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2020高考数学复习：转化与化归思想的应用

(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． (2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
[对点训练]
已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1，1]上的最小值为－3，则实数 a 的取值范围是( )
2．已知三棱锥 P－ABC 中，PA＝BC＝2 34，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2 41，则三棱锥 P－ABC 的体积为________．
易知三棱锥 P－ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线．不妨令 PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得 xx22＋＋yz22＝＝113060，，⇒yx＝＝86，， y2＋z2＝164 z＝10. 从而知 VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB ＝6×8×10－4×13×12×6×8×10＝160. 答案：160
应用四函数、方程、不等式间的相互转化 [典型例题]
已知函数 f(x)＝3e|x|.若存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得对任意的 x∈[1，m)， m∈Z，且 m>1，都有 f(x＋t)≤3ex，求 m 的最大值．
【解】因为当 t∈[－1，＋∞)，且 x∈[1，m]时，x＋t≥0，所以 f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ln x－x，对任意 x∈[1，m)恒成立．令 h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)．
(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． (2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围．

化归与转化的思想在解题中的应用(新课标,含习题及详细解答)

化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、例题分析例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。

初中数学思想方法篇——化归思想

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之化归思想一、注解：“化归”就是转化和归结的简称。

所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。

具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。

如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。

二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（）A -17℃B 17℃C 5℃D 11℃【例2】计算：()()02324732+-++2. 在代数式的化简求值中的运用【例3】计算：111x x x ++-【例4】已知31x =-，求代数式11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。

3.在方程（组）中的运用【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-=+4.在确定函数解析式中的运用【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（）A. 2I R =B. 3I R =C. 6I R =D. 6I R=-【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。

（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。

高三数学浅谈化归与转化的数学思想试题

浅谈化归与转化的数学思想制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日罗田县成功中学吕志宏众所周知，在复杂的数学问题，都是由以下简单的命题复合而成或者通过适当的演化而成的，假如我们学会了将复杂的数学问题化解为简单的根本问题，我们就能解决任何困难的、复杂的以及可以化解为初等数学题的“杂题〞，因此我们总的解题策略是化归，即设法将我们待解决的或者未解决的问题，通过某种转化，归结到一类已经解决或者容易解决的问题中去，最终将问题给予圆满解答的一种手段和方法叫化归法。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。

应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵敏地解决有关的数学问题，是进步思维才能的有效保证。

常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于知识的发生、开展和应用的过程，是知识转化为才能的桥梁。

而数学科的考试，是按照“考察根底知识的同时，注重考察才能〞的原那么，测试中学数学根底知识、根本技能、根本思想和方法，考察思维才能、运算才能、空间想象才能、解决实际问题的才能。

所以，历年高考均非常重视考察数学思想方法，把对数学思想方法的考察交融在对“三基〞的检测和才能的考核之中。

化归与转化的思想就是将未知解法或者难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进展变换，化归为在知识范围内已经解决或者容易解决的问题的数学思想。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如：未知向的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的表达。

应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵敏地解决有关数学问题，是进步思维才能的有效保证，那么，我们应该如何在平时解题过程中注意培养化归与转化意识，以进一步进步解题才能呢？下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。

高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）

高考数学指南：转化与化归思想在数学答题中的应用（含范例详解）所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解。

一、转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的。

(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体。

(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。

(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决。

二、转化与化归思想常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。

(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。

(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径。

(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。

(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的。

(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证。

高考数学-----运用转化与化归的思想方法解题专项练习题(含答案)

