五因子模型表达式
211189560_基于多因子融合和Stacking集成学习的大坝变形组合预测模型
２０２３年４月水 利 学 报ＳＨＵＩＬＩ ＸＵＥＢＡＯ第５４卷 第４期文章编号：０５５９－９３５０（２０２３）０４－０４９７－１０收稿日期：２０２２－０９－１３；网络首发日期：２０２３－０３－３１网络首发地址：ｈｔｔｐｓ：??ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ?ｋｃｍｓ?ｄｅｔａｉｌ?１１．１８８２．ＴＶ．２０２３０３３１．１５１９．００１．ｈｔｍｌ基金项目：国家自然科学基金项目（Ｕ２２４３２２３，５１７３９００３）作者简介：王瑞婕（１９９８－），硕士生，主要从事水工结构安全监控研究。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｒｊ＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ通讯作者：包腾飞（１９７４－），博士，教授，主要从事水工结构及岩土工程的安全监控、光纤传感器在结构健康监测中的应用研究。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｂａｏｔｆ＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ基于多因子融合和Ｓｔａｃｋｉｎｇ集成学习的大坝变形组合预测模型王瑞婕１，包腾飞１，２，３，李扬涛１，宋宝钢１，向镇洋１（１．河海大学水利水电学院，江苏南京 ２１００９８；２．河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，江苏南京 ２１００９８；３．三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌 ４４３００２）摘要：变形是反映大坝服役形态变化的直观表征，构建高效准确的变形预测模型对于大坝结构安全控制十分重要。
传统单因子及单算法变形预测模型存在泛化能力不足、鲁棒性差等问题，易出现预测偏差甚至误判。
针对这一问题，本文选取不同变形解释因子及回归算法，构建多种单因子单算法预测模型，结合Ｓｔａｃｋｉｎｇ集成学习思想，对上述模型进行组合，提出了大坝变形组合预测模型。
该组合模型以Ｓｔａｃｋｉｎｇ集成学习为核心，采用高斯过程回归作为元学习器，从算法、因子两方面对单因子单算法预测模型进行集成，并通过ｋ折交叉验证减小模型过拟合风险。
以某混凝土拱坝变形监测数据为例，通过多模型构建与性能比较，对所提出模型的准确性与有效性进行评估。
结果表明：单因子单算法预测模型具备准确性和多样性的特征；通过算法、因子集成，组合模型的预测精度和鲁棒性得到了显著提高，在水位波动期的预测能力得到了有效增强。
地学数理方法_第五章_因子分析
Extra cti o n .930 .721 .795 .961 .847 .859
Extraction Method: Principal Component Analysis.
因子分析
因子模型中公因子、因子载荷和变量共同 度的统计意义
公因子方差贡献的统计意义
将因子载荷矩阵中各列元素的平方和记为
p ep '
上式为公因子个数与变量个数相等,且特殊因子方差 为0时,因子模型中协方差的结构.
因子分析
因子载荷矩阵的估计方法－主成分法(续)
由于此时因子模型为 X AF ,其中D(F) 1
所以 D(X ) D(AF) AD(F)A' AA' AA' ,
对照上述分解式,则因子载荷矩阵A的第j列应该 是 j ej ,也就是说,除常数 j 外,第j列因子载荷恰 好是第j个主成分的系数 e j ,故称为主成分法.
.461
.804
Extraction Method: Principal Component Analysis. a. 2 components extracted.
