激光多普勒效应及其应用

（2-27）
β 是速度向量和 PB 之间的夹角， PB 是 PS 和 PQ 夹角的平分线． PB 是散射向量的方向， 这是散射理论中有用的概念，代表散射辐射的动量变化． 将式（2-26） （2-27）代入（2-24）中可得：
v 2 v cos sin v c 2
（2-28）
由此可见， 多普勒频移依赖于散射半角的正弦值和 v 在散射方向的分量 vcosβ.方程(2-28) 可以用波长λ （对于这个近似，偏移的波长和没有偏移的波长都用它表示）表示为： 2v （2-29） v cos sin 2 这是多普勒频移方程最有用的形式． 2.1.5 由反射引起的多普勒频移 移动镜片和衍射光栅引起的多普勒频移是有实用意 义的．在这里讨论它们是值得的．事实上，多普勒频移公 式和散射的情况是完全一样的， 可以把反射光或衍射光看 作散射光处理，当然光仅仅能在一个特殊方向上偏斜，偏 斜角 α 不是一个附加变量.图 6 中我们研究以角度θ 入射 到镜片上的一束光,反射角当然也是θ ． 很明显,镜片在自身平面内移动时反射特性不会发生 图 6 反射多普勒频移的说明 变化，因此没有多普勒频移．垂直于镜子平面的移动要产生 一个频移， 假设在这个方向的速度为 μ.图中画出了 t 和 t+δt 瞬时的镜片位置，它们的间 隔为 μδt．利用如图所示的结构，可以看到在时间 δt 期间入射波前 AA’和反射波前 BB’ 之间的光程减少了：
1 多普勒效应
1.1 声学多普勒效应 当声源和接受器相对运动时，接受器所接受到的声信号频率与声源的频率有差别， 这种效应称为声学多普勒效应．如图 1 所示，S 为声源，运动速度为 vS，运动方向与朝
图 1 声学多普勒效应原理图
着接受器方向夹角为 θS，声波速度为 v,R 为接受器,运动速度为 vR，运动方向与朝着声 源的方向夹角为 θR，声源频率为 fS，接受信号频率为 fR，推算出：
(2-13)
假设在 t=t’=0 时原点 O 和 O’相重,将式(2-13)代入(2-12)中,则有：
E E0 cos 2 v '(t'x'cos ' y'sin ' ) c c
(2-14)
其中：
v' v (1 cos ) c 1 v2 / c 2 v
(2-15)
（2-21）
由于这种情况中 θ2 角是根据观察者来测定的，因此：
v '' 1 (v/c) cos 1 v 1 (v/c) cos 2
（2-22）
几乎总是这样的情况， 即速度 v 比 c 要小得多， 则可以把 v/c 展开后取其一次项， 由此： vv （2-23） v v '' v (cos 1 cos 2 ) c 采用一个熟知的三角变换后可得：
由于 c v' ' ，v’是接受到的频率,相对多普勒频移为：
(2-7)
v cos v v ' v c v v v 1 cos c
(2-8)
这个公式和(2-2)不同，虽然这两种情况中波源和观察者的相对运动是一样的 .特别要注 意的是， 假如 v>c， 移动波源的Δ v 可变为无限大.对于移动观察者,这一点是不可能发生 的，然而，当速度很小时，可把(2-8)式展成 v/c 的幂级数：
v
由图 5 可知：
2v v (cos 1 2 cos 1 2 ) c 2 2
（2-24）
(1 2 )
其中 α 是散射角，而且：
（2-25）
sin

2
cos
1 2
2
（2-26）
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还有：
1 2
2

