优秀的近世代数期末考试总复习

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是( )乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

1、设集合；，则有--—--———-。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--—--———.3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换,则称R是一个-——--—。

4、偶数环是—-—-———-—的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个--———--—。

6、每一个有限群都有与一个置换群--—————-。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是————--—.8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么------—-—。

9、一个除环的中心是一个——-—---。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合，定义中运算“"为ab=（a+b)（modm），则(，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分,第2小题15分,共25分）1、设是群.证明:如果对任意的，有，则是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群.A、B、C、D、2、下面的代数系统（G，＊）中，( )不是群A、G为整数集合，＊为加法B、G为偶数集合，＊为加法C、G为有理数集合,＊为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？( ）A、a*b=a-bB、a＊b=max{a，b｝C、a*b=a+2bD、a*b=｜a-b｜4、设、、是三个置换,其中=（12）（23）(13)，=(24）（14），=（1324）,则=（）A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个———-———-—-同构。

2、一个有单位元的无零因子—--—-称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于—--———。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--——-—-同构。

5、A=｛1。

2。

3} B={2。

5.6｝那么A∩B=———--.6、若映射既是单射又是满射，则称为-—---—--—-—--———-。

7、叫做域的一个代数元,如果存在的—---—使得.8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为———-—-—-—。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭;结合律成立、—-————---。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-—-——--—-—.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设集合A=｛1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群,H={I,(1 2）｝,写出H的所有陪集.2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E,)是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391，求（a,b)，[a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分,第2小题15分，共25分）1、若〈G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a＊x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b.近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（).A、2阶B、3 阶C、4 阶D、6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（).A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格( ）A、（N，）B、（Z,）C、(｛2,3，4,6,12｝，|（整除关系））D、（P(A）,)5、设S3＝｛（1)，(12），（13)，(23)，(123),（132）}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、（1），(123)，（132)B、12），（13)，(23)C、（1）,（123）D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是-------—的，每个元素的逆元素是-—-—————的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则—-—-----—-。

3、区间[1,2］上的运算的单位元是—---—-—。

4、可换群G中|a｜=6,|x｜=8,则|ax｜=—-————-———。

5、环Z8的零因子有—--——--————-—-——--———--。

6、一个子群H的右、左陪集的个数-———------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的--——-—---。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-—--—--——-—。

9、设群中元素的阶为，如果,那么与存在整除关系为——-—--——。

三、解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链?2、S1，S2是A的子环,则S1∩S2也是子环.S1+S2也是子环吗？3、设有置换,。

1．求和；2．确定置换和的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分,第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A ×B中含有（)个元素。

A.2B.5C。

7 D。

102.设A＝B＝R（实数集),如果A到B的映射：x→x＋2,x∈R，则是从A到B的( )A。

满射而非单射 B.单射而非满射C。

一一映射D。

既非单射也非满射3。

设S3＝｛(1)，（12），(13），(23)，（123),(132)｝，那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( ）A。

（1)，(123)，（132) B。

(12)，(13),(23）C。

（1），（123) D.S3中的所有元素4。

设Z15是以15为模的剩余类加群，那么,Z15的子群共有（）个。

A。

2 B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A。

整系数多项式全体Z[x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法C。

整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:m, n∈Z, mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“"：m，n∈Z，mn＝1二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系,如果“～”满足___________，则称“～"是A 的一个等价关系。

7。

设（G，·)是一个群,那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元,而且（ab)－1＝___________。

8.设σ＝（23）(35)，τ＝（1243）(235）∈S5，那么στ＝___________（表示成若干个没有公共数字的循环置换之积）。

9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10。

在3次对称群S3中，设H＝{（1)，(123)，（132)｝是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素（12)H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5]}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数,那么，n是___________。

13。

设Z［x]是整系数多项式环，(x）是由多项式x生成的主理想，则（x）＝________________________。

14。

设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi｜a,b∈Z},其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________.15。

有理数域Q 上的代数元+在Q 上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16。

设Z 为整数加群,Z m 为以m 为模的剩余类加群,是Z 到Z m 的一个映射,其中：k →[k ］，k ∈Z,验证：是Z 到Z m 的一个同态满射，并求的同态核Ker 。

17.求以6为模的剩余类环Z 6＝{［0］，［1］，［2］，[3]，［4］，［5]}的所有子环，并说明这些子环都是Z 6的理想.18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题,第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分)19.设G ＝{a ，b ，c},G 的代数运算“"由右边的运算表给出，证明：（G,）作成一个群。

20。

设 已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。

证明：I 是R 的一个子环，但不是理想. 21。

设（R ，＋,·)是一个环，如果（R,＋）是一个循环群，证明:R 是一个交换环。