树和二叉树
第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。
而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。
本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。
二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空，也可以是一棵空树。
2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。
在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。
3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。
掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。
三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。
树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。
树中最顶层的节点称为根节点。
2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。
在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。
3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。
树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。
四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。
每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。
2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。
3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。
说明树与二叉树的主要区别
说明树与二叉树的主要区别摘要：一、引言二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点2.二叉树的定义及特点三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定2.节点连接方式的差异3.遍历方式的差异四、实例分析1.满二叉树与满树的对比2.完全二叉树与完全树的对比五、总结与展望正文：一、引言在计算机科学中，树和二叉树是广泛应用于数据结构和组织的重要概念。
尽管它们在某些方面具有相似之处，但它们之间仍存在显著差异。
本文将详细介绍树与二叉树的主要区别，以帮助读者更好地理解这两种数据结构。
二、树与二叉树的定义及基本概念1.树的定义及特点树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由若干个节点组成，这些节点通过边连接在一起。
树中最顶层的节点称为根节点，最底层的节点称为叶节点，中间层节点称为内部节点。
树具有以下特点：（1）只有一个根节点。
（2）每个节点最多有若干个子节点，最少有一个子节点（除了根节点）。
（3）节点之间的连接顺序呈层次结构。
2.二叉树的定义及特点二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树结构，其中每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
根据这个定义，二叉树可以进一步细分为满二叉树、完全二叉树和不完全二叉树等。
二叉树具有以下特点：（1）每个节点最多有两个子节点。
（2）节点之间的连接呈二叉树结构。
三、树与二叉树的主要区别1.节点数量的限定树中每个节点可以有任意数量的子节点，而二叉树中每个节点最多有两个子节点。
这是树与二叉树最明显的区别。
2.节点连接方式的差异树中节点之间的连接顺序呈层次结构，呈放射状分布。
而二叉树中节点之间的连接呈二叉树结构，呈线性分布。
3.遍历方式的差异树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
不过，二叉树的遍历方式通常与树的遍历方式有所不同。
四、实例分析1.满二叉树与满树的对比满二叉树是一种特殊的二叉树，其每个节点都有两个子节点，且所有叶子节点都在同一层。
树与二叉树h
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
第6章树和二叉树
9
6.1.4 树的存储结构
3.孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法 在结点中设置两个指针域， 在结点中设置两个指针域，一个指针域指向该结 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。
2
6.1.1树的定义 树的定义
结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 子树 称为结点的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 最大值称为树的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点 终端结点或 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点或叶 子 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 孩子结点和双亲结点： 孩子结点和双亲结点：树中一个结点的子树的根结点称 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点， 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，称 为结点的祖先。 为结点的祖先。
17
6.2.2 二叉树的性质
