41245FDC Ð+Ð=Ð+Ð=°，根据网格的特点可知345Ð=°，∴12390Ð+Ð+Ð=°，故答案为：90．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得1245Ð+Ð=°是解题的关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.【答案】45°/45度【分析】观察图形可知3Ð与1Ð所在的直角三角形全等，则13Ð=Ð，根据外角的性质卡得423Ð=Ð+Ð，即可求解．【详解】观察图形可知3Ð与1Ð所在的直角三角形全等，∴13Ð=Ð，∵445Ð=°，∴1232445Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出13Ð=Ð是解题的关键．【考点三全等三角形的概念】例题：（2023春·江苏盐城·七年级校考期中）下列说法中，正确的有（）①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若ABC DEF ≌△△，则A D Ð=Ð，AB EF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；④若ABC DEF ≌△△，则A D Ð=Ð，AB DE =，故④错误；故正确的有1个．故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．【变式训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）已知ABC DEF ≌△△，且A Ð与D Ð是对应角，B Ð和E Ð是对应角，则下列说法中正确的是（）A ．AC 与DF 是对应边B ．AC 与DE 是对应边C ．AC 与EF 是对应边D ．不能确定AC 的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．【详解】解：A Q Ð与D Ð是对应角，B Ð和E Ð是对应角，C \Ð和F Ð是对应角，AC \与DF 是对应边，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．2．（2023·全国·八年级假期作业）下列说法正确的是（）A ．形状相同的两个三角形一定是全等三角形B ．周长相等的两个三角形一定是全等三角形C ．面积相等的两个三角形一定是全等三角形D ．边长为5cm 的等边三角形都是全等三角形【答案】D【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可．【详解】A 、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；B 、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；C 、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；D 、边长为5cm 的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键．【考点四全等三角形的性质】例题：（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，若ABC DEF ≌△△，45A Ð=°，35F Ð=°，则B Ð等于______．【答案】100°/100度【分析】先根据全等三角形的性质可求出35C Ð=°，然后利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：ABC DEF Q ≌，45A Ð=°，35F Ð=°，35C F \Ð=Ð=°，1801804535100B A C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．故答案为：100°．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找准对应角，利用数形结合的思想解答．【变式训练】1．（2022秋·八年级单元测试）如图，Rt Rt ABC EFC ≌，并且5cm CF =，52EFC Ð=°，则BC =______，A Ð= _______．【答案】 5 38°/38【分析】根据全等三角形的性质即可得到结果．【详解】解：∵Rt Rt ABC ≌∴1180902ACB ECF Ð=Ð=´°=【答案】25°/25度【分析】先根据平行线的性质得到DAE ∠25BAC DAE Ð==°∠．【过关检测】一、单选题1．（2023春·七年级课时练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A．不是全等图形，故本选项不符合题意；B．不是全等图形，故本选项不符合题意；C．不是全等图形，故本选项不符合题意；D．是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形的概念，解题的关键是掌握形状和大小都相同的两个图形是全等图形．2．（2023春·七年级课时练习）下列说法不正确的是（）A．用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形B．我国国旗上的4颗小五角星是全等图形C．全等图形的面积一定相等D．所有的正方形都是全等图形【答案】D【分析】根据全等形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形，正确，故本选项不符合题意；B、我国国旗上的4颗小五角星是全等图形，正确，故本选项不符合题意；C、全等图形的面积一定相等，正确，故本选项不符合题意；D、所有的正方形边长不一定相等，故所有的正方形不都是全等图形，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．注意：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为Ð-Ð-Ð的度数为（）．格点，则123A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出190Ð=o ，24ÐÐ=，3445Ð+Ð=o ，进而可求解．【详解】解：如图，则190Ð=o ，24ÐÐ=，3445Ð+Ð=o ，∴123Ð-Ð-Ð904545=-=o o o ，故选：B ．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．4．（2023秋·七年级课时练习）下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形全等；④三角形的角平分线是射线．其中正确的说法为（）A ．①②B ．①②③C ．②D ．①②④【答案】C【分析】根据全等三角形的、对称轴和角平分线的概念判断即可．【详解】①对称轴是直线，等腰三角形顶角的平分线是线段，原说法不正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确；③面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；④三角形的角平分线是的线段，原说法不正确；故选C ．【点睛】本题考查了对称轴，全等三角形，三角形的角平分线的概念，熟练掌握概念是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，BD AC ^于点D ，E 是BD 上一点，若BAD CED ≌△△，10,14AB AC ==，则CED △的周长为（）A ．22B ．23C ．24D ．26【答案】C 【分析】直接利用全等三角形的性质得出,,AB EC AD ED BD DC ===，进而得出答案．【详解】解：∵BAD CED ≌△△，∴,,AB EC AD ED BD DC ===，∵10,14AB AC ==，∴14AD DC ED DC +=+=，∴CED △的周长为：101424ED DC EC AC EC ++=+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．二、填空题【答案】105Ð=Ð【分析】根据全等的性质求出A A¢Ð=Ð′，D D A¢Ð度数．¢¢¢¢，【详解】解：Q四边形ABCD≌四边形A B C D【答案】225°/225度【分析】根据图形和正方形的性质可知Ð+Ð+Ð+Ð+Ð12345【详解】解：观察图形可知【答案】85【分析】利用三角形内角和定理求出【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝∴∠BAC＝25°，用三角形外角与内角的关系可得答案．【详解】∵ABC DEC ≌△△，65CEB B Ð=Ð=°，∴DCE ACB Ð=Ð，20D A Ð=Ð=°，在BEC 中，180CEB B ECB Ð+Ð+Ð=°，∴180656550ECB Ð=°-°-°=°，∴50DCA ECB Ð=Ð=°，在DFC △中，502070DFA DCA D Ð=Ð+Ð=°+°=°，故答案为：70°．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．三、解答题　【答案】AB ，A 'B '，∠A ，∠A ′，AC ，【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．（1）求证∶ CE ⊥AB（2）已知BC =7，AD =5，求 AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）由△ABD ≌△CFD ，得出∠BAD ＝∠DCF ，再利用三角形内角和即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出AD ＝DC ，即可得出BD ＝DF ，进而解决问题．【详解】（1）证明：∵AD ⊥BC∴∠CDF ＝90°∵△ABD ≌△CFD ，∴∠BAD ＝∠DCF ，又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠AEF ＝∠CDF ＝90°，∴CE ⊥AB ；（2）解：∵△ABD ≌△CFD ，∴BD ＝DF ，AD ＝DC ，∵BC ＝7，AD ＝5，∴BD ＝BC −CD ＝2，∴AF ＝AD −DF ＝5−2＝3．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的性质是解决问题的关键．13．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，已知ABC DEB ≌，点E 在AB 边上，DE 与AC 相交于点F ．(1)BP=cm．（用(2)当t为何值时，ABP DCP≌(3)当点P从点B开始运动，同时，点。