高考数学-----运用转化与化归的思想方法解题专项练习题（含答案）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知,x y R ∈满足()()()()3312021113202131x x y y ⎧−+−=⎪⎨−+−=−⎪⎩，若存在实数0t >，使得不等式kt x y t−≤+成立，则实数k 的最小值为（） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4【答案】A【解析】构造函数()32021f x x x =+，()f x 为奇函数，且在R 上单调增，由已知可知()()()1133f x f y f y −==−−=−+，13x y −=−+，即4x y +=，所以，存在实数0t >，使得不等式4kt t−≤成立， 24,k t t ≥−又244t t −≥−，4k ∴−≥.故选：A.2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，G 是椭圆C 的左顶点，点M 在过G12MF F △为等腰三角形，12150F F M ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12 B ．13CD【答案】D【解析】由题知(),0G a −，所以直线GM的方程为)y x a =+，因为12150F F M ∠=，所以直线2MF 的倾斜角为30，所以直线2MF的方程为)y x c =−．联立))y x a y x c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，解得32a c x +=，)6a c y +=．),.623a ca cM⎛⎫++∴ ⎪⎪⎝⎭因为12MF F△为等腰三角形，12150F F M∠=，所以2212MF F F c==，即)2223426a ca cc c⎤++⎛⎫−+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得：1)a c=．所以椭圆C的离心率为cea==故选：D.3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数||1||22()21xxxf x+++=+的最大值为M，最小值为m，则M m+等于（）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】依题意()||||1||||||22122()2212121xxx x xxxfxx+++++===++++，故令||()()221xxg x f x=−=+，所以||||()()2121x xx xg x g x−−−−===−++，所以函数()g x为奇函数，所以max min()()0g x g x+=，故max min()2()20f x f x−+−=，所以max min()()4f x f x+=.故选：C.4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列{}n a是公比不等于1±的等比数列，若数列{}n a，{(1)}nna−，2{}na的前2023项的和分别为m，6m−，9，则实数m的值（）A．只有1个B．只有2个C．无法确定有几个D．不存在【答案】A【解析】设{}n a的公比为q，由11(1)(1)nnnnaqa++−=−−，2212nnaqa+=可得：{(1)}nna−为等比数列，公比为q−，2{}na为等比数列，公比为2q，则()2023111a qmq−=−①，()()202320231111611a q a qmq q⎡⎤−−−−+⎣⎦==−++②，()2404612191a q q−=−③，①×②得：()24046122161a q m m q−−=−−④，由③④得：2690m m −+=，解得：3m =，故实数m 的值只有1个. 故选：A5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭；②已知点()()1,01,0A B −､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +−+=； ③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y −+=.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭52，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，设(),P x y ，由2PAPB ==2210103x y x +−+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =−−，()00,MN x x y y =−−，由12MN NP =，则()()0019212x x x y y y ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y −+=，故③正确.故选：D.6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）AB ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=−=，所以112212,PF a a PF a a =+=−，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos 3c a a a a a a a a =++−−+−，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥（当且仅当12e e 时等号成立）故选：A.7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,δ.若X 在()85,115内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（） A ．2764B ．964C ．34D ．916【答案】A【解析】因为学生成绩服从正态分布()2100,δ，且()851150.5P X <<=，所以()851000.25P X <<=，()850.25P X <=，()3850.754P X ≥==，所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是34，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是2233127C 4464⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故选：A. 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知M 为圆C ：()2212x y ++=上的动点，P 为直线l ：40x y −+=上的动点，则下列结论正确的是（） A ．直线l 与圆C 相切 B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为2D ．|PM |2【答案】BD【解析】圆C ：()2212x y ++=得圆心()1,0C −,半径r =∵圆心()1,0C −到直线l ：40x y −+=得距离d r ==> ∴直线l 与圆C 相离 A 不正确，B 正确；PM PC r d r ≥−≥−=C 不正确，D 正确；故选：BD ．9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<，()f x 图像一个最高点是(,2)3A π，距离点A 最近的对称中心坐标为(,0)4π，则下列说法正确的有( )A ．ω的值是6B ．(,)1212x ππ∈−时，函数()f x 单调递增C ．1312x π=时函数()f x 图像的一条对称轴 D ．()f x 的图像向左平移φ(0)φ>个单位后得到()g x 图像，若()g x 是偶函数，则φ的最小值是6π【解析】由题意可知，2A =±，134124T πππ−==，即3T π=，其中T 为()f x 的最小正周期，又因为2T πω=，所以6ω=，故A 正确；当2A =时，()2sin(6)233f ππϕ=⨯+=，由0ϕπ<<，可得2ϕπ=，此时()2sin(6)2cos62f x x x π=+=，3()2cos042f ππ==，满足题意；当2A =−时，()2sin(6)233f ππϕ=−⨯+=，由0ϕπ<<，则ϕ无解，综上所述，()2cos6f x x =，从而()f x 是一个偶函数，故 ()f x 在(,)1212ππ−上不单调，故B 错误；又因为1313()2cos(6)021212f A ππ=⨯=≠=，所以1312x π=不是函数()f x 图像的一条对称轴，故C 错误；对于选项D:由题意可得，()2cos6()2cos(66)g x x x φφ=+=+，若()g x 是偶函数，则6k φπ=，Z k ∈，即16k φπ=，Z k ∈，又因为0φ>，所以φ的最小值是6π，此时1k =，故D 正确. 