因子旋转
因子分析
建立因子分析数学模型的目的不仅要找出公共因子以及对 变量进行分组，更重要的是要知道每个公共因子的意义， 以便对实际问题作出科学的分析，如果每个公共因子的涵 义不清，不便于进行实际背景的解释。
因子分析的基本思想：通过对变量的相关系数 矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的 少数几个随机变量，来描述多个变量之间的相 关关系。
这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为 因子（factor)。然后根据相关性的大小把变量 分组，使得同组内的变量之间的相关性较高， 但不同组的变量相关性较低。
因子分析法
因子分析法一.定义因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。
二.因子分析模型因子分析法是从研究变量内部相关的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。
它的基本思想是将观测变量进行分类，将相关性较高，即联系比较紧密的分在同一类中，而不同类变量之间的相关性则较低，那么每一类变量实际上就代表了一个基本结构，即公共因子。
对于所研究的问题就是试图用最少个数的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。
因子分析模型描述如下：（1）X = (x1，x2，…，xp)￠是可观测随机向量，均值向量E(X)=0，协方差阵Cov(X)=∑，且协方差阵∑与相关矩阵R相等（只要将变量标准化即可实现）;（2）F = (F1，F2，…，Fm)￠（m<p）是不可测的向量，其均值向量E(F)=0，协方差矩阵Cov(F) =I，即向量的各分量是相互独立的;（3）e = (e1，e2，…，ep)￠与F相互独立，且E(e)=0，e的协方差阵∑是对角阵，即各分量e之间是相互独立的，则模型：x1 = a11F1+ a12F2 +…+a1mFm + e1x2 = a21F1+a22F2 +…+a2mFm + e2………xp = ap1F1+ ap2F2 +…+apmFm + ep称为因子分析模型，由于该模型是针对变量进行的，各因子又是正交的，所以也称为R型正交因子模型。
其矩阵形式为：x =AF + e .其中：x=，A=，F=，e=这里，（1）m ￡p；（2）Cov(F，e)=0，即F和e是不相关的；（3）D(F) = Im ，即F1，F2，…，Fm不相关且方差均为1；D(e)=，即e1，e2，…，ep不相关，且方差不同。
第六讲因子分析
第六讲因⼦分析第五讲因⼦分析在许多实际问题中，涉及的变量众多，各变量间还存在错综复杂的相关关系，这时最好能从中提取少数综合变量，这些综合变量彼此不相关，⽽且包含原变量提供的⼤部分信息。
因⼦分析就是为解决这⼀问题提供的统计分析⽅法。
以后，如⽆特别说明，都假定总体是⼀个p维变量：它的均值向量，协⽅差矩阵V=(ij)pp都存在。
第⼀节正交因⼦模型1．1 公共因⼦与特殊因⼦从总体中提取的综合变量：F1, F2, … , F m(m于是，我们有：变量X i的信息＝公共因⼦可以表达部分公共因⼦不可表达部分这就是所谓因⼦模型。
⽬前，公共因⼦可以表达的部分由公共因⼦的线性组合表⽰。
即上⾯的因⼦模型可以写成以下的形式：1．2 正交因⼦模型设总体，均值向量，协⽅差矩阵。
因⼦模型有形式：其中m如果引⼊以下向量与矩阵：则因⼦模型的矩阵形式为：对于正交的因⼦模型，还要进⼀步要求：z1. 。
即有：公共因⼦是互相不相关的。
z2. 。
即：特殊因⼦和公共因⼦不相关。
1．3 因⼦载荷矩阵1．矩阵A称为因⼦载荷矩阵(component matrix)，系数a ij称为变量X i在因⼦F j上的载荷(loading)。
由于特别，如果总体是标准化的，则有Var(X i)=1，从⽽有：于是：即变量X i在公共因⼦F j上的载荷a ij就是X i与F j的相关系数。
2．载荷矩阵的估计：主成分法。
主成分法是估计载荷矩阵的⼀种⽅法，由于其估计结果和变量的主成分仅相差⼀个常数倍，因此就冠以主成分法的名称。
在学到这⾥的时候，不要和主成分分析混为⼀谈。
主成分法是SPSS系统默认的⽅法，在⼀般情况下，这是⽐较好的⽅法。
以数据“应征⼈员”为例，按特征值⼤于1提取公共因⼦。
在⽤不同⽅法获得因⼦载荷时，公共因⼦对总体⽅差的贡献率以主成分法为最⾼：⽅法贡献率 %Principle components 81.476Maximum likelihood74.304Unweighted least squares74.485Principal axis factoring74.462Alpha factoring74.540Image factoring69.365关于主成分法的内容可参看任何⼀本多元统计分析书，例如：《应⽤多元统计分析》，⾼惠璇著，北京⼤学出版社，p301。