北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

新北师大版七年级数学下册第四章《4.2图形的全等》优课件(共38张PPT)

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请欣赏并找出全等图形
请欣赏并找出全等图形
观察下图3组全等三角形，在各组图中，第2 个三角形是怎样由第1个三角形改变位置得到的？按照相同的方法，在图（1）、（2）、（3）中分别画出第3、4个三角形
1、你能说出生活中全等图形的例子吗？ 2、观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
形状相同
大小相同
全等图形的形状和大小都相同
探索空间
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形（至少找出两种方法）
判断：
（1）两个正方形一定是全等图形--------（ × ）（2）面积相等的两个三角形是全等图形-（ × ）
（3）面积相等的两个正方形是全等形----（ √ ）
（4）一个图形通过平、旋转、翻折得到的图形
与原图形全等
-------------（ √ ）
（5）边数相同的图形一定能互相重合---（ × ）
（6）所有的圆都是全等图形---------------（ × ）
图中共有多少对全等图形？分别是哪些？
（1）
说一说：
说说你生活中见过的全等图形的例子。
想一想
思考：观察下图中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的运动和另一个图形重合？
上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 .
议一议
图形才可能重合，才可能全等。

全等三角形中的动态性问题

全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。

解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。

一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。

1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。

2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。

二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。

例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。

例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。

例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。

三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。

例题3图（a）例题3图（b）证明：略。

例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

七年级数学下册第4章三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版

例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B

初中数学全等图形练习题

初中数学全等图形练习题1. 下列图形是全等图形的是( )A.B.C.D.2. 如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，AD，BE相交于点G，若S△BDE=1，S△ABC=( )A.1B.2C.3D.43. 如图，O是等边△ABC内的一点，OA=1，OC=3，∠AOC=150∘，则OB的长为（）A.3B.4C.2√2D.√104. 下列说法中，正确的个数为（）①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的正六边形是全等形④面积相等的两个直角三角形是全等形．A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如果两个图形全等，则这个图形必定是（）A.形状相同，但大小不同B.形状大小均相同C.大小相同，但形状不同D.形状大小均不相同6. 如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60∘，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（）A.8B.9C.D.7. 下列说法正确的是（）A.所有正方形都是全等图形B.所有长方形都是全等图形C.所有半径相等的圆都是全等图形D.面积相等的两个三角形是全等图形8. 如图，在由边长为1cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度的裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为（接缝不计）________．9. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形．一定可以拼成的图形是________（填序号）10. 如图，有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有________.11. 请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形：________．12. 下图是由全等的图形组成的，其中AB＝3cm，CD＝2AB，则AF＝________．13. 全等图形的形状和大小都相同．________ （判断对错）．14. 如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．15. 判断下列图形是否全等，并说明理由：（1）周长相等的等边三角形；（2）周长相等的直角三角形；（3）周长相等的菱形；（4）所有的正方形．16. 沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用三种不同的方法试一试．17. 我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）19. 如图，△ABC中，∠B=∠C，点D、E、分别在AB、BC、AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B，求证：ED=EF．参考答案与试题解析初中数学全等图形练习题一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】B【考点】全等图形【解析】全等图形应形状相同，大小一致.【解答】解：全等图形应形状相同，大小一致.只有B符合题意.故选B.2.【答案】D【考点】三角形的面积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：△BDE和△CDE等底同高，所以S△CDE=S△BDE=1.所以S△BCE=2S△BDE=2.