1039 不等式证明方法(二)
关于不等式的若干证明方法
关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。
求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。
例1 已知 0,,,>∈b a R y x 且1=+b a 求证 ()222by ax by ax +≥+证明 ()222ax by ax by +-+2222222ax by a x abxy b y =+---)()(222222abxy y b by abxy x a ax --+--= ])1[(])1[(ax y b by by x a ax --+--= 因为,1=+b a 所以a b b a =-=-1,1则()222ax by ax by +-+()()ax bx by by ay ax =-+- )()(y x aby y x abx ---= ))((y x y x ab --= 2)(y x ab -= 因为 ,0,>b a 所以0>ab又因为 ,0)(2≥-y x 所以0)(2≥-y x ab ，故原不等式成立。
例2 已知 +∈R b a , 求证 a b b a b a b a ≥证明 因为b a a b b a b aba b a -=)( ，+∈R b a ,所以当b a >时，1)(,0,1>>->-b a ba b a b a 当b a ≤时，1)(,0,1≥≤-≤-b a ba b a ba于是,1≥a b ba ba b a 即a b b a b a b a ≥（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。
利用分析法证明例1证明 为了证明 ()222by ax by ax +≥+ 只需证明 abxy y b by x a ax 2222222≥-+- 也即证明 abxy y b b x a a 2)1()1(22≥-+- 因为 1=+b a ，所以a b b a =-=-1,1 也即证明 abxy aby abx 222≥+ 因为 0,>b a ，所以0ab > 即需要证明 xy y x 222≥+因为 ,x y R ∈，所以 222x y xy +≥恒成立，故原不等式成立。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
不等式证明的常用方法
证 明 不 等 式 的 常 用 方 法
比 较 法
差比较— 作差、变形、 判断、结论 商比较— …………
ab ab (a 0、b 0) 2 2
分解、 通分、 配方、 展开.
应用 基本 综 公式 合 “先分 法 后合”
a b 2 ab
a b2 ab 2 ( ) 2 2
ab 2 ab ( ) 2
求证：( a b)( a b 1)
2 2 (a b b a )
ab ( a b)
b)
分析： ( a b) 2 ab ,
2 2 (a b b a ) 2 2
只须证明(a b 1) 2 ( a 1 1 (a b 1) (a ) (b ) 证明： 2 2 1 1 2 a 2 b 2 2
故得证……
(6)已知：a, b R ,
证明；a b ab
a b
a b 2
ab 2
提示：
a b ( ab) 2
a a bb
a
b
ba 2
a ( ) b
a b 2
综上可知
a b ( ab) 2
a a bb
1(当且仅当a b取等号）
（7） 已知： a R, b R, c R,
2 即 a b ( a b) 2 2 同理 c 2 b 2 (c b) 2
2 2
同理 a 2 c 2
2 ( a c) 2
(3)若 a 1, b 1, 求证 :
ab 1 1 ab
(提示)：即证（a b) 2 (1 ab) 2 :
求证： a 2 b 2 c 2 4 ab 3b 2c
证明不等式的三个办法
证明不等式问题常与其他章节的知识相结合，备受出题人的青睐，经常出现在各类试题中.证明不等式的方法很多，如三角代换法、换元法、反证法、放缩法等.本题重点谈一谈如何运用放缩法、换元法和反证法来证明不等式.一、采用放缩法运用放缩法证明不等式的关键在于对不等式进行合理的放缩.运用放缩法证明不等式的一般步骤为：①分析待证不等式的结构特点，②将待证不等式进行整理、放缩，常见的放缩形式有：1n()n+1<1n2<1n()n-1，ba>b+m a+m()b>a>0,m>0；③利用不等式的传递性证明结论.一般地，若a>b,b>c，c>d，则a>d.有时可寻找一个中间量b，使得a>b，从而将问题转化为证明b>c即可.例1.已知an=1×2+2×3+…+n(n+1)，证明：n(n+1)2<a n<(n+1)22(n∈N*).解析：解答本题需分两步，分别证明n(n+1)2<a n和an<(n+1)22，可将n(n+1)放大为n(n+1)2，讨论n(n+1)与an、an与n(n+1)2的大小关系，便可利用不等式的传递性证明结论成立.证明：∵n(n+1)>n2=n，∴an>1+2+3+…+n=n(n+1)2，∵n(n+1)<n(n+1)2，∴a n<1+22+2+32+…+n(n+1)2=32+52+…+2n+12=(n+1)22,综上可知，n(n+1)2<a n<(n+1)22对所有正整数n都成立.二、换元有些不等式较为复杂，为了简化不等式，可将原不等式中的某个代数式用新变量替换，这样就将不等式转化为关于新元的不等式，从新的角度寻找到解题的思路.在换元的前后，要注意确保新旧变量的取值范围一致.例2.已知x+y+z=a，且x,y,z∈R，证明：x2+y2+z2≥a23.证明：由x+y+z=a，可设x=a3+α，y=a3+β，z=a3-(α+β),(α,β∈R),∴x2+y2+z2=æèöøa3+α2+æèöøa3+β2+éëùûa3-(α+β)2=a23+α2+β2+(α+β)2，而α2≥0，β2≥0，(α+β)2≥0，∴x2+y2+z2≥a23，∴不等式x2+y2+z2≥a23成立.解答本题主要采用了换元法，分别令x=a3+α，y=a3+β，z=a3-(α+β)，这样便将目标式转化为关于α、β的式子，再根据完全平方式为非负数的性质证明不等式成立.