我国各地区经济发展水平差异性分析
生产总值 消费水平 资产投资 平均工资 货物周转
价格指数 零售指数 工业产量
表五因子得分系数矩阵
公共因子
1
2
0.347
-0.092
-0.017
0.368
0.323
-0.060
-0.048
2
0.192
0.117
-0.283
0.345
-0.086
3 -0.136 0.101 0.015 -0.084 0.453
利用因子分析有一个潜在的要求，即原始变量之间要有比较强的相关性，如果原始 变量之间不存在较强的相关关系，那么就无法从中综合出共同特性的少数因子来。因此， 在作因子分析时，需要对原始变量做相关分析，利用SPSS数据处理系统提供KMO和巴特 利球形检验来判断变量是否适合做因子分析，当KMO检验值大于0.6时，适合做因子分析， 通过SPSS软件计算得到本例中的KMO检验值为0.688，因此适合做因子分析。由表二，我 们取前3个因子，累积贡献率已经达到85.734，可见提取3个因子后，它们反映了原始变量 的大部分信息，同时也起到了降维的作用。
0.06327
0.04155
0.774
0.414
0.782
0.03401
-0.298
0.170
-0.729
0.977
0.129
3 -0.01689
-0.173 0.123 -0.320 0.182 0.911 0.334 -0.0252
-4-
武汉理工大学《多元统计分析》课程设计（论文）
从表四可以看出由旋转后的因子载荷矩阵可以得到8个原始变量与这3个因子之间的 表达式如下：
武汉理工大学《多元统计分析》课程设计（论文）
卫生统计学：主成分分析与因子分析
通常先对x作标准化处理，使其均值为 零，方差为１．这样就有
x i a i1 f1 a i2 f2 a im fm e i
假定〔１〕fi的均数为 i22 ０，方差为１； 〔２〕ei的均数为０，方差为δi； 〔３〕 fi与ei相互独立．
那么称x为具有m个公共因子的因子模型
〔２〕δi称为特殊方差〔specific variance〕，是不能由公共因子解 释的局部
▪ 因子载荷〔负荷〕aij是随机变量xi与 公共因子fj的相关系数。
▪设
p
g
2 j
a
2 ij
i1
j 1, 2 ,..., m
▪ 称gj2为公共因子fj对x的“奉献〞， 是衡量公共因子fj重要性的一个指标。
根本思想：使公共因子的相对负荷 〔lij/hi2〕的方差之和最大，且保持 原公共因子的正交性和公共方差总和 不变。
可使每个因子上的具有最大载荷的变量 数最小，因此可以简化对因子的解释。
〔2〕斜交旋转〔oblique rotation〕
因子斜交旋转后，各因子负荷发生 了较大变化，出现了两极分化。各 因子间不再相互独立，而彼此相关。 各因子对各变量的奉献的总和也发 生了改变。
ai2j
g
2 j
i1
▪ 极大似然法〔maximum likelihood factor〕
▪ 假定原变量服从正态分布， 公共因子和特殊因子也服从正态分 布，构造因子负荷和特殊方差的似 然函数，求其极大，得 factor〕
▪ 设原变量的相关矩阵为 R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。 各变量特征方差的初始值取为逆 相关矩阵对角线元素的倒数， δi’=1/rii。那么共同度的初始值 为(hi’) 。
第9章因子分析
第9章因子分析与主成份分析因子分析与因子分析进程因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关的综合指标的多元统计分析方式。
线性综合指标往往是不能直接观测到的，但它更能反映事物的本质。
因子分析概念在各个领域的科学研究中往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，搜集大量数据以便进行分析寻觅规律。
多变量大样本无疑会为科学研究提供丰硕的信息，但也在必然程度上增加了数据收集的工作量，更重要的是在大多数情形下，许多变量之间可能存在相关性而增加了问题分析的复杂性。
由于各变量之间存在必然的相关关系，因此有可能用较少的综合指标别离综合存在于各变量中的各类信息，而综合指标之间彼此不相关，即各指标代表的信息不重叠。
如此就可以够对综合指标按照专业知识和指标所反映的独特含义给予命名。
这种分析方式成为因子分析，代表各类信息的综合指标就称为因子或主成份。
按照因子分析的目的咱们明白，综合指标应该比原始变量少，但包括的信息量应该相对损失较少。
原始变量：X一、X二、X3、X4……Xm主成份：Z一、Z二、Z3、Z4……Zn则各因子与原始变量之间的关系能够表示成：X1=b11Z1+b12Z2+b13Z3……+b1n Z n+ｅ1X2=b21Z1+b22Z2+b23Z3……+b2n Z n+ｅ2X3=b31Z1+b32Z2+b33Z3……+b3n Z n+ｅ3……X m=b m1Z1+b m2Z2+b m3Z3……+b mn Z n+ｅn写成矩阵形式为：X=BZ+E。
