空间向量及其加减数乘运算(北师大版选修2-1)
高二数学选修2-1《空间向量的运算》
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B'C' D（' 如图），化简下列
向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' 2
数学：《空间向量的运算》 （北师大版选修2-1）
空间向量及其运算
一、复习 1、平面向量的概念 2、平面向量的加减和数乘运算
1．空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点 到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向 量是共面的
⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段 表示同一或相等的向量。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段 来表示
2．空间向量的运算 结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面
向量的运算一样
OB OA AB =a+b，
AB OB OA （指向被减向量）
OP λa ( R)
运算律：⑴加法交换律：a b b a
⑵加法结合律：(a b) c a (b c)
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
B
H
G
E
F
小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量（平行向量）的概念及空 间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 条件
作业
1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证： 这四个点共面。
重.心2.如。图求设证AA：G是△1 (BACB D A所C在 A平D)面外的一点，G是△BCD的 3
高中数学第二章2.2空间向量的运算第1课时空间向量的加减法及数乘运算课件北师大版选修2_1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的 结果为向量 ���������的���1 有( )
①(������������ + ������������)+������������1 ;②(������������1 + ������1������1 )+������1������1; ③(������������ + ������������1)+������1������1;④(������������1 + ������1 ������1)+������1������1.
A.a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c 解析:������1������ = ������1������ + ������������ = ������1������ + ������������ + ������������ = ������������ − ������������ − ������������1=a-b-c. 答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
������1������1=a,������1������1=b,������1 ������=c,E,F,G,H,P,Q 分别是 AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A 的中点,求证:������������ + ������������ + ������������=0.
北师版数学选修2-1课件：第2章 2 空间向量的运算
【答案】 B
上一页
返回首页
下一页
→ → → 3．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为________． 【解析】 【答案】 → → → → → → AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. → AD
上一页
返回首页
下一页
4．若空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60° ，求a· a＋a· b＝_____.
【答案】 C
上一页
返回首页
下一页
→ → → → (2)化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________.
→ －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一：(AB → －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → → → → ＝AB＋DC＋CA＋BD → ＋BD → )＋(DC → ＋CA →) ＝(AB → ＋DA → ＝0. ＝AD
下一页
→ ＋D → →＝ 2．如图221所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA C － BB 1 1 1 1 ( )
图221 → A.AB 1 → C.AD
上一页
→ B．DC → D．BA
返回首页 下一页
【解析】
→ → → → → → → → → → AA1＋D1C1－BB1＝AA1＋A1B1＋B1B＝AB1＋B1B＝AB＝DC.
上一页 返回首页 下一页
减法
空间向量a与一个实数λ的乘积是一个 向量，记作λa，满足： 空间向量 ①|λa|＝|λ||a| 的数乘 ②当λ＞0时，λa与a方向 相同 ； 当λ＜0时，λa与a方向 相反； 当λ＝0时，λa＝ 0
①λa＝aλ(λ∈R) ②λ(a＋b)＝ λa＋λb (λ＋μ)a＝λa＋μa (λ∈R，μ ∈R) ③(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ ∈R)．
2018-2019数学北师大版选修2-1课件：第二章2 空间向量的运算
A，B，C 及 A1，B1，C1 分别共线，
所以B→C＝
→ λBA
＝
2λN→M，B→1C1＝
μA→1B1＝
2μN→P，
代入(*)式得P→Q＝1(2λN→M＋2μN→P)＝λN→M＋μN→P，
2
所以P→Q，N→M，N→P共面，所以 M，N，P，Q 四点共面．
栏目 导引
第二章 空间向量与立体几何
[方法归纳 ] (1)证明 P、A、B 三点共线的方法 ①存在实数 t，使得A→P＝tA→B，即A→P∥A→B； ②存在实数 t，使得O→P＝O→A＋tA→B； ③存在有序实数对(x，y)，使得O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝ 1)． (2)证明 P、M、A、B 四点共面的方法 ①M→P＝xM→A＋yM→B；②对空间任意一点 O，O→P＝O→M＋xM→A
栏目 导引
第二章 空间向量与立体几何
3．空间向量的数量积 (1)空间向量数量积的定义 空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于 __|_a_||_b_|·_c_o_s〈__a_，__b_〉___，记作 a·b. (2)空间向量数量积的运算律 ①交换律： a·b＝ b·a； ②分配律： a·(b＋ c)＝ a·b＋ a·c； ③λ (a·b)＝(λa)·b(λ∈R)． (3)空间向量数量积的性质 ①|a|＝ a·a；
(2)如 图所示，已知矩形 ABCD 和 矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M、N 分 别在对角线 BD，AE 上，且 BM＝1BD，
3 AN＝ 1AE. 求证：向量M→N ，C→D，D→E共面．
3
栏目 导引
第二章 空间向量与立体几何
证明： (1)设A→B ＝ a，A→D＝ b，A→A1＝ c， 因为A→1E＝ 2E→D1，A→1 F＝23F→C ， 所以A→1E＝23A→1D1，A→1F＝25A→1C. 所以A→1E＝23A→D＝23b， A→1F＝25(A→C－A→A1) ＝25(A→B＋A→D－A→A1) ＝2a＋2b－2c.