故选：AD.10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数32()23f x x x x =−+−，若过点(1,)P m −（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABCD【解析】由题知'2()343f x x x =−+−，设切点为00(,())x f x ，则切线方程为32200000023(343)()y x x x x x x x +−+=−+−−，将=1x −，y m =代入得32000243m x x x =+−+；令32()243g x x x x =+−+，则'2()6242(1)(32)g x x x x x =+−=+−， 23x ∴>或1x <−时，'()0g x >；213x −<<时，'()0g x <， ()g x ∴的极大值为(1)6g −=，极小值为237()327g =，由题意知37627m <<，又m 为整数， 2,3,4,5m ∴=.11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知1F 、2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点，点A 是椭圆C 上一点，则下列说法正确的是（） A ．1210AF AF += B ．椭圆C 的离心率为45C ．存在点A 使得12AF AF ⊥D ．12AF F △面积的最大值为12【答案】AD【解析】由椭圆的标准方程，得5a =，4b =，3c =，且1(3,0)F −，2(3,0)F ；对于A ：由椭圆的定义，知12210AF AF a +==，即选项A 正确；对于B ：椭圆C 的离心率35c e a ==，即选项B 错误；对于C:设(,)A m n ，则2212516m n+=，若12AF AF ⊥，则210F A A F ⋅=，则2(3)(3)0m m n −++=，即229m n +=，联立2222912516m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得21759m =−（舍）即该方程组无解，即不存在点A 使得12AF AF ⊥，即选项C 错误；对于D ：当点A 为上、下顶点时，12AF F △的面积取得最大值，即()12max12122AF F S c b bc =⨯⨯==△，即选项D 正确. 故选：AD.12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①,()()x R f x f x ∀∈−=；②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x −<−；③(1)0f −=，下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>−f fB ．若(1)(3)f x f −<，则(4,)x ∈+∞C ．若()0xf x <，(1,0)(1,)x ∈−⋃+∞D ．,x R M R ∀∈∃∈，使得()f x M …【答案】ACD【解析】由①x ∀∈R ，()()f x f x −=，得()f x 为偶函数， ②1x ∀，2(0,)x ∈+∞，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x −<−，得()f x 在(0,)+∞上单调递减，(4)(4)(3)f f f ∴−=<，故A 正确；(1)(3)f x f −<即13x −>或13x −<−，解得4x >或<2x −，故B 错误；由(1)0f −=，得(1)0f =，若()0xf x <，则()00f x x >⎧⎨<⎩或()00f x x <⎧⎨>⎩，解得(1,0)(1,)x ∈−⋃+∞，故C 正确；由()f x 为R 上的偶函数，在(0,)+∞单调递减，在(,0)−∞单调递增，又因为函数()f x 的图象是连续不断的，所以(0)f 为()f x 的最大值，所以x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M …，故D 正确.故选：ACD 三、填空题13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥A BCD −中，底面边长与侧棱长均为a ，点M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且2=MB AM ，12CN ND =，则MN 的长为______．【解析】三棱锥A BCD −底面边长与侧棱长均为a ，∴三棱锥A BCD −各个面均为等边三角形， MN MB BC CN =++()()2133AB AC AB AD AC =+−+−112333AB AD AC =−++， 22112333MN AB AD AC ∴=−++⎛⎫ ⎪⎝⎭222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =−⋅−⋅+⋅++222222112214999999a a a a a a =−−+++259a =，53MN ∴=，即MN =．. 14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，则实数m 的值可以是__________（写出一个满足题意m 的值即可）．【答案】6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.【解析】因为函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像在[]0,m 上恰好有一个点的纵坐标为1，令3z x π=+，由0x m ≤≤，得，333x m πππ≤+≤+，即33z m ππ≤≤+，原命题等价于，函数sin y z =的图像在,33m ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有一个点的纵坐标为1，所以5,322m πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，即5232m πππ≤+<，解得1366m ππ≤<. 故答案为：6π（答案写1366m ππ≤<内任意的实数都正确）.15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R 的函数()11221x f x =−++则关于t 的不等式()()222210f t t f t +<－－的解集为________. 【答案】()1,1,3⎛⎫−∞−⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】函数()11221x f x =−++的定义域为R.因为()1112221221xx xf x −−=−+=−+++，所以()()1111110221221x x f x f x −⎛⎫⎛⎫−+=−++−+=−+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()f x f x −=−，即()f x 是奇函数.因为2x y =为增函数，所以121x y =+为减函数，所以()11221x f x =−++在R 上为减函数.所以()()222210f t t f t －＋－＜可化为()()()22222112f t t f t f t －＜－－＝－. 所以22212t t t －＞－，解得：1t ＞或13t ＜－.故答案为：()1,1,3⎛⎫−∞−⋃+∞ ⎪⎝⎭.16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0xy a a =>相切，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设切点坐标为(),e tt a ，e ,e x x y a y a '==，故斜率为e t a ，切线方程为()e e t t y a a x t −=−，代入()2,e P 得()e e e 2t ta a t −=−，整理得()e3e t t a−=−，构造函数()()3e t f t t =−，()()2e tf t t '=−⋅，所以()f t 在区间()()(),2,0,f t f t '−∞<递减；在区间()()()2,,0,f t f t '+∞>递增.所以()f t 在2t =时取得极小值也即是最小值()22e f =−，当3t <时，()0f t <，当3t >时，()0f t >，要使过点()2,e P 可以作两条直线与曲线()e 0xy a a =>相切，则2e 1e 0,ea a −−<<>，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知F 是椭圆22:143x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(2,1) ，则||||PQ PF +的最大值为________．【答案】4【解析】由22:143x y C +=可知2a = ，设椭圆右焦点(1,0)F '，则24PQ PF PQ a PF QF ''+=+−≤+44=当且仅当P，Q，F'共线时且当P在QF'的延长线上时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为4故答案为：411。

