透视对应读书笔记

透视对应姓名：刘先会 学号：2011125107众所周知,在仿射几何学中,透视仿射对应起着举足轻重的作用。

特别,在初等几何中得到广泛应用.同样,在射影几何学中,透视对应亦非常重要.本文由射影对应引出透视对应，给出透视对应的定义与射影对应成为透视对应的充要条件，并总结了透视对应与射影对应的关系，对透视对应作了比较全面的介绍。

1. 预备知识平行射影又叫做透视仿射，把仿射看作透视仿射链。

同样的，中心射影又称为透视，射影变换（射影对应）可以看作透视链。

即任何射影对应可以用透视作为手段来实现。

因为透视对应是一种特殊的射影对应。

首先介绍射影相关知识便于理解透视对应的定义与证明。

定义1.1 设有两点列，动点坐标分别为p q μ+，p q μ'''+，若对应点的参数μ与μ'满足双一次关系（1）0,0a b a b c d c d μμμμ''+++=≠，（,,,a b cd 表常数）或（2）,0b d b d ac a c μμμ----'=≠+,则称这两点列成射影对应。

同样的，设有两线束，动线坐标分别为p q μ+，p q μ'''+，若对应直线的参数μ与μ'满足（1）或（2），则称这两线束成射影对应。

定义1.2 设有一点列，动点坐标为p q μ+，又有一线束，动直线坐标p q μ'''+，若对应参数μ与μ'满足（1）或（2），则称此点列与线束成射影对应。

我们把0αβαμβμγδγμδ⎛⎫-'=≠ ⎪+⎝⎭称为μ的射影函数。

定理1.1 设点s 不在点列p q μ+上，那么这点与点列上任意一点联线，所作成的线束与点列成射影对应。

证明：设点列的基底以矢量p 和q 表达，动点以p q μ+表达（图1）。

将已知点s 到这些点联线，这些直线的坐标分别是p s ⨯，q s ⨯，()()()p q s p s q s μμ+⨯=⨯+⨯。

置p p s '=⨯，q q s '=⨯，可见点列中动点的坐标为p q μ+，而线束中对应直线的坐标为p q μ''+，参数间的关系为μμ'=。

这显然是射影函数0αβαμβμγδγμδ⎛⎫-'=≠ ⎪+⎝⎭的特例：0,0αδβγ=≠==，所以点列和线束成射影对应。

证毕。

交换点与直线的地位、点坐标与线坐标的地位，同理即可得到定理1.1的对偶命题：定理1.2 设直线s 不通过线束p q μ+的中心（图2），那么这直线截这线束所得的点列与这线束成射影对应。