v v ' v v(v/c) cos
(2-19)
(对于这个近似θ ’和θ 之间的差别是不重要的). 2.1.4 散射物的多普勒频移 本文主要关心的是移动物体所散射的光的频移， 光源 和观察者是相对静止的． 可把这种情况当作一个双重多普 勒频移来考虑，光从光源到移动的物体，然后由物体到观 察者．为了严格的处理此问题，要利用上节导出的相对论 方程，但倘若对波运动“介质”的运动作一定的假设，就 可以利用非相对论处理得到相同的答案，虽然这是没有物 理意义的．在图 5 中考虑从光源 S 发出的频率为 v 的光被 物体 P 散射，在 Q 处来观察散射光．运动方向和 PS 及 PQ 所成的角度用 θ1 及 θ2 表示． P 所观察到的频率由方程（2-15）给出：
fR v v R cos R fS v v S cos S
(1-1)
多普勒频移：
fD fR fS v R cos R v S cos S fS v v S cos S
(1-2)
即声学多普勒频移公式． 1.2 光学多普勒效应
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当单频的激光光源与接受器相对运动时，接受器接受到的光频率与光源频率有差 别，或者当光源固定，光波从运动的物体散射或反射并由固定的接受器接受时，也可以 得到变化了的光频率信号，这就是光学多普勒效应.下面详细说明.
2 激光多普勒效应
由于一般运动体的运动速度远小于光速，由此而造成的多普勒频移相对于光频 （3*1014Hz）变化很小，而普通光源常有比 fD 大的多的频带带宽，因此，无法根据频 带的移动来测定 fD，而激光却是频带极窄的相干辐射源，以中等速度运动的物体所引 起的激光多普勒与光频相比虽然仍很小,但与光源带宽相比则大的多 ,能够运用光外差 技术检测出 fD 的值，从而获得物体的运动信息，所以我们通常用激光作为光学多普勒 效应的光源. 2.1 多普勒频移 2.1.1 多普勒频移的由来 如图 2 所示 P 点处观察者接受到的波运动．假设波源 S 是静止的,观察者以速度 v 在移动，波的速度为 c，波长为λ ，如果 P 离开 S 足够远(和λ 相比)，可把靠近 P 点的 波看作平面波．
可利用(2-16)把偏移的频率和没有偏移的频率之比的公式用角度θ 写出来：
(2-17)
v'
1 v2 / c2 1 (v/c) cos
(2-18)
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(θ ’和θ 的差别代表了在系统 O’中光的方向相对于系统 O 的改变).正如所预想的那 样,相对论结论和非相对论得出的结论(方程(2-2)和(2-9)在只考虑一次项 v/c 时是一 样的.这个近似适合于我们的目的, 多普勒频移为：
v


v v2 cos 2 cos 2 c c
(2-9)
该公式中的 v/c 的一次项和式(2-2)一样,在这种近似中,频移只依赖于波源和观察者的相 对速度,而与介质无关． 2.1.3 相对论多普勒频移 虽然我们承认声学中波动传播的介质，而这 个概念对于光波来说是没有意义的，应该用相对 论原理来处理这个问题。考虑如下事实，即相对 于任何观察者，真空中的光速是相同的. 为了进行计算，由一个观察者变到另一个以 等相对速度移动的观察者时，要利用相对论空间 和时间的坐标变换公式，所以为了严格推导散射 多普勒频移，相对论变换的利用并非是必要的. 下面来研究涉及两个参考系的观察者的位 置和电磁辐射. 其一，观察者为静止而且位于原 点 O’，在这个坐标系中来判断接受的辐射频率 和波长.另一参考系原点为 O，其中的源是静止 的， 发出的辐射一定是起源于这个参考系的.图 4
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图 4 (a)相对运动中参考系之间的坐标变换 (b)波源静止时坐标系中的平面波
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（a）中详述了在两个参考系中 P 点的空间坐标..相对速度向量决定了 x 轴的方向，由 于仅考虑平面波，因而本质上是一个二维空间问题，和第三方向 z 没有关系，所以不必 考虑.然而必须记住一点，相对论中时间坐标 t 要换成 t’． 现考虑以光速 c（真空中）在参考系 O 中移动的平面波.波可以表示为：
θ ’可由下式确定：
cos '
cos v/c 1 (v/c) cos
(2-16)
很明显方程(2-14)代表一个在 O’系统中频率为 v’的波， 它的传播方向和 x’方向的夹角为 θ ’．因此由于 O 的运动在 O’系统中观察到的多普勒频移为：
1 (v/c) cos v v ' v v 1 2 2 1 v / c
r E E 0 cos 2 v(t- ) c
(2-10)
E 是系统 O 中点 x,y 处时间变化的波特性（也即光学电场） ；v 是频率；r 是波沿传播方 向的距离；δ 是相位常数． 如果θ 是波传播方向和 x 轴之间的夹角,可以从图 4(b)中看到：
r = ON+ NQ = xcos + ysin
v' v (1 cos 1 ) c 1 v2 / c2 v
图 5 由移动物体 P 产生 的多普勒频移计算图
（2-20）
该频率的光又被 P 重新发射出来，在 Q 处接收到的频率为 v’’,它由方程（2-18）确定：
v ''
v ' 1 v2 / c2 1 (v/c) cos 2
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激光多普勒效应及其应用
摘要:本文介绍了激光多普勒效应的基本原理和应用,主要内容包括多普勒频移,光 学差拍原理,参考光技术及差动多普勒技术光学系统和有关多普勒信号处理,最后介绍 了激光多普勒技术的一些空气动力学,生物学等方面的应用,主要有速度剖面和湍流强 度剖面的测量,风速测量,生物学的显微测量等;另外还简单介绍了一些激光多普勒技术 的发展前景. 关键词:激光；多普勒效应；多普勒频移；光学差拍；应用 多普勒效应是 1842 年澳大利亚物理学家观察木星卫星运动时发现光波频率偏移而 确定的一种效应． 由于以往光源为多频且相干性差， 因此多普勒效应并没有得到实际应 用．1960 年世界上第一台激光器的问世，使人们得到理想单频光源。20 世纪 70 年代多 普勒技术开始应用于医学等研究领域．