因为△BCE和△BAE等底同高，所以S△ABC=2S△BCE=4.故选D.3.【答案】D【考点】旋转的性质等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：将△AOC绕A点顺时针旋转60∘到△AO′B的位置，由旋转的性质，得AO=AO′，所以△AOO′是等边三角形，由旋转的性质可知∠AOC=∠AO′B=150∘，所以∠BO′O=150∘−60∘=90∘.因为OO′=OA=1，BO′=OC=3，所以OB=√12+32=√10.故选D.4.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据能互相重合的两个图形叫做全等图形对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①用一张像底片冲出来的10张五寸照片是全等形，正确；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形，正确；③所有的正六边形是全等形，错误，正六边形的边长不一定相等；④面积相等的两个直角三角形是全等形，错误．综上所述，说法正确的是①②共2个．故选B．5.【答案】B【考点】全等图形【解析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等图形解答即可．【解答】解：如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同．故选B．6.【答案】B【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定相似多边形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】全等图形【解析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解答】解：A、所有正方形都是全等图形，说法错误；B、所有长方形都是全等图形，说法错误；C、所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；D、面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误；故选：C．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）8.【答案】21cm【考点】规律型：图形的变化类全等图形【解析】观察图形，发现：以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图的时候，需要再往右用3个格，画第四个图的时候，需要再往右走1个格，以此类推，则画10个图，需要4+1+3+1+3+1+3+1+3+1=21个．【解答】解：∵后面画出的图形与第一个图形完全一样，∴以中间的点看，再画第二个图形的时候，需要再往右用1个格，画第三个图形的时候，需要再往右用3个格，画第四个图形的时候，需要再往右用1个格，以此类推，则画10个图形，需要4+(1+3+1+3+1+3+1+3+1)=21个．故答案为：21cm.9.【答案】①②⑤【考点】全等图形【解析】解：拿两个“90∘60∘30∘的三角板一试可得：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（5）等腰三角形．而菱形、正方形需特殊的直角三角形：等腰直角三角形．故答案为：①②⑤．【解答】此题暂无解答10.【答案】①和⑥，②③⑤【考点】全等图形【解析】设每个小方格的边长为1，分别表示出第个图形的各边长，再根据全等形是可以完全重合的图形进行判定即可．【解答】解：由图可知，①与⑥的的三条边对应相等，②，③，⑤的四条边对应相等，故①⑥是全等形，②③⑤是全等形．故答案为：①和⑥，②③⑤．11.【答案】分法可分别如下所示：【考点】全等图形【解析】(1)选择对边的两个中点连接即可；(2)分别连接对边的两个中点即可；(3)分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可．【解答】解：所作图形如下所示：．12.【答案】27cm【考点】全等图形【解析】根据已知图形得出CD＝2AB＝6cm，进而求出即可．【解答】解:∵AB＝3cm，∴CD＝2AB＝6cm，∴AF＝3AB+3CD＝3×3+3×6＝27(cm)．故答案为:27cm13.【答案】正确【考点】全等图形【解析】利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，进而判断即可．【解答】解：全等图形的形状和大小都相同，正确．故答案为：正确．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】解：如图所示：．【考点】全等图形【解析】利用网格图形的特征和全等图形的性质即可求解．【解答】此题暂无解答15.【答案】解：（1）全等．理由：等边三角形各角都是60∘，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．【考点】全等图形【解析】根据多边形全等必须同时具备各边对应相等，各角对应相等．若不能确定都相等，则两个多边形不一定全等对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）全等．理由：等边三角形各角都是60∘，各角对应相等，周长相等即边长相等，各边对应相等．（2）不一定全等．理由：由已知条件，只能得到一组直角对应相等，其余的角和边不能确定是否相等．（3）不一定全等．理由：菱形的四条边都相等，由周长相等只能得到四条边对应相等，不能确定四个角是否相等．（4）不一定全等．理由：正方形的四个角都是直角，所有的正方形的角对应相等，但边长不能确定．16.【答案】解：如下图所示：【考点】作图—应用与设计作图全等图形【解析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，即占8个方格，且必须保证分割后的两个图形相同．【解答】解：如下图所示：17.【答案】解：（1）所画图形如上．（2）能，所画图形如上所示．【考点】全等图形【解析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等．（2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可．【解答】解：（1）所画图形如上．（2）能，所画图形如上所示．18.【答案】，△ACD和△CDB即为所求【考点】作图—应用与设计作图【解析】作斜边AB的中垂线可以求得中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边AD＝DB．的一半，可得CD=12【解答】解19.【答案】证明：∠DEC=∠B+∠BDE,∠DEC=∠DEF+∠CEF 又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF又∵BD=CE，∠B=∠C，∴△EBD≅△FCE，∴ED=EF．【考点】全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：∠DEC=∠B+∠BDE,∠DEC=∠DEF+∠CEF 又∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF又∵BD=CE，∠B=∠C，∴△EBD≅△FCE，∴ED=EF．。

