抛物线的几何性质课堂版1精品PPT课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
抛物线的几何性质 教学课件(共46张PPT)高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
抛物线的简单几何性质1 PPT课件
1.掌握抛物线的图形和简单几何性质
（重点）
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题 （难点）
方程 图形
y2 = 2px （p＞y0）Leabharlann y2 = -2px （p＞0）
y
OF x
FO x
焦点 准线 范围 对称性
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
F ( p ,0) 2
x p 2
关于x轴对称
x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） y
Fx O
（p＞0） y
O F
l x
F (0, p ) 2
y p 2
F (0, p ) 2
y p 2
关于y轴对称
顶点
（0,0）
y
OF x
例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点 M 2,2 2 ，求它的标准方程，画图。
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
则将M点代入得：(2
2 2)
=
2p×2
解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x
： 拓展 求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
并且经过点M（２， ）的抛物线的标准方程。
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点M，使M到焦点F 的距离与
到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
解：由 y2 8x 知：2 p 8 ， p 4
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
H
（重点）
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题 （难点）
方程 图形
y2 = 2px （p＞y0）Leabharlann y2 = -2px （p＞0）
y
OF x
FO x
焦点 准线 范围 对称性
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
F ( p ,0) 2
x p 2
关于x轴对称
x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） y
Fx O
（p＞0） y
O F
l x
F (0, p ) 2
y p 2
F (0, p ) 2
y p 2
关于y轴对称
顶点
（0,0）
y
OF x
例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点 M 2,2 2 ，求它的标准方程，画图。
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
则将M点代入得：(2
2 2)
=
2p×2
解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x
： 拓展 求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
并且经过点M（２， ）的抛物线的标准方程。
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点M，使M到焦点F 的距离与
到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
解：由 y2 8x 知：2 p 8 ， p 4
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H
3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)
五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.
抛物线几何性质优秀课件
2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的 距离为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ‖AB‖=4，则直线AB 的 方程为______. 4.一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m， 求拱形的抛物线方程 .
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线； 它没有中心，也没有渐近线．
再见 再见
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
（2）对称性 以 y 代 y，方程不变，所以抛物线关于 x轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
y
O
F
x
y
F
O
x
y
F
O
x
y
o
F
x
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质 有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸， 但没有渐近线；
2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定3）抛物线只有一个顶点、 的，为1． 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大 而椭圆、双曲线由e决定
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有
抛物线的简单几何性质 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
国家中小学：XX
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
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例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦点
准线
F
(
3 2
,0)
x
3 2
F (1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4 y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
开口向上 开口向下
题型一 求抛物线的标准方程
练习3:求适合下列条件的抛物线的标准方程.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的焦半径
抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径 .
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
|
PF
|
x0
p; 2
p | PF | - x0 2
|
PF
|
y0
p 2
|
PF
|
O
x
B
由条件可得A (40,30), 代入方程得:
302=2p·40
解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45 2
x,
焦点为( 45 ,0)
8
抛物线的几何性质
标准 方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF
x
( p ,0) 2
x p 2
x0
x轴 (0,0)
e 1
y
Fo
( p ,0) x p
x2
2
x 0 x轴 (0,0) e 1
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
y
F o
(0, p ) y p
x
2
2
y0
y轴 (0,0) e 1
y
o F
x
(0, p ) 2
y p 2
y0
y轴 (0,0) e 1
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做抛物线的焦半径。
(1)焦点在直线x-2y-4=0上;
(1)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,
∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则由 p =2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y. 2
②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时,
一、温故知新 抛物线的定义及标准方程
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等
的点的轨迹叫 抛物线.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
准线方程
( p ,0) x p
2
2
yl
FO
x
y2=-2px (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
练习4：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜
•
的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程为:y2=2px
y
A (40,30)
则焦点为F( p , 0),由 FA 5得 : 2
( p 2)2 0 32 52,
2 即p2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时,抛物线的方程为y2 24x,
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标标为答_案__: P___74_,__27.
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线Байду номын сангаас焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
x
l
(p>0)
(0，p ) 2
yp 2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
练习
1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是
( )D
A.圆
B.抛物线
C.线段
D.直线
解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与 定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入双曲线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8 B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
设抛物线方程为y2=2px(p>0),则由
p 2
=4得p=8,
∴所求抛物线方程为y2=16x.
综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.
（2） 求焦点在x轴上,且点A(-2,3)到焦点的 距离是5的抛物线的方程,并写出它的焦点坐 标与准线方程.
[解] 焦点在x轴上,可设抛物线方程为y2 2px(p 0),