2. 透视对应定义 2.1 点列与线束成射影对应，而对应线通过对应点的（即对应点在对应线上），这种特殊的射影对应称为透视对应。

这时两个一维几何形式（点列与线束）称为互成透视状态或处于透视位置。

透视对应的表示方法：∧。

例如点列(),,,A B C 和线束(),,,a b c 成透视，便以符号()(),,,,,,A B C a b c ∧表示。

定义 2.2 如果两个点列与同一线束成透视对应，则称两个点列成透视对应。

几何特征是：两个点列中对应点的联线共点（图3），此点称为透视心。

同样的，如果两个线束与同一点列成透视对应（图4），则称两个线束成透视对应。

几何特征是：两线束中对应线的交点共线，此直线称为透视轴。

很自然地，我们将考虑什么情况下两个射影点列（两个射影线束）成透视。

定理2.1 两个射影点列成透视的充要条件：两个点列的公共点成自对应。

定理2.2 两个射影线束成透视的充要条件：两个线束的公共线成自对应。

下面我们证明定理2.1，定理2.2的证明与其类似。

证明：必要条件是显然的。

设直线l 上点列,,,A B C 与直线l '上点列,,,A B C '''成透视，透视心为S 。

设P 为l 与l '的交点（图5）。

这一点看作l 上一点，其在l '上的对应点P '显然是这一点自身。

反之，设l 与l '上有两个射影点列：()(),,,,,,A B C AB C '''∧。

且l 与l '的交点自对应，即P P '≡。

我们来证明这两点列实际上成透视，即要证明任意一对对应点的联线通过一定点。

事实上，联两对对应点,;,A A B B ''的直线，设相交于S ，并设S 与l 上任意一点M 的联线交l '于1M '。

于是交比()()1,,PA BM P A B M ''''=。

由射影对应的假设，又有()(),,PA BM P A B M ''''=。

可见()()1,,P A B M P A B M ''''''''=，两端前三点分别相同，交比又相等，从此判断1M M ''≡。

可见任意一对对应点的联线MM '通过一定点S 。

所以两点列确实成透视。

证毕。

以上讨论了透视对应的定义和成透视对应的充要条件，下面给出透视对应的特征：（1） 两个点列成透视对应，则对应点的联线共点。

（2） 两个线束成透视对应，则对应点在对应线上。

（3） 点列与线束成透视对应，则对应线的交点共线。

3.透视对应与射影对应由二维射影变换与透视变换的定义, 可得到二者之间有如下关系:（1）两平面点之间的透视对应必是射影对应。

（2）若干个透视对应（透视链）的结果必为射影对应。

（3）两个平面间的射影对应可以表示为不多于三个透视对应的乘积。

（4）平面π的透视变换可分解为两次透视对应之积。

（5）平面π的非恒等射影变换φ可分解为若干次透视变换之积。

（6）平面π的非恒等射影变换φ可分解为若干次透视对应之积。

现在来考虑如何通过透视对应组成射影对应，这里实际上也是考虑用怎样的几何手段来体现射影对应。

定理 3.1 对于两个不共底且不成透视对应的射影对应点列，用两回透视对应就可以使第一点列转换为第二点列。

换言之，这时的射影对应是由两回透视对应组成的。

证明：设,,,A B C 是以l 为底的点列（图6），,,,A B C '''是以l '为底的点列，两者成射影对应：()(),,,,,,A B C A B C '''∧。

联结A '与第一点列上诸点，得一与之成射影对应的线束记作(),,,A A B C '。

同样联结A 与第二点列上诸点，得一与之成射影对应的线束(),,,A A B C '''。

根据射影对应的可传性，从()()()(),,,,,,,,,,,,A A B C A B C A B C A A B C '''''''∧∧∧得出()(),,,,,,A A B C A A B C ''''∧。

但由于这两线束的公共线A A AA ''≡是自对应的，由定理 2.2得()(),,,,,,A A B C A A B C ''''∧。

由两个线束成透视的定义，则对应线的交点11,,B A B AB C A C AC ''''=⨯=⨯应在同一直线1l 上。

以1A 表直线AA '与1l 的交点，便有()()()111,,,,,,,,,A B C A B C A B C '''∧∧。

以A '和A 作透视心，经过两回透视将第一点列转换成第二点列。

证毕。

由一维射影几何基本定理可知在l 上给定三点,,A B C ，在l '上给定三个对应点,,A B C '''，两个点列的射影对应便完全决定了。

所以，定理3.1同时也告诉了我们如何作出一个点的射影对应点。

那么具体如何作出l 上任一点M 的对应点呢？过程如下：首先作交点11,B A B AB C A C AC ''''=⨯=⨯;其次联11B C 得直线1l ；联A M '与1l 相交于1M ；最后1AM 与l '交于所求点M '。

那么，一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，如何通过透视对应转换呢？定理 3.2 设一个点列与一个线束成射影对应而不成透视对应，那么用三回透视就可以彼此转换。

换言之，这时的射影对应是由三回透视组成。

证明：设以L 为中心的线束,,,a b c 与直线l '上的一个点列,,,A B C '''成射影对应（图7），以任一不通过L 的直线l 截已知线束，得出一个和它成透视的点列,,,A B C ，这是一回透视。

按定理3.1，再用两回透视就完成了证明：()()()()111,,,,,,,,,,,,a b c A B C A B C A B C '''∧∧∧.证毕。

4.应用举例已知一直线上三点,,A B C ，求作第四点D 使交比(),AB CD 等于定数λ。

解：过C 点任作一直线，在其上任取一点A '，并在其上作出一点B '使有向线段之比::1CA CB λ''=(若0λ>，则A '与B '在C 的同侧，若0λ<则在异侧)。

以S 表示AA '与BB '的交点，过S 作A B ''的平行线交AB 于所求点D 。

要证明作图的正确性，可设直线A B ''上的无穷远点为D ∞'。

于是()(),,,,,,A B C D A B C D ∞''''∧。

从而 ()()()()(),,===:A B C AB CD A B C D A B C A C B C A B D λ∞∞''''''''''''=='''。