数学解题思想【数学解题中的化归思想】

数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。

有关化归与转化思想的例题

36化归与转化思想一、选择题一、选择题（1）已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（的取值范围是（）（A ）（-0,34）（B ）（-∞，0）（C ）(]0,¥- （D ）(])34(0,¥+¥-（2）函数)112lg(--=xy 的图象关于（的图象关于（）（A ）原点对称）原点对称（B ）x 轴对称轴对称（C ）y 轴对称轴对称（D ）直线y=x 对称对称（3）设7777897298199C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是（的余数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）1-29（4）三个数，a=0．3-0．4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有（，则有（）（A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a（5）不等式0||42³+-x x x 的解集是（的解集是（）（A ）}22|{££-x x（B ）|03|{ x x £-或}30££x（C ）02|{ x x £-或20£x } （D ）03|{ x x £-或20£x }（6）若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（）（A ）22 （B ）2 （C ）1 （D ）21（7）（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为（展开式中各项系数和为（）（A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+1（8）函数y=f （x ）是函数y=-)10(222££-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的（中的（）（9）已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（点的轨迹方程是（）（A ）125421422=-yx（B ）125421422=+yx（C ）121425422=+y x （D ）121425422=-y x（10）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于（等于（）（A ）0 （B ）21 （C ）23 （D ）31（11）方程arctgx x=1解的个数是（解的个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个（12）从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是（，则入射线的方程是（）（A ）x-2y-7=0 （B ）2x+y-4=0 （C ）x+2y+1=0 （D ）x-y-5=0 （13）函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]32,4[p p 的值域是（的值域是（）（A ）]3,23[-（B ）]3,2[（C ）]321,23[+- （D ）]321,2[+ （14）如图2-4-2，圆锥V -AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到V A 的最短距离是（）（A ）33 （B ）3 （C ）335 （D ）3236- （15）方程1145222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆离心率的范围是（则椭圆离心率的范围是（）（A ）÷øöêëé1,51 （B ）úûùçèæ51,0 （C ）÷øöêëé1,51（D ）úûùççèæ51,0 二、填空题二、填空题（16）若z ∈C ，且满足|z+3-i|=1，则argz 的最小值是________．（17）P （x ，y ）在直线x+2y-3=0上运动，则x 2+y 2的最小值是________．（18）已知43)(,53sin ),0,4(),,2(=-=-ÎÎb a a pb p pa tg ，则cos β=________．（19）设a ＞0且a ≠1，对任意n ∈N ，{x n }满足log a X n+1=1+log a X n ，又x 1+x 2+…+x 100=100，则x 101+x 102+…+x 200=________．（20）棱台的上、下底面积分别为16、81，一个平行于底的截面面积是64，则这截面分棱台两部分体积（从上到下）之比是________．（21）双曲线îíì+=+-=q qsec 431y tg x （θ为参数）的两条渐近线的夹角是________．（22）设α、β、γ是三角形的三个内角，则gb a 111++的最小值是________．（23）在-6，-4，-2，0，1，3，5，7这8个数中，任取两个不同的数分别作为虚数a+bi 的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数的个数是________．