北师大版初中数学七年级下册《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷(1)

北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部2．如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD3．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 4．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF5．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED6．如图所示，△ABC的三条边长分别是a，b，C，则下列选项中的三角形与△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．7．如图，AB＝AC，AD＝AE，下列结论错误的是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．BE⊥CD D．△ABE≌△ACD 二．填空题（共2小题）8．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是．9．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE，则需添加的条件是．三．解答题（共11小题）10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．12．如图，线段AD、CE相交于点B，BC＝BD．（1）若∠A＝60°，∠ACB＝20°，求∠CDB的度数；（2）若AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC．13．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABF≌△DEC．14．如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．15．已知，如图，AD＝CB，∠1＝∠2．求证：△ADC≌△CBA．16．如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．19．如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，求证：∠BCE＝∠ACD．20．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．北师大新版七年级下学期《4.3 探索三角形全等的条件》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部【分析】依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．【解答】解：A．三角形的三条中线交于一点，正确；B．锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；C．三角形一定具有稳定性，错误；D．三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；故选：A．【点评】本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．2．如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD【分析】依据AE∥DF，CE∥BF，即可得到∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，即可得出结论．【解答】解：∵AE∥DF，CE∥BF，∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不正确条件是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，且∠ABC＝∠DEF，∴当AC＝DF时，满足SSA，无法判定△ABC≌△DEF，故B不能；当AB＝DE时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，故B可以；当∠ACB＝∠F时，满足ASA，可以判定△ABC≌△DEF，故C可以；当∠A＝∠D时，满足AAS，可以判定△ABC≌△DEF，故D可以；故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．4．如图，已知AB＝DE，BE＝CF，添加下列条件中哪一个能使△ABC≌△DEF（）A．∠A＝∠D B．AB∥DE C．BE＝EC D．AC∥DF【分析】根据条件求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF，当AB∥DE时，∠B＝∠DEF，依据SAS即可得到△ABC≌△DEF；当∠A＝∠D或BE＝EC或AC∥DF时，不能使△ABC≌△DEF；故选：B．【点评】本题全等三角形的判定的应用，全等三角形的5种判定方法中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是（）A．∠B＝∠E B．∠BAD＝∠EAC C．∠BAC＝∠EAD D．BC＝ED【分析】全等三角形的判定中，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边对应相等．【解答】解：∵AB＝AE，AC＝AD，∴当∠BAD＝∠EAC或∠BAC＝∠EAD，依据SAS即可得到△ABC≌△AED；当BC＝ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED；当∠B＝∠E时，不能判定△ABC≌△AED．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．6．如图所示，△ABC的三条边长分别是a，b，C，则下列选项中的三角形与△ABC不一定全等的是（）A．B．C．D．【分析】根据趋势进行的判定定理判断即可．【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理（SSS）A选项中的三角形与△ABC全等，B、∵∠C＝180°﹣80°﹣43°＝57°，∴根据全等三角形的判定定理（SAS）B选项中的三角形与△ABC全等；C、∵∠C＝180°﹣80°﹣43°＝57°，∴根据全等三角形的判定定理（AAS）C选项中的三角形与△ABC全等；D、D项中的三角形与△ABC不一定全等；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，AB＝AC，AD＝AE，下列结论错误的是（）A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．BE⊥CD D．△ABE≌△ACD 【分析】依据SAS即可得判定△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），故D选项正确；∴∠B＝∠C，故A选项正确；∵AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE，故B选项正确；∵∠AEB不一定是直角，∴BE⊥CD不一定成立，故C选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．