三、利用反证法运用反证法证明不等式，需首先假设原命题不成立，然后以此为条件，根据相关的公理、定理、公式等进行推理、运算，得出与已知条件、公理等相矛盾的结论，从而说明假设不成立，证明原不等式成立.例3.对于任意a,b,c∈(0,1)，证明：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14.解析：“(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14”包含多种情况，如果从正面求证较为繁琐，其反面情况较少，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14，就可采用反证法来进行证明.证明：假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14，则b-ab>14,c-bc>14,a-ac>14，将上述三式子相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164，因为(1-a)a≤æèöø1-a+a22=14，同理可得：(1-b)b≤14,(1-c)c≤14，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤164，因此，假设不成立，原命题(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14成立.放缩法、反证法和换元法都是证明不等式成立的常用方法，其中换元法最简单，放缩法和反证法对同学们分析问题、解决问题的能力有更高的要求.在解题时，可首先考虑运用换元法，再考虑运用放缩法和反证法.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）周必辉思路探寻49。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
证明不等式的三种措施
解题宝典不等式证明问题是高考中的高频考点.一般地，不等式证明问题的命题方式多变，求解途径多样.在解题时，通常需根据不等式的结构特征，灵活运用不等式的性质，通过恒等变换，将不等式进行合理的变形，然后构造函数、方程、几何图形等，从而证明不等式.本文主要谈一谈下列三种证明不等式的措施.一、采用函数最值法证明函数最值法是证明不等式的常用方法.在解题时，需首先将不等式进行变形，再根据不等式的结构特征，构造出函数的模型，将问题转化为函数最值问题，若f (x )≥a ；则f (x )min ≥a ，若f (x )≤a ，则f (x )max ≤a ；若f (x )>g (x )，则f (x )min >g (x )max .有时可构造一个函数，有时可构造多个函数.然后根据函数的图象和性质，求得函数的最值.例1.求证：-4≤cos 2x +3sin x ≤178.证明：令f ()x =cos 2x +3sin x ,则f ()x =1-2sin 2x +3sin x =-2æèöøsin x -342+178，当sin x =34时，f ()x 取最大值，f ()x max =178;当sin x =-1时，f ()x 取最小值，f ()x min =-4.因此-4≤cos 2x +3sin x ≤178.令f ()x =cos 2x +3sin x ，便可将不等式证明问题转化为函数最值问题.通过三角恒等变换，将函数式转化为关于sin x 的二次函数问题，利用二次函数和正弦函数的性质便可求得最值，从而证明不等式.运用函数最值法解题的关键在于合理构造函数模型.二、利用函数的单调性证明函数的单调性是证明不等式的有力工具.由函数单调性的定义可知，若函数为增函数，当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；若函数为减函数，当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2).利用函数的单调性证明不等式主要有两种思路：一是将不等式两边的式子构造成同构式，找出其自变量，再利用函数的单调性来比较不等式两边式子的大小；二是构造函数式，对函数式求导，根据导函数与函数单调性之间的关系，来判断出函数的单调性，再运用函数的单调性证明不等式.例2.已知x ∈()0,π，试证明：sin x <x .证明：令f ()x =x -sin x ,∴f ′()x =1-cos x ，当x ∈()0,π时，f ′()x >0，∴f ()x =x -sin x 在()0，π上为增函数，∴f ()x >f ()0=0，即f ()x >0，所以x -sin x >0，因此sin x <x .通过构造函数，讨论导函数在定义域上的单调性，便可根据函数的单调性证明不等式.三、根据中值定理进行证明中值定理：如果函数f ()x 在[a ,b ]上连续，且在开区间(a ,b ）上可导，那么在（a ,b ）内至少有一点ε（a <ε<b ），使得f ()b -f ()a =f ′()ε()b -a .运用中值定理证明不等式，需先判断函数f ()x 在定义域内是否连续，且可导，然后根据不等式,构造f ()b -f ()a =f ′()ε()b -a 或f ′()ε=f ()b -f ()a b -a的形式，便可根据导数的几何意义或函数的单调性来证明不等式.例3.求证：||sin x -sin y ≤||x -y .证明：设f ()x =sin x ，则sin x -sin y =()x -y cos ε，可得||sin x -sin y ≤()x -y cos ε≤||x -y ，所以||sin x -sin y ≤||x -y .解答本题主要运用了中值定理、绝对值不等式的性质以及放缩法.通过上述分析可以看出，利用函数最值法、函数的性质、中值定理来证明不等式，都需构造合适的函数，然后灵活运用函数的性质、最值以及导函数的性质来分析问题.因此在解题时，同学们要学会将不等式与函数、导函数、中值定理关联起来，以快速找到最佳的解题方案.（作者单位：江苏省镇江中学）40。