三、解答题三、解答题（24）已知正方形ABCD ，A （1，1），B （2，-1），求C 、D 的坐标．的坐标．（25）解关于x 的不等式：lg （3·2x ）-lg （2x+1-1）＞lg （2x +2）．（26）设P 是直线x-y+9=0上的一点，过P 点的椭圆以双曲线4x 2-5y 2=20的焦点为焦点．试求P 点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出这个具有最短长轴的椭圆方程．（27）设x ∈]4,8[p p -，求函数y=cos4x+4sin 2x 的最大、最小值．的最大、最小值．（28）已知集合A={z||z-2|≤2，z ∈C}，B={z|z=2i z 1+b ，z 1∈A ，b ∈R}，若A ∩B=φ，求b 的取值范围．的取值范围．（29）如图2-4-3，三棱锥P-ABC 中，PB ⊥底面△ABC 于B ，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E 为PC 的中点，点F 在P A 上，且3PF=FA ．（Ⅰ）求异面直线P A 与BE 所成角的大小；所成角的大小；（Ⅱ）求三棱锥F-ABE 的体积．的体积．（30）已知双曲线)0,0(12222 b a by ax =-的离心率332=e ，过点A （0，-b ）和B （A ，0）的直线与原点间的距离为23．（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）直线y=kx+m （k ≠0，m ≠0）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围．的取值范围．（31）已知椭圆))2,.0((1222pa a Î=+tg y x 的焦点在x 轴上，A 为右顶点，为右顶点，椭圆与射线椭圆与射线y=x （x ≥0）交于B ，以A 为焦点开口向左的抛物线的顶点是（m ，0），又该抛物线过B 点，当椭圆的离心率在（1,36）变化时，求m 的取值范围．的取值范围．（32）已知抛物线y 2=2x ．（Ⅰ）设A （0,32），求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A|；（Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．表达式．（33）已知曲线x 2+y 2=1（y ≥0），A （2，0），P 为圆上一点，△APQ 为正三角形（A 、P 、Q 为顺时针方向）．（Ⅰ）求四边形POAQ 面积的最小值；面积的最小值；（Ⅱ）求|OQ|的最大值．的最大值．专题练习四化归与转化思想答案一、一、（1）C （2）A （3）A （4）D （5）D （6）B （7）A （8）B （9）C （10）D （11）C （12）A （13）B （14）B （15）D 提示提示（1）当a=0时，f （x ）=-1＜0，∴a=0满足题意；当a ≠0时，依题意，二次函数f （x ）的图象都在x 轴下方，∴a ＜0且△＜0，解出a ＜0，综上，a ∈(]0,¥-，∴选C ．（2）函数定义域满足+÷øöçèæ-+=+--ÎÞ--112lg )()(),1,1(0112x x f x f x x )()(,01lg 1111lg 112lg x f x f x x x x x -=-\==úûùêëé÷øöçèæ-+×÷øöçèæ+-=÷øöçèæ--,∴f(x)为奇数，∴选A ．（3）99989729819909)28(161)17(1)17777(-=+=+-=+-+-+-=C C C C m +1= 26297198999889272981990928288(8122822288´+×-=+×-××+-××+×-C C C C C C C -…+\+-=+-+-×,1812,12)2399889 C m 除以8余1，∴选A ．（4）a=0．30．4＞0．30=1，b=log 0．30．4＜log 0．30．3=1，∴b ∈（0，1），c ＜0，∴选D ． (5)当x ＞0时，(]2,00142ÎÞ³+-x x ；当x ＜0时，224014x x -Þ³--[),0,3,312-Î\£Þ³x x 综上，[)(]\-Î,2,00,3 x 选D ．（6）过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，则|OD|=2222222221||1||,||c c b a c AD b a c -=÷÷øöççèæ+-=+ \=Þ=Þ=,2||22||21AB AD 选B ．（1）令x=1，2+22+23+…+210=\-=--,2212)12(21110选A ．（8）),02,10(12222222222££-££=+Þ-=Þ--=y x y x x y x y 即椭圆1222=+y x 在第四象限的部分（包括端点），根据f （x ）与f -1（x ）的图象关于直线y=x 对称，∴选B ．（9）⊙C ：（x+1）2+y 2=25，C （-1，0），r=5．依题意，|MP|=|AM|，∴|AM|+|CM|=|MP|+|CM|=|CP|=5＞|AC|=2，∴M 点的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，a=25，c=1，∴b 2=421，又椭圆的中心是（0，0），∴M 点的轨迹方程为142142522=+y x ，即121425422=+y x ，∴选C ．