二．填空题（共2小题）8．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形具有稳定性．【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．9．如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，在不改变图形的情况下，请你添加一个条件，使△ABC ≌△ADE，则需添加的条件是AC＝AE或∠B＝∠DA或∠ACB＝∠AED（填对其中一个均可）．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴根据SAS只要添加AC＝AE即可，根据ASA只要添加∠B＝∠D即可，根据AAS只要添加∠C＝∠E即可．故答案为：AC＝AE或∠B＝∠DA或∠ACB＝∠AED【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三．解答题（共11小题）10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．【分析】依据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，求证：△ABD≌△ACD．【分析】根据“SSS”进行证明．【解答】证明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．12．如图，线段AD、CE相交于点B，BC＝BD．（1）若∠A＝60°，∠ACB＝20°，求∠CDB的度数；（2）若AB＝EB，求证：△ACD≌△EDC．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．（2）首先证明△ABC≌△EBD（SAS），AC＝ED，∠A＝∠E，再证明△ACD≌△EDC（SAS）．【解答】（1）解：∵∠A＝60°，∠ACB＝20°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣20°＝100°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝BDC，∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC，∴∠CDB＝∠DCB＝50°．（2）证明：在△ABC和△EBD中，，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝ED，∠A＝∠E，∵AB＝EB，BD＝BC，∴AD＝EC，在△CAD和△DEC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABF≌△DEC．【分析】根据SAS证明△ABF≌△DEC即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AC＝FD，∴AF＝DC，在△ABF和△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SAS）．【点评】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．14．如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．15．已知，如图，AD＝CB，∠1＝∠2．求证：△ADC≌△CBA．【分析】在△ADC与△CBA中，AC是公共边，根据SAS即可证明△ADC≌△CBA．【解答】证明：在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA（SAS）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．【分析】由“SSS”可证△ABE≌△CDF，可得∠ABD＝∠CDB，由“SAS”可证△ABD ≌△CDB，可得AD＝BC．【解答】证明：∵BF＝DE∴BE+EF＝EF+DF∴BE＝DF在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SSS）∴∠ABD＝∠CDB在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SAS）∴AD＝BC【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F．【分析】根据全等三角形的判定定理，很容易确定SAS的条件，即证△ABC≌△DEF，进而证明即可．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC．即BC＝EF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴∠ACB＝∠F．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．18．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝62°，求∠BDC的度数．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得∠ABD＝∠ACD；（2）由三角形内角和定理可求∠BDC的度数．【解答】证明：（1）∵∠EAD＝∠BAC∴∠BAE＝∠CAD，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴∠ABD＝∠ACD（2）∵AB＝AC，∠ACB＝62°∴∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣62°﹣62°＝56°∵∠BAO+∠ABO+∠AOB＝180°，∠DCA+∠DOC+∠BDC＝180°∴∠BAC＝∠BDC＝56°【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．19．如图，已知CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，求证：∠BCE＝∠ACD．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得∠ACB＝∠DCE，则可得结论．【解答】证明：∵CA＝CD，AB＝DE，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEC（SAS）∴∠ACB＝∠DCE∴∠BCE＝∠ACD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定和性质是本题的关键．20．如图，点A、E、F、C在一直线上，DE∥BF，DE＝BF，AE＝CF．求证：AB∥CD．【分析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A＝∠C，可证AB∥CD．【解答】证明：∵DE∥BF∴∠DEF＝∠BFE∵AE＝CF∴AF＝CE，且DE＝BF，∠DEF＝∠BFE∴△AFB≌△CED（SAS）∴∠A＝∠C∴AB∥CD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．。