数学北师大版高中选修2-1空间向量及其运算
俞华山
回顾：平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量 2.表示法：
1 用两个大写字母加方向箭头表示 2.用一个小写字母加方向箭头表示 3.用一个黑体小写字母表示
3.相等向量：长度相等且方向相同
的向量
B
A D C
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
共同进步！
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
空间向量及其加减数乘运算(北师大版选修2-1)
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
解：) AB BC AC; (1 ＝
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
C
A
Aห้องสมุดไป่ตู้
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
E
A
D
C
(1) AC x( AB BC CC )
' '
B
(2) AE AA x AB y AD
精品教育数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(一)
§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一 空间向量的加减法及运算律思考 下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二 空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一 空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解 结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二 共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2， 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b . ②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点 线线、线面平行的判断题点 线线平行的判断解 设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三 空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A.3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →| 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 －12解析 若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线， 则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A解析 如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 B解析 连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ，∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c .6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于() A.b －c 2 B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 D解析 设D 是BC 边的中点，∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )． 7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 0解析 连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1， ∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3.∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]． ∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0. ∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0，解得λ＝－1，μ＝3.。
2.2 空间向量的运算 课件(北师大选修2-1)
[精解详析]
∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH ＝ AH －AE 1 1 ＝ AD － AB 2 2 1 ＝ (AD －AB ) 2 1 ＝ BD . 2
2 2 又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴ C F ＝ C B ，C G ＝ C D .
λa的模是a的
模的 |λ| 倍
(3)空间向量的数乘运算律：
①交换律：λa＝ aλ (λ∈R)； λa＋λb ，
②分配律：λ(a＋b)＝
(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)； ③结合律：(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ∈R)． (4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件 是存在实数λ，使得 a＝λb .
b＝0 ； ②a⊥b ⇔ a·
a· b ③cos〈a，b〉＝ |a||b| (a≠0，b≠0.)
a (4)对任意一个非零向量， |a| 叫作向量 a 的单位向量， 把
记作 a0.a0 与 a 同 方向．
与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算 有如下特点 1．空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结 果仍是一个向量． 2．空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决 于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．
设 a，b，c 是任意空间向量，类比平面向量的数量 积，回答以下问题． 问题 1：由 a· b＝0，一定能推出 a＝0 或 b＝0 吗？
π 提示：不一定，也可能〈a，b〉＝ . 2
问题 2：由 a· b＝a· 能得到 b＝c 吗？ c
提示：不一定．
问题 3：(a· b)c＝a(b· c)成立吗？
提示：不一定．
2
【北师大版选修2-1】2015-2016学年高中数学 2.2 空间向量的运算课件
一
二
三
思考 1 空间向量的加法与减法如何进行运算?
提示:空间中两个向量的加、 减可以直接用三角形法则或平行四边形法 则解决.而多个向量的加、减运算,通常可以利用三角形法则进行推广.在解 决立体几何问题时,其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其 他向量来表示,首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形,那么和向量为 零向量.
π 2
.
一
二
三
思考 3 如何利用空间向量求异面直线所成的角?