（10）过M 作ME ⊥B 1C 1于E ，过E 作EF ⊥B 1C 于F ，连MF ，则∠MFE=θ，设ME=1，则EF=42，\=Þ=\,31cos 22q q tg 选D ．（11）如图答2-4-1，画出函数y=x1，y=arctgx 的图象，有两个交点，∴方程有两解，∴选C ．（12）如图答2-4-2，Q 关于直线x+y-2=0的对称点Q /（1，-3），则Q /P 为入射线方程，由两点式得入射线方程为x-2y-7=0，∴选A ．（13）y=2sinx-2（1-sin 2x ）+1=2sin 2x+2sinx-1=222,324,23)21(sin 2\££-+p px x\Î\££],3,2[,1sin y x 选B ．（14）如图答2-4-3，Þ==Ð6,35l VBA tg 底面半径r=1ÞBB /=2π，∴侧面展开图的圆心角362/p p ==ÐVB B ．A /为弧BB /的中点，过B 作BD ⊥V A.于D ，则BD 为所求．BD=VB ·\=×=Ð,36sin 6sin /p VB A 选B ．（15）5115145,145).1,41(14522222-=--=\--=ÎÞ+aa a e a a c a a aúûùççèæÎ\=×-£+51,0,514511)14(e a a ，当且仅当2114=Þ=a a a 时等号成立，∴选D ．二、二、（16）p 32 （17）59 （18）257 （19）100a 100 （20）3164 （21）60° （22）p9（23）32提示提示（16）如图答2-4-4，1|3|=-+i z 对应复平面上以)1,3(-C 为圆心，1为半径的圆．作OD 与⊙C 相切于D ．\=Ð\=Ð=Ð,32,6,65p pp DOX COD COX argz 最小值为.32p（17）x 2+y 2为原点与直线x+2y-3=0上的点距离的平方，其最小值为原点到直线x+2y-3=0距离的平方．.595|3|)(2min22=÷÷øöççèæ-=+\y x（18）,452p b a p -又tg （α-β）＞0，,53)sin(),45,(-=-\Î-\b a p p b a,54)cos(-=-b a 又53)54)(54()](cos[cos ,54cos +--=--=\-=b a a b a ·（-53）=.257（19）x n+1=ax n ，∴{x n }为等比数列，q=a ，∵x 101=x 1·q 100，x 102=x 2·q 100，…，x 200=x 100·q 100，∴x 101+x 102+…+x 200=（x 1+x 2+…+x 100）·q 100=100·a 100．（20）如图答2-4-5，把棱台的问题转化为圆台．则圆台上、下底及截面半径分别为4、9、8．画出圆台轴截面图．设上底到截面的距离为h /，圆台高为h ，则541=h h，V 上：V 下=.31642171124)728164)((3)326416(3/2=´=++-++h h h pp（21）双曲线的普通方程为.13)1()4(22=+--x y 将中心移到（-1，4），在新坐标系中，，在新坐标系中， Þ°=\===-30,31.131212q q ba tg x y两条渐近线的夹角为60°．°．（22）³××³++£××Þ××³=++33313111.273gb a g b a p g b a g b a p g b a 3· 92733p p =（23）当a=0时，b 可取-6，7；当a ≠0时，从-6，-4，-2，1，3，5，7中任取2个作为a 、b ，共27P 个，其中不合格的是从-4，-2，1，3中任取2个共24P 个．∴模大于5的不同虚数共2+32)(2427=-P P 个．个．三、三、（24）如图答2-4-6，向量AB 逆时针转90°得向量.AD 设D （x ，y ），则[（2-i ）-（1+i ）]·i=（x+yi ）-（1+i ），根据复数相等有)2,3(1121D y x Þîíì=-=-，BD 的中点M )21,25(是AC 的中点，∴C （4，0）；又与D /与D 关于A 对称，∴D /（-1，0），C /与C 关于B 对称，∴C /（0，-2），∴C 、D 坐标为（4，0）、（3，2）或（0，-2）、（-1，0）．（25）.1121-Þ+ x x不等式变形为,2212223+-××x xx令ÎÞ--Þ+=Þ=t t t t t t t x 01212123,2122 ).0,1(1221)1,21(-ÎÞÞx x（26）14522=-y x ，两焦点F 1（-3，0），F 2（3，0），∵2a=|PF 1|+|PF 2|，即在直线x-y+9=0上求一点P ，使|PF 1|+|PF 2|最小．F 1关于x-y+9=0的对称点A （-9，6），∴2a=|AF 2|=6,5\=Þ.362b 所求椭圆方程为.1364522=+y x 直线AF 2的方程是),3(21--=x y 与x-y+9=0联立，解出x=-5，y=4．∴P （-5，4）．（27）Î\-Î+-=-×+-=x x xx x y 2],4,8[,21)212(cos 222cos 1412cos 222p p ]2,4[p p -，令cos2x=t ∈[0，1]，问题转化为求二次函数21)21(22+-=t y 在[0，1]的最大、最小值．