其值X为原始变量向量，B为公因子负荷系数矩阵，Z为公因子向量，E为残差向量。
公因子Z一、Z二、Z3…Zn之间彼此不相关，称为正交模型。
因子分析的任务就是求出公因子负荷系数和残差。
若是残差E的影响很小能够忽略不计，数学模型变成X=BZ。
若是Z中各分量之间彼此不相关，形成特殊形式的因子分析，称为主成份分析。
主成份分析的数学模型能够写成：Z1=ａ11X 1+ａ12X2+ａ13X 3……+ａ1m X mZ2=ａ21X 1+ａ22X2+ａ23X 3……+ａ2m X mZ3=ａ31X 1+ａ32X2+ａ33X 3……+ａ3m X m……Z n=ａn1X 1+ａn2X2+ａn3X 3……+ａnm X m写成矩阵形式为：Z=AX。
第八章因子分析
看作由一个公因子(与智力相一致)和一个特殊 因子之和组成。
例2 考虑人的五个生理指标：收缩压(x 1 )，舒 张压( x 2 )，心跳间隔( x 3 )，呼吸间隔( x 4 )，舌 下温度( x 5 )。从生理学的知识知道这五个指标
是受植物神经的交感神经和副交感神经这两个
（8.1）
神经和副交感神经，那么可以设想变量
xp ap1F1 ap2F2 apmFm p
用矩阵表示：
x1 a11 a12 a1m F1 1
x2
a21
a22
a2m
F2
2
x
p
a
p1
ap2
a
pm
Fm
p
X AF ε
高维空间中的互相垂直的m个坐标
例1
1
2
3
4
5
6
1.古典语 1
2.法语 0.83
1
3.英语 0.78 0.67
1
4.数学 0.70 0.67 0.64
1
5.判别 0.66 0.65 0.54 0.54 1
6.音乐 0.63 0.57 0.51 0.51 0.4 1
表中课程是按照相关系数从上到下递减排列的。 Spearman注意到相关矩阵中一个有趣的规律： 如果不考虑对角元素的话，任意两列的元素大致
Y1 11X1 12X2 Y2 21X1 22X2
1p X p 2pXp
Yp p1X1 p2X2 pp X p
（8.2）
其中， i j 为随机向量 X 的相关矩阵的特征值 所对应的特征向量的分量，因为特征向量之 间彼此正交，从X 到 Y 的转换关系是可逆的， 即有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五因子模型表达式
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
五因子模型是一种用来解释资产定价的模型，在投资领域有着广泛的应用。
它是由美国著名金融学家Eugene Fama和Kenneth French提出的，通过对历史数据进行分析，他们认为资产的收益率主要由五个因素决定：市场风险因子、规模因子、价值因子、动量因子和波动率因子。
市场风险因子是指股票市场整体波动对股票收益率的影响。
在五因子模型中，市场风险因子代表了整体市场的风险，理论上越大的市场风险会导致更高的回报。
这一因子常常用市场指数的回报率来衡量。
规模因子指的是公司市值对于收益率的影响。
Fama和French的研究表明，市值较小的公司通常具有更高的投资回报率，这与传统理论中认为高市值公司更为安全的观点相悖。
规模因子反映了小市值股票蕴含的风险溢价。
价值因子从公司的基本价值分析出发，认为低市盈率和高股息率的公司通常会实现更高的投资回报率。
价值因子反映了市场对于低估公司的短期偏好，虽然价值因子在实证研究中被证实，但其长期有效性仍然存在疑虑。
动量因子是指过去一段时间内表现较好的股票将会继续保持其上涨趋势。
这种短期趋势投资策略在实际中常常被机构投资者使用，但其长期有效性仍有待验证。
波动率因子指的是资产价格的波动率对于收益率的影响。
通常情况下，波动率较高的资产将蕴含更高的风险溢价，因此波动率因子可能是资产收益率的一个重要因素。
五因子模型试图通过对市场和公司特征的多方面分析，解释资产收益率的变化。
在实际投资中，投资者可以通过对这些因子的综合考量，制定更加合理的投资组合，从而实现更好的投资回报。
五因子模型的提出，为投资者提供了更为深入的资产定价框架，有助于提高投资决策的科学性和准确性。
第二篇示例：
五因子模型是资产组合管理中常用的一种模型，它基于巴黎安聚资产管理公司教授奥斯卡·斯莫尔纳克在1992年提出的资产定价模型（APT），将资产回报分解为五个影响因素：市场风险、规模效应、价值效应、动量效应和业绩效应。
这五个因子被认为能够解释不同资产的回报变化，帮助投资者更好地进行资产组合配置。
五因子模型表达式可以表示为以下形式：
\[ r_p = \beta_m * r_m + \beta_SMB * r_SMB + \beta_HML * r_HML + \beta_umd * r_umd + \alpha + \epsilon \]