提示:求异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方 向向量的夹角.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向 量夹角的区别:如果两个向量的夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等 于两个向量的夹角;如果两个向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两 个向量的夹角的补角.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
探究七
【典型例题 2】
如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1 B1 =a,������1 ������1 =b, ������1 A=c,E,F,G,H,P,Q 分别是 AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A 的中点,求证: ������������ + ������������ + ������������ =0.
|a+b+c|= (������ + ������ + ������)2 = ������2 + ������ 2 + ������ 2 + 2������·������ + 2������·������ + 2������·������ . (2)利用两个向量的夹角为 ,判断空间两条直线垂直是向量在立体几 何中的重要应用之一. (3)根据空间两个向量的数量积的定义:a· b=|a||b|cos <a,b>,那么空间两 个向量 a,b 的夹角的余弦 cos<a,b>= 所成的角.
2.2空间向量的运算课件(北师大版选修2-1)
2．空间向量加减法的运算律 (1)结合律(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)； (2)交换律a＋b＝___b_＋__a___. 3．空间向量的数乘的定义 空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa.满足： (1)|λa|＝____|λ_||_a_| __ ； (2)当λ>0时，λa与a__方__向__相__同__； 当λ<0时，λa与a___方__向__相__反_； 当λ＝0时，λa＝___0___.
第二章 2.2
向量共线
如图所示，四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，判断C→E与M→N是否 共线？
[分析] 要判断C→E与M→N是否共线，只需判断是否存在实数 x，使C→E＝xM→N，若存在，则C→E与M→N共线，否则M→N与C→E不共 线．
第二章 2.2
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运 算的结果为向量A→C1的共有( )
第二章 2.2
①A→B＋B→C＋C→C1 ③A→B－C→1C＋B→1C1 A．1 个 C．3 个
[答案] D
②A→A1＋B→1C1＋D→1C1 ④A→A1＋D→C＋B→1C1 B．2 个 D．4 个
第二章 2.2
③对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向 量 a、b、c，若 a·b＝a·c，a≠0，却推不出 b＝c，只能得出 a ⊥(b－c)或 b＝c.
④a·b＝0⇒/ a＝0 或 b＝0，a＝0 时，一定有 a·b＝0. ⑤三个不为零的实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对 于三个向量 a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b 是一个实数，(a·b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b·c)是与 a 共线的向量，a 与 c 却不一 定共线．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
F2
F1=10N F2=15N
F3
F1
F3=15N
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法 数乘 运算
空间向量
具有大小和方向的量
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD 1
AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
D1 A1 B1
C1
D A B
C
D1 A1
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a
运 加法结合律 算 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
D A
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
a
D1 A1 B1 C1
b
D
C
B
D B
1 (2) AG ( AB AC) 2
D
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
G
B M C
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下 列各式中的x,y. D (1) AC ' x ( AB BC CC ' ) E
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
解：) AB BC AC; (1 ＝
(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka
ka
CA OA OC
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
B
b
O
b
a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
E C
B
A
D C
B
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 数乘
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
C
A
A
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
A1
D1 B1 C1
x 1.
A
D
B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA AB) ( AA AD) 1 1 2( AD AB AA1 ) 2AC1
D1 C1 B1
A1
x 2.
A
D
B
C
练习1
在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD 边的中点,化简 1 (1) AB ( BC BD) A 2
1 (2) AG ( AB AC) 2
D
G
B M C
练习1
在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD 边的中点,化简 1 (1) AB ( BC BD) A 2
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 成立吗？ 加法结合律 数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
加法结合律： (a b) c a (b c)
O O
a
C1
B1
a
D A C
B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量
a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
C
A
a b
A
+
B
c c
C
b
B
c
b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
北师大版高中数学选修2-1第 二章空间向量与立体几何
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
向量加法的三角形法则
b
向量加法的平行四边形法则
a
a
a b
ka
(k>0)
a
向量减法的三角形法则
向量的数乘
ka
(k<0)
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A A1 D1 B1 C1
D B
C
( 2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
E
A
D
C
(1) AC x( AB BC CC )
' '
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D ( 2) AE AA x AB y AD
F3 F1 F3=15N
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
( 2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A A1
D1 B1
C1
D
C
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量
具有大小和方向的量
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
运 算 律
数乘分配律 k (a b) k a k b ＋
作业
空间四边形 ABCD中， a ， ＝b ， AB BC AD c ， 试用a, b, c来表示CD AC, BD. ，