的最大、最小值．.21,1m in m ax ==\y y（28）设z=x+yi （x ，y ∈R ），则A={（x ，y ）|（x-2）2+y 2≤4}．)2()(221b y b yi x i b z i +-=++=++\+=,2ni m i x Þïïîïïíì=+-=22x n b y mîíì=-=n x m b y 2)(2 代入（x-2）2+y 2≤4中，得（m-b ）2+（n-1）2≤1∴B={（x ，y ）|（x-b ）2+（y-1）2≤1}．若A ∩B=φ，问题转化为两圆无公共点，则圆（x-2）2+y 2=4与圆（x-b ）2+（y-1）2=1外离，即222121)2(2+Þ++- b b 或b ＜2-2.2（29）（Ⅰ）如图答2-4-7，∵PB ⊥面ABC ，∴PB ⊥AC ，又∠BCA=90°，∴AC ⊥面PBC ，∴AC ⊥BE ；又PB=BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE ，∴BE ⊥面PCA ，∴BE ⊥P A ，∴异面直线P A 与BE 所成角为90°．°．（Ⅱ）∵BE ⊥面P AC ，∴42121.31×=×=×==D D --PC AC S SBE VVACPAEF AEFB ABEF ,4232231,234324,2824=××==×=Þ=\=×-D D D AEFB PEAAEFPEA V SS S ∴V F-ABE =4．（30）过A 、B 的直线方程为bx-ay-ab=0．)(4323||222222b a b a ba ab +=Þ=+①；①；34222222=+==a b a a c e ②，解①、②得.1,3==b a （Ⅰ）所求双曲线方程为.1322=-y x（Ⅱ）直线与曲线相交于不同两点转化为直线与曲线组成的方程组有两组不同实数解．ïîïíì=-+=1322y x m kx y 消y ，得，得（3k 2-1）x 2+6kmx+3（m 2+1）=0 ∵3k 2-1=0不合题意，∴3k 2-1≠0，△ =36k 2m 2=4·3（3k 2-1）（m 2+1）=12（m 2-3k 2+1）＞0依题意，|AC|+|AD|，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则Þ++=++22222121)1()1(y x y x（x 1-x 2）（x 1+x 2）+（y 1-y 2）（y 1+y 2+2）=0∵x 1≠x 2，∴x 1+x 2+k （y 1+y 2+z ）=0（k 为直线CD 的斜率）．∴x 1+x 2+k （kx 1+m+kx 2+m+2）=0Þ（1+k 2）·（x 1+x 2）+2mk+2k=0Þ（1+k 2）·1362--k km+2mk+2k=0Þ3k 2=4m+1，代入△中，得m 2-4m ＞0Þm ＞4或m ＜0，又3k 2=4m+1＞0Þm ＞-41，∴m ∈（-0,41）∪（4，+∞）．C 、D 两点在以A 为圆心的同一个圆上还可以作如下转化：为圆心的同一个圆上还可以作如下转化：设CD 的中点为P ，则AP ⊥CD ．2222231313,,313),13,133(k k kmm k CD AP km m k k k m k km P AP Þ-=×---\^---=---- =4m+1，以下与上面解法相同．，以下与上面解法相同．（31）A （1，0），将y=x 代入椭圆中，得B （sin α，sin α）．抛物线方程为y 2=-4（m-1）（x-m ）（m ＞1），又B 在抛物线上，∴sin 2α=-4（m-1）（sin α-m ）Þsin 2α+4（m-1）sin α-4m （m-1）=0，令sin α=t ，∴t 2+4（m-1）t-4m （m-1）=0① ∵e 2=1-tg2α，∴)21,0(s in )6,0(310113222ÎÞÎÞÞ-a p a a a tg tg Þt ∈（0，21）．即方程①在（0，21）至少有一个实数解．）至少有一个实数解．设f （t ）=t 2+4（m-1）t-4m （m-1），∵-4m （m-1）＜0，∴方程①的两根分别在（-∞，0）和（0，-21）内，∴Þïîïíì0)21(0)0( f f).423,1(+Îm（32）（Ⅰ）\³++=+-=+-=,0,31)31(2)32()32(||22222x x x x y x PA 当x=0时，|P A|2取最小值94，∴|P A|的最小值为32，此时P （0，0）．（Ⅱ）|P A|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x ≥0），求|P A|2的最小值转化为求二次函数在x ≥0时的最小值．时的最小值．当a-1＜0Þa ＜1时，当x=0时，|P A|2最小值为a 2，∴|P A|的最小值是|a|（此时P （0，0））；当a-1≥0Þa ≥1时，当x=a-1时，|P A|2最小值为2a-1，∴|P A|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±a ））．îíì³-=\1121||a a a a d （33）如图答2-4-8，设∠AOP=α，把问题转化为三角．由余弦定理得，把问题转化为三角．由余弦定理得 AP 2=1+4-2·1·2·cos α=5-4cos α．（Ⅰ）+-=-+××=+=D D aaa acos 3sin)cos 45(43sin 2121PAQPOAPOAQSSS46 ,3452345)3sin(2345+£+-=p a 当p a p p a 6523=Þ=-时，时， ∴当p a 65=时，四边形POAQ 面积的最大值为.3452+（Ⅱ）∵△APQ 为正三角形，∴用向量的旋转可表示Q 点坐标．