\( r_p \)表示资产组合的回报率，\( r_m \)表示市场的回报率，\( r_SMB \)表示规模效应的回报率，\( r_HML \)表示价值效应的回报率，\( r_umd \)表示动量效应的回报率，\( \beta_m \)、
\( \beta_SMB \)、\( \beta_HML \)和\( \beta_umd \)分别代表对应因子的风险暴露度，\( \alpha \)表示超额回报，\( \epsilon \)表示残差项。
五因子模型的表达式中，通过对各项因子的风险暴露度加权，可以分解资产组合的回报率，从而识别出各个因子在回报中的贡献度。
市场风险因素是最主要的因素，可以反映整体市场的走势，规模效应与价值效应则是市场因素之外的特殊因素，能够解释不同市场情况下资产的表现差异。
动量效应和业绩效应则是对资产特定性因素的投资表现进行考量，能够帮助投资者更准确地评估资产风险和收益。
五因子模型的表达式不仅可以帮助投资者分析资产回报的来源和影响因素，还可以帮助投资者进行风险控制和资产配置。
通过调整各因子的权重，投资者可以根据不同市场情况和个人风险偏好，构建出符合自己投资目标的资产组合。
五因子模型也可以帮助投资者识别出市场中的投资机会和潜在风险，指导投资者进行合理决策。
第三篇示例：
五因子模型是一种用于解释股票回报的金融模型，被广泛用于资产定价和风险管理。
它是由美国金融学家法玛三资本资产定价模型的五因子来衡量股票的回报。
五因子模型包含了市场因子、规模因子、价值因子、动量因子和
投资者情绪因子。
这五个因子被认为是影响股票回报的主要驱动因素，对于解释股票的回报变化至关重要。
市场因子是用来衡量整个市场的回报，代表了市场整体的风险水平。
规模因子用来衡量公司市值的大小，即公司的规模对投资组合回
报的影响。
价值因子用来衡量公司的估值水平，即公司的股价和盈利
之比是否合理。
动量因子用来衡量股票的价格走势，即股票是否具有
持续上升或下降的趋势。
投资者情绪因子用来衡量市场参与者的情绪
和行为特征，即市场是否处于恐慌或狂热状态。
五因子模型的表达式可以表示为：
Ri = βi0 + βi1 * (Rm - Rf) + βi2 * SMB + βi3 * HML + βi4 * MOM + βi5 * UMD + ɛi
Ri代表股票i的预期回报，βi0为常数项，βi1代表市场因子的回归系数，Rm代表市场回报率，Rf代表无风险利率，SMB代表规模因子回报率，HML代表价值因子回报率，MOM代表动量因子回报率，UMD代表投资者情绪因子回报率，ɛi代表误差项。
通过五因子模型，我们可以更好地理解股票的回报变化和风险特征。
投资者可以根据这些因子来构建更有效的投资组合，降低投资风险，提高投资回报。
五因子模型的提出，为金融学领域的研究和实践
带来了重要的启示，对于投资者和学者都具有重要的参考价值。
第四篇示例：
五因子模型是一种经济金融领域的经典理论模型，它被用来解释资产收益率的变动。
五因子模型是对传统资本资产定价模型（CAPM）的扩展，通过引入更多的因子，可以更准确地解释资本市场的波动和收益率的差异。
在这篇文章中，我们将详细探讨五因子模型的表达式及其在实际应用中的意义。
五因子模型的表达式可以表示为：
E(Ri) = Rf + βi1(SMB) + βi2(HML) + βi3(RMW) + βi4(CMA) + βi5(MOM) + εi
E(Ri)表示资产i的预期收益率，Rf表示无风险利率，SMB表示规模因子，HML表示价值因子，RMW表示盈利因子，CMA表示资产成长因子，MOM表示动量因子，而βi1至βi5分别表示资产i对每个因子的敏感度，εi表示误差项。
五因子模型通过引入规模因子、价值因子、盈利因子、成长因子和动量因子，对资产收益率的波动进行了更全面的解释。
规模因子反映了小市值股票相较于大市值股票的超额收益，价值因子反映了便宜股票相较于昂贵股票的超额收益，盈利因子反映了高盈利股票相较于低盈利股票的超额收益，成长因子反映了高成长股票相较于低成长股票的超额收益，动量因子反映了近期表现好的股票相较于表现差的股票的超额收益。
在实际应用中，五因子模型被广泛应用于资产定价、投资组合构建和风险管理等领域。
通过对不同因子的组合权重进行优化，可以获
得更好的投资组合表现。
基于五因子模型的风险解释能力高，可以帮助投资者更好地理解资产收益率的波动来源，从而更好地管理风险。
五因子模型还可以帮助投资者识别出低估值或高估值的股票，并进行相应的投资决策。
通过研究不同因子的动态变化和交叉影响，可以更好地把握市场的变化，获取更好的投资机会。
五因子模型是一种有效的资产定价模型，它有助于解释资产收益率的波动，优化投资组合的构建，识别投资机会和管理风险。
在今后的金融领域中，五因子模型将继续发挥重要作用，并不断得到改进和完善，以适应不断变化的市场环境和投资需求。