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《图形的全等》典型例题
例1指出下面图形中，哪对是全等图形．
例2 指出下列8个图形中的全等图形
例3下列叙述：（1）能够重合的图形一定是全等图形（2）全等图形的面积一定相同
（3）两个面积相等的图形一定是全等图形
（4）两个周长相等的图形一定是全等图形．
中正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个
例4将下面的平行四边形田地划分成两个全等的部分．
参考答案
例1分析：（1）（2）（4）的形状大小都没变，所以（1）（2）（4）的每对图形都是全等图形，而（3）大小发生了变化，故（3）中的一对图形不是全等图形．解：（1）、（2）、（4）是全等图形，（3）不是全等图形．
说明：在判断两个图形是否全等时，（1）是形状相同，（2）是大小相等．例2 分析：要判断两个图形是否是全等图形，可以根据定义，即：把两个图形叠在一起，看是否能够重合，重叠时根据需要可以适当改变图形的方向；也可以观察两个图形的大小和形状是否相同．
解：上面8个图形中，全等图形有：
（1）与（6），（4）与（5），（7）与（8）
例3分析：全等图形的形状、大小、面积、周长均相同，但是很明显，面积或周长相同的两个图形未必是全等图形，因为它们的形状可以各种各样．故本题中，（1）、（2）是正确的，而（3）、（4）是错误的．
解：选B．
分析：结合图形的实际进行全等图形的划分，对于平行四边形有四种划分方法．
解：。