将向量AP 顺时针旋转3p ，模不变，得向量AQ ．设P （cos α，sin α）（sin α≥0），Q （x ，y ）． AP 对应的复数为（cos α-2）+isin α，AQ 对应的复数为（x-2）+yi ，∴23sin 21()sin 231cos 21()33(cos ]sin )2[(cos -++-Þ-×+-a a a p p a a isn i ,)2()3cos yi x i +-=+aïïîïïíì+-=++=Þïïîïïíì+-=+-=-\3cos 23sin 211cos 21sin 233cos 23sin 21sin 231cos 212a a a a a a a a y x y x ① 2+②2，得，得41()cos sin 23cos sin 31cos 41sin 43(||22222+×+++++=+=a a a a a a y x OQ +=-+=×--+++5cos 2sin 325)cos sin 23cos 3sin 33cos 43sin 22a a a a a a a a ,9)6sin(4£-p a 当p a p p a 3226=Þ=-时，时，∴当p a 32=时，|OQ|的最大值是3．。

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（
17）转化与化归思想新题原创3道
1. 已知平面上两点M （-5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）
①y=x+1; ②y=2; ③y=34
x; ④y=2x+1.
A.①③
B.①②
C.②③
D.③④
1.B 由题意可知满足|PM|-|PN|=6的P 的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点.故选B.
【评说】定义型试题可以和已学过的很多知识联系起来，利用这类题型，让学生进行观察、对比、分析、归纳、推理并理解数学概念和规律，对开拓学生创新意识，培养学生能力是大有裨益的.
2.一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .
2.10 9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C 35=10种.
3．对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，
其工作原理如下：
①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；
②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1
反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.
现定义1
2
4)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549
，则由数列发生器产生数列{x n }，
请写出{x n }的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入
的初始数据x 0的值；
（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.
命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.
知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.
错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.
技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.
解：（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)
∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x
（2）∵x x x x f =+-=12
4)(,即x 2
–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时 n n n n x x x x =+-=+1241
故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *）
（3）解不等式12
4+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2
要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数16
412
4)(+-=+-=x x x x f
若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *)
综上所述，x 1∈(1,2)
由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2).。