线性代数专题：行列式计算

2
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ， 当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
= ( x + y ) Dk −1 − xy 0 0 = ( x + y ) Dk −1 − xyDk − 2 Dk −1 = x k −1 + x k − 2 y + D k − 2 = x k − 2 + x k −3 y +
= ( x + y )( x k −1 + x k − 2 y + − xy ( x k − 2 + x k −3 y + = x k + x k −1 y +
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②
−a −a
= − a( x − a) n −1 + ( x + a) Dn −1
①×（x + a） ②×（x – a）
( x + a ) Dn = a ( x + a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1 ( x − a ) Dn = − a ( x − a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1
和
F1 , F2 , F3 = 2aF2 − a 2 F1 ,
的起始值 E1和F1 , E 2 和F2 相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有
E k = Fk
k = 1,2,
,n
由（4）式， Fn 的每一行都能提出一个因子 a ，故 Fn 等于 a 乘一个 n 阶行列式，这一个行 列式就是例 1 的 Dn 。前面算出 Dn = n + 1 ，故
例 6 求 n 阶三对角线型行列式的值：
2 1 Dn = 0 0
1 2 1 0
0 1 2 0 0
0 0 0 2
（1）
Dn 的构造是：主对角线元全为 2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的
元全为 1，其余的元全为 0。 解 用消去法，把 Dn 中主对角线下方第一条次对角线的元 1 全部消成 0：首先从第二行减去 第一行的
最后所得的行列式为
2 0 0 0
1 3 2 0 0
0 1 4 3 0
0 0 0 n +1 n
（2）
上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为
2,
3 4 , , 2 3
,
n +1 n
93）
又主对角线下方的元全为 0。故 Dn 的值等于（3）中各数的连乘积，即 Dn = n + 1 。 注 3 一般的三对角线型行列式
+ xy k − 2 + y k −1 + xy k −3 + y k − 2
+ xy k − 2 + y k −1 ) + xy k −3 + y k − 2 )
Dk = ( x + y ) Dk −1 − xyDk − 2
+ xy k −1 + y k
故命题对一切自然数 n 成立。
5.消去法求三对角线型行列式的值
1+
a1 a 2 + + x x 0 0 0
+
an x
a1 x 0 0
a2 0 x 0
an 0 0 x + an )
a + a2 + = 1 + 1 x
+ an n n n −1 x = x + x (a1 + a 2 +
4．数学归结法
例 5 计算行列式
Dn =
x+ y 1 0 0 0
证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设 n≤k – 1 时命题成立,考察 n=k 的情形：
Dk =
x+ y 1 0 0 0
xy x+ y 1 0 0 1 0
0 xy x+ y 0 0 xy x+ y 0 0
0 0 0 x+ y 1 0 0 x+ y 1
0 0 0 xy x+ y 0 0 xy x+ y
x −a
a x
a a
Dn = − a − a x … −a −a −a = a( x + a) n−1 + ( x − a) Dn−1 x −a a x a a
a = −a −a x a … x −a −a −a ① a a −a −a a x a a
a + −a … a x −a
−a −a
a a
x+a −a
专题讲座五
1.递推法
例 1 求行列式的值：
行列式的计算方法
α+β
Dn = 1 0 0
αβ α +β
1 0
0
αβ α +β
0
0 0 0
（1）
α + β ( n)
Dn 的构造是：主对角线元全为 α + β ；主对角线上方第一条次对角线的元全为 αβ ，下方
第一条次对角线的元全为 1，其余元全为 0；即 Dn 为三对角线型。又右下角的（n）表示行 列式为 n 阶。 解 把类似于 Dn ，但为 k 阶的三对角线型行列式记为 Dk 。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是
a2 a1 a3
a3 a2 a1
D3 称为循环行列式，各行自左到右均由 a1 , a 2 , a3 循环排列而得，并使主对角线元全为 a1 .
1 倍，于是第二行变为 2 1 3 0, 2 − = , 1, ,0 2 2 2 倍，则第三行变为 3
其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的
2 4 = , 1, 0, ,0 3 3 3 再从第四行减去第三行的 倍，则第四行变为 4 3 5 0, 0, 0, 2 − = , 1, 0, ,0 4 4 n −1 类似地做下去，直到第 n 行减去第 n – 1 行的 倍，则第 n 行变为 n n −1 n +1 0, 0, ,0, 2 − = n n 0, ,0, 2 −
n−2 a2
1 a3 2 a3
n−2 a3
1 an 2 an
n−2 an
= ( a 2 − a1 )( a3 − a1 ) = ( a 2 − a1 )( a3 − a1 ) ( a3 − a 2 )( a 4 − a 2 ) = = ( a 2 − a1 )( a3 − a1 ) ⋅ ( a3 − a 2 )
a1 b1 0 0 0
c1 a2 b2 0 0
0 c2 a3 0 0
0 0 0 c n−1 an
（4）
也可以按上述消去法把次对角线元 b2 , b3 ,
, bn 全部消去，得到一个三角型行列式，它的值
等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。
6 乘以已知行列式
例 7 求行列式的值：
a1 D3 = a3 a2
当β ≠ α 当β = α
注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注 1 仿照例 1 的讨论，三对角线型的 n 阶行列式
Hale Waihona Puke 2a a 2 1 En = 0 0
和三对角线型行列式
0
0 0 0 2a 0 0 0 2a
（3）
2a a 2 1 2a 0 0
2a a 0 a 2a a Fn = 0 a 2a 0
( a n − a1 ) D n −1 ( a n − a1 ) ( a n − a 2 ) Dn − 2 ( a n − a1 ) (an − a2 ) ( a n − a n −1 )
D2 =
1 a n −1
1 = a n − a n −1 an , a n 这 n 个数的所有可能的差 a i − a j 的乘积
n
n
Dn
αn
再一次用递推计算：
=
Dn −1
α n−1
β + α
n
Dn
αn
=
=
Dn −1
α n−1
D1
Dn − 2 β β + = n + α −2 α α
2 3
n
n −1
β + α
n
n
β β = + + + α α α
1 a 2 − a1 a 2 ( a 2 − a1 )
n−3 ( a 2 − a1 ) a2 n−2 ( a 2 − a1 ) a2
1 a n − a1 a n ( a n − a1 )
n−3 ( a n − a1 ) an n−2 ( a n − a1 ) an
0 0 0
1 = ( a 2 − a1 )( a3 − a1 ) a2 2 ( a n − a1 ) a 2
分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解
1 0 D= 0 0
a1 x + a1 a1 a1
a2 a2 x + a2 a2
a3 a3 a3 a3
an an an x + an