不等式的证明方法
高考数学证明不等式的方法①利用函数的方法证明不等式成立。
步骤一：首先把不等式转化关于某变量x的函数，并且求出x的定义域。
步骤二：证明该变量x的函数在其定义域的单调关系。
步骤三：由步骤二可得出该不等式的极小值或极大值，进而求出最小值或最大值。
步骤四：利用最小值或最大值证该不等式是正确。
②利用求等比数列和的方法证明不等式成立。
③利用列式分解法来证明不等式成立（经常用于数列不等式）。
Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。
类型应是分子是常数，分母是可由两个因子式的二元一次方程并且该两个因子式相减可得一个常数。
通常类型如下：c/a(x+b1)(x+b2) = c/a * 1/(b2-b1) * [1/(x+b1) - 1/(x+b2)]Ⅱ利用根号和列式分解法来证明不等式的成立。
Ⅲ利用对数的性质来进行因式分解。
例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1);④利用假说演绎法来证明不等式的成立。
步骤如下（假设有5分，一般都可拿3分）：步骤一：假设该不等式成立。
步骤二：当n = 1 时，该不等式成立。
（1分或2分）步骤三：当n = k+1 时，把他代入左边的参数，再跟与 n = k的不等式转换。
从而验证当n = k+1 时，该不等式也成立。
（3分或4分）步骤四：综上所述，该不等式成立。
（0分或1分）⑤利用放缩法来证明不等式成立。
下面有几种常见的关于放缩法的几种类型。
Ⅰ利用已有的列式分解法的知识进行放缩。
Ⅱ利用上述已知的条件进行放缩。
Ⅲ。
不等式证明都有哪几种方法
不等式证明都有哪几种方法
不等式的证明方法（1）比较法：作差比较： . 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差. ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和. ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号. 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小. （2）综合法：由因导果. （3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达. （4）反证法：正难则反. （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元. 如：已知，可设；已知，可设 ( )；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.。
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1039 不等式证明方法（二）
一、知识回顾
1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；
2、放缩法：欲证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得
112,...B B B B A ≤≤≤≤（或112,...A A A A B ≥≥≥≥）
，常用的放缩方式： 舍去或加上一些项；
≤≥211;(1)n n n ≥+ 211(1)
n n n ≤- 3、换元法：三角换元、代数换元；
4、判别式法
二、基本训练：
1、实数a 、b 、c 不全为零的条件为（ ）
)A a 、b 、c 全不为零 )B a 、b 、c 中至多只有一个为零
)C a 、b 、c 只有一个为零 )D a 、b 、c 中至少有一个不为零
2、已知∈d c b a 、、、+R ，b
d c d a d c c d b a b c b a a s +++++++++++=，则有（ ） )A 20<<s )B 21<<s )C 32<<s )D 43<<s
3、为已知422=+y x ，则y x 32+的取值范围是________。
4、设00>>y x 、，y
y x x B y x y x A +++=+++=11,1，则A 、B 大小关系为________。
5、 实数y x y
x -=，则x 的取值范围是________。
三、例题分析： 例1、x ＞0，y ＞0，求证：31
33
22)(y x y x +>+
例2、函数)(1)(2b a x x f ≠+=，求证：|||)()(|b a b f a f -<-
例3、11:,1,1:2222≤+≤-=+=+by ax y x b a 求证已知（三角换元法）
例4、求证：311112≤+--≤-x x x （判别式法）
例5、若a,b,c 都是小于1的正数，求证：41)1(,)1(,)1(不可能同时大于a c c b b a ---. （反证法）
例6、求证：)(2131211222N n n
∈<+⋅⋅⋅+++
（放缩法）
例7、设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线
x y =和x y -=均无公共点。
（1） 求证：142>-b ac
（2） 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >
++
四、课堂小结：
1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
2、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.
3、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.
4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.
五、同步练习1039 不等式证明方法（二）。