性质4 具有n（ 性质 具有 （n>0）个结点的完全二叉树的深度 ）个结点的完全二叉树的深度h= log 2 n + 1 证明： 证明： 根据完全二叉树的定义可知深度为h-1层及以上的结点构成 根据完全二叉树的定义可知深度为 层及以上的结点构成 满二叉树，因此由性质2得深度为 得深度为h的完全二叉树满足 满二叉树，因此由性质 得深度为 的完全二叉树满足 n>2h-1-1和n≤2h-1 和 整理后得到 2h-1≤n<2h 不等式两边取对数， 不等式两边取对数，得 h-1≤log2n<h 由于h为正整数 为正整数， 由于 为正整数，因此 h= log 2 n + 1
树和二叉树的实验报告
《数据结构》实验报告题目: 树和二叉树一、用二叉树来表示代数表达式（一）需求分析输入一个正确的代数表达式, 包括数字和用字母表示的数, 运算符号+ - * / ^ =及括号。
系统根据输入的表达式建立二叉树, 按照先括号里面的后括号外面的, 先乘后除的原则, 每个节点里放一个数字或一个字母或一个操作符, 括号不放在节点里。
分别先序遍历, 中序遍历, 后序遍历此二叉树, 并输出表达式的前缀式, 中缀式和后缀式。
（二）系统设计1.本程序中用到的所有抽象数据类型的定义；typedef struct BiNode //二叉树的存储类型{char s[20];struct BiNode *lchild,*rchild;}BiTNode,*BiTree;2.主程序的流程以及各程序模块之间的层次调用关系, 函数的调用关系图:3. 列出各个功能模块的主要功能及输入输出参数void push(char cc)初始条件: 输入表达式中的某个符号操作结果: 将输入的字符存入buf数组中去BiTree Create_RTree()初始条件: 给出二叉树的定义表达式操作结果：构造二叉树的右子树, 即存储表达式等号右侧的字符组BiTree Create_RootTree()初始条件: 给出二叉树的定义表达式操作结果：构造存储输入表达式的二叉树, 其中左子树存储‘X’, 根节点存储‘：=’void PreOrderTraverse(BiTree T)初始条件: 二叉树T存在操作结果：先序遍历T, 对每个节点调用函数Visit一次且仅一次void InOrderTraverse(BiTree T)初始条件: 二叉树T存在操作结果：中序遍历T, 对每个节点调用函数Visit一次且仅一次void PostOrderTraverse(BiTree T)初始条件: 二叉树T存在操作结果：后序遍历T, 对每个节点调用函数Visit一次且仅一次int main()主函数, 调用各方法, 操作成功后返回0（三）调试分析调试过程中还是出现了一些拼写错误, 经检查后都能及时修正。
树和二叉树的计算公式
树和二叉树的计算公式
树和二叉树是计算机科学中重要的数据结构，它们可以用于各种算法和数据处理应用。
在计算树和二叉树的性质和操作时，需要使用一些计算公式。
一、树的计算公式
1. 节点总数公式：假设一棵树有n个节点，那么它的节点总数
为n=1+r1+r2+...+rk，其中r1、r2、...、rk分别表示每个节点的
子节点数。
2. 叶子节点数公式：一棵树的叶子节点数等于每个非叶节点子
节点数之和加1，即l=r1+r2+...+rk+1。
3. 深度公式：一棵树的深度为从根节点到最深叶子节点的路径
长度，可以用递归的方式计算：d(T)=max{d(T1),d(T2),...,d(Tk)}+1，其中T1、T2、...、Tk是根节点的子树，d(Ti)表示第i个子树的深度。
二、二叉树的计算公式
1. 节点总数公式：假设一棵二叉树有n个节点，那么它的节点
总数为n=2^h-1，其中h为树的高度。
2. 叶子节点数公式：一棵二叉树的叶子节点数等于度数为2的
节点数加1，即l=n/2+1。
3. 深度公式：一棵二叉树的深度为从根节点到最深叶子节点的
路径长度，可以用递归的方式计算：d(T)=max{d(T1),d(T2)}+1，其
中T1、T2是根节点的左右子树，d(Ti)表示第i个子树的深度。
以上是树和二叉树的一些常用计算公式，可以用于分析和设计算法，帮助开发人员更好地理解和应用这些数据结构。
树与二叉树的关系
将一棵树转换为二叉树的方法： ⑴ 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 ⑵ 对树中的每个结点，只保留其与第一个 孩子结点之间的连线，删去其与其它孩子结 点之间的连线。 ⑶ 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针 旋转一定的角度，使之结构层次分明。
树转换为二叉树示意图
A
A
B
E
CF G
DH
I
A
B
E
CF G
DH
I
J
J
A
BC D EG FH I J
用递归的方法描述其转换
若B是一棵二叉树，T是B的根结点，L是B的 左子树，R为B的右子树，设B对应的森林F（B） 中含有的n棵树为T1,T2, …,Tn，则有： （1）B为空，则：F（B）为空的森林（n＝0）。
（2）B非空，则：
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
3、森林的后序遍历*
若森林非空，则遍历方法为：
（1）后序遍历森林中第一棵树的根结点的子 树森林。 （2）后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构 成的森林。 （3）访问第一棵树的根结点。
6.5 哈夫曼树及其应用
6.5.1 哈夫曼树
哈夫曼树最典型、最广泛的应用是在 编码技术上，利用哈夫曼树，可以得到 平均长度最短的编码。这在通讯领域是 极其有价值的。
权值 双亲序号 左孩子序号 右孩子序号
静态三叉链表结构定义
#define N 20 #define M 2*N-1 typedef struct { int weight ;
int parent，Lchild，Rchild ; }HTNode, HuffmanTree[M+1];
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树结构的特点：
（1）树的根的结点没前驱结点，除了根结点之外 的所有结点都有且只有一个前驱结点； （2）树的结点可以有零个或多个后继结点。
树结构描述的是层次关系。
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
8
5.1.2
基本术语
(a) 树t
图5.2 树t和树t '
(b) 树t '
9
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
父结点，子结点，边
若结点y是结点x的一棵子树的根，则x称作y的父结 点（或父母）；y称作x的子结点（或子女）；有序 对<x，y>称作从x到y的边。
例如树t中，C是E的父结点，E是C的子结点，<C，E>是从C 到E的边（它对应着图中的有向线段CE）。
兄弟结点 具有同一父母的结点彼此称作兄弟。
树t中B，C，D互为兄弟，F，G互为兄弟，等等。注意，E和F 并不是兄弟。
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 10
祖先，子孙
若结点y在以结点x为根的一个子树（或树）中，且 y≠x，则称x是y的祖先，y是x的子孙。
例如树t中，A是其它各结点的祖先；C是E，H，I，J的祖先。
树的递归定义：
树(Tree)：是包括n(n>=0)个结点的有限集T。当T 非空时，满足： （1）有且仅有一个特别标出的称为根的 结点； （2）除根结点外，其余结点可分为m（m>=0） 个互不相交非空的有限集T1, T2, …, Tm, 其中 每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树 (Subtree)。 空树：不包括任何结点的树。
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 15
5.1.4
树的基本运算
• 创建一棵空树 Tree createTree( Node p, Tree t1, Tree t2, …, Tree ti ) i=1, 2, 3, … • 判断某棵树是否为空 int isNull ( Tree t ) • 求树中的根结点，若为空树，则返回一特殊值 Node root ( Tree t )
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 4
树的表示方法：
A B C
D
I
E
J
F
G
H
（a）树形表示
(c ) 凹入表
5
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
A(b) 文氏图B源自D I E J F G C H
(A(B(D)(E(I)(J))(C(G)(H))) (d) 嵌套括号表示法
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 6
• 求某个指定结点的父结点，当指定结点为根时，返回一特 殊值
Node parent ( Node p )
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 16
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
13
无序树、有序树
对子树的次序不加区别的树叫作无序树。对子树之 间的次序加以区别的树叫作有序树。
例如在图5.2中，按无序树的概念t和t'是同一棵树，按有序 树的概念则是不同的树，本章讨论的树一般是有序树。
结点的次序 在有序树中可以从左到右地规定结点的次序。按从 左到右的顺序，我们可以把一个结点的最左边的子 结点简称为最左子结点，或直接称为长子，而把长 子右边的结点称为次子。
A有子女B,C； B和 C分别有子女D,E,F和G,H;E有 子女I , J。 T=(N,R) ,其中 N={A, B, C, D, E, F, G, H, I, J} R={ A, B, A, C, B, D , B, E, B, F, C, G, C, H, E, I, E, J }
路径，路径长度
如果x是y的一个祖先，又有x＝x0，x1，…，xn＝y， 满足xi（i＝0，1，…，n-1）为xi+1的父结点，则 称x0，x1，…，xn为从x到y的一条路径。n称为这 条路径的长度。路径中相邻的两个结点可以表示成 一条边。
例如树t中A，C，E，I，J是从A到J的一条路径，其长度为4。
第五章 树和二叉树
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 树与树林 树和树林的存储表示 二叉树 二叉树的存储表示 哈夫曼算法及其应用
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
1
线性结构和非线性结构。
树形结构是以分支关系定义的层次结构， 在现实世界中广泛存在，在计算机领域中也 有广泛应用。
本章重点讨论二叉树的存储结构及其各 种操作，并研究树和森林与二叉树之间的转 换关系。
12
结点的度数、树的度数
结点的子女个数叫作结点的度数。树中度数最大的 结点的度数叫作树的度数。
例如t中A，C，E，J的度数分别为3，1，2，0；t的度数为3
树叶、分支结点
度数为0的结点称作树叶或终端结点；度数大于0的 结点称作分支结点或非终端结点。
例如树t中B，F，G，H，J都是树叶，其余结点都是分支结 点。
例如在t中结点B是结点A的长子，结点C是结点A的次子，是 结点B的兄弟。
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 14
5.1.3
集合。
树林
树林：是m（m>=0）棵互不相交的树所组成的
就逻辑结构而言，任何一棵树是一个二元组
Tree=(root,F) , 其中root称为树的根结点，F是m
（m0）棵子树构成的树林，F=(T1, T2,…,Tm), 其 中Ti=(ri,Fi)称作根root的第i棵子树；当m0时，在 树根和其子树林之间存在下列关系: RF={<root, ri> | i=1,2,…,m, m>0}
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 11
结点的层数 规定根的层数为0，其余结点的层数等于其父母结 点的层数加1。
例如t中，0层的结点是A，1层的结点有B，C，D，4层的结 点是J。
树的深度或高度
树中结点的最大层数称为树的深度或树的高度。
例如树t中，树的深度为4。
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述
2
5.1
树与树林
5.1.1 树的定义 5.1.2 基本术语 5.1.3 树林 5.1.4 树的基本运算
5.1.5 树的周游
5.1.6 树林的周游
张乃孝 算法与数据结构——C语言 描述 3
5.1.1
树的定义
